Machines électrostatiques puissantes

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Machines électrostatiques puissantes

Noel J. Felici

To cite this version:

MACHINES

ÉLECTROSTATIQUES

PUISSANTES

Par NOEL J. FELICI.

Laboratoire

_{d’Électrostatique}

et de

_Physique

du métal, Grenoble.

Sommaire. 2014 Dans cet article, qui fait suite à celui _publié dans le numéro de _{janvier 1947} du Journal de _Physique, l’auteur étudie les modalités de réalisation de machines _{électrostatiques puissantes,} en ce

qui concerne le milieu _{diélectrique fluide} et la _disposition des transporteurs conducteurs.

Passant en revue les différents milieux fluides l’auteur est conduit à éliminer sans _appel les _liquides dont la masse _spécifique est _{trop grande} et conduit à des frottements inadmissibles. Il écarte _également le vide _qui est _{théoriquement} très intéressant mais actuellement encore inutilisable, les _{champs électriques} que l’on sait y produire étant relativement faibles. Parmi les gaz comprimés, l’auteur retient seulement l’air et _{l’hydrogène qui} procurent, dans la réalité, des _champs utilisables de l’ordre de 5oo kV : cm.

Étudiant ensuite les _{dispositions possibles} des transporteurs et des _producteurs, l’auteur _rappelle la très ancienne machine de Toepler et montre comment elle _peut servir de point de départ pour édiner des machines de plus en _{plus complexes} et de _plus en _{plus efficaces,} soit du côté de la puissance, que multiplie

considérablement le _procédé du double transport, soit du côté de la tension, grâce au _procédé de la cascade. L’auteur énonce les règles fondamentales concernant _{l’épaisseur} et le _profil des organes conducteurs,

pour les dispositions plane et _cylindrique.

L’auteur termine par la machine à barres qui, dans l’état actuel de la _question, est la machine la _plus évoluée et la _{plus puissante,} tandis que la machine de Toepler est la _{plus simple.}

Il calcule la _{puissance spécifique} considérable que peut développer une machine à barres, même dans un milieu de _{rigidité diélectrique} modérée, grâce à la _{multiplication} des _surfaces de _{maître-couple,}

et montre ainsi combien sont vastes les _{possibilités} encore _{insoupçonnées} des machines électrostatiques,

même s’il faut s’en tenir aux milieux isolants actuellement connus.

LE JOURNAL DE PHYSIQUE RADIUM.

II. Modalités de la réalisation. Introduction. - Nous _avons établi

précé-demment

_{~T.

de

_{Physique, janvier 1947)}

les

carac-tères _{que doit}

_présenter,

dans l’état actuel des

connaissances,

une machine

_{électrostatique}

puis-sante. Ce sont :

a. Un milieu

_{diélectrique}

fluide de

_grande

densité

d’énergie

maxima et de faible masse

_spécifique;

b. D~s

_{transporteurs}

conducteurs,

dont les

_parties

actives aient une surface totale de

_{maître-couple}

aussi

_grande

_que

_possible,

cette surface étant utilisée au mieux dans

_l’espace

et dans le

_temps,

la

_pression

_{électrostatique}

étant sur toutes les

parties

actives aussi _{voisine que}

_possible

de sa valeur

maxima;

c. Un fonctionnement

_{thermodynamiquement}

réversible,

ne

_comportant

de contacts

_qu’entre

des conducteurs amenés

_{préalablement}

au même

potentiel;

’

d. Une vitesse de rotation aussi

_grande

que

possible,

compte

tenu du rendement et de la

puis-sance

_spécifique.

Nous

examinerons,

dans le

_présent

article,

les modalités de réalisation

pratique

des deux

_premiers

points.

Le milieu

_{diélectrique}

fluide. - Les milieux

diélectriques

fluides se divisent en trois classes : les

_liquides,

le

vide,

les gaz

comprimés.

Les

_liquides

ne nous retiendront _pas

_longtemps

Bien

_qu’ayant

fait

_l’objet

de

_plusieurs

essais de laboratoire

_[i],

leur utilisation est a

_priori

sans

intérêt. Les

_liquides

ne satisfont pas, en _effet, à la

condition fondamentale d’avoir une

_faible

masse

spéci f que;

les

_pertes

_{par frottement fluide y}

_prennent

des valeurs

intolérables,

à _{moins que le} mouvement des

_{transporteurs}

ne soit très

lent,

ce

_qui

contraint

la

_puissance

_{spécifique à}

être dérisoire. Les

_liquides

ne se

_distinguent

_pas, en

_effet,

_{par des densités}

d’énergie

maxima considérables. La

rigidité

diélec-trique

est

_{généralement}

_plus

_petite

_{que dans les}

gaz

comprimés

ou le

vide,

et la constante

diélec-trique

ne _{compense que}

_{partiellement}

cette faiblesse. Les

_liquides

ont enfin une conductibilité

notable,

souvent

_{inadmissible,}

et cette tare _marque

fré-quemment

ceux

_qui,

_par une constante

_{diélectrique}

exceptionnelle,

pourraient

donner de fallacieux

espoirs.

Le vide

_{correspond à}

une masse

_spécifique

nulle et

_permettrait

ainsi un rendement de ioo _{pour 100,}

mais il ne semble _{pas que la}

_technique

actuelle du vide soit

_capable

d’assurer des résultats satisfaisants

au

_point

de vue

_{diélectrique.}

67

Les

_rigidités

obtenues dans les travaux les

_plus

récemment

_publiés

_[2]

ne sont _{pas considérables.}

Elles varient entre 1000 kV : cm _pour un entre-électrodes

_(planes)

de i mm, et 5oo kV : cm, pour

un entre-électrodes de 3 mm. Pour des écartements

plus grands

encore, la

_rigidité

diminue

_toujours

et devient tout à fait insuffisante.

Étant

donné la

difficulté et le

_prix

de la création et du maintien du vide dans un

_appareil

tel

_qu’une

machine

électro-statique,

il est _{évident que l’utilisation du} vide n’entrera pas en

_question,

tant _que sa

_rigidité

ne

dépassera

pas

largement

les valeurs

_indiquées,

et cela

_malgré

ses

_{possibilités}

au

_point

de vue

rendement. Il faut noter _que les

_qualités

diélec-triques

du vide sont

_{probablement perfectibles [3]}

mais son utilisation

_{pratique, à}

_laquelle

tant de bons

_esprits

ont

révé,

n’est _{pas pour}

_{aujourd’hui.}

Les _gaz

_comprimés

restent donc le seul moyen de construire des machines

_{électrostatiques}

puis-santes. Ces fluides sont encore très mal connus

_quant

à leur

_comportement

_{diélectrique.}

Étant

donné leur

diversité,

la littérature les concernant doit être considérée comme très

_indigente.

