Demi-vecteurs et tenseurs

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Demi-vecteurs et tenseurs

Bernard Kwal

To cite this version:

DEMI-VECTEURS ET TENSEURS Par BERNARD KWAL

Institut

Henri-Poincaré,

Paris.

Sommaire. 2014 Les différentes _grandeurs demi-vectorielles _peuvent être classées en semi vecteurs d’Einstein et _Meyer, spineurs de L. van der Waerden et bineurs Ces derniers, introduits par l’auteur

sont des grandeurs réelles à deux fois _{quatre composantes.} Les relations qui existent entre les

semi-vec-teurs, les bineurs et les spineurs sont données, ainsi que leurs lois de transformation. On établit

égale-ment la connexion entre le _champ demi-vectoriel et le _champ de tenseurs d’univers qui en découle, et l’on montre en accord avec G. Mie, que ce dernier _{champ comprend} 4 vecteurs, 3 tenseurs _{antisymétriques}

gauches et 2 scalaires.

Depuis

l’avènement de la théorie

_quantique

de l’élec-tron de

_Dirac,

la

_{physique théorique}

s’est enrichie de nouvelles

_{grandeurs géométriques,}

les

_grandeurs

demi-vectorielles,

qui

forment,

pour ainsi

dire,

l’infrastruc-ture du monde

_{phénoménal.}

Inobservables en tant _que

grandeurs physiques,

ce sont seulement les

combinai-sons bilinéaires de leurs

_composantes

_{qui ont}

la variance des

_composantes

de tenseurs d’univers

ordinaires,

auxquels

s’attachent des

_grandeurs

_physiques

obser-vables.

Etant donnée

_{l’importance}

de ces

_{objets géométriques}

nouveaux _pour l’évolution de la

_physique,

nous avons

cru utile de résumer ici succinctement

_{quelques-unes}

de nos recherches dans ce domaine et

_qui

seront

peut-être de nature à faciliter la

_{compréhension}

des travaux

fondamentaux de B. L. van

_{der Waerden,}

d’Einstein et

Meyer,

de G. Mie et d autres.

Semi-vecteurs d’Einstein et

_Meyer

_(~).

- Dans

ce

_qui

_suit,

nous nous

_placerons

exclusivement dans

lpespace-temps

de relativité

_restreinte,

dans

_lequel

nous

choisirons comme référentiel un tétraèdre cartésien. Nous pouvons arriver par une voie très

_simple

à la notion d’un

demi-vecteur,

en dédoublant le _groupe de Lorentz suivant le

_procédé

d’Einstein et

_Meyer.

Soit

_(A)

_{le groupe de}

_Lorentz,

_{défini par la} substitu-tion :

Considérons _{alors deux sous groupes}

_(B)

et

_(C)

iso-morphes

au _{groupe de Lorentz} et _{définis par la relation}

suivante :

Le groupe de Lorentz

(A)

est ainsi dédoublé en deux sous-groupes

(B)

et

_{(C) :}

, , , ’B. "-.--",-,, r-." 1 - .

Si la transformation de Lorentz est

réelle,

les deux sous-transformations sont

_complexes

_conjuguées.

Le semi-vecteur contra-variant de

_première

_espèce

est défini de la manière suivante :

et,

de

_même,

le semi-vecteur contrariant de seconde

espèce :

En

_supposant

_{que la transformation}

_(A)

est

_réelle,

on a :

Il _{s’ensuit que le}

_{conjugué complexe}

d’un

semi-vec-teur contra-variant de

_{première espèce}

est un

semi-vecteur contre-variant de seconde

_espèce,

et inverse-ment.

Demi-vecteur réel ou bineur. - La substitution

orthogonale

unimodulaire

_{qu’induitlegroupe}

deLorentz dans le

_champ

de vecteurs d’univers

_peut

être

écrite,

comme l’a montré F. Klein

_(-),

à l’aide de

_{l’algorithme}

des

_quaternions.

