Jeu de Wythoff
Ivan Izmestiev
Université Fribourg
Colloque de la CRM Leysin, 2017
Jeux de Nim
Plusieurs variantes existent. Les règles générales:
I Deux joueurs.
I Un ou plusieurs tas de pierres.
I Un tour: modifier un ou plusieurs tas selon les règles.
I Celui qui ne peut pas faire un tour, perd.
Nim à un tas
Nim à un tas
Un tas denpierres.
Règle: on peut prendre 1, 2, 3 où 4 pierres dans un tour.
Nous analysons ce jeux par la méthode de positions perdantes et gagnantes.
I Position gagnante: à partir de cette position, on gagne si on joue parfaitement.
I Position perdante: quoi qu’on fasse, l’adversaire gagne (s’il joue parfaitement).
Cela implique que:
I D’une position perdante, tous les tours mènent aux positions gagnantes.
I D’une position gagnante, il existe au moin un tour qui mène a une position perdante.
Nim à un tas
Un tas denpierres.
Règle: on peut prendre 1, 2, 3 où 4 pierres dans un tour.
Nous analysons ce jeux par la méthode de positions perdantes et gagnantes.
I Position gagnante: à partir de cette position, on gagne si on joue parfaitement.
I Position perdante: quoi qu’on fasse, l’adversaire gagne (s’il joue parfaitement).
Cela implique que:
I D’une position perdante, tous les tours mènent aux positions gagnantes.
I D’une position gagnante, il existe au moin un tour qui mène a une position perdante.
Nim à un tas
Un tas denpierres.
Règle: on peut prendre 1, 2, 3 où 4 pierres dans un tour.
Nous analysons ce jeux par la méthode de positions perdantes et gagnantes.
I Position gagnante: à partir de cette position, on gagne si on joue parfaitement.
I Position perdante: quoi qu’on fasse, l’adversaire gagne (s’il joue parfaitement).
Cela implique que:
I D’une position perdante, tous les tours mènent aux positions gagnantes.
I D’une position gagnante, il existe au moin un tour qui mène a une position perdante.
Nim sans pierres
Au lieu d’un tas denpierres prenons un plateau 1×(n+1).
Une pièce est posée dans la case à droite.
Un tour: déplacer la pièce de 1, 2, 3 ou 4 cases à gauche.
Celui met la pièce dans la case á gauche, gagne.
0 1 2 n
0 1 2 n
— position perdante — il faut mettre la pièce ici
— position gagnante — il ne faut pas mettre la pièce ici
I La position 0 est perdante.
I Les positions 1, 2, 3, 4 sont gagnantes parce que je peux mettre mon adversaire dans une position perdante.
I La position 5 est perdante, parce que tous les tours mènent aux positions gagnantes.
Nim sans pierres
Au lieu d’un tas denpierres prenons un plateau 1×(n+1).
Une pièce est posée dans la case à droite.
Un tour: déplacer la pièce de 1, 2, 3 ou 4 cases à gauche.
Celui met la pièce dans la case á gauche, gagne.
0 1 2 n
0 1 2 n
— position perdante — il faut mettre la pièce ici
— position gagnante — il ne faut pas mettre la pièce ici
I La position 0 est perdante.
I Les positions 1, 2, 3, 4 sont gagnantes parce que je peux mettre mon adversaire dans une position perdante.
I La position 5 est perdante, parce que tous les tours mènent aux positions gagnantes.
Nim sans pierres
Au lieu d’un tas denpierres prenons un plateau 1×(n+1).
Une pièce est posée dans la case à droite.
Un tour: déplacer la pièce de 1, 2, 3 ou 4 cases à gauche.
Celui met la pièce dans la case á gauche, gagne.
0 1 2 n
0 1 2 n
— position perdante — il faut mettre la pièce ici
— position gagnante — il ne faut pas mettre la pièce ici
I La position 0 est perdante.
I Les positions 1, 2, 3, 4 sont gagnantes parce que je peux mettre mon adversaire dans une position perdante.
I La position 5 est perdante, parce que tous les tours mènent aux positions gagnantes.
Nim sans pierres
Au lieu d’un tas denpierres prenons un plateau 1×(n+1).
Une pièce est posée dans la case à droite.
Un tour: déplacer la pièce de 1, 2, 3 ou 4 cases à gauche.
Celui met la pièce dans la case á gauche, gagne.
0 1 2 n
0 1 2 n
— position perdante — il faut mettre la pièce ici
— position gagnante — il ne faut pas mettre la pièce ici
I La position 0 est perdante.