Quelques

points

se sont toutefois

_dégagés.

Moyennant

des

_pressions

élevées et un minimum

de

_propreté,

la

_rigidité

_{diélectrique}

_peut

atteindre des valeurs

considérables,

comme iooo- et

même 2000 kV : cm. Elle est favorisée par la

_présence

d’éléments

électro-négatifs,

oxygène,

fluor,

chlore. Elle décroît

_quand

l’entre-électrodes

croît,

mais

beaucoup

moins vite _{que dans} le

vide,

de sorte que, pour toutes les valeurs

pratiquement

utilisables

d’entre-électrodes,

elle

est,

pour le

moment,

plus

grande

que dans le

vide,

moyennant

des

_pressions

qui

n’ont rien

_{d’exagéré.}

La

_rigidité

des gaz est enfin d’autant

plus

sensible à la

_malpropreté

_qu’elle

a atteint une valeur

plus grande.

Ce

_point

est

d’importance

parce que c’est l’influence des

impu-retés

_qui

contribue le

_plus

à limiter les

_rigidités

effectivement utilisables.

Une machine

_{électrostatique}

est en effet un

appareil

naturellement sale dont le fonctionnement contribue à créer des

_impuretés

nouvelles. C’est

_pourquoi

les

rigidités

procurées

par un _gaz donné sont souvent

inférieures à celles mesurées au

_Laboratoire,

et

cela d’autant

_plus

_que l’on cherche des

_performances

plus

élevées. La machine

_{électrostatique}

est aussi

un

_appareil

_{beaucoup plus}

sensible aux

_qualités

diélectriques

d’un

milieu,

qu’un simple

condensateur

plan chargé

en _{permanence. Elle} effectue en effet .

par son fonctionnement

même,

non _{pas une,} mais des milliers de mesures de la

_rigidité

_{diélectrique}

par seconde. Aussi des

_rigidités

inférieures de 1 ~ _pour i oo seulement à la valeur correcte doivent ètre considérées comme très satisfaisantes.

Un tel résultat demande d’ailleurs

_quelque

_peine.

Un

_polissage

méticuleux des surfaces

conductrices,

fait avec

_conscience,

est de

_rigueur.

Il doit

_{s’appliquer}

à une surface

déjà soignée

et non _{pas masquer, par} un _vague

_glaçage,

_{les rayures} laissées _{par le travail}

mécanique.

Les

_poussières,

les

_impuretés

et les défauts des surfaces conductrices sont ensuite éliminés _{par d’innombrables} étincelles,

_produites

intentionnellement dans la machine en activité.

Ce n’est

_qu’au

bout de

_plusieurs

_jours

_{que la} machine, se

_purifiant

_elle-même,

fournit de bonnes

perfor-mances. Bien fâcheux serait alors l’incident

_qui

obligerait

à renouveler le _gaz, ou -

pire

encore !

-à la sortir de sa boîte. Toute la mise en train est à

recommencer, même si l’on a _{pas été contraint}

d’aller

_jusqu’à

la funeste extrémité d’un

_démontage,

cause de

_grossières

souillures.

On

_comprendra

maintenant sans

_peine

_{que les}

rigidités

réellement utilisables soient

_plus

limitées que les valeurs avancées dans la littérature. On

peut

les

_comprendre

entre

450

et 600 kV.: cm, soit i5oo

.à 2000 U. E. S. de

champ

donnant des

pressions

électrostatiques

de go à 16o

g-force :

cm2. Ces valeurs sont _{toutefois valables pour des} entre-électrodes de

_plusieurs

_{millimètres,}

de sorte _que les différences de

_{potentiel supportées}

_par un seul intervalle de fluide

_peuvent

dépasser

200 kV.

La

_plupart

des _gaz

_comprimés

sont d’ailleurs

incapables

de fournir en

_pratique

la limite modeste de

450 kV :

cm, à commencer _par les fréons et autres _gaz

_complexes.

_{Ces gaz,}

_{indépendamment}

de leur masse

_spécifique

_{trop élevée,}

donnent des

rigidités

pratiques

misérables

_{(300 à}

35o kV :

_cm)

et sont de mauvaise

_compagnie

_pour une machine

à

_{transporteurs}

conducteurs.

_Quoi

_qu’en

disent leurs

partisans,

ils se

_décomposent

sous les. actions

élec-triques,

étincelles ou

_effluves,

libérant des

_halogènes

d’effet assez fâcheux. °

Peu

_importe

_qu’en

abandonnant ces _gaz

_complexes

il faille

_prévoir

des

pressions importantes.

La chau-dronnerie de fer et même d’aluminium est

_{aujourd’hui}

un art très

_{répandu qui permet d’envisager}

sans

hésitation des

_pressions

_qui

_{auraient paru} surpre-nantes au

_temps

des

_premières

machines

électro-statiques,

alors

_qu’on

_équipait

le navire de bataille le

_Napoléon

de chaudières timbrées _pour... 6o cni

de mercure !

Dans ces

_conditions,

se

_présente

d’abord le

_plus

commun des gaz : l’air

_{atmosphérique.}

Par une 1

circonstance

_qu’il

n’est _pas

_exagéré

de

_qualifier

de

providentielle

(1),

il se trouve _que ce _gaz est

excep-tionnellement

_{f avorable,}

d’une masse

_spécifique

relati-(1) La rigidité « pratique peut être augmentée de moitié

quand on _{passe de l’azote à l’air. Cette constatation} a été faite pour la première fois par l’auteur en janvier alors que, manquant d’azote, il avait, par hasard, enlployé une

bouteille d’air _{comprimé prêtée par} une usine. La _longueur étincelles _{fournies par la machine avait été presque} doublée. Cette _expérience est actuellement _répétée inyololl-lairement quand un monteur oublie d’ajouter à l’azote la

quantité d’air _prescrite et de l’indigence de ~ci

vement faible à

rigidité égale,

et

_permettant

des

champs

de 600 kV : cm _{pour des}

_pressions

de 30

à 35 _atm, bien faciles à réaliser. Si l’on

_peut

se

contenter de

_{puissances spécifiques}

un _peu

_plus

faibles,

une

_pression

de ’la à 25 atm est

suffisante,

assurant une

rigidité

pratique

de 5oo cm.

