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Submitted on 1 Jan 1989
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Les cristaux considérés comme des graphes ou des 2-complexes ; le cas des cristaux apériodiques
Maurice Kléman
To cite this version:
Maurice Kléman. Les cristaux considérés comme des graphes ou des 2-complexes ; le cas des cristaux apériodiques. Journal de Physique, 1989, 50 (18), pp.2475-2488.
�10.1051/jphys:0198900500180247500�. �jpa-00211075�
Les cristaux considérés comme des graphes ou des 2-complexes ; le cas des cristaux apériodiques
Maurice Kléman
Laboratoire de Physique des Solides (associé au C.N.R.S.), Bât. 510, Université de Paris-Sud, 91405 Orsay Cedex, France
(Reçu le 21 avril 1989, révisé le 12 juin 1989, accepté le 26 juin 1989)
Résumé. 2014 Il est habituel lorsqu’on invoque une symétrie cristalline, de la penser en termes de congruence entre les voisinages de deux points équivalents du cristal. Ceci implique nécessaire- ment une notion métrique, dont le sens physique est d’ailleurs évident. Mais on peut avoir avantage dans certains cas à s’abstraire des propriétés métriques, et à penser les symétries d’un
cristal en termes de chemins qui suivent les arêtes des mailles élémentaires (ou de son réseau réciproque). Ce sont alors les propriétés de graphe (ou plus généralement de 2-complexes) du
cristal qui sont mises en évidence. Nous illustrons ici l’intérêt d’une telle approche sur deux exemples : 1) les propriétés de graphe d’un cristal permettent de forger une image des variations de courbure qui peuvent exister entre deux milieux ayant le même ordre local, un peu différente de celle qui ressortit à la description en termes de disinclinaisons ; la théorie topologique des revêtements, appliquée aux graphes cristallins, permet en effet d’établir une relation d’homomor-
phisme entre chemins correspondants ; la fibre du revêtement peut être interprétée comme le
défaut nécessaire à la variation de courbure ; 2) elles permettent de donner une image simple de
la topologie de la « surface atomique » d’un cristal apériodique (quasi-cristal) : nous montrons en
effet que cette topologie est équivalente à la topologie des chemins sur un cristal tridimensionnel de courbure gaussienne négative et de symétrie icosaédrique qui est le revêtement universel des triacontaèdres de l’« espace perpendiculaire » du quasi-cristal.
Abstract. 2014 It is usual to think of a crystalline symmetry in terms of a rigid displacement between
the neighborhoods of two equivalent points of a crystal. This approach to symmetry implies an underlying concept of conservation of lengths, whose physical meaning is obvious. But it might be advantageous in some cases to disengage oneself from metrical properties and to think of the
symmetries of a crystal in terms of paths which follow the edges of the network or of the reciprocal
lattice. If such is the case, it is the graph properties of the crystal which show up, or more
generally its 2-complex properties. We illustrate their interest on two examples : 1) they are
useful in order to relate the variation of the curvatures of two crystals having the same local order to their content in defects. In fact, the concept of curvature loses a part of its interest in this
approach, but no that one of defect. The mathematical theory which lies behind is the algebraic- topological theory of coverings, which establishes a homomorphism between corresponding paths ; the fiber of the covering can be interpreted as the defect which we have to introduce in order to change the curvature. This method does not require that the medium be crystalline in the
usual sense ; it suffices that it has a graph description ; 2) the same theory of coverings brings a simple image of the topology of the « atomic surface » of a quasi-crystal, as equivalent to the topology of the paths on a 3-dimensional icosahedral crystal with negative Gaussian curvature, which is the universal covering of the triacontahedra which live in the space « perpendicular » to
the quasi-crystal.
Classification
Physics Abstracts
02.10-61.50E-61.70
Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphys:0198900500180247500
Introduction.