I Les positions 1, 2, 3, 4 sont gagnantes parce que je peux mettre mon adversaire dans une position perdante.
I La position 5 est perdante, parce que tous les tours mènent aux positions gagnantes.
Nim sans pierres
Au lieu d’un tas denpierres prenons un plateau 1×(n+1).
Une pièce est posée dans la case à droite.
Un tour: déplacer la pièce de 1, 2, 3 ou 4 cases à gauche.
Celui met la pièce dans la case á gauche, gagne.
0 1 2 n
— position perdante — il faut mettre la pièce ici
— position gagnante — il ne faut pas mettre la pièce ici
I La position 0 est perdante.
I Les positions 1, 2, 3, 4 sont gagnantes parce que je peux mettre mon adversaire dans une position perdante.
I La position 5 est perdante, parce que tous les tours mènent aux positions gagnantes.
La stratégie
Sinest divisible par 5, le deuxième joueur gagne.
Sinon, c’est le premier qui gagne.
La stratégie: toujours laisser à l’adversaire un nombre de pierres divisible par 5.
Autrement dit, sinn’est pas divisible par 5,
avec le premier tour on prend le reste de division par 5,
après, si l’adversaire prend 1 pierre, on prend 4, s’il prend 2, on prend 3 etc.
Si on fait un mauvais tour (on va d’une position gagnante dans une autre position gagnante), l’adversaire peut reprendre l’initiative.
La stratégie
Sinest divisible par 5, le deuxième joueur gagne.
Sinon, c’est le premier qui gagne.
La stratégie: toujours laisser à l’adversaire un nombre de pierres divisible par 5.
Autrement dit, sinn’est pas divisible par 5,
avec le premier tour on prend le reste de division par 5,
après, si l’adversaire prend 1 pierre, on prend 4, s’il prend 2, on prend 3 etc.
Si on fait un mauvais tour (on va d’une position gagnante dans une autre position gagnante), l’adversaire peut reprendre l’initiative.
Nim à deux tas
Les règles
Deux tas de pierres avec, disons,metnpierres.
On peut prendre un nombre quelconque des pierres d’un tas.
Formulation équivalente:
I On a un plateau(m+1)×(n+1) et une tour (pièce d’échecs).
I La tour est placée dans le coin en haut à droite.
I La tour peut être déplacée verticalement en bas
où horizontalement à gauche.
I Celui qui ne peut pas faire un tour, perd.
La position(k,l)correspond àk pierres dans un tas etl pierres dans l’autre tas.
Les règles
Deux tas de pierres avec, disons,metnpierres.
On peut prendre un nombre quelconque des pierres d’un tas.
Formulation équivalente:
I On a un plateau(m+1)×(n+1) et une tour (pièce d’échecs).
I La tour est placée dans le coin en haut à droite.
I La tour peut être déplacée verticalement en bas
où horizontalement à gauche.
I Celui qui ne peut pas faire un tour, perd.
La position(k,l)correspond àk pierres dans un tas etl pierres dans l’autre tas.
L’analyse
I La position(0,0)est perdante.
I Toutes les positions(k,0)et(0,k) aveck ≥1 sont gagnantes.
I La position(1,1)est perdante.
I Toutes les positions(k,1)et(1,k) aveck ≥2 sont gagnantes.
Ainsi, les seules positions perdantes sont(k,k): le même nombre de pierres dans les deux tas.
L’analyse
I La position(0,0)est perdante.
I Toutes les positions(k,0)et(0,k) aveck ≥1 sont gagnantes.
I La position(1,1)est perdante.
I Toutes les positions(k,1)et(1,k) aveck ≥2 sont gagnantes.
Ainsi, les seules positions perdantes sont(k,k): le même nombre de pierres dans les deux tas.
L’analyse
I La position(0,0)est perdante.
I Toutes les positions(k,0)et(0,k) aveck ≥1 sont gagnantes.
I La position(1,1)est perdante.
I Toutes les positions(k,1)et(1,k) aveck ≥2 sont gagnantes.
Ainsi, les seules positions perdantes sont(k,k): le même nombre de pierres dans les deux tas.
L’analyse
I La position(0,0)est perdante.
I Toutes les positions(k,0)et(0,k) aveck ≥1 sont gagnantes.
I La position(1,1)est perdante.
I Toutes les positions(k,1)et(1,k) aveck ≥2 sont gagnantes.
Ainsi, les seules positions perdantes sont(k,k): le même nombre de pierres dans les deux tas.
L’analyse
I La position(0,0)est perdante.