L’air a le défaut d’être un peu

oxydant

par suite de la formation

d’ozone,

sans _que les effets en soient

aussi nuisibles que ceux des

_halogènes

_(2).

On évite cet inconvénient en diminuant la

_proportion

d’oxy-gène

et en la réduisant à la moitié ou au

_quart

_par

addition

d’azote,

sans _que les

qualités diélectriques

en souffrent.

La

_plupart

des _{gaz : gaz}

_carbonique,

_azote,

méthane,

ammoniac,

ne _{donnent que des résultats}

médiocres. Un seul est vraiment

_{remarquable :}

l’hgdrogéne.

Il

_peut

_paraître

_surprenant

de

_préconiser

l’hydro-gène,

dont la

_rigidité

est la moitié de celle de l’air à

pression égale.

Mais la

_question

de

_pression

est secondaire et s’efface devant les

_qualités

exception-nelles de

_{l’hydrogène}

liées à sa faible masse

_spécifique,

sa

_grande

conductibilité

_thermique,

l’absence de tout effet

_oxydant

ou altérant. La

_pression

utile est de 60

_{à 70}

_atm,

_procurant

la même

_rigidité

pratique

que l’air à 3o

atm,

avec une masse

spéci-fique

sept

fois

_plus

faible. La conductibilité

ther-mique, déjà appréciée

en

_{électrotechnique}

[4]

est

aussi

_importante.

Les étincelles

_jaillissant

dans

l’hydrogène comprimé

sont

froides,

comme leur

aspect

rougeâtre

et leur faible bruit le

montrent,

tandis _que dans l’air

_comprimé

les étincelles sont

chaudes,

bruyantes

et d’un blanc éblouissant. Les

dégradations

par étincelles

sont,

par

suite,

bien

plus

réduites _{que dans}

l’air,

fait essentiel pour la conservation des balais et _organes

_{apparentés. (Il}

est évident

_qu’un

des

_{grands avantages}

des machines à

_{transporteurs}

conducteurs est de

_permettre

le

ramassage du _{courant par} un _organe aussi

_simple

et aussi

_petit

_qu’un

_frotteur,

et _que s’il fallait recourir à des

_{appareils plus}

_compliqués

- tubes

ou kénotrons - la machine

perdrait beaucoup

de

son charme et de sa

_{supériorité pratique}

sur les ensembles

_{transformateurs-redresseur).}

Nous conclurons en retenant commc fluides

diélectriques

l’air et

_{l’hydrogène,}

_procurant

des

rigidités

de 450

à 600 kV : cm, sous des tensions

de 20o kV et

_plus.

Les

_liquides

sont à condamner

sans

_appel

et _pour le

vide,

il convient d’attendre

ses

_progrès

en

_qualité

et en commodité.

Les

_rigidités

annoncées sont faibles vis-à-vis

(2) Dans les machines a lraznporlcurs conducteurs doni

le fonctionnement est _{thermodynamiquement réversible,} il

ne se forme aucune étincelles ni effluve et la _production d’ozone est très _réduite, même pour un _{réglage approché.} Au contraire. les _{transporteurs} isolants nécessitant les _peignes rendent inévitable une formation importante d’ozone qui a causé à

certains _{expérimentateurs} des difficultés inattendues

(destruc-tion des lubrifiants, etc.).

des intensités usuelles de

_champ

_{magnétique :}

8ooo à 10 00o U. E.

M.,

pressions

de 2000

à

looo

g-force :

cm~,

20 fois

_{plus grandes}

_{que les go}

à 160

_g-force

annoncés

_{précédemment,}

mais il serait entièrement faux d’en conclure que la

puis-sance

_spécifique

d’une machine

_{électrostatique}

sera,

au _mieux, go fois

_plus

faible _{que celle} d’une machine

électromagnétique.

Bien au

_contraire,

elle

_peut

être

plus grande,

à cause de la

_possibilité

de

_multiplier

les surfaces affectées de forces

utiles,

comme on va

le voir tout de suite.

La machine de

_Toepler.

- Pour étudier les

dispositions

de

_{transporteurs}

_conducteurs suscep-tibles de fournir, des

_puissances

_{intéressantes,}

nous

allons

_prendre

comme

_point

de

_départ

la

_{plus simple}

de toutes les machines à

_{transporteurs conducteurs,}

la

_première

machine de

Toepler,

datant de 1865.

Fig. 1. - l’lachine _{originale defaToeplet.}

Puis,

par échelons

successifs,

nous allons la

perfec-tionner en

_augmentant

la surface totale de

maître-couple

des

_parties

actives et son utilisation dans le

temps

pour aboutir à la machine

électrostatique

parfaite,

la machine

_{électrostatique}

« à barres »

dont la

_puissance

_spécifique

extraordinaire

repré-sente un maximum

_{qui paraît}

difplcile à

_dépasser.

Il ne _{faut pas}

_{croire, d’ailleurs,}

_{que les}

elle-même, dûment

modernisée,

est _{utile pour bien des}

petites application§.

La machine

_originale

de

_Toepler

_{(fig. i)}

se _compose

d’un

_disque

de verre

_portant

deux secteurs

semi-circulaires de

_clinquant

et tournant autour de son

axe. Ces deux secteurs,

qui

sont les

_{transporteurs,}

viennent en

_regard

du

_producteur,

lame de

_clinquant

fixe avec

_laquelle

ils forment des condensateurs variables. Le

_producteur

étant _{électrisé par} une

cause

_extérieure,

le fonctionnement de la machine est fort

_{simple :}

_Quand

un

_transporteur

forme

avec le

_producteur

une

_capacité

croissante,

il est

mis en relation avec le sol par le balai de masse et

se

_charge

d’électricité _{par influence.}

_Lorsque

la

capacité

producteur-transporteur

est

_maxima,

ainsi que la

charge

du

_{transporteur,}

cette relation se

rompt

et le

_potentiel

du

_transporteur

se met à croître à

_charge

constante. A un instant

convenable,

le

_transporteur

est mis en relation avec le circuit

extérieur par le balai de débit et lui cède sa

_charge,

qui

est de moins en moins retenue par l’influence

décroissante du

_{producteur. Quand}

la

_capacité

avec

le

_producteur

est

_minima,

le débit est

terminé,

la relation avec le sol est rétablie et la

_charge

recom-mence. Telle est

_{l’explication}

du fonctionnement de cette machine si

_simple,

à peu

près

dans les termes

employés

par

Toepler

lui-même

[5].