’ La théorie des graphes a trouvé, on le sait, d’importantes applications en physique, sous son aspect combinatoire : ses apports essentiels peuvent être consultés dans l’ouvrage édité par
Harary [1] ; ils concernent surtout des calculs de grandeurs physiques telles la fonction de
partition des polymères avec volume exclus, ou la théorie de la percolation. Un travail récent de Rivier [2] utilise la théorie des graphes pour les amorphes covalents. Mais la théorie des
graphes n’a pas encore été mise à contribution sous un de ses autres aspects mathématiques, à
savoir son aspect topologique. Nous montrons ci-dessous comment les propriétés topologiques
des graphes, (ou de leur généralisation les 2-complexes) ajoutent des considérations inédites à certains chapitres difficiles de la cristallographie comme la théorie des défauts, ou jettent une
nouvelle lumière sur la structure des cristaux apériodiques (quasi-cristaux).
Dans une première partie, nous présentons les notions essentielles de la théorie des revêtements d’un graphe sur quelques exemples simples et sommes amenés très naturellement à interpréter les résultats en termes de changement de courbure d’un cristal. Le revêtement
X d’un espace topologique X est, en termes simples, un déploiement de l’espace X tel que certains chemins fermés (encore appelés « lacets » selon la terminologie des mathématiciens)
y deviennent ouverts. Le revêtement est dit universel lorsque tous les chemins fermés non-
triviaux de X (c’est-à-dire non-homotopes à zéro) s’appliquent sur des chemins ouverts dans
X ; le cas le plus aisé à visualiser (dans ce cas l’espace topologique X n’est pas un graphe, mais l’exemple n’en est pas moins instructif) est lorsque X est un cercle S1: son revêtement universel est une hélice (topologiquement, une courbe infinie S1) dont chaque tour est en
relation 1-1 avec le cercle entier par l’opération inverse du revêtement, la projection (Fig. 1).
Les exemples étudiés, qui concernent des graphes aisément plongeables dans des espaces
bidimensionnels, donneront à cette notion un contenu moins intuitif.
Fig. 1. - Revêtement universel SI d’un cercle S’.
[Universal covering SI of a circle S’.]
Lorsque le graphe 6 et son revêtement g sont tels que leurs arêtes et leurs sommets peuvent s’inscrire périodiquement sur un cristal périodique, le concept de défaut qui se dégage de la comparaison des deux graphes possède d’intéressantes similarités avec le concept de défaut
habituel, dont on sait qu’il est défini par le processus de Volterra [3] ; notre méthode revient
en effet à retrancher de la matière à çj afin d’obtenir 9. Mais le défaut que nous aurons à
envisager est en fait une dislocation ponctuelle, et non pas linéaire. La notion de courbure
locale, qui accompagne aussi habituellement la notion de défaut lorsqu’il s’agit de
disinclinaisons [4], perd cependant de son importance. La courbure est en effet liée à des
propriétés métriques, or ce ne sont pas celles qui nous intéressent au premier chef lorsque
nous considérons un cristal comme un graphe, mais bien plutôt le fait que les chemins que l’on peut y tracer le long des arêtes entre sommets équivalents du graphe inscrit sur le cristal
périodique peuvent être classés selon les éléments d’un groupe H. Mais ce groupe
d’équivalences entre chemins se trouve être le même groupe H, défini de façon métrique dans
un cristal ordinaire, et qui porte alors le nom de groupe des translations cristallines. On voit immédiatement ce que l’on gagne en généralité avec le point de vue développé ici.
C’est ainsi qu’étendant ces propriétés des revêtements à un graphe quelconque, nous
pouvons généraliser la notion de défaut au cas où le graphe n’a pas de groupe de symétrie H,
au sens habituel de la cristallographie, mais simplement un groupe d’homéomorphismes.
Il peut être nécessaire, en particulier pour figurer les cristaux tridimensionnels, d’introduire
une variété topologique un peu plus générale que celle de graphe, à savoir des 2-complexes ;
un 2-complexe comporte un graphe de base (le 1-squelette) et des disques 2-dimensionnels bordés par certaines de ses boucles. Les résultats de la théorie des revêtements de graphes
s’étendent mutatis mutandis aux 2-complexes, sans difficultés particulières.
