Beschleunigung durch Abstraktion

1. Sätze über die letzte Zier oder den Rest beim Teilen dur h 10

Satz.DieletzteZiereinernatürli henZahl

a

istdereindeutigeRest

0 ≤ r ≤ 9

beiDivision mitRestdur h

10

,d.h.

a

= 10·q+r

miteinernatürli henZahl

q

(demGanzzahlquotienten). Satz. Für jedeganze Zahl

m

haben

a

und

a

+ 10 · m

dieselbeletzte Zier.

Satz. Die letzte Zier der Summe natürli her Zahlen ist dieletzte Zier der Summe der

letztenZiern. Genauer: Seien

a, b

natürli he Zahlen mitletzterZier

r

bzw.

s

, d.h.

a

_{= 10 · q + r}

und

b

= 10 · t + s,

wobei

0 ≤ r ≤ 9

und

0 ≤ s ≤ 9

. Dieletzte Zier von

a

+ b

istdann die von

r

+ s

.

Beweis.

a

+ b = 10 · (q + t) + (r + s)

.Daher haben

a

+ b

und

r

+ s

dieselbeletzte Zier. Satz. Die letzte Zierdes Produktes natürli her Zahlen ist die letzte Zierdes Produkts

der letzten Ziern. Genauer: Die letzteZier von

a · b

ist dieletzte Ziervon

r · s

.

Beweis.

a · b = (10 · q + r) · (10 · t + s) = 10 · (10 · q · t + q · s + r · t) + r · s

. Daher haben

a · b

und

r · s

dieselbe letzteZier.

Potenzieren ist nurmehrfa hes Hintereinanderausführen von Multiplikationen.Also:

Satz. Die letzte Ziervon

a

m

ist dieletzte Ziervon

r

m

fürjede natürli he Zahl

m

. Die Tabelleauf der Rü kseite zeigt folgenden Satz.

Denition.Haben

a

und

b

denselben Rest beiDivision dur h

n

,so s hreiben wir

a ≡ b mod n.

Es geltendieselben Regeln wir für das Re hnen mit

n

= 10

: Satz. Falls

a ≡ r mod n

und

b ≡ s mod n

, dann gelten:

a

_{+ b ≡ r + s mod n,}

a · b ≡ r · s mod n,

a

m

_{≡ r}

m

mod n.

Beweis. Manersetze

10

dur h

n

inden früheren Beweisen.

Satz(KleinerSatz von Fermat).Sei

p

einePrimzahl.Weitersei

m

einenatürli heZahl mitder Eigens haft

m ≡ 1 mod p − 1

. Dann giltfür jedenatürli he Zahl

a

a

m

_{≡ a mod p.}

Beweis. Dieser Satz wird in den Algebra-Vorlesungen im Rahmen der Gruppentheorie

bewiesen.

1. Anwendung: Ganz viele neue Re hentri ks

Findeneue Re hentri ks!

Weiÿ man zum Beispiel, dass

21

5

≡ 1 mod 100

gilt,sokann man ganzeinfa h dieletzten zwei Ziern von

a

n

bere hnen, wenn dieletzten

beiden Ziern von

a

glei h

21

sind. Alsallereinfa hsteAnwendung sind dieletztenbeiden Ziernvon

a

n

glei h

01

,wenn

n

dur h

5

teilbarist(d.h.wenn dieletzteZiervon

n

glei h

0

oder

5

ist).

Die abstrakte Erkenntnis der zugrunde liegenden Regeln bes hleunigt das

Fin-den ähnli her Regeln also enorm.

2. Anwendung: Vers hlüsselung im Internet  ein Kryptographie-Verfahren

Problem:Ali ewilleine geheimeNa hri htanBobs hi ken. Ali eund Bobwollen ni ht,

dass jemand anderes die Na hri ht kennt, au h wenn der/die andere die gesamte

Kom-munikation zwis hen Ali e und Bob abhört. Der Einfa hheit halber nehmen wir an, dass

•

AundBeinigensi haufeinegroÿePrimzahl

p

,z.B. 17976931348623 159 07 72 930 51 90 789 02 47 33 617 97 69 789 42 30 657 2 734300811577326 75 805 50 09 63 132 70 84 773 22 40 753 60 21 12 011 38 79 871 39 33 576 58 78 976 88 14 41 662 24 92 847 43 06 394 74 12 43 777 67 89 342 48 65 485 27 63 022 19 6

012460941194530 82 952 08 50 05 768 83 81 506 82 34 246 28 81 47 391 31 10 540 82 72 371 63 35 051 06 84 58 629 82 39 947 24 59 384 79 71 63 048 35 35 632 96 24 224 13 78 59

Jeder darfdiese Primzahl kennen; sieist keinGeheimnis.

Der Einfa hheit nehmen wir an, dass

0 < N < p

gilt(ansonsten führen wir das Verfahren mehrfa h dur h).

•

Ali e wählt geheim eine natürli he Zahl

0 ≤ a < p − 1

und bere hnet

c

, so dass

ac ≡ 1

mod p − 1

gilt.

