L3B Ann´ ee 2017/2018

L3B Ann´ ee 2017/2018

JUSTIFIER TOUTES VOS REPONSES

Exercice 1

1. (a) Montrer que l’anneau R[X] est int`egre SoientP, Q∈R[X] non nuls.

SiP Q est nul alors

P(α)Q(α) = 0,∀α∈R. OrRest un corps donc int`egre

⇒P(α) = 0 ou Q(α) = 0. On voit ainsiP ou Qa une infinit´e de racines.

On peut aussi raisonner avec le degr´e.

(b) Donner un exemple d’un anneau commutatifAqui n’est pas int`egre.

Z/12Zn’est pas integre car ¯4¯3 = ¯12 = ¯0.

(c) Montrer que siAest int`egre alors ∀P, Q∈A[X] deg(P Q) = deg(P) + deg(Q).

SoientP, Q∈A[X] avec deg(P) =m,deg(Q) =n.

Il s’ensuit de la definition du produitP Qque : deg(P Q)≤deg(P) + deg(Q).

Par hypoth`ese∃am, bn∈A\ {0A} etP1, Q1∈A[X] avec deg(P1)<deg(P) et deg(Q1)<deg(Q) tq :

P = amX^m+P1

Q = b_nXⁿ+Q₁ On a :

P Q= (ambn)X^m+n+bnXⁿP1+anX^mQ1

Aintegre ⇒ambn 6= 0A⇒deg(P Q) =m+n.

(d) Montrer qu’un polynˆomeP ∈C[X] non nul est inversible si et seule- ment si deg(P) = 0.

i. On suppose deg(P) = 0 non nul alors∃α∈C^∗tel queP =α etP⁻¹=α∈C^∗.

ii. On supposeP inversible et en part. P 6= 0⇒deg(P)≥0.

0 = deg(1A) = deg(P P⁻¹) = deg(P) + deg(P⁻¹)

⇒deg(P)≤0

(e) En d´eduire que∀α∈Cle polynomeX−αest irr´eductible dansC[X].

On suppose∃P, Q∈C[X] tq

X−α=P Q.

en partP, Q sont non nuls. On a

1 = deg(X−α) = deg(P) + deg(Q)

⇒deg(P) = 0 ou deg(Q) = 0.

⇒P ouQinversible.

(f) Vrai ou faux : P ∈ R[X] est irr´eductible si et seulement si il est irreductible dansC[X]. Justifier votre r´eponse.

NON

X²+ 1 est irr´eductible car il n’a pas de racine dansR.

(g) On rappelle que deux ´el´ements x, yd’un anneau commutatifAsont premiers entre eux ssi les seuls diviseurs communs sont les inversibles deA.

i. Montrer queX, X−1, X+ 1 sont 2-`a-2 premiers entre eux dans l’anneauC[X].

Il suffit de montrer que pour chaque paire un diviseur com- mun divise un inversible:

A. Si dun diviseur commun deX, X−1 alors ddiviseX−(X−1) = 1 doncdest inversible.

B. Sidun diviseur commun deX+ 1, X−1 alors ddiviseX+ 1−(X−1) = 2 donc dest inversible.

ii. Les polynˆomesX, X−1, X+ 1 sont-ils 2-`a-2 premiers entre eux dans l’anneauZ[X] ?

OUI

Les arguments pourX, X−1 etX, X+ 1 sont tjrs valable.

PourX−1, X+ 1 on a:

2 = (X+ 1)−(X−1).

Donc sidest diviseur commun alorsd|2 etd∈ {±1} t {±2}.

On supposed=±2 et on a l’equation

±2P(X) = (X+ 1), en evaluant en 0

±2P(0) = 1, impossible carP(0)∈Z.

Doncdinversible (h) Montrer que

C[X]/(X)'C[X]/(X+ 1)'C[X]/(X−1).

Si α∈Calors (X−α) est le noyau du morphisme d’evaluation evα:C[X]→C

et on a

C[X]/(X)'Im(evα) =C.