I Toutes les positions(k,0)et(0,k) aveck ≥1 sont gagnantes.
I La position(1,1)est perdante.
I Toutes les positions(k,1)et(1,k) aveck ≥2 sont gagnantes.
Ainsi, les seules positions perdantes sont(k,k): le même nombre de pierres dans les deux tas.
La stratégie
Sim6=n, le premier joueur gagne.
La stratégie: toujours égaliser les nombres de pierres dans les tas.
Sim=n, le deuxieme joueur gagne.
La stratégie est la même.
On va plus loin...
Nim à plusieurs tas
Plusieurs tas de pierres. (Par exemple, 3, 4 et 5 pierres.) On peut prendre un nombre quelconque de pierres d’un tas.
I On peut déterminer les positions perdantes et gagnantes pour des petites nombres de pierres.
I Mais il est difficile de trouver une structure dans l’arrangement des positions gagnantes.
I Néanmoins il y a un principe qui permet de décider si une position donnée est perdante où gagnante. (Sans
considérer toutes les positions précédentes.) Exercice
I Quel joueur gagne dans le jeu de 3, 4 et 5 pierres?
I Trouvez la stratégie. (Voir: M. Garnder, Nim and Hackenbush, ou articles sur Wikipedia.)
Nim à plusieurs tas
Plusieurs tas de pierres. (Par exemple, 3, 4 et 5 pierres.) On peut prendre un nombre quelconque de pierres d’un tas.
I On peut déterminer les positions perdantes et gagnantes pour des petites nombres de pierres.
I Mais il est difficile de trouver une structure dans l’arrangement des positions gagnantes.
I Néanmoins il y a un principe qui permet de décider si une position donnée est perdante où gagnante. (Sans
considérer toutes les positions précédentes.) Exercice
I Quel joueur gagne dans le jeu de 3, 4 et 5 pierres?
I Trouvez la stratégie. (Voir: M. Garnder, Nim and Hackenbush, ou articles sur Wikipedia.)
Nim à plusieurs tas
Plusieurs tas de pierres. (Par exemple, 3, 4 et 5 pierres.) On peut prendre un nombre quelconque de pierres d’un tas.
I On peut déterminer les positions perdantes et gagnantes pour des petites nombres de pierres.
I Mais il est difficile de trouver une structure dans l’arrangement des positions gagnantes.
I Néanmoins il y a un principe qui permet de décider si une position donnée est perdante où gagnante. (Sans
considérer toutes les positions précédentes.)
Exercice
I Quel joueur gagne dans le jeu de 3, 4 et 5 pierres?
I Trouvez la stratégie. (Voir: M. Garnder, Nim and Hackenbush, ou articles sur Wikipedia.)
Nim à plusieurs tas
Plusieurs tas de pierres. (Par exemple, 3, 4 et 5 pierres.) On peut prendre un nombre quelconque de pierres d’un tas.
I On peut déterminer les positions perdantes et gagnantes pour des petites nombres de pierres.
I Mais il est difficile de trouver une structure dans l’arrangement des positions gagnantes.
I Néanmoins il y a un principe qui permet de décider si une position donnée est perdante où gagnante. (Sans
considérer toutes les positions précédentes.) Exercice
I Quel joueur gagne dans le jeu de 3, 4 et 5 pierres?
I Trouvez la stratégie. (Voir: M. Garnder, Nim and Hackenbush, ou articles sur Wikipedia.)
Version misère de nim
La version misère a les mêmes règles, mais le joueur qui prend la dernière pierre perd.
Exercice
Analysez la version misère de:
I nim d’un tas où on peut prendre 1, 2, 3 ou 4 pierres.
I nim de deux tas.
La version misère avec quatre tas à 1, 3, 5 et 7 alumettes est présente dans le film «L’Année dernière à Marienbad », Alain Resnais, 1961.
Version misère de nim
La version misère a les mêmes règles, mais le joueur qui prend la dernière pierre perd.
Exercice
Analysez la version misère de:
I nim d’un tas où on peut prendre 1, 2, 3 ou 4 pierres.
I nim de deux tas.
La version misère avec quatre tas à 1, 3, 5 et 7 alumettes est présente dans le film «L’Année dernière à Marienbad », Alain Resnais, 1961.
Version misère de nim
La version misère a les mêmes règles, mais le joueur qui prend la dernière pierre perd.
Exercice
Analysez la version misère de:
I nim d’un tas où on peut prendre 1, 2, 3 ou 4 pierres.
I nim de deux tas.