Dans l’ensemble constitué par le graphe 9 et son revêtement çj, il y a en fait trois entités
topologiques intéressantes, et non pas deux. Ce sont S, 9, et la fibre 37 qui fait passer de tel à 9, c’est-à-dire l’objet qui, attaché d’une certaine manière à tout point de tll, permet de
construire 9 (pour la théorie des fibrés, consulter la Ref. [5]). Dans l’exemple de la figure 1, qui encore une fois n’est pas un graphe, la fibre Y au point P de la base SI consiste en
l’ensemble des points... Pl, P2, P3... Le fibré SI est le produit (en général non-trivial) de la
base par la fibre. En termes de théorie des défauts, nous aurions tendance à nous figurer la
fibre Y comme une unité élémentaire de matière qu’il est nécessaire d’ajouter en
19 au point P pour construire en ce point le défaut qui contribue à transformer 19 en 9. C’est la dislocation ponctuelle à laquelle nous faisions allusion plus haut.
Dans la dernière partie, nous esquisserons une application de ces méthodes au cas des
cristaux construits à partir d’un hyperspace, comme les cristaux apériodiques et leurs approximants rationnels. Nous montrons qu’ils s’inscrivent sur un cristal Hl de courbure
gaussienne négative à di = 3 dimensions (ceci dans le cas où le cristal apériodique considéré
est de symétrie icosaédrique) comme l’orbite d’un des points de cet espace sous l’action d’éléments déterminés par l’intersection de l’espace physique Pp avec la surface atomique au
sens des références [12, 13]. Les propriétés topologiques de cette orbite ne seront pas
discutées, mais on montrera que la description du cristal courbé Hl en termes de chemins est équivalente à la description de la topologie de la surface atomique.
Graphes et cristaux bidimensionnels.
1. Pour donner un sens plus clair aux développements théoriques que nous allons faire, nous
aurons tout d’abord à l’esprit trois graphes bien particuliers, qui sont en relations de projection/revêtement mutuels. Ce sont :
çju: c’est le diagramme de Cayley du groupe libre à deux générateurs F2, de présentation
Il n’y a pas de relations entre les générateurs. Donc tout mot du type
est un élément de F2 ; il peut être représenté comme un chemin sur le diagramme de Cayley
du groupe, qui est isomorphe au cristal hyperbolique {oo, 4} en notation de Schlâfli (Fig. 2).
Rappelons que la notation {p, q } indique une tessellation formée de polygones réguliers tous égaux, ayant p côtés, q de ces polygones se rencontrant à chaque sommet. Tout chemin de { oo, 4 } est un mot différent de F2. Nous penserons à ce graphe comme le cristal
{ 00, 4 }. F2 est son groupe de translations (hyperboliques).
’gA : est le diagramme de Cayley du groupe abélien à deux générateurs A2, de présentation
c’est encore un cristal euclidien {4, 4} (Fig. 3). Les éléments de A2 sont les translations de
symétrie de ce cristal. On remarquera que tout chemin de {4, 4}, d’origine Q, se relève de
manière unique dans {oo, 4}, à partir d’une origine R qui peut être choisie n’importe où. La réciproque est vraie. Comme en outre les chemins fermés de 9A se relèvent en des chemins ouverts de gu, ce dernier graphe est le revêtement universel de ’gA.
Fig. 2. Fig. 3.
Fig. 2. - Représentation du groupe F2 par son diagramme de Cayley gu sur le plan hyperbolique, appliqué sur l’intérieur d’un cercle. Tous les angles entre segments incidents à un même vertex sont
égaux à n/2 ou multiples de 7r/2. lg,, est encore le revêtement universel du graphe Sa (Fig. 4) et du graphe gA (Fig. 3). gu s’applique homéomorphiquement sur le cristal hyperbolique { oo, 4 } .
