L2 MATH/MASS/INFO 2009-2010 Université du Sud Toulon-Var Vendredi 5 mars 2010

L2 MATH/MASS/INFO 2009-2010 Université du Sud Toulon-Var Vendredi 5 mars 2010

TP1 - M43 Analyse numérique

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Ce sujet, de 3 pages, comporte 3 exercices et 1 DM.

On s’intéresse dans ce TP aux diverses méthodes vues en cours et/ou en TD pour le calcul du zéro d’une fonction réelle de variable réelle.

1 Exercice

1. Programmer la méthode de la dichotomie.

2. Chercher le zéro de la fonction f : x 7→ x

− x − 2 sur l’intervalle [0; 3.5] avec une tollérance de 10

sur l’erreur absolue.

2 Exercice

1. Programmer la méthode de Newton (on utilisera une dérivée approchée).

2. Chercher le zéro de la fonction f : x 7→ x

− x − 2 sur l’intervalle [0; 3.5] avec une tollérance de 10

sur l’erreur absolue.

Déterminer expérimentalement les sous-intervalles pour lesquels la méthode de Newton converge vers ` = 2.

3 Exercice

1. Programmer la méthode de point fixe.

2. Analyser (sur le papier !) la convergence de la méthode de point fixe x

= φ (x

) pour le calcul des zéros de la fonction f : x 7→ x

− x − 2 quand on utilise les fonctions d’itération suivantes

φ

: x 7→ x

− 2, φ

: x 7→ p

2 + x, φ

: x 7→ − p

2 + x, φ

: x 7→ 1 + 2

x , x 6= 0.

On vérifiera notamment que la méthode ne converge pas avec φ

, elle converge seulement vers 2 avec φ

et φ

et elle converge seulement vers − 1 avec φ

.

3. Vérifier ces résultats expérimentalement.

4 DM

Envoyer à l’adresse gloria.faccanoni@univ-tln.fr un seul fichier NOM-PRENOM.c permettant de rechercher les

zéros de la fonction f : x 7→ x

− x − 2 sur l’intervalle [0; 3.5] avec une tollérance de 10

sur l’erreur absolue avec la méthode

de Lagrange. Déterminer expérimentalement les sous-intervals pour lesquels la méthode converge vers ` = 2.

Vendredi 5 mars 2010 Université du Sud Toulon-Var L2 MATH/MASS/INFO 2009-2010

Fichier 1: math.c

# i n c l u d e < s t d i o . h >

# i n c l u d e < s t d l i b . h >

# i n c l u d e < m a t h . h >

/*

*

* gcc - o m a t h - lm m a t h . c && ./ m a t h

*

*/

int m a i n ( int argc , c h a r ** ar g v ) { d o u b l e t o ll = 1.0 e - 1 0 ;

d o u b l e f ( d o u b l e x ) {

r e t u r n x * x - x - 2 . 0 ; }

// D i c h o t o m i e d o u b l e a = 0 . 0 ; d o u b l e b = 3 . 5 ; if ( a > b ) {

d o u b l e t e mp ; t e m p = a ; a = b ; b = t e m p ; }

w h i l e (( b - a ) > t o l l ) {

if ( f (( a + b ) / 2 . 0 ) * f ( a ) > 0) a = ( a + b ) / 2 . 0 ;

e l s e

b = ( a + b ) / 2 . 0 ; }

p r i n t f ( " \ n Z e r o ␣ a v e c ␣ d i c h o t o m i e ␣ :\ t ␣ % lf \ n ", ( a + b ) / 2 . 0 ) ;

// N e w t o n

d o u b l e x , o l d _ x ;

d o u b l e d e r i v e e (d o u b l e (* f )( d o u b l e ) , d o u b l e x , d o u b l e t o l l ) { r e t u r n (( f ( x + t o l l / 2 . 0 ) - f ( x - t o l l / 2 . 0 ) ) / t o l l );

}

x = 1 . 0 ;

do {

o l d _ x = x ;

x -= f ( x ) / d e r i v e e ( f , x , t o l l );

} w h i l e ( f a b s ( x - o l d _ x ) > t o ll );

p r i n t f ( " Z e r o ␣ a v e c ␣ N e w t o n ␣ :\ t ␣ % lf \ n " , x );

// Pt Fi x e x = 1 . 0 ;

d o u b l e phi ( d o u b l e x ) { r e t u r n s q rt ( 2 . 0 + x );

// r e t u r n - s q r t ( 2 . 0 + x );

};

do {

o l d _ x = x ; x = phi ( x );

} w h i l e ( f a b s ( x - o l d _ x ) > t o ll );

p r i n t f ( " Z e r o ␣ a v e c ␣ p o i n t ␣ f i x e ␣ :\ t ␣ % lf \ n ", x );

// L a g r a n g e ou s e c a n t e

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d o u b l e c ;

w h i l e (( b - a ) > t o l l ) {

c = a -( b - a )/( f ( b ) - f ( a ))* f ( a );

if ( f ( c ) * f ( a ) > 0) a = c ;

e l s e b = c ; }

p r i n t f ( " Z er o ␣ a v e c ␣ L a g r a n g e ␣ :\ t ␣ % lf \ n ", a -( b - a )/( f ( b ) - f ( a ))* f ( a ));

// C o r d e

d o u b l e p e n t e =( b - a )/( f ( b ) - f ( a ));

do {

o l d _ x = x ; x -= p e n t e * f ( x );

} w h i l e ( f a b s ( x - o l d _ x ) > t o ll );

p r i n t f ( " Z er o ␣ a v e c ␣ c o r d e ␣ :\ t ␣ % lf \ n \ n ", x );

r e t u r n ( E X I T _ S U C C E S S );

}