La version misère avec quatre tas à 1, 3, 5 et 7 alumettes est présente dans le film «L’Année dernière à Marienbad », Alain Resnais, 1961.
Nim de Wythoff
Les règles
Deux tas de pierres.
On peut prendre un nombre quelconque de pierres d’un tas ou le même nombre de pierres de deux tas simultanément.
Celui qui ne peut pas faire un tour, perd.
Formulation équivalente:
I Une dame est placée dans le coin en haut à droite d’un plateau (m+1)×(n+1).
I Elle peut être déplacée verticalement vers le bas, horizontalement à gauche où diagonalement vers le bas à gauche.
I Celui qui ne peut pas faire un tour, perd.
Les règles
Deux tas de pierres.
On peut prendre un nombre quelconque de pierres d’un tas ou le même nombre de pierres de deux tas simultanément.
Celui qui ne peut pas faire un tour, perd.
Formulation équivalente:
I Une dame est placée dans le coin en haut à droite d’un plateau (m+1)×(n+1).
I Elle peut être déplacée verticalement vers le bas, horizontalement à gauche où diagonalement vers le bas à gauche.
I Celui qui ne peut pas faire un tour, perd.
L’analyse
I La position(0,0)est perdante.
I Les positions(k,0),(0,k), ainsi que(k,k)pourk ≥1 sont gagnantes.
I Les positions(2,1)et(1,2)sont perdantes.
I (2,1)est perdante⇒
(2,k)pourk >1,(k,1)pourk >2, (k+2,k +1)pourk >0 sont gagnantes.
(1,2)est perdante⇒...
Dans le jeu avec 6 et 10 pierres (ou sur le plateau 7×11) le premier joueur gagne.
Son premier tour: prendre 2 pierres de chaque tas.
L’analyse
I La position(0,0)est perdante.
I Les positions(k,0),(0,k), ainsi que(k,k)pourk ≥1 sont gagnantes.
I Les positions(2,1)et(1,2)sont perdantes.
I (2,1)est perdante⇒
(2,k)pourk >1,(k,1)pourk >2, (k+2,k +1)pourk >0 sont gagnantes.
(1,2)est perdante⇒...
Dans le jeu avec 6 et 10 pierres (ou sur le plateau 7×11) le premier joueur gagne.
Son premier tour: prendre 2 pierres de chaque tas.
L’analyse
I La position(0,0)est perdante.
I Les positions(k,0),(0,k), ainsi que(k,k)pourk ≥1 sont gagnantes.
I Les positions(2,1)et(1,2)sont perdantes.
I (2,1)est perdante⇒
(2,k)pourk >1,(k,1)pourk >2, (k+2,k +1)pourk >0 sont gagnantes.
(1,2)est perdante⇒...
Dans le jeu avec 6 et 10 pierres (ou sur le plateau 7×11) le premier joueur gagne.
Son premier tour: prendre 2 pierres de chaque tas.
L’analyse
I La position(0,0)est perdante.
I Les positions(k,0),(0,k), ainsi que(k,k)pourk ≥1 sont gagnantes.
I Les positions(2,1)et(1,2)sont perdantes.
I (2,1)est perdante⇒
(2,k)pourk >1,(k,1)pourk >2, (k+2,k +1)pourk >0 sont gagnantes.
(1,2)est perdante⇒...
Dans le jeu avec 6 et 10 pierres (ou sur le plateau 7×11) le premier joueur gagne.
Son premier tour: prendre 2 pierres de chaque tas.
L’analyse
I La position(0,0)est perdante.
I Les positions(k,0),(0,k), ainsi que(k,k)pourk ≥1 sont gagnantes.
I Les positions(2,1)et(1,2)sont perdantes.
I (2,1)est perdante⇒
(2,k)pourk >1,(k,1)pourk >2, (k+2,k +1)pourk >0 sont gagnantes.
(1,2)est perdante⇒...
Dans le jeu avec 6 et 10 pierres (ou sur le plateau 7×11) le premier joueur gagne.
Son premier tour: prendre 2 pierres de chaque tas.
L’analyse
I La position(0,0)est perdante.
I Les positions(k,0),(0,k), ainsi que(k,k)pourk ≥1 sont gagnantes.
I Les positions(2,1)et(1,2)sont perdantes.
I (2,1)est perdante⇒
(2,k)pourk >1,(k,1)pourk >2, (k+2,k +1)pourk >0 sont gagnantes.
(1,2)est perdante⇒...
Dans le jeu avec 6 et 10 pierres (ou sur le plateau 7×11) le premier joueur gagne.