Soient _{e1, e2, e3} et _eo les unités de base du

_système

des

_quaternions

Tout

_{quaternion A,}

des

_composantes

.4i,

A 3

et

A o,

s’écrit :

et l’on définit en outre le

_quaternion

adjoint 4 :

Du

_point

de vue

_{géométrique,}

le

quaternion peut

être

considéré comme

_{représentant}

un

_point

dans un _espace

à

_quatre

dimensions.

Considérons une relation entre trois

_quaternions

Q’,

Q et S :

-Dans

_l’espace

à

_quatre

dimensions cette transforma-tion linéaire

_représente

une certaine

_rotation,

_qui

n’est pas la

plus générale,

puisqu’elle

ne contient que

quatre paramètres,

tandis que la rotation la

plus

géné-rale en

_exige

_sept.

Introduisons donc un second

_quaternion

de

transfor-tion S’. La transformation linéaire

représente

également

une certaine rotation dans

E4.

224

Pour obtenir la rotation la

_{plus générale,}

on

_prendra

’le

_produit

d’une substitution de

_l’espèce

₍₇₎

_par une

substitution de

_{l’espèce (7’).}

On arrive ainsi à la célèbre formule de

_Cayley,

_qui

s’écrit :

QI

-

/S QS/.

(8)

’Pour obtenir la transformation

_orthogonale

unimo-dulaire,

c’est-à-dire de déterminant

égal

à

_1,

on écrira

la relation

₍₈₎

de la manière suivante :

La formule

_(8’)

_peut

encore revêtir une forme

remar-quable,

due à F. Klein.

On va rendre rationnel le dénominateur de

_(8’),

en

,,posant

s~+s~+s~+~s’ô=~~+s2+.s‘3+~~.Clo>

Pour satisfaire cette condition nous allons introduire ,deux nouveaux

_quaternions

C et D :

‘La condition

₍₁₀₎

devient :

’Si l’on voulait

_garder

invariante non

_plus

l’expres--sion

_{V12+ v~~~ ~- Y~’ ~-- Vo2, mais l’expression}

V22

+

Vz2-

Vo2,

dans ce cas il eut fallu modifier la

trans-formation

₍₁₃₎

et

_(13’)

de la manière suivante :

;Le

quaternion

V

_représente

un vecteur d’univers.

Nous allons supposer

qu’il

est le résultat du

produit

de deux

_{quaternions complexes}

ayant

la variance demi-vectorielle

_{(3), (4) :}

Le facteur i devant le

_produit

BB dans est nécessaire pour

que

possède

des

_composantes

spa-tiales réelles.

En

_portant

₍₁₆₎

dans

_(14),

on a :

D’où,

on

_peut

tirer :

Les

_{grandeurs complexes}

à

_quatre

_composantes

X -- i Y

et

_{X-i Y,}

ne sont autres _{choses que les}

semi-vecteurs d’Einstein et

_Meyer.

Nous

_désignerons

sous le nom de bineur

_l’objet

géométrique

formé par l’ensemble de huit

composantes

Xi, Xz, X3,

X~, Yi ,

Y2, Y3, Y4.

Il nous faut donc

deman-der

_quelles

sont le.s transformations que subissent ces

grandeurs

sous l’action du groupe de Lorentz ?

Des

_{équations (1}

on déduit les relations

quaternio-niennes :

ou,

explicitement :

-~ 1

Le bineur

_possède

donc deux fois

_quatre

antisymé-225

trique

gauche

en

_possède

deux fois trois. Le

semi-+

-vecteur

_correspond

à la combinaison A

₊

i A

-

(E - champ électrique, H -

champ

magnétique).

L’analogie

se

_poursuit

encore

_plus

_loin,

_lorsqu’on

envisage

les

équations

différentielles les

_plus

_simples

auxquelles

obéissent les

_composantes

du bineur.

Spineurs

(~).

- Les

spineurs

sont des

grandeurs

géométriques

à deux

_composantes,

définies par la substitution linéaire unimodulaire dans un _espace

vectoriel

_complexe

à deux dimensions :

bi

étant

le

_{conjugué complexe}

de

_b1.