Il est _{évident que}

_l’appareil

est très défectueux,

comme étant réalisé avec des feuilles de

_clinquant,

et _que cette déficience du

_{maître-couple}

_{l’empêchera}

de voir sa

_puissance

_multipliée

comme il conviendrait

par

l’emploi

d’un gaz

comprimé.

Il va falloir commencer _par

_{épaissir transporteurs}

et

_producteurs,

puis

donner à leurs tranches un

_profil

_adéquat.

Le

_problème

de

_{l’épaisseur}

est très

_simple.

Par raison de

symétrie,

nous _supposerons le

_producteur

formé de deux

_{plaques influençant}

les

_{transporteurs}

sur leurs deux faces. Portons notre attention sur

l’un de ces derniers.

_Quand

il

_subit,

à

_potentiels

constants,

une rotation élémentaire

_{d 0,}

le travail des forces

_{électrostatiques}

_{est -}

V2

de,

V étant la différence de

_{potentiel producteur-transporteur,}

de la variation de

_capacité.

_{V par ailleurs} ne

_peut

dépasser,

dans une machine

_parfaite,

la valeur

E,,,e,

E"z étant la

_rigidité

_{diélectrique}

du milieu fluide

et e la distance

_{producteur-transporteur.}

Le travail

des forces

_{électrostatiques}

a donc comme limite

supérieure - E2m e2

de. Ce travail doit

_pouvoir

être fourni _{par les forces}

_agissant

sur les tranches d’un

transporteur.

Là surface de

_{maître-couple}

d’une tranche est _{?e’ r,} si ~e’ est

_{l’épaisseur}

du

_{transporteur,}

r son _{rayon. La}

_pression

_{électrostatique}

ne

_pouvant

f. £"2

son travail est au

_plus

a

--si elle est constante sur la

tranche,

cas le

_plus

favo-rable. Ce travail doit

_{pouvoir égaler}

avec certitude le travail

_{précédemment}

calculé ’

On a

donc à satisfaire

_{l’inégalité}

et il reste

On doit donc

avoir,

pour un

_{transporteur,}

une

épais-seur 2ef au moins double de l’entre-électrodes e.

Ceci montre à

_{quel point}

les

_{transporteurs}

anciens sont mal dimensionnés. Bien loin de leur donner une

telle

_épaisseur,

on les réalisait avec des feuilles

métalliques

10 ou 5o fois

_plus

minces _que l’entre-électrodes. Il est seulement étonnant _que les consé-quences d’une telle monstruosité ne soient _pas

plus

fâcheuses. Nous avons

_indiqué

_{précédemment}

pourquoi

des machines aussi mal établies

_peuvent

néanmoins donner des résultats à peu

près

satis-faisants dans l’air ordinaire.

Le dimensionnement en

_épaisseur

obtenu pour

les

_{transporteurs}

est

_{indispensable,}

mais le calcul

ne donne

_{pour e’}

_qu’une

limite inférieure. Cette limite est-elle utilisable ? Ou faut-il la

_{majorer ‘?}

Ce nouveau

_problème

est

_{beaucoup plus}

difficile,

car il

_dépend

de la

possibilité

de réaliser sur les tranches des

_{transporteurs}

un

_champ

d’intensité

constante

_égale

à l’intensité dans

_l’espace

inter-électrodes,

là où le

_champ

est

_pratiquement

uniforme.

Si cette

_possibilité

existe,

pour un certain

_profil

de

_tranche,

on _pourra

_{prendre e’}

~ e. Autrement

il faudra e’ > e.

Bien que ce

_problème

de

_profil

à

_champ

_électrique

constant semble nouveau, il a été _{résolu à propos} de

_{questions homologues}

_{d’hydrauliques,}

où l’on cherche des

_lignes

de

_jet

à vitesse constante. La méthode

_{générale à employer}

et la solution exacte

nous ont été

_indiquées

_{par MM. Danel} et

_Craya,

Ingénieurs

aux Ateliers

_{Neyret-Beylier}

et

Piccard-Pictet,

Professeurs à

l’École

des

_Ingénieurs

hydrau-liciens. >

Représentons

la tranche en _coupe

_(fig.

_2);

le

profil

idéal

_(champ

constant avec e’ =

e)

est

repré-senté _par les

_{équations paramétriques}

très

_simples

où

_l’origine

est

_prise

au sommet de la courbe.

Multiplication

des

_plateaux.

~-- La machine

précédemment

étudiée ne

_comporte

qu’un

seul

sur le même axe. Il y aura alors à

_chaque

producteur

+ 1 lames si N est le nombre de

plateaux.

La

_symétrie

des lames fixes et des secteurs

mobiles est alors

_complète,

si l’on fait abstraction - de lames fixes

extrêmes;

par

égalité

de l’action et

de la

réaction,

les lanies fixes

_supportant

des forces

égales

à celles

_appliquées

aux

_{transporteurs}

devront avoir la même

_épaisseur

et le même

_profil

_que ces

derniers. La

_puissance

_spécifique

d’une telle machine

à

plateaux multiples peut

déjà

être

_importante.

Fig. 2. - Tranche

avec _profil idéal, .

Soit - V le

potentiel

d’excitation

_(potentiel

du

producteur)

et

_{+ k. V}

le

_potentiel

de débit. k est

un nombre très

important

dans la théorie des

machies à

_{transporteurs}

conducteurs,

nous

l’appel-lerons

_facteur

de

_{multiplication.}

La somme k. V + V

ne

_peut

_dépasser

une valeur

maxima,

évidemment

égale

à

Enze

_(production

d’étincelles entre

produc-teurs et

_{transporteurs).}

_Quand

la

_puissance

est maxima on a donc k . V + V =

Em . e

== 2 U. La

charge prise

par un

_transporteur

est C.

V,

C étant

sa

_capacité

maxima avec le

_producteur,

et

_l’énergie

produite

est

_{(C . V) . (k . V) = k C V2}

dans le cas le

plus

favorable,

où la différence de

_potentiel

aux

bornes du circuit extérieur est constante et

_égale

à k. V. Comme V =

/.2 U

l’énergie

est maxima maximarum si si 4 h ,., est

maximum,

maximum,

c’est-à-dire

-si k = 1 valeur

remarquable.

Nous verrons

_plus

_{tard que les}

_capacités

_parasites

et

résiduelles,

dont il n’a _pas été tenu

_compte

dans le raisonnement

_{simplifié précédent,}

font que la valeur

_optima

de k est

_quelque

_peu

_inférieure

à 1.

En

_prenant

k = i il est facile de calculer la

puis-sance

spécifique.