Son premier tour: prendre 2 pierres de chaque tas.
L’analyse
I La position(0,0)est perdante.
I Les positions(k,0),(0,k), ainsi que(k,k)pourk ≥1 sont gagnantes.
I Les positions(2,1)et(1,2)sont perdantes.
I (2,1)est perdante⇒
(2,k)pourk >1,(k,1)pourk >2, (k+2,k +1)pourk >0 sont gagnantes.
(1,2)est perdante⇒...
Dans le jeu avec 6 et 10 pierres (ou sur le plateau 7×11) le premier joueur gagne.
Son premier tour: prendre 2 pierres de chaque tas.
L’analyse
I La position(0,0)est perdante.
I Les positions(k,0),(0,k), ainsi que(k,k)pourk ≥1 sont gagnantes.
I Les positions(2,1)et(1,2)sont perdantes.
I (2,1)est perdante⇒
(2,k)pourk >1,(k,1)pourk >2, (k+2,k +1)pourk >0 sont gagnantes.
(1,2)est perdante⇒...
Dans le jeu avec 6 et 10 pierres (ou sur le plateau 7×11) le premier joueur gagne.
Son premier tour: prendre 2 pierres de chaque tas.
L’analyse
I La position(0,0)est perdante.
I Les positions(k,0),(0,k), ainsi que(k,k)pourk ≥1 sont gagnantes.
I Les positions(2,1)et(1,2)sont perdantes.
I (2,1)est perdante⇒
(2,k)pourk >1,(k,1)pourk >2, (k+2,k +1)pourk >0 sont gagnantes.
(1,2)est perdante⇒...
Dans le jeu avec 6 et 10 pierres (ou sur le plateau 7×11) le premier joueur gagne.
Son premier tour: prendre 2 pierres de chaque tas.
L’analyse
I La position(0,0)est perdante.
I Les positions(k,0),(0,k), ainsi que(k,k)pourk ≥1 sont gagnantes.
I Les positions(2,1)et(1,2)sont perdantes.
I (2,1)est perdante⇒
(2,k)pourk >1,(k,1)pourk >2, (k+2,k +1)pourk >0 sont gagnantes.
(1,2)est perdante⇒...
Dans le jeu avec 6 et 10 pierres (ou sur le plateau 7×11) le premier joueur gagne.
Son premier tour: prendre 2 pierres de chaque tas.
L’analyse
I La position(0,0)est perdante.
I Les positions(k,0),(0,k), ainsi que(k,k)pourk ≥1 sont gagnantes.
I Les positions(2,1)et(1,2)sont perdantes.
I (2,1)est perdante⇒
(2,k)pourk >1,(k,1)pourk >2, (k+2,k +1)pourk >0 sont gagnantes.
(1,2)est perdante⇒...
Dans le jeu avec 6 et 10 pierres (ou sur le plateau 7×11) le premier joueur gagne.
Son premier tour: prendre 2 pierres de chaque tas.
Positions gagnantes du jeu de Wythoff
Positions gagnantes du jeu de Wythoff
I On ne peut pas encore discerner un règle.
I Mais les positions gagnantes semblent presque alignées.
Positions gagnantes du jeu de Wythoff
I On ne peut pas encore discerner un règle.
I Mais les positions gagnantes semblent presque alignées.
Hypothèses
Soient(an,bn)les positions perdantes au-dessus de la diagonale:an<bn.
n 1 2 3 4 5 6 7 8
an 1 3 4 6 8 9 11 12
bn 2 5 7 10 13 15 18 20
bn
an 2 1.67 1.75 1.67 1.63 1.67 1.64 1.67
an
n 1 1.5 1.33 1.5 1.6 1.5 1.57 1.5
Les suites(an)et(bn)sont proches aux suites arithmétiques. Est-ce quean ≈nϕetbn≈nϕ2?
On peu vérifier quean=bnϕc,bn=bnϕ2cpour les premières valeurs den.
Hypothèses
Soient(an,bn)les positions perdantes au-dessus de la diagonale:an<bn.
n 1 2 3 4 5 6 7 8
an 1 3 4 6 8 9 11 12
bn 2 5 7 10 13 15 18 20
bn
an 2 1.67 1.75 1.67 1.63 1.67 1.64 1.67
an
n 1 1.5 1.33 1.5 1.6 1.5 1.57 1.5
Les suites(an)et(bn)sont proches aux suites arithmétiques. Est-ce quean ≈nϕetbn≈nϕ2?