Les

_spineurs

_peuvent

être considérés comme certaines combinaisons

complexes

des

_composantes

du bineur

(ou

comme combinaisons linéaires des

_composantes

du

_{semi-vecteur),}

combinaisons

_qui,

sous l’action du groupe de

Lorentz,

se transforment comme des êtres

géométriques

à deux

_composantes

et à deux seule-ment.

Par

_{multiplication}

on

_parvient

t au

_système

suivant

de 16 matrices réelles : .

A l’aide d’une matrice à 4

_lignes

et à 4

_colonne

extraite du tableau

_précédent,

on

_peut

former une

ma-trice à 8

_lignes

et à 8

colonnes,

en

_répétant

deux fois la matrice

_envisagée

le

_long

d’une

_{diagonale (principale}

ou

_opposée

à la

_principale).

. Ce

sont,

par

exemple,

les combinaisons suivante :

i

_qui

satisfont aux relations

_(~3),

si l’on _{pose :}

Champ

demi-vectoriel et

_champ

de tenseurs

d’univers. - Nous allons maintenant établir les

j relations

qui

existent entre le

champ

de tenseurs dans

l’espace-temps

et le

_champ

demi-vectoriel

_sous-jacent.

Cette

_{correspondance}

ne

_peut

être _{établie que si l’on}

part

des

_grandeurs

demi-vectorielles

_{qui possèdent}

quatre

composantes. Aussi, lorsqu’il s’agit des spineurs,

est-il nécessaire

_{d’envisager}

un

_champ

de deux

_spineurs,

’

comme base du

_champ

tensoriel dans

_{l’espace-temps.}

Pour construire les formes bilinéaires

cherchées,

il

nous faut définir des

_systèmes

de matrices. Nous en

définirons

_plusieurs,

les uns

_composés

de matrices

, à 4

_lignes

et à 4

_colonnes,

les autres à 8

_lignes

et à 8

>

colonnes.

Les matrices les

_{plus simples}

à 4

_lignes

et à 4

colonnes s’obtiennent de la

_{représentation}

matricielle du groupe de

quaternions, qui

est

_identique

d’ailleurs

au _{groupe de Lorentz}

_(4),

_{(7), (8).}

Cette

_{représentation}

s’obtient à l’aide des 6 matrices suivantes :

Cela

étant,

nous _{pouvons écrire 36 formes}

biliné-nairex,

en considérant que les 8

_composantes

du bineur

forment une matrice à une colonne. En tenant

_compte

de la variance

_relativiste,

_parmi

ces 36

_formes,

on doit

distinguer

des groupes

correspondant

aux 4 vecteurs

d’univers,

3 tenseurs

_{antisymétriques gauches}

et 2 scalaires

_{(6), (’) :}

226

Avec les notations habituelles de la théorie de

Dirac,

nous _{pouvons écrire les}

expressions

précédentes,

en

introduisant des matrices hermitiennes à 8

lignes

et à 8 colonnes formées à

_partir

des matrices de Dirac ;(1 ,

(12, a3 et et, en

consiùérulllles

composantes

due la

fonction d’onde deDirac

_{’fI’ ’f2’ +~, ’~. ’~!*~ ~i"~~~}

_{~~ 3~~ ~~4.~,}

comme formant une matrice à une seule colonne :

Etant donné

_qu’à

la fonction

_{d’onde ~}

de Dirac est

associé ainsi le

_champ

multitensoriel,

il est nécessaire d’en tenir

_compte

et de

_dégager

les

_{conséquences}

phy-siques

qui

en

_{découlent(6).}

Ce que nous nous _proposons

de faire ultérieurement.

-,Nous tenons à

_-exprimer

à M. Louis de

_Broglie

toute

notre

_{reconnaissance}

_pour l’intérêt

_qu’il

a

_pris

à ce

travail.

, Manuscrit reçu le 18 mars 1936.

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