Par

demi-tour,

l’énergie

produite

est

CU2,

et _{pour N}

tours-seconde,

la

_puissance

est 2 Si e est l’entre-électrodes, r le

rayon, 1 la

longueur,

on a l 6e

plateaux,

chacun de surface 2T:r2 et

_chaque

secteur nr2

_(il

a deux

_faces).

On a donc

Or le volume est 7r2l. La

_{puissance spécifique}

est

la

_puissance

_spécifique

est

On voit donc que la

puissance spécifique

de la machine rudimentaire de

_Toepler

_peut

être

_déjà

considérable, moyennant

correction de son défaut

principal

- l’insuffisance

d’épaisseur

des

trans-porteurs

-

71

Multiplication

des

_pôles.

- lJou.r

augmenter

la

_{puissance spécifique}

de la machine de

_’roepler

un

procédé

très

ancien,

déjà

employé

par

Holtz,

se

présente

à

_{l’esprit :}

la

_{multiplication}

des

_pôles.

Dans le cas

_présent,

elle consistera à

remplacer les

transporteurs

et les

_producteurs

d’ouverture angu-laire i8oo _{par d’autres} d’ouverture 1800: n. La machine aura alors n

_paires

de

_pôles

au lieu d’une :

chaque plateau

comprendra 2

n secteurs au lieu

Fig. 3. - Machine à

simple transport et _cinq paires de pôles.

de 2, et le

producteur

sera formé de n _groupes fixes de secteurs

_d’angle

180~ : n. Pour

_simplifier

la

cons-truction,

ces n _groupes seront reliés

_{électriquement}

entre eux et électrisés _{par la même} source, tandis

que les secteurs d’un même

plateau

seront inter-connectés -de deux en deux. De cette

_façon,

deux balais restent

_suffisants,

mais au lieu de faire un

angle

de ils _en, feront un de n ou d’un

multiplie

de cet

_angle.

On

_aperçoit

ici un des

_{avan tages}

importants,

à la vérité connu

_depuis

fort

_longtemps,

des machines à

transporteurs

conducteurs : la

possibilité

de

_multiplier

les

_pôles

et les

_plateaux

sans avoir besoin de

_plus

de deux balais. Au contraire

une machine à

_{transporteurs}

isolants

_comprend

nécessairement 2 n

_peignes

_pour un seul

_plateau

et _{2 np}

_peignes

_{s’il y} a _p

_plateaux.

La

_{multiplication}

des

_pôles

a _{pour résultat que}

le

_cycle

de fonctionnement se

_répète

_après

une

rotation de 180° : n au lieu de i 8oo. La

_capacité

utile restant en

_principe

la

_même,

la

_puissance

à vitesse

_égale

est

_multipliée

_par n. Ce

fait

s’inter-prête

immédiatement si l’on pense que u surface totale de

_{maître-couple}

est

_multipliée

_{par n,}

_puisque

chaque

plateau comprend 2

n secteurs au lieu de ’~.

Les forces utiles sont donc

_multipliées

_par n et

de même la

_puissance.

Ce résultat reste

_théorique

_{parce que} de nombreux effets défavorables sont eux aussi

_multipliés

_{par la}

multiplication

des

_pôles.

La

_capacité

utile ne reste pas constante : elle diminue en raison de

_l’espace

perdu

entre

_{transporteurs}

successifs,

espace

qui

croît avec le nombre des

_pôles.

Plus _grave encore

est

_{l’augmentation}

des

_{capacités parasites}

entre

transporteurs,

qui

contribuent aussi à diminuer la

puissance.

Il en _{résulte que} la

_{multiplication}

des

pôles

a une limite au delà de

_laquelle

on ne _gagne

rien. Cette limite est caractérisée _par le

_facteur

polaire

ne

où e est

_l’espace

_{inter-électrodes,}

et r le

I»

rayon des

plateaux.

Ce

facteur,

dans les machines de

_Toepler,

doit rester inférieur à

o, 15

et la valeur 0,10

est la

_plus

raisonnable. Ainsi un

_plateau

de 3o cm

de

diamètre,

avec un intervalle

inter-élec-trodes de 3 mm

_(épaisseur

du

_plateau

_{6 mm)}

d

0.1 x 150 3 = 5

.

comprendra

n =

J ’)

= 5

paires

de

pôles

ou

10 secteurs de 36°

_{(fig. 3).}

Et la

_puissance

ne

sera _pas

_multipliée

_{par 5 par}

_rapport

à la machine

bipolaire,

mais par 3 ou

_3,5

seulement.

Le double

_transport.

- Dans les machines de

Toepler précédemment

décrites,

l’utilisation dans le

_temps

des surfaces de

_{maître-couple}

est tout à fait insuffisante. Nous avons vu _que

_l’énergie

_électrique

maxima _{fournie par} un

_{transporteurs}

au cours d’un

cycle

de fonctionnement est CU2

(production

de la

_charge

CU sous la tension

_U).

Mais si la tranche

du

_transporteur

était soumise en _permanence aux

forces

_électriques

maxima

_(pression

uniforme

o1t’

tout le

_temps)

le travail des forces

_{serait 4}

CU2. En

effet,

on aurait

et _pour un tour

_complet

(On

a raisonné sur une machine

_bipolaire

à un seul

plateau.)

On

_comprend

la

_grande

différence des deux résul-tats

_précédents

en examinant de

près

les forces

auxquelles

est soumis un

_transporteur

au cours

d’une de ses révolutions. Pendant l’élévation du

du

_transporteur

est utilisé à

plein.

Pendant la

charge

du

_transporteur

sous tension

nulle,

les forces

électriques

fournissent le

travail 1 2 CU’2;

on voit

en effet que le

_transporteur

entrant dans le

produc-teur est attiré _{par lui. Le bilan} total est bien

CU2,

égal

à

_{l’énergie électrique}

_produite.

Il est très inférieur au

maximum 4

CU2 parce que,

pendant

les

_3/4

du

_temps,

les forces ne fournissent _{que des}

travaux de somme nulle.

Fig. i- -~.- Machine a double transport.

Comment améliorer l’utilisation du

_{maitre-couple ?}

Un

_problème

semblable s’est

_posé

_{pour les machines}

à courroie de Van de Graaf. Dans les

_premiers

modèles,

seul le brin montant était

_chargé

et suppor-tait des forces

_électriques

_utiles;

le brin descendant

courait à vide et ne contribuait pas à la

production

d’énergie.