On peu vérifier quean=bnϕc,bn=bnϕ2cpour les premières valeurs den.
Hypothèses
Soient(an,bn)les positions perdantes au-dessus de la diagonale:an<bn.
n 1 2 3 4 5 6 7 8
an 1 3 4 6 8 9 11 12
bn 2 5 7 10 13 15 18 20
bn
an 2 1.67 1.75 1.67 1.63 1.67 1.64 1.67
an
n 1 1.5 1.33 1.5 1.6 1.5 1.57 1.5
Les suites(an)et(bn)sont proches aux suites arithmétiques.
Est-ce quean ≈nϕetbn≈nϕ2?
On peu vérifier quean=bnϕc,bn=bnϕ2cpour les premières valeurs den.
Hypothèses
Soient(an,bn)les positions perdantes au-dessus de la diagonale:an<bn.
n 1 2 3 4 5 6 7 8
an 1 3 4 6 8 9 11 12
bn 2 5 7 10 13 15 18 20
bn
an 2 1.67 1.75 1.67 1.63 1.67 1.64 1.67
an
n 1 1.5 1.33 1.5 1.6 1.5 1.57 1.5
Les suites(an)et(bn)sont proches aux suites arithmétiques.
Est-ce quean ≈nϕetbn≈nϕ2?
On peu vérifier quean=bnϕc,bn=bnϕ2cpour les premières valeurs den.
Hypothèses
Soient(an,bn)les positions perdantes au-dessus de la diagonale:an<bn.
n 1 2 3 4 5 6 7 8
an 1 3 4 6 8 9 11 12
bn 2 5 7 10 13 15 18 20
bn
an 2 1.67 1.75 1.67 1.63 1.67 1.64 1.67
an
n 1 1.5 1.33 1.5 1.6 1.5 1.57 1.5
Les suites(an)et(bn)sont proches aux suites arithmétiques.
Est-ce quean ≈nϕetbn≈nϕ2?
On peu vérifier quean=bnϕc,bn=bnϕ2cpour les premières valeurs den.
Suites de Beatty
Definition
Soitα >0un nombre irrationnel. La suitebnαcs’appelle la suite de Beattyassociée àα.
Les positions gagnantes(an,bn)du jeu de Wythoff sont données par les suites de Beatty pourϕetϕ2:
an= (1,3,4,6,8,9,11,12, . . .) bn= (2,5,7,10,13,15,18,20, . . .) Théorème
Soientα etβnombres irrationnels tels que 1
α + 1
β =1.
Alors les suites de Beatty deαetβ partitionnent les nombres naturelles:
{an} ∪ {bn}=N, {an} ∩ {bn}=∅.
Suites de Beatty
Definition
Soitα >0un nombre irrationnel. La suitebnαcs’appelle la suite de Beattyassociée àα.
Les positions gagnantes(an,bn)du jeu de Wythoff sont données par les suites de Beatty pourϕetϕ2:
an = (1,3,4,6,8,9,11,12, . . .) bn= (2,5,7,10,13,15,18,20, . . .)
Théorème
Soientα etβnombres irrationnels tels que 1
α + 1
β =1.
Alors les suites de Beatty deαetβ partitionnent les nombres naturelles:
{an} ∪ {bn}=N, {an} ∩ {bn}=∅.
Suites de Beatty
Definition
Soitα >0un nombre irrationnel. La suitebnαcs’appelle la suite de Beattyassociée àα.
Les positions gagnantes(an,bn)du jeu de Wythoff sont données par les suites de Beatty pourϕetϕ2:
an = (1,3,4,6,8,9,11,12, . . .) bn= (2,5,7,10,13,15,18,20, . . .) Théorème
Soientα etβnombres irrationnels tels que 1
α + 1
β =1.
Alors les suites de Beatty deαetβpartitionnent les nombres naturelles:
{an} ∪ {bn}=N, {an} ∩ {bn}=∅.
Preuve du théorème
Théorème
Les positions gagnantes du jeu de Wythoff sont (an,bn) = (bnϕc,bnϕ2c) ainsi que(bn,an).
Lemme
Les suites cn=bnϕcet dn=bnϕ2cont les propriétés cn=min{N\(Cn−1∪Dn−1)}, dn=cn+n. Ici Cn−1={c1, . . . ,cn−1},Dn−1={d1, . . . ,dn−1}. Preuve.
Commeϕ2=ϕ+1, on a
dn =bn(ϕ+1c=bnϕ+nc=bnϕc+n=cn+n. Par le théorème de Beatty,cnetdnpartitionnentN. Comme ses suites sont monotones etdn>cn, le nombre min{N\(Cn−1∪Dn−1)}doit êtrecn.