(i) Montrer que

C[X]/(X)6'R[X]/(X+ 1).

D’apres la question precedente

C[X]/(X)'C,R[X]/(X+ 1)'R. Suppose qu’il existeφ:C→Run morphisme d’anneau.

Alors

−1 =φ(−1) =φ(i²) = (φ(i))²≥0.

Contradiction

2. (a) Trouvera, b, c∈Ztels que

aX(X−1) +bX(X+ 1) +c(X²−1) = 2.

• X =−1,−a(−2) = 2⇒a= 1.

• X = 1,b(2) = 2⇒b= 1.

• X = 0,−c= 2⇒c=−2.

X(X−1) +X(X+ 1)−2(X²−1) = 2.

(b) D´eterminer l’id´eal de R[X] engendr´e par : i. {X(X−1), X(X+ 1), X²−1}.

D’apres question (2a) 2∈(X(X−1), X(X+ 1), X²−1).

D’apres question (1d). 2 est inversible et donc (2) =R[X].

On a donc

R[X] = (2)⊂(X(X−1), X(X+ 1), X²−1)⊂R[X].

ii. {X²(X+ 1),(X²−1)²}

R[X] est principal et un generateur de l’ideal

(X²(X+ 1),(X²−1)²) est le PGCD de ces polynomes

`

a savoirX+ 1.

(c) D´eterminer l’inverse deX(X−1)∈R[X]/(X+ 1).

D’apres question (2a):

X(X−1) +X(X+ 1)−2(X²−1) = 2.

Donc

X(X−1) +X(X+ 1)−2(X²−1) = ¯2.

X(X−1) = ¯2⇒X(X−1)⁻¹= 1/2.

(d) Soientα, β, γ∈Rtrouver un polynomeP ∈R[X] de degr´e au plus 2 tel que

P(−1) =α, P(0) =β, P(1) =γ.

P(X) =1

2αX(X−1) + 1

2γX(X+ 1)−β(X²−1).

(e) Montrer que l’application

R[X] → R×R×R

P 7→ (P(−1), P(0), P(1)) est un morphisme surjectif et d´eterminer son noyau.

• Il suffit de verifier que l’application induit un morphisme sur chaque facteur `a l’arriv´ee.

OrP 7→P(α) est le morphisme d’evaluationev_α.

• D’apres la question (2d) l’application est surjective.

• Le noyau est l’intersection des noyaux de ev₋₁, ev0,ev1. Or kerevα= (X−α)

(X+ 1)∩(X)∩(X−1) = (X(X²−1)),

car le PPCM deX+ 1, X, X−1 estX(X²−1) car ils sont premiers entre eux dansR[X].

3. (a) Montrer queX²+X+ 1 est irr´eductible dansR[X].

Un polynomeP∈R[X] tq 2≤deg(P)≤3 est irreductible ssiP n’a pas de racines. Or

t²+t+ 1 = (t+ 1/2)²+ 3/4≥3/4>0,∀t∈R.

(b) D´eterminer les id´eaux deR[X]/(X²+X+ 1).

X²+X+ 1 est irreductible

⇒(X²+X+ 1) est maximal

⇒R[X]/(X²+X+ 1) est un corps ('C).

Un corps a exactement 2 ideaux.

4. Donner tous les inversibles de (Z/12Z,+).

¯

n∈Z/12Zest inversible ssin∧12 = 1.

Donc (Z/12Z)^∗= ¯1,¯5,¯7,11.¯

o(¯1) =o(¯5) =o(¯7) =o( ¯11) = 12.

Exercice 2

1. Soientn1, n2, a1, a2∈Ztels que

a1n1+a2n2= 1.

Montrer que, si

y1≡m1[n1] ety2≡m2[n2] alors

y≡m₁[n₁] ety≡m₂[n₂] o`u y:=a₁n₁y₂+a₂n₂y₁.

Par hypothese :

a1n1≡= 1[n2], a2n2= 1[n1].

