Fleurance, 11/08/16 JMLL/Exponentielle 1

(1)

(2)

Exponentielle

Jean-Marc Lévy-Leblond

(3)

Exponenciel

Jean-Marc Lévy-Leblond

(4)

Attention, fil rouge !

Prérequis :

Tout savoir déjà sur l’exponentielle…

Ou, au moins, connaître :

— la notion de fonction

— la dérivation

— les nombres complexes

(programme de Terminale S)

(5)

1. Motivations

2. Un brin d’histoire

3. L’équation fonctionnelle de la fonction exponentielle 4. L’équation différentielle et sa résolution en série entière 5. Le logarithme naturel

6. La constante e [6’. Bonus : fractions continues]

7. L’exponentielle complexe

8. Généralisation : exponentielles de matrices et d’opérateurs

9. Séries de Fourier

(6)

Le clou de la séance :

i ⁱ = e ^- ^p ^/2

e ⁱ ^p = -1

(7)

1.Motivations

(8)

2. Un brin d’histoire

“Puissances” : carrés a ^x a, cubes a ^x a ^x a, etc.

Chuquet 1484, Stifel 1584 :

puissances fractionnaires, négatives, mais pas de notation adaptée

Descartes 1637 : a ² , a ³

puissances numériques entières seulement Wallis 1657, Newton 1676, Leibniz 1678

puissances fractionnaires : a ^1/2 = puissances littérales variables : a ^p

a ^p ^x a ^q = a ^p+q

(9)

3. L’équation fonctionnelle de la fonction exponentielle

multiplication <—> addition ?

f ( x ) ´ f ( y ) = ^? f ( x + y )

(10)

4. L’équation différentielle

et sa résolution en série entière f '( x ) = ^? l f ( x )

exp( x ) = 1 + x+ x ²

2 + x ³

6 +¼+ x ⁿ

n ! +¼

(11)

Le graphe de la fonction exponentielle

(12)

(13)

Les premiers termes

de la série exponentielle

(14)

Leonhard Euler, 1727

Meditatio in Experimenta explosione tormentorum nuper instituta

(Méditation sur des expériences récentes de tir au canon)

5. La constante e

(15)

(16)

e = 2.71828182845904523536028747135266249775724709369995…

e = p = 3 e

³

= 20,085…

e= 1

0! + 1

1! + 1

2! + 1

3! +¼

(17)

Développement de e

en fraction continue

(18)

6. Le logarithme naturel

(19)

7. L’exponentielle complexe

y

x

z z = x + iy

z = z e ⁱ ^arg ^z

(20)

. ^e ⁱ ^p ^{= -1}

(21)

Re[exp( x+ iy )]

= e ^x cos y

(22)

8. Exponentielles de matrices,

opérateurs, etc.

(23)

Attention à la non-commutativité ! Formule de Campbell-Baker-Hausdorff

8. Exponentielles de matrices, opérateurs, etc.

e ^X e ^Y = X + Y + ¹ ₂ ( XY - YX)

+ ₁₂ ¹ ( X ² Y - 2 XYX + YX ² )

+¼

(24)

Fleurance, 11/08/16 JMLL/Exponentielle 1

Exponentielle

Jean-Marc Lévy-Leblond

Exponenciel

Jean-Marc Lévy-Leblond

Attention, fil rouge !

Prérequis :

Tout savoir déjà sur l’exponentielle…

Ou, au moins, connaître :

— la notion de fonction

— la dérivation

— les nombres complexes

(programme de Terminale S)

1. Motivations

2. Un brin d’histoire

3. L’équation fonctionnelle de la fonction exponentielle 4. L’équation différentielle et sa résolution en série entière 5. Le logarithme naturel

6. La constante e [6’. Bonus : fractions continues]

7. L’exponentielle complexe

8. Généralisation : exponentielles de matrices et d’opérateurs

9. Séries de Fourier

Le clou de la séance :

i i = e - p /2

e i p = -1

1.Motivations

2. Un brin d’histoire

“Puissances” : carrés a x a, cubes a x a x a, etc.

Chuquet 1484, Stifel 1584 :

puissances fractionnaires, négatives, mais pas de notation adaptée

Descartes 1637 : a 2 , a 3

puissances numériques entières seulement Wallis 1657, Newton 1676, Leibniz 1678

puissances fractionnaires : a 1/2 = puissances littérales variables : a p

a p x a q = a p+q

3. L’équation fonctionnelle de la fonction exponentielle

multiplication <—> addition ?

f ( x ) ´ f ( y ) = ? f ( x + y )

4. L’équation différentielle

et sa résolution en série entière f '( x ) = ? l f ( x )

exp( x ) = 1 + x+ x 2

2 + x 3

6 +¼+ x n

n ! +¼

Le graphe de la fonction exponentielle

Les premiers termes

de la série exponentielle

Leonhard Euler, 1727

Meditatio in Experimenta explosione tormentorum nuper instituta

(Méditation sur des expériences récentes de tir au canon)

5. La constante e

e = 2.71828182845904523536028747135266249775724709369995…

e = p = 3 e

= 20,085…

e= 1

0! + 1

1! + 1

2! + 1

3! +¼

Développement de e

en fraction continue

6. Le logarithme naturel

7. L’exponentielle complexe

y

x

z z = x + iy

z = z e i arg z

. e i p = -1

Re[exp( x+ iy )]

= e x cos y

8. Exponentielles de matrices,

opérateurs, etc.

Attention à la non-commutativité ! Formule de Campbell-Baker-Hausdorff

8. Exponentielles de matrices, opérateurs, etc.

e X e Y = X + Y + 1 2 ( XY - YX)

+ 12 1 ( X 2 Y - 2 XYX + YX 2 )

+¼

Et, comme cerise sur le gâteau,

une autre jolie formule reliant e et p :

dt e - t 2

-¥

+¥ ò = p

i ⁱ = e ^- ^p ^/2

e ⁱ ^p = -1

“Puissances” : carrés a ^x a, cubes a ^x a ^x a, etc.

Descartes 1637 : a ² , a ³

puissances fractionnaires : a ^1/2 = puissances littérales variables : a ^p

a ^p ^x a ^q = a ^p+q

f ( x ) ´ f ( y ) = ^? f ( x + y )

et sa résolution en série entière f '( x ) = ^? l f ( x )

exp( x ) = 1 + x+ x ²

2 + x ³

6 +¼+ x ⁿ

z = z e ⁱ ^arg ^z

. ^e ⁱ ^p ^{= -1}

= e ^x cos y

e ^X e ^Y = X + Y + ¹ ₂ ( XY - YX)

+ ₁₂ ¹ ( X ² Y - 2 XYX + YX ² )

dt e ^- ^t ²

+¥ ò ⁼ ^p