•

Bob wählt geheim eine natürli he Zahl

0 ≤ b < p − 1

und bere hnet

d

, so dass

bd ≡ 1

mod p − 1

gilt.

•

Ali e:Abs hlieÿenmit rotemS hloss

Geheimsache

Geheimsache

Bere hne

A

, sodass

N

a

≡ A mod p

. S hi ke

A

anBob.

•

Bob:Abs hlieÿen mitblauemS hloss

Geheimsache

Geheimsache

Bere hne

B

, sodass

A

b

≡ B mod p

. S hi ke

B

anAli e.

•

Ali e:Entfernen des roten S hlosses

Geheimsache

Geheimsache

Bere hne

C

, so dass

B

c

≡ C mod p

. S hi ke

C

an Bob.

Merke na h unseren Regeln:

C ≡ B

c

≡ A

bc

≡ N

abc

≡ (N

b

)

ac

≡ N

b

mod p

.

•

Bob:Entfernen des blauenS hlosses

Geheimsache

Geheimsache

Bere hne

D

,so dass

C

d

≡ D mod p

. Merke na h unseren Regeln:

D ≡ C

d

≡ (N

b

)

d

≡ N

bd

≡ N mod p

.

Das Verfahren funktioniert! Denn dies ist die

ursprüngli he Na hri ht.

•

Merke:

N

wurde nieselbst vers hi kt!

Na hheutigem Kenntnisstand istes praktis h unmögli h,aus der Kenntnis von

A

,

B

und

Die Menge der Reste bei Division dur h

n

bildet einen sogenannten Ring, das ist grob gespro hen eineMengezusammenmiteiner AdditionundeinerMultiplikation,sodassdas

Assoziativ-,dasKommutativ-unddas Distributivgesetzgelten.Ist

n

einePrimzahl,sohat man sogar einen sogenannten Körper.

Beispiele von Ringen sind

- dieganzen Zahlen,

- dierationalen Zahlen(Bru hzahlen),

- diereellen Zahlen.

Die letzteren beiden sind au h Körper.

Eine einfa here Struktur ist diejenige einer Gruppe, das ist eine Menge zusammen mit

einer Multiplikation, sodass das Assoziativgesetz giltund jedes Element einInverses hat.

Beispiele von Gruppen sind

- diepositiven reellenZahlen,

- dieReste unglei h null beiDivision dur h eine Primzahl,

- Symmetrien vonFiguren (z.B. Polygonen) oder in der ChemievonKristallen,

- inder Geometrie bestimmteKurven, sogenannte elliptis he Kurven.

Diese Objekte (und viele andere mehr!) werden in Mathematik-Vorlesungen an der Uni

studiert. Sätze werden in mögli hst groÿer Allgemeinheit bewiesen (imBeispiel der Reste

beiDivisionwürdederallgemeineFall

n

behandelt),sodasssieaufmögli hstvieleBeispiele und inmögli hst vielen Gebieten angewandt werden können.

Das Erkennen gemeinsamer zu Grunde liegender Strukturen und deren

ab-strakte Behandlung ist ein Grundprinzip der Mathematik.

•

Elliptis he KurvenwerdenunterVerwendung derDivisionmitRest dur heinegroÿe Primzahl seit einigen Jahren in der Kryptographie eingesetzt. Zum Beispielenthält

derChipdesdeuts henReisepasses unddesdeuts hen Personalausweisesdie

Re hen-gesetze einer elliptis henKurve!

•

Elliptis heKurvengebenau hErkenntnisseüberSymmetrienvonalgebrais hen Zah-len. Dies wird ents heidend benutzt im Beweis des sogenannten Groÿen Satzes von

Fermat,der vor20Jahren na hüber350 Jahren Su he endli h bewiesen worden ist!

Erbesagt, dass eskeine positiven ganzenZahlen

a

,

b

,

c

und

n ≥ 3

gibt, so dass

a

n

+ b

n

= c

n

.

Für

n

= 2

hat man aber die sogenannten Pythagoräis hen Tripel (na h dem Satz von Pythagoras), z.B.

3

2

+ 4

2

= 5

2

.

•

DergroÿeSatzvonFermatkann nurmitHilfevonMathematikbewiesen werden,die überdas hinaus geht,was an der Uniim Ba helor und Master gelehrtwird.

Symmetrien von Zahlen werden aber in den Algebra-Vorlesungen im Rahmen der

sogenannten Galois-Theoriestudiert.

Evariste Galois 1811 1832 (ineinem Duell gestorben)

JederkenntdieFormelzurLösungquadratis herGlei hungen

x

2

+bx+c = 0

,nämli h

x

=

−b ±

√

b

2

− 4c

2

.

Es gibt au h no h sol he Formeln zum Lösen von Glei hungen dritten und vierten

Grades,d. h.

x

3

+ bx

2

+ cx + d = 0

bzw.

x

4

+ bx

3

+ cx

2

+ dx + e = 0

.

In der Algebra-Vorlesungwird mit Hilfe der Symmetrien von Zahlenbewiesen, dass

es keine sol he Lösungsformeln mit Wurzelausdrü ken gibt für Glei hungen fünften

oder höheren Grades!