On connaît le

_{perfectionnement apporté}

par Van de Graaf : il consiste à électriser le brin descendant de

façon

que, ce brin

_supportant

les mêmes forces _que l’autre, la

_puissance

soit doublée.

Le même

_procédé

_{s’applique,}

dans son

_principe,

aux machines de

Toepler.

Il faudra électriser les

transporteurs

successivement des deux

_signes

et

non _{pas d’un}

_seul,

de

_façon

_{que les}

forces,

dans deux

positions symétriques

d’un même

_transporteur

au

cours d’une

_révolution,

soient les mêmes.

Pour _y

_parvenir,

_{il n’est pas}

_adéquat,

_{pour des} raisons de

_puissance

et de réversiblité

_d’employer

le

_dispositif

auto-excitateur utilisé habituellement

par Van de Graaf dans ses machines à courroie

[6].

D’une

façon

plus symétrique,

il faut

_disposer

un

second

_{système producteur}

_{remplissant l’espace}

laissé libre _par le

_premier.

Ce deuxième

_producteur

sera

_porté

_par une seconde source auxiliaire au

potentiel 2

~l. De cette

_façon,

la différence de

potentiel

maxima

_{producteur-transporteur}

sera la même pour les deux

_{producteurs qui}

seront abso-lument

_identiques

et

_{présenteront}

avec les

trans-porteurs

le même intervalle inter-électrodes e.

Le fonctionnement de la machine se

_présente

alors de la

_façon

suivante

_{( f g. CE) :}

considérons un

transporteur

au moment où il est à l’intérieur du

premier producteur

au

_potentiel

- V. Sa

charge

est C V à

potentiel

nul,

car il est encore en relation

avec le sol _par le balai de masse.

_Quand

il commence

à sortir du

_producteur

-

V,

cette relation se

_rompt

et le

_potentiel

du

transporteur

s’élève,

_plus

vite

encore _que dans les machines à

simple

_transport,

en raison de l’influence du

_producteur

2 U.

Quand

le

_potentiel

est

sufilsant,

soit

k. V,

le débit a lieu

par un balai de débit en relation avec le circuit

extérieur,

qui

prend

contact avec le

_{transporteur.}

Ce débit se

_{poursuit jusqu’à}

ce _que le

_transporteur

soit entièrement à l’intérieur du

producteur 2

U,

et à ce moment la

_charge

du

_transporteur

est La

_quantité

d’élec-tricité cédée au circuit extérieur est donc aCV au

lieu de C V~ et si le débit a lieu sous la tension

cons-tante k.

V,

cas le

_plus

favorable,

l’énergie

produite

est 2 k

C V2,

_quantité

maxima

_{pour k}

=1 i et devenant

Qlors 2 Dans la suite de son

_mouvement,

le

transporteur

de nouveau isolé

_emporte

la

charge

- G V

avec

lui,

_charge

_qu’il

transmet au sol

par le balai de masse et le

_cycle

recommence. On

aperçoit

mieux la

_parfaite

_symétrie

_{que le}

perfection-nement

_{précédent apporte}

à la machine de

_Toepler

en

_prenant

_pour un instant une

origine

des

potentiels

symétriques

par

rapport

aux balais. Les balais

seront alors aux

_potentiels

k.

V les

_{producteurs à}

-

V - ~ k .

V et

V ~ ~ k . V.

On voit _que dans ce nouveau

_type

de

_machine,

que nous

_appellerons

machine à double

_transport

la

_puissance

est

_{théoriquement}

deux fois

_plus

grande

que dans la machine

correspondante

à

simple fransport.

L’utilisation des

maîtres-couple,

sans être

_parfaite,

est

améliorée,

car elle est en

moyenne dans le

temps

de

_1/2

au lieu de

_{I j4}

Le

_progrès

_{réalisé par le} double

_transport

est

en fait

_{plus grand}

_que ce

_qui

résulte des considé-rations

_{simples qui précèdent.}

En

_effet,

l’influence néfaste des

_{capacités parasites}

est à peu

près

la même que le

transport

soit

_simple

ou double. Elle est

_donc,

en valeur

relative,

deux fois

_plus

faible dans le second cas. C’est

_pourquoi

le _passage du

73

par

ailleurs,

multiplie

la

puissance

par un facteur

plus

grand

que 2,

qui

atteint 2,5 et même 3.

L’in-fluence diminuée des

_{capacités parasites permet}

de

multiplier

davantage

les

_pôles

et de

_prendre

un

facteur

_polaire

_{plus grand, qui}

_peut

être

cou-ramment 0,15. Il en résulte une nouvelle

_possibilité

pratique d’augmentation

de la

_{puissance spécifique,}

qui

est finalement

_quatre

fois

_{plus grande qu’avec}

le

simple

transport,

pour la même vitesse de rotation.

La cascade. -- Dans toutes les

machines genre

Toepler précédentes,

à

_simple

ou double

_transport,

la tension de débit est sensiblement

_égale

à la moitié de la différence de

_potentiel

maxima

producteur-transporteur 2 U.’

Elle est même inférieure en

pratique,

car le maximum de

puissance

a _{lieu pour}

une valeur de k notablement inférieure à I, en raison des

_{capacités parasites.}

Il en résulte des difficultés dans la réalisation de machines _pour tensions élevées. La

_rigidité

diélec-trique

de tous les milieux décroît

_{toujours quand}

la distance inter-électrode

croît,

et cette

_règle

ne

souffre aucune

_exception.

Bien _que ce défaut soit

beaucoup

moins

_marqué

dans les _gaz

_comprimés

que dans le vide ou les isolants

solides,

il n’en existe pas

moins,

particulièrement

dans le cas d’électrodes

souillées,

comme il arrive communément dans la

pratique.

C’est

_pourquoi

il est peu

avantageux

d’employer

des distances inter-électrodes

corres-pondant

à des différences de

_potentiel

de

_plus

de 200

kV,

ce

_qui,

dans les machines de

_Toepler

limite la tension de débit à go ou 100 kV au

maximum.

La cascade est un

_procédé

_qui,

sans modifier

sensiblement la

puissance,

permet

de remédier à cet inconvénient et de réaliser des machines à tension élevée sans

_employer

des différences de

_potentiel

inter-électrodes

_trop

grandes.

Une machine à cascade

_peut

être à

_simple

ou

double

transport.

Nous choisirons un

_exemple

de la seconde

_sorte,

comme étant

_{plus symétrique}

et

plus général.