[Representation of the free group with two generators F2 by its Cayley diagram Su on the hyperbolic plane mapped on the interior of a circle. All the angles between incident segments at the same vertex are equal to or multiple of ?r/2. gu as a graph is also the universal covering of the graph 9B (Fig. 4) and of the graph igA (Fig. 3). gu is homeomorphic to the hyperbolic crystal {X), 4 } (Schlàfli notations).] ]
Fig. 3. - Graphe 9A, revêtement de Sg. 9A s’applique homéomorphiquement sur le cristal plan {4,4}.
[The graph à is a covering of Sg. It is homeomorphic to the Euclidean crystal {4, 4 } .]
9g (Fig. 4) est un bouquet de deux cercles, chacun correspondant à une arête du graphe, du type a ou b, ayant un seul sommet P. Il est clair que gA comme gu sont des revêtements
(successifs) de Sg, et que gu est son revêtement universel. à reçoit le nom de revêtement abélien universel de ’gB, pour des raisons évidentes. Il ne fait pas de doute que certains
graphes du type cristallin {p, 4} sont aussi des revêtements de 19B. On notera que les revêtements successifs correspondent bien à des variations de courbure (monotone avec P) -
Fig. 4. - Graphe 9g (bouquet de deux cercles).
[Graph 9 g as a bouquet of two circles.]
Le groupe fondamental de Qg (encore appelé premier groupe d’homotopie), noté 7T 1 (gB’ P) définit l’ensemble des chemins fermés orientés sur Sg ; ces lacets sont manifeste-
ment des mots de F2 (Eq. (1)), de manière biunivoque. On a donc l’isomorphisme : .
Cette remarque nous amène tout naturellement à nous intéresser aux groupes fondamen- taux 7r 1 (e) des graphes revêtements de 19B ; ce sont les ensembles des chemins fermés orientés de ces graphes ayant le même point de base [5]. Comme tous les chemins fermés de
’gA (par exemple) issus d’un même point de çjA forment un groupe, et que chacun de ces chemins a une projection (unique) dans 9g, on en déduit que le groupe fondamental de
çjA est un sous-groupe de 7r,(,gB, P) = F2. C’est d’ailleurs un groupe libre, tout sous-groupe d’un groupe libre étant un groupe libre [6]. Nous noterons cet homomorphisme induit par la
projection pA de çjA sur 19B de la manière suivante :
Une telle propriété d’homomorphisme est manifestement vraie pour tout graphe S et un quelconque de ses relèvements S. C’est la propriété centrale de la théorie exposée ici, qui s’inspire de l’ouvrage de Massey [6]. Mais revenons d’abord aux exemples simples que nous étudions.
Notons GA = ’7Tl(gA’ Q ), et considérons la décomposition de F2 en complexes associés à GA
où GA. ai représente un lacet 9A de GA qui ramène Q sur lui-même, suivi du chemin ai qui emmène Q en Oui -
Les chemins 1, al, a2, ... n’appartiennent pas à GA et sont ouverts dans’ga. Ils forment un
ensemble de représentants, un par complexe associé, du quotient à droite de 7T1 (gB’ P)
modulo ’gA . Or ’gA étant le groupe des chemins fermés de {4, 4 } , il contient les mots g (voir Eq. (2)) dont les composants obéissent aux relations
GA est donc le sous-groupe des commutateurs de F2, noté K2. Comme c’est un sous-groupe
invariant, le quotient à gauche F2/K2 est égal au quotient à droite, et est lui-même un groupe, qui est A2 (théorème de Dyck, 1882)
puisque K2 est formé dans F2 par tous les mots du type
Les chemins ouverts du type ai issus d’un même point origine Q engendrent donc le groupe
A2, et permettent de le représenter par les vertex terminaux Qi des chemins ai. En fait, puisque A2 est le groupe des translations de {4, 4 } , tout point Qi de {4, 4 } sera atteint de
cette manière. On a donc ici un isomorphisme entre le groupe de translations et un groupe de
chemins ; mais le choix des ai étant fait par l’équation 6 (un seul ai par complexe associé), il importe de remarquer que le chemin QQi est unique. Un autre choix des ai conduirait à d’autres chemins.
