Licence Informatique 2 e année Informatique théorique II
Examen partiel - 07/11/2007 - 2h00
Les notes de cours et de TD sont autorisées. Il sera tenu compte pour la notation de la qualité de rédaction et de la lisibilité des copies.
1 Relation d’équivalence selon un sous-ensemble (4 points)
SoitE un ensemble quelconque non vide etA un sous-ensemble de E. On définit surP(E)(l’ensemble des parties deE) la relationRparXRY ⇔X∩A= Y ∩A.
a.Montrer queR est une relation d’équivalence surP(E).
b.Donnez la classe d’équivalence de E et celle de∅. DéterminerP(E)/R.
2 Relation définie par un tableau (10 points)
SoitE ={a,b,c,d,e,f,g,h} un ensemble à 8 éléments. On définit surE×E une relation S au moyen du tableau suivant (lu de gauche à droite, un point indique que les deux éléments sont en relation) :
S a b c d e f g h
a • • • • • • •
b • • • •
c • • • •
d •
e • • • •
f • •
g • •
h •
a. S est-elle réflexive, antiréflexive, symétrique, antisymétrique? Si on admet que la relation est transitive, est-ce une relation d’ordre? Si oui, est-ce un ordre total ou partiel? (les réponses non justifiées ne seront pas prises en compte!) b.Dessiner le diagramme de Hasse deS.
c.Appliquer l’algorithme du tri topologique sur S pour construire une relation d’ordre total étendantS (décrire le déroulement de l’algorithme!).
1
d. Donnez, quand ils existent, les majorants, minorants, bornes supérieures, bornes inférieures, maximaux, minimaux, minimum et maximum des ensembles suivants :E,{c,f},{a,e}.
3 Morphisme de groupe (6 points)
Soit(G,.)un groupe etf l’application deGdansGqui à un élément associe son inverse (f(x) = x−1). Montrer que f est un morphisme de groupe si et seulement si(G,.)est commutatif.
2
Correction
Relation d’équivalence selon un sous-ensemble
a.Montrons queR est réflexive.∀X ∈ P(E), X∩A=X∩A doncXRX.
R est donc réflexive.
Montrons queR est symétrique.∀X,Y ∈ P(E),XRY ⇒X∩A=Y ∩A⇒ Y ∩A=X∩A⇒Y RX.Rest donc symétrique.
Montrons queRest transitive.∀X,Y,Z∈ P(E),XRY et Y RZ⇒X∩A= Y ∩AetY ∩A=Z∩A⇒X∩A=Z∩A⇒XRZ.Rest donc transitive.
Rest donc bien une relation d’équivalence surP(E).
b.E∩A=A. La classe deE est l’ensemble des parties deE équivalentes à E donc l’ensemble des parties P telles queP ∩A=E∩A=A, donc la classe deE est l’ensemble des parties deE contenant A.
∅ ∩A =∅. La classe de ∅ est l’ensemble des parties de E équivalentes à∅ donc l’ensemble des partiesP telles queP∩A=∅ ∩A=∅, donc la classe de∅ est l’ensemble des parties deE disjointes deA.
Une classe d’équivalence deR est définie par l’intersection de ses éléments avecA. Il y a donc autant de classes que de sous-ensembles de AetP(E)/R= P(A).
Relation définie par un tableau
a.Sest réflexive car la diagonale du tableau est pleine, donc tout élément est en relation avec lui-même. S est antisymétrique car le tableau est triangulaire supérieur, donc si deux éléments x et y sont en relation dans la partie supé- rieure du tableau, y ne peut être en relation avecxdans la partie inférieure. S étant supposée transitive, c’est donc une relation d’ordre (réflexive, antisymé- trique et transitive). C’est un ordre partiel car, par exemple, eet ane sont pas comparables.
c.a≤b≤c≤d≤e≤f ≤g≤hest un ordre total qui étendS.
d.E: pas de majorant, pas de minorant, pas de minimum, pas de maximum, pas de borne,eetasont minimaux,het dsont maximaux.
{c,f}:hest majorant et borne sup,aest minorant et borne inf,c etf sont minimaux et maximaux, il n’y a ni maximum ni minimum.
{a,e}: f,h et g sont majorants, pas de borne sup, pas de minorant ni de borne inf,a et esont minimaux, pas de minimum, aet e sont maximaux, pas de maximum.
4 Morphisme de groupe
Montrons que si f est un morphisme, (G,.) est commutatif. f morphisme
⇒ ∀x,y∈G,f((x.y)−1) = (f(x.y))−1= (f(x).f(y))−1= (x−1.y−1)−1=y.x. Or f((x.y)−1) =x.ydoncx.y=y.xdonc(G,.)est commutatif
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Montrons que si(G,.)est commutatif,f est un morphisme.(G,.)commutatif
⇒ ∀x,y∈G,x.y=y.xdoncf(x.y) =f(y.x) = (y.x)−1=x−1.y−1=f(x).f(y).
Doncf est un morphisme.
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