Doncy:=a₁n₁y₂+a₂n₂y₁≡a₁n₁y₂[n₂]≡1y₂[n₂]≡m₂[n₂].

2. Utiliser le petit th´eor`eme de Fermat pour montrer que six∈Z n’est pas divisible par 7 alorsx³≡ ±1[7].

Fermat : x^p−1≡1 [p] sippremier etp6 |x. ⇒x⁶≡1 [7]

⇒(x³)²≡1 [7]

L’equationy²= 1[7] a exactement 2 solutions, `a savoiry=±1[7].

3. Trouver toutes les solutions de (a) x³−x+ 1≡0[5]

On noteraf(x) =x³−x+ 1

On af(¯0) = ¯1, f(¯1) = ¯1, f(¯2) = ¯2, f(¯3) = ¯0, f(¯4) = ¯1 (b) x³−x+ 1≡0[7]

D’apres (2)x³−x+ 1≡0[7]⇒x= (±1 + 1)[7]

• x= 0 est visiblement pas une racine

• 2³−2 + 1 = 8−2 + 1 = 7⇒une solution unique.

(c) x³−x+ 1≡0[35]

Toute solutionxest une solution du systeme x³−x+ 1 ≡ 0[5]

x³−x+ 1 ≡ 0[7]

On a 3×7−4×5 = 1 et d’apres (1)

x= 3×7×2−4×5×3 = 42−50≡23[35].

4. (a) Donner tous les diviseurs de z´ero de l’anneauZ/13Z. 13∈Zest premier etZ/13Zest un corps

⇒pas de diviseur de zero.

(b) D´eterminer l’ordre de ¯4 dans le groupe (Z/13Z)^∗. 4²= 166= 1[13] et 4³= 64 =−1[13]⇒o(¯4) = 6 (c) Trouver l’inverse de ¯4 dans le groupe (Z/13Z)^∗.

4×10 = 40 = 1[13]⇒¯4⁻¹= 10 (d) On consid`ere l’application;

f : (Z/13Z)^∗ → (Z/13Z)^∗ x 7→ ¯4x

i. Montrer quef est une permutation de l’ensemble (Z/13Z)^∗. Il suffit de montrer quef est une bijection. D’apres la ques- tion precedente

f⁻¹;x7→¯4⁻¹x= ¯10x.

ii. Donner la d´ecomposition def en cycles disjoints.

L’ordre de ¯4 est 6 et on s’attend `a ce quef se decompose en 2 cycles de longueur 6.

(¯4,¯3,12,¯ ¯9,10,¯ ¯1)(¯8,¯6,11,¯ ¯5,¯7,¯2)

iii. D´eterminer la signature def.

• La signature est un morphisme de groupes

• La signature d’un cycle ne depend que de la longueur du cycle.

• f est composition de 2 cyclesγi de longueur 6 : σ(f) =σ(γ₁◦γ₂) =σ(γ₁)²= 1

(e) i. Determiner l’ordre de ¯2 dans (Z/13Z)^∗.

¯2²= ¯4⇒o(¯2) = 2×o(¯4) = 12 =|(Z/13Z)^∗|

ii. Vrai ou faux : ((Z/13Z)^∗,×)'(Z/6Z×Z/2Z,+). Justifier votre r´eponse.

NON

(Z/13Z)^∗ est cyclique car ´el´ement ¯2 d’ordre 12.

l’ordre maximal d’un elt dansZ/6Z×Z/2Zest 6.

Attention : on n’a pas le droit d’appliquer le thm chinois car 6∧2 = 26= 1.

iii. Donner tous les ´el´ements d’ordre maximal dans (Z/13Z)^∗. D’apres Lagrange o(x)|12 = |(Z/13Z)^∗| ⇒ o(x) ≤ 12.

D’apres la question (4(e)i) ¯2 est d’ordre 12 donc maximal.