Il est intéressant de remarquer en outre, quoique cette remarque n’aura pas d’incidence par la suite, que l’ensemble des chemins ai (un par complexe associé) issus du même sommet Q peuvent être arrangés de manière à former un arbre 13 sur {4, 4} . Dans le cas présent, comme
les ai atteignent tous les sommets Qi de {4,4}, il s’agit d’un arbre maximal.
L’existence d’un tel arbre 13 s’éclaire si nous construisons maintenant li. de la même
manière ; donnons-nous en effet pour sous-groupe de F2 le groupe fondamental du graphe gu, qui est manifestement l’élément unité 1, puisqu’il n’y a pas sur gu de chemins fermés autres que les chemins revenant sur eux-mêmes, c’est-à-dire homotopes à zéro :
le groupe quotient Au = F2/ R) est alors F2 lui-même, et les chemins ai sont tous les chemins g E F2. Ils forment bien un arbre, qui est le graphe fju lui-même.
Nous avons introduit A2 = 7T1(gB, P)/7T1 (fjA’ Q ) et Au = 7T1(gB, P)/7T1 (fju’ R ). Considé-
rons maintenant A = 7ri(SA? Q) / 7T 1 (fju’ R) = ’TT 1 (fj A’ Q ) = K2. Là encore, on interprétera
A comme l’ensemble des chemins fermés de fjA qui se relèvent en des chemins ouverts dans
9u. Soit R un point de base dans lg-u, Ri l’ensemble des points terminaux. Il est aisé de voir que l’ensemble des Ri ne dépend pas du choix de l’origine, si elle est transportée en l’un quelconque de ces mêmes Ri. En d’autres termes, les divers chemins qui lient deux
quelconques des Ri appartiennent au groupe A, qui apparaît donc comme le groupe des translations (au sens large ; nous entendons par là les opérations transitives sur l’ensemble des
Ri et ne laissant pas de point fixe) de l’ensemble des Ri. En outre, K2 étant un sous-groupe invariant de F2, les points Ri forment un sous-cristal de { oo , 4 } .
L’ensemble des Ri, muni de cette structure de groupe, constitue la fibre 37 attachée en Q
sur ’gA.
2. Il convient maintenant de donner un sens en termes de défauts aux opérations que nous
venons de définir. Nous considérerons à titre d’exemple les relations qui unissent le cristal
{ 00, 4 } au cristal {4, 4 } , liées par l’homomorphisme des groupes fondamentaux des graphes
associés Su et gA, dont le premier est le revêtement universel du second :
avec pour sommets de base P et R
Tout chemin ki défini par un mot appartenant à A = K2 est fermé en {4, 4 } et (bien évidemment) ouvert en { oo, 4 } . ki est un des éléments du groupe de symétrie de {oo, 4 } : il transporte, par une translation hyperbolique, un cristal 00, 4 } vu de R en le
même vu de Ri (Fig. 5). Ce même transport, s’il identifie ces deux vues de { oo, 4 } , construit
un élément de {4, 4 } . Les défauts mis en jeu, au sens de Volterra, sont donc des disvections
ponctuelles, c’est-à-dire des dislocations ponctuelles de translations hyperboliques (les
transvections de Cartan [8]), objets déjà considérés par Kléman et Donnadieu [7] sous leur
forme linéaire. On peut montrer [7, 9] que de tels objets conduisent à des variations de
courbure ; ils agissent donc de ce point de vue comme des disinclinaisons. Une transvection est d’ailleurs en général le produit d’une rotation et d’une transvection particulière qui ne change pas la courbure.