La machine

_comprendra

alors les mêmes _organes

_qu’une

machine ordinaire à double

transport,

seules vont différer les interconnexions entre les _{organes mobiles} et entre les organes fixes. Si la cascade est à deux

étages,

cas le

_{plus simple}

5)

il y aura au moins

_quatre

_groupes

_producteurs

ou

_analogues,

isolés les uns des autres. Le

_premier

sera au

_potentiel

-

V,

le second à - V + k.

V,

le troisième _{à + V +} 21c

V,

le

_quatrième

à V

-f-1~

V. Un

_transporteur

situé à l’intérieur du

_premier

producteur

et relié au sol

_prendra

une

_charge

CV. Il

_emportera

cette

_charge

avec lui dans la suite de

son _mouvement, alors

_qu’il

sera isolé.

_Quand

le

transporteur

sera à l’intérieur du second

_producteur,

son

_potentiel

sera k . V.

_Quand

il

_pénétrera

à l’in-térieur du second

_producteur,

son

_potentiel

sera k. V.

Quand

il

_pénétrera

à l’intérieur du troisième

produc-teur, son

_potentiel

atteindra

_{rapidement 2 k V,}

et à ce moment le débit commencera,

grâce

à un

balai de débit convenablement calé.

_Quand

le

trans-porteur

sera entièrement à l’intérieur du troisième

producteur,

sa

_charge

sera

_{- C V,}

il aura donc

débite 2

CV,

et il y a bien double

_transport.

Il

Fig. 5. - Machine à double

transport et cascade.

emportera

cette nouvelle

_charge

dans la suite de

son mouvement. Il

_prendra

_par suite le

_potentiel

k. V

lorsqu’il

sera à l’intérieur du troisième

_producteur,

puis

viendra en contact avec le balai de masse et le

_cycle

recommencera. _{On voit aisément que} cette

disposition

permet

au

_potentiel

des

_{transporteurs}

de varier

_{régulièrement}

de zéro à 2 k V et de 2 k V à zéro sans _que

_jamais

la différence de

_potentiel

inter-électrodes

(du

moins entre électrodes fixes et mobiles

_{partiellement}

en

_regard)

dépasse 2 U =

k .

_{V +}

V.

Il est facile de

_{généraliser}

ce

_qui

_précède.

Une machine à p

étages

de cascade et double

_transport

comprendra

des

_producteurs

fixes aux

_potentiels

suivants :

_{-V; -V-~-k.V; -V-~-2k.V,}

... ;

- V -+-- (p - I ) k. V; -~-

V +

pk.

V; V +

(p

--

I )k.

V;

V ~-- (p - 2) k . V,

...;

V+k.V; - V,

etc. La

tension de débit sera

_pk

V et la

_quantité

débitée par

chaque transporteur

2 C V

(3).

(3) L’échelonnement des potentiels indiqué précédemment

n’est _{rigoureusement} valable que si les capacités parasites

sont nulles. Dans la _pratique il faut relever les potentiels compris entre - V

+ k V et -

V ~- (p --~ ; ) k V, et rabaisser

ceux entre _{V + (p -} et _{V -~- k V,} les deux extrêmes, - V et

-

La cascade est très

_analogue

au

_couplage

des

piles

en tension. De même

_qu’avec

un certain nombre de

_piles

on

_peut

réaliser toutes sortes de

_groupements

donnant la même

_puissance,

mais avec des tensions et des débits

différents,

de même on

_peut,

dans une

machine de

_Toepler,

_grouper diversement

producteurs

et

_{transporteurs.}

Soit _par

_exemple

une machine

octopolaire

sans cascade. Elle

_peut

être considérée

comme en

couplage

_parallèle,

ses

_producteurs

et ses

transporteurs

seront interconnectés de deux en deux. Si on les

_couple

de

_quatre

en

_quatre,

la machine

peut

être utilisée en cascade à deux

_étages,

avec

débit moitié et tension

_double,

c’est un

_couplage

série-parallèle.

Si on laisse les

_{transporteurs}

et les

producteurs

isolés,

la machine

_peut

fonctionner

en cascade à

_{quatre étages,}

avec tension

_quadruple

et débit

_quart,

c’est le

_couplage

série.

Une machine de

_Toepler

_multipolaire

_peut

donc être

_comparée

à une batterie de

piles.

Selon la

résistance du

_récepteur,

il conviendra de lui

_appliquer

un

_couplage

ou un

_autre,

de même

_qu’avec

les

_piles

il

_convient,

_{pour obtenir} le maximum de

_puissance,

de réaliser un

_groupement

dont la résistance interne

soit aussi

_proche

_que

_possible

de la résistance externe. Cette

_{règle peut}

se

_transposer

au cas des machines

de

_Toepler.

Si le

_champ

inter-électrocles reste

_fixe,

ces machines

_possèdent,

comme nous le verrons,

une

_impédance

interne

_qui

- sauf

qu’elle

ne

corres-pond

à aucune

_{dissipation d’énergie}

-

possède

les

propriétés

d’une résistance intérieure. On utilisera donc au mieux une machine

_multipolaire

en _amenant,

par un

_couplage

favorable,

son

_impédance

à

approcher

le

_plus

_possihle

la résistance du

_récepteur.

La cascade

_permet

de réaliser sans difficulté des machines _genre

_Toepler

donnant

_plusieurs

centaines

de

kilovolts,

par

exemple

~oo kV pour des rotors

de moins de

luo

cm de diamètre. Des tensions très élevées

_supposent

des machines de

_grandes

dimen-sions,

en raison de la

_présence

d’un axe conducteur

au

_potentiel

du sol.

_

La

_disposition

_cylindrique.

- Dans les machines

précédentes,

les

_{transporteurs}

et

_producteurs

sont formés de secteurs

_plans,

réalisant des condensateurs

plans

à lames

_multiples.

Cette

_disposition

est évidem-ment celle

_qui

utilise le mieux

_l’espace,

mais elle

présente

certaines difficultés au

_point

de vue

cons-truction et isolement.

_Quand

la

_{puissance spécifique}

peut

être

modérée,

il est

_avantageux

de recourir à la

_disposition

_cylindrique.

Les

_{transporteurs}

,

Fig. 6. -

Profil pour machine cylindrique.

Équation

du _{profil :}

seront des

_segments

de

_cylindre,

de même les

produc-teurs. Par un calcul

_simple,

on montre _que

_{l’épaisseur}

minima des uns et des autres est

_égale

à la distance inter-électrodes e. Il existe

_également

un

_profil

idéal

pour les

tranches,

permettant

d’atteindre effective-ment

_{l’épaisseur}

minima

_{précédente,}

en

_ayant

un

champ

constant

_partout

_(fig.