L’application

k 7→ ¯2^k (Z,+) → (Z/13Z)^∗ est un morphisme surjectif et

o(¯2^k) = min{n >0,¯2^nk= 1}= min{n >0,12|(nk)}= 12/(12∧k) Donc ¯2^k est d’ordre maximal si 12∧k= 1

D’apres (4) : (Z/12Z)^∗ ={¯1,¯5,¯7,11}¯ ={¯n, n∈Z, n∧12 = 1}

(et chacun de ces elts est generateur de (Z/12Z,+)).

Donc les generateurs de (Z/13Z)^∗ sont 2¯¹,2⁵= ¯6,2⁷= ¯11,2¹¹= ¯7,

On consid`ere un endomorphismeudeR³dont la matrice dans la base usuelle est :

A:=





2 −1 1

−2 0 2

−2 −3 5





1. Calculer le d´eterminant et la trace deA.

trA= 7,detA= 12.

Attention : : la trace est la somme des elements sur la diagonale

= la somme des racines deχ_A

2. (a) f1 = (0,1,1), f2 = (−1,1,1) ∈ R³ et F le sous espace vectoriel engendr´e par f1 etf2. Montrer queF est stable paru.

F stable ssiu(F)⊂F.

PuisqueF ={f1, f₂}il suffit de verifier que u(f_i)∈F A.f₁= 2f₁∈F, A.f₂= 2f₁+ 2f₂∈F.

(b) D´eterminer la matrice de la restriction deu`aF dans la basef1, f2. Il se decoule du calcul ci-dessus que la matrice deu|F est

2 2 0 2

3. (a) D´eterminer le polynˆome carateristiqueχu(X)∈R[X] deu.

On peut faire sans calculer le determinant usuelle car d’apres question (2b) 2 est racine de multiplicit´e 2 et la trace de A= 7 donc l’autre racine est 7−2×2 = 3.

χu(X) =χA(X) = (X−2)²(X−3).

(b) D´eterminer les valeurs propres et sous-espaces propres de u.

• vp 2, eph(0,1,1)i

• vp 3, eph(1,0,1)idoncf₃:= (1,0,1) est vp.

(c) uest-il diagonalisable surR? trigonalisable surR?

• NON - 2 est racine deχ_u de multiplicit´e 2 mais son espace propre est de dimension 1

• OUI -χu est scind´e surR.

4. Donner le polynˆome minimal deu.

Le poly minimal a les memes racines que le poly caracteristique (cours).

Afin de voir queχuest minimal suffit de verifier que (u−2)(u−3)6= 0.

On a

(u−2)(u−3) = (u−2)²−(u−2)⇒(u−2)(u−3).f2=−u(f2)+2f26= 0.

Rq - effectivement on peut remplacerf2 par n’importe lequel elt de ker(u−2)²\ker(u−2).

5. Ecrire, en utilisant le lemme des noyaux,R³ comme somme directe de F et d’un sous-espace G stable paru. Donner une base de chacun des ces sous-espaces.

On a

R³= ker(u−2ID)²⊕ker(u−3ID).

et on pose

F :=h(0,1,1),(−1,1,1)i= ker(u−2ID)² G:=h(1,0,1)i= ker(u−3ID)

6. Soitpla projection surF parall`element `aG. Ecrirepcomme un polynˆome en u. On utilisera Bezout pour les polynˆomes (X−2)²et X−3.

(X−2)²−(X−1)(X−3) = 1 F = ker(u−2ID)²

⇒p=I3−(A−2I3)²=−(A−I3)(A−3I3),

de plus on aG= ker(u−3)⊂ker(u−1)◦(u−3) = kerp en partp(f3) = 0.

7. Donner la d´ecomposition de Dunford de A. Ecrire chacune des matrices

D:= 2p+ 3(I3−p) et on a :

D.fi= 2p(fi) + 3(fi−p(fi), i= 1,2,3

il s’ensuit queuest diagonalisable carfiest une base deR³de vecteurs propres :

(a) D.fi= 2p(fi) + 3(fi−p(fi) = 2f.i−3(fi−fi), i= 1,2 (b) D.f3= 2p(f3) + 3(f3−p(f3)) = 3f3