Fig. 5. - Nature du défaut élémentaire engendrant {4, 4} à partir de {X), 4 } . [The elementary defect of {oo, 4} which générâtes {4,4} is a disvection.] ]
Ces considérations s’appliquent à l’ensemble des chemins d’une fibre 37 : tous les chemins ouverts (un par complexe associé) issus d’un même point P d’un graphe G doivent se fermer
et s’identifier ainsi aux chemins fermés de G en P. Les défauts utilisés sont classés par les
symétries qui appartiennent à A = -r (G)/ 7r (G ), qui est un groupe de translations de
G ; la classification utilisée est donc la même que celle dérivant du processus de Volterra
[4, 10], et le processus de fabrication des défauts, s’apparente à ce dernier. Mais il est global
et non local.
3. Le point essentiel des considérations faites ci-dessus est que le groupe fondamental G = 7r 1 (Ô, P ) d’un graphe g est un sous-groupe du groupe fondamental TT1(g, P ) du graphe projeté 19. Il n’y a aucune nécessité à ce que les graphes considérés soient homéomorphes à
des cristaux, et il n’y a non plus aucune nécessité que G soit un sous-groupe invariant de
-r 1 (19, P ). La fibre est encore l’espace quotient de TT1(g, P ) modulo G. Mais nous n’aurons pas besoin de cette généralisation par la suite.
Cas tridimensionnel ; 2-complexes [6]
Tout groupe H, défini par des générateurs a, b, c..., et des relations ri (a, b, c... ) = 1
est le quotient d’un groupe libre
et du sous-groupe libre G invariant de F engendré par les éléments ri, i.e. dont les éléments sont du type
où les gik sont des éléments de F (cf. Ref. [6]). Il est donc possible de représenter tout groupe H comme le groupe de translation d’un graphe régulier. Mais il peut être plus avantageux de réaliser H comme le groupe fondamental d’un 2-complexe Je
Ici, le groupe fondamental est encore le groupe des chemins fermés parcourus sur le 1-
squelette de X ; mais on ne change pas la classe d’un chemin fermé du 2-complexe en y
ajoutant un chemin parcourant le bord d’une boucle dont les arêtes successives a, b, ...
réalisent une relation du groupe
Une opération de ce type est représentée figure 6, qui illustre une relation ri rencontrée dans les quasi-cristaux. On voit que l’opération qui identifie les deux chemins fermés revient à supposer l’existence d’un disque bidimensionnel dont le polygone formé des segments
Alj est le bord.
Le revêtement d’un 2-complexe est formé du relèvement du 1-squelette et du relèvement des disques. Le groupe fondamental 7T1 (Jè) est un sous-groupe de 7T1 (Je), et l’espace quotient 7T1 (Je) modulo 7T1 (Jè) est la fibre.
Cristaux apériodiques.
La structure des quasi-cristaux est décrite usuellement comme la projection sur un hyperplan Pjj de dimension dil = 3 d’un ensemble de sommets d’un réseau hypercubique à 6 dimensions
Fig. 6. - Le polygone P d’arêtes All, Ail’ réalise une relation du groupe H. Tous les chemins fermés ayant une partie commune hors de P, mais qui suivent des trajets différents sur P, appartiennent à la
même classe du groupe fondamental de JC’.
[The polygon P with edges Ay, Ail’ realizes a relation of H. All the loops which follow P along two
different paths, but have the same trajectories outside P, belong to the same class of the fundamental group of 30.] 1
(D = 6). L’hyperplan Pp coupe le réseau hypercubique selon des directions irrationnelles, et
les sommets projetés appartiennent à une bande limitée, dont l’emprise s’obtient en déplaçant
un hypercube du réseau parallèlement à lui-même, un de ses sommets extrêmes étant dans
Pli [11], (Fig. 7) ; en fait, avec le choix fait des directions irrationnelles du Pp , c’est une 2-face
de l’hypercube qui est dans Pp . Frenkel et al. [12] qualifient de « silhouetting » de telles 2-
faces ; nous les nommerons « faces extrêmes ».
Fig. 7. - Représentation bidimensionnelle de la construction d’un quasi-cristal à partir de la projection
sur Pli des sommets d’une bande d’un réseau cubique.
[Bidimensional representation of the construction of a quasi-crystal by the cut-and-projection method ; the vertices inside a strip one unit cell-thick are projected on Pli.]