Preuve du théorème
Théorème
Les positions gagnantes du jeu de Wythoff sont (an,bn) = (bnϕc,bnϕ2c) ainsi que(bn,an).
Lemme
Les suites cn=bnϕcet dn=bnϕ2cont les propriétés cn=min{N\(Cn−1∪Dn−1)}, dn=cn+n.
Ici Cn−1={c1, . . . ,cn−1},Dn−1={d1, . . . ,dn−1}.
Preuve.
Commeϕ2=ϕ+1, on a
dn =bn(ϕ+1c=bnϕ+nc=bnϕc+n=cn+n. Par le théorème de Beatty,cnetdnpartitionnentN. Comme ses suites sont monotones etdn>cn, le nombre min{N\(Cn−1∪Dn−1)}doit êtrecn.
Preuve du théorème
Théorème
Les positions gagnantes du jeu de Wythoff sont (an,bn) = (bnϕc,bnϕ2c) ainsi que(bn,an).
Lemme
Les suites cn=bnϕcet dn=bnϕ2cont les propriétés cn=min{N\(Cn−1∪Dn−1)}, dn=cn+n.
Ici Cn−1={c1, . . . ,cn−1},Dn−1={d1, . . . ,dn−1}.
Preuve.
Commeϕ2=ϕ+1, on a
dn =bn(ϕ+1c=bnϕ+nc=bnϕc+n=cn+n.
Par le théorème de Beatty,cnetdnpartitionnentN. Comme ses suites sont monotones etdn>cn, le nombre min{N\(Cn−1∪Dn−1)}doit êtrecn.
Preuve du théorème
Théorème
Les positions gagnantes du jeu de Wythoff sont (an,bn) = (bnϕc,bnϕ2c) ainsi que(bn,an).
Lemme
Les suites cn=bnϕcet dn=bnϕ2cont les propriétés cn=min{N\(Cn−1∪Dn−1)}, dn=cn+n.
Ici Cn−1={c1, . . . ,cn−1},Dn−1={d1, . . . ,dn−1}.
Preuve.
Commeϕ2=ϕ+1, on a
dn =bn(ϕ+1c=bnϕ+nc=bnϕc+n=cn+n.
Par le théorème de Beatty,cnetdnpartitionnentN. Comme ses suites sont monotones etdn>cn, le nombre min{N\(Cn−1∪Dn−1)}doit êtrecn.
Preuve: continuation
Lemme
Les position gagnantes(an,bn),an<bndu jeu de Wythoff ont aussi les propriétés
an=min{N\(An−1∪Bn−1)}, bn=an+n.
I On aan∈/An−1∪Bn−1: les verticales x =ai,x =bi,i <nsont prises.
I On aan=min{N\(An−1∪Bn−1)}: cette verticale est encore libre.
I On abn=an+n, car les cases au-dessous sont prises par les diagonales issues de(ai,bi),i <n.
Preuve: continuation
Lemme
Les position gagnantes(an,bn),an<bndu jeu de Wythoff ont aussi les propriétés
an=min{N\(An−1∪Bn−1)}, bn=an+n.
I On aan∈/An−1∪Bn−1: les verticales x =ai,x =bi,i <nsont prises.
I On aan=min{N\(An−1∪Bn−1)}:
cette verticale est encore libre.
I On abn=an+n, car les cases au-dessous sont prises par les diagonales issues de(ai,bi),i <n.
Preuve: conclusion
Les propriétés
xn=min{N\(Xn−1∪Yn−1)}, yn=xn+n définissent les suites(xn)et(yn)complètement.
Comme(an)et(bn)ainsi que (cn)et(dn)ont ses propriétés, on aan=cn,bn =dn.
Regardez qui vient
Le mot de Fibonacci
Prenons les différencesan+1−an:
1,3,4,6,8,9,11,12, . . . 2,1,2,2,1,2,1, . . .
Soustrayons 1:
1,0,1,1,0,1,0, . . . C’est le mot de Fibonacci.
On a pris
b(n+1)ϕc−bnϕc−1=b(n+1)(ϕ−1)c−bn(ϕ−1)c=
n+1 ϕ
− n
ϕ
Théorème
Le mot de Fibonacci S=s1s2. . .est donné par sn=
n+1 ϕ
− n
ϕ
.
(En générale,b(n+1)αc − bnαcdonnent un mot sturmien.)