6).

Ce

_profil

est la

ligne

de

_jet

de

_J’ajutage

rentrant de

_Borda,

bien

connu en

_{hydraulique (fig. 6).}

La

_disposition

_{cylindrique paraît}

_{fort peu}

avan-tageuse

quant

à la

_puissance

_spécifique,

le volume utile étant

_négligeable

par

rapport

au _{volume total,}

contrairement à ce

_qui

a lieu avec les machines à

75

trompeuse.

Les

_{capacités parasites}

sont notablement

plus

réduites,

de telle sorte que le facteur

_polaire

peut

être utilement

_augmenté,

_jusqu’à

et _0,20,

améliorant ainsi la

_puissance.

En outre l’isolement des

_producteurs

et des

_{transporteurs}

est

_beaucoup

plus

facile,

de telle sorte _{que la}

_place

_perdue

est

Fig. 6 bis. -

Ajutage rentrant de Borda avec écoulement.

moins

_{grande qu’on}

ne

_l’imagine.

Les facilités d’iso-lement rendent enfin la

_{disposition cylindrique}

très

Fig. 7. 2013 Machine _cylindrique à cascade et _{simple transporl.}

commode pour la

production

de tensions élevées

avec des rotors de

_petit

diamètre

₍₂₀₀

kV _pour 20

_cm).

Les machines à barres. - Les machines

genre

Toepler précédemment esquissées représentent

une

belle _gamme de

_{possibilités}

recouvrant

_pratiquement

tout le domaine des hautes tensions continues

usuelles,

de

_quelques

kilovolts à

_plusieurs

centaines

_(4).

Des

_{caractéristiques}

comme

_{10 kV,}

imA; 4o kV, 50 mA ; 3 oo kV,

iomA sont dans l’ordre des

_{possibilités}

immédiates et sont

_plus

avantageusement

réalisées par la machine

électro-statique

que par les

groupes

transformateurs-redres-seurs-filtre.

Si _{intéressants que}

_puissent

être de tels résultats

au

_point

de vue

_pratique,

les machines _genre

_Toepler,

même à double

_transport

et

cascade,

sont encore

bien peu satisfaisantes

_{théoriquement. Quelle}

_que soit la

_{disposition adoptée,}

les

_{transporteurs}

se

présentent

sous la forme de

_plaques

relativement

minces,

en raison des limites

_imposées

au facteur

polaire

"’e -

La tranche de ces

_{plaques, partie}

_active,

a été dûment dimensionnée et

_profilée,

mais sa

surface n’en reste _pas moins

_petite

_par

_rapport

à la surface totale du

_{transporteur.}

Les forces utiles

sont donc peu de chose par

rapport

aux forces

inutiles,

perpendiculaires

au _mouvement, et de

ce

_point

de vue les

_{transporteurs}

sont bien mal

proportionnés.

Pour améliorer cet état de

choses,

il faut

_employer

des

_{transporteurs}

_qui,

au lieu d’être

_plats,

pré-(4) Il est évident _{qu’il sufiira,} comme Holtz l’a déjà fait,

d’un _changement de _{couplage pour transformer les machines}

envisagées en alternateurs et moteurs alternatifs. Mais cette

possibilité est tellement _dépourvue d’intérêt pratique que

sentent une section arrondie

plus

ou moins voisine d’un cercle

_{( fcg. 8).}

De cette

_façon

la surface de

Fig. 8. - Barre et

transporteur plat.

maître-couple,

au lieu d’être très

_petite

_par

_rapport

à la surface

totale,

lui sera

_comparable.

Les

trans-porteurs,

au lieu d’être des secteurs ou des

_segments

plats

à tranche

_profilée,

ressemblent à des barres

qui

se mouvraient

_{perpendiculairement}

à leur

grande dimension,

d’où le nom de machines à barres donné à cette nouvelle

_catégorie

de machines.

Il n’est pas suffisant de donner aux

_{transporteurs}

une forme

raisonnable,

il faut encore _{que leur}

maître-couple

soit bien

_utilisé,

_que les forces

_électriques

soient aussi

_grandes

_que

_possible

_pour une densité

d’énergie’

maxima donnée. On ne

_peut

_{y arriver}

avec la

_disposition

de

_Toepler,

parce que les

capacités

parasites

rendraient le fonctionnement

_impossible.

Pour tirer le meilleur

_parti

des barres il faut

envisager

le fonctionnement de la machine sous un

jour

nouveau. Laissant de côté pour un instant les considérations de

_capacités,

il faut

_regarder

les barres comme des conducteurs

_chargés

se mouvant

dans un

_champ

_{perpendiculaire}

à leur

_grande

dimension. La force

_qui

en résulte est facile à

calculer,

et si la

_répartition

du

_champ

autour de la barre est connue, on _pourra

_prévoir

l’indice de forme.

Le calcul est

_{particulièrement}

facile _{pour des} barres à section

_{conique, elliptique}

ou circulaire.

Ce dernier cas,

particulièrement

simple,

va nous

servir

_d’exemple.

Soit un

_cylindre

circulaire

infini,

chargé

d’électricité,

plongé

dans un

_champ

uni-forme

_{E o}

_{perpendiculaire}

à son axe

_{(fig. 9).}

La

Fig. 9. -

Barre circulaire dans un _champ uniforme avec la charge donnant la force maxima. On voit que le champ est

intense sur la moitié gauche et très faible sur la moitié droite. La force est _dirigée vers la gauche.

densité

_{d’équilibre}

_peut

être

_regardée

comme la

somme de deux densités :

I ~ Une densité donnant un

_champ

nul à l’intérieur et

_{correspondant}

à une

_charge

totale

_égale

à la

charge

du

_cylindre

_proposé.

Cette densité est

évidem-ment

uniforme;

>

2~ Une densité donnant un

_{champ - E o}

à l’inté-rieur et

_{correspondant}

à une

_charge

totale nulle.

Cette densité est de la forme _’70 cos 0

_d’après

les

propriétés

connues des

_quadriques.

La densité totale sur le

_cylindre

est _{donc û 0} cos 0 _{-;-- û 1.} La

charge

par unité de

longueur

de barre

est 9 7. a 71.

a étant le rayon de la

barre,

et cette

_charge

subit

dans le

_{champ Eo}

la force La

densité o-o cos 0 donne à l’intérieur un

champ

uniforme © .

On a donc 2 == 2

_Eo

et _u~ =

2013~ ’

Par ailleurs le

champ

est maximum sur la barre