Le mot de Fibonacci
Prenons les différencesan+1−an:
1,3,4,6,8,9,11,12, . . . 2,1,2,2,1,2,1, . . . Soustrayons 1:
1,0,1,1,0,1,0, . . .
C’est le mot de Fibonacci. On a pris
b(n+1)ϕc−bnϕc−1=b(n+1)(ϕ−1)c−bn(ϕ−1)c=
n+1 ϕ
− n
ϕ
Théorème
Le mot de Fibonacci S=s1s2. . .est donné par sn=
n+1 ϕ
− n
ϕ
.
(En générale,b(n+1)αc − bnαcdonnent un mot sturmien.)
Le mot de Fibonacci
Prenons les différencesan+1−an:
1,3,4,6,8,9,11,12, . . . 2,1,2,2,1,2,1, . . . Soustrayons 1:
1,0,1,1,0,1,0, . . . C’est le mot de Fibonacci.
On a pris
b(n+1)ϕc−bnϕc−1=b(n+1)(ϕ−1)c−bn(ϕ−1)c=
n+1 ϕ
− n
ϕ
Théorème
Le mot de Fibonacci S=s1s2. . .est donné par sn=
n+1 ϕ
− n
ϕ
.
(En générale,b(n+1)αc − bnαcdonnent un mot sturmien.)
Le mot de Fibonacci
Prenons les différencesan+1−an:
1,3,4,6,8,9,11,12, . . . 2,1,2,2,1,2,1, . . . Soustrayons 1:
1,0,1,1,0,1,0, . . . C’est le mot de Fibonacci.
On a pris
b(n+1)ϕc−bnϕc−1=b(n+1)(ϕ−1)c−bn(ϕ−1)c=
n+1 ϕ
− n
ϕ
Théorème
Le mot de Fibonacci S=s1s2. . .est donné par sn=
n+1 ϕ
− n
ϕ
.
(En générale,b(n+1)αc − bnαcdonnent un mot sturmien.)
Encore une fois
Les suites
an=bnϕc, bn=bnϕ2c partitionnent les nombres naturels:
an = (1,3,4,6,8,9,11,12, . . .) bn= (2,5,7,10,13,15,18,20, . . .)
Mettons 1 pour un nombre naturel qui appartient à(an)et 0 pour un nombre qui appartient à(bn):
1011010110110. . . C’est le mot de Fibonacci.
Théorème
Soient A={bnϕc |n∈N}, B={bnϕ2c |n∈N}. Le mot de Fibonacci satisfait
sk =
(1, si k ∈A 0, si k ∈B
Encore une fois
Les suites
an=bnϕc, bn=bnϕ2c partitionnent les nombres naturels:
an = (1,3,4,6,8,9,11,12, . . .) bn= (2,5,7,10,13,15,18,20, . . .)
Mettons 1 pour un nombre naturel qui appartient à(an)et 0 pour un nombre qui appartient à(bn):
1011010110110. . .
C’est le mot de Fibonacci. Théorème
Soient A={bnϕc |n∈N}, B={bnϕ2c |n∈N}. Le mot de Fibonacci satisfait
sk =
(1, si k ∈A 0, si k ∈B
Encore une fois
Les suites
an=bnϕc, bn=bnϕ2c partitionnent les nombres naturels:
an = (1,3,4,6,8,9,11,12, . . .) bn= (2,5,7,10,13,15,18,20, . . .)
Mettons 1 pour un nombre naturel qui appartient à(an)et 0 pour un nombre qui appartient à(bn):
1011010110110. . . C’est le mot de Fibonacci.
Théorème
Soient A={bnϕc |n∈N}, B={bnϕ2c |n∈N}. Le mot de Fibonacci satisfait
sk =
(1, si k ∈A 0, si k ∈B
Preuve
I Les points extrèmes des
“marches” ont les coordonnées (n,bnϕc).
I Jusqu’a le point(n,bnϕc)il y a n+bnϕc −1 intervalles unités, alorsn+bnϕc −1 lettres du mot de Fibonacci.
I Donc, lan+bnϕc-ième lettre dans le mot de Fibonacci est 0.
I n+bnϕc=bnϕ2c, alors les zeros sont exactement sur les places d’ensembleB.
Théorème de Beatty: idée de preuve
1
α + 1
β =1⇔(α−1)(β−1) =1
On considère la droitey = (α−1)x et le mot binaire défini par elle.
Comme sur la page précédente, les zeros forment une suite de Beatty.
On “tourne” les axes:x = (β−1)y pour montrer que les uns forment la suite de Beatty complémentaire.
