ANALYSE HARMONIQUE DES VIBRATIONS TRANVERSALES D’UNE LAME ELASTIOUE

ANALYSE HARMONIQUE DES

VIBRATIONS TRANVERSALES D’UNE LAME ELASTIOUE

Charles DE IZARRA, Olivier VALLEE, Centre Universitaire de Bourges - UFR Faculté des Sciences - GREMI BP 4043,18028 BOURGES cedex

Résumé.

On propose d’utiliser la transformée de Fourier sur des ripnartw echantillonnés potrr etudier les fréquences de Gbration d’une lame élastique, à l’aide d’on montage extrêmement simple. Les données sont échantillonnées avec un oscilloscope numérique équipé d’une interface I<SD2. puis traitées à l’aide d’un logtciel de calcul de transformée de Fourter rapide (T.F K.).

1. THEORIE DE 1,‘EXPERIENCE.

Dans un précédent article au Bulletin de I’tJnion de\ Physiciens 11 1, nous avons présenté une application de la Transformée de Fourier Rapide sur des pendules simples couplés par des ressorts, ce qui permettait de déterminer très rapidement les fréquences propres du système.

Dans le présent article, on propose une autre application de l’analyse de Fourier dans le but d’étudier l’évolution de la fréquence de vibration d’une lame métallique en fonction de sa longueur. Tout le monde s’est un jour amusé à faire vibrer une règle de plastique sur le bord d’une table : plus la partie vibrante est longue, et plus grave est le son émis par les chocs de la règle sur la table. Un tel effet est mis à profit dans certaines boîtes à musique (figure 1) et dans les harmonicas, pour ne citer que les exemples les plus connus.

Tambour en rotation muni de picots

~~~

Lames vibrantes de différentes

longueurs

Vol 88 Juin 1994 Charles IX MAKKA Or Olivier VALLEE:

L’équation différentielle décrivant les mouvements transversaux d’une poutre peut être facilement établie dans le cadre de la théorie de I’élasttcité (2. 3 1 et s’écrit, avec les notations de la figure 2 :

3%

2 +G?=o

Kz at2 (1)

où K est une constante faisant intervenir des quantités intrinsèques à la poutre (module d’Young...).

Y

Poutre encastrée à son extrémité x

i

_1 *

b

Cherchons les régimes stationnaires de l’équation (1) en cherchant des solutions de la forme :

y = Hx) ew

(2)

dans laquelle la fonction q(x) est réelle.

En portant (2) dans l’équation (1). on obtient une équation linéaire du quatrième ordre en

<(’ :

d4cf tu?

--- dx4 @rV=0’ (3)

1

En posant m4 = 5, l’équation (3) prend la forme simple :

(4) L’équation caractéristique de (4) admet quatre racrnes m. -m, im et -rm. La solution cherchée est alors :

‘p = A.cos mx + B.sin mx + Cch mx + D.sh mx (5)

dans laquelle A. B, C et D sont des constantes déterminées par les conditions aux limites.

Pour la poutre encastrée (figure 2). ces conditions aux limites sont les suivantes :

enx=O cp=o (Déplacement nul)

(Pas de cassure)

enx=L --0 dzv

dx’ - (Moment fléchissant nul)

db -- 0

dx3 - (Effort tranchant nul)

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BULLETIN DE L’UNION DES PHYSICIENS I IY

On obtient alors 4 équations : A+C=O B+D=0

-A COS mL B.sin mL + C.ch mL + Dsh mL = 0 A sin mL BXOS mL + C.sh mL A D.ch mL = 0 En remplaçant C et D en fonction de A et B, on est conduit à :

A [COS mL + ch ml.1 =-B Isin ml. + sh mLI A [sh mL sin mI*l = -B [COS ml. + ch mLI.

Ce système n’est compatible qu’à la condition :

~COS mL + ch mL]’ = [sh mL + sin mLJ.[sh ml. sin mLj soit :

COS mL ch mL = 1.

(6)

L’équation (6) doit être résolue graphiquement en traçant les fonctions COS et -I/ch en fonction de mL (voir figure 3).

0.5

0

-0.5

-1

0 1 2 3 4 5 6 7

mL

Fip~e 3. Solution graphique de l’équarion cm(mL).ch(mL) =

A cause de la croissante très raptde de la fonctton ch x, on remarque que les points d’intersection des deux courbes (à l’exception du premier) sont très proches des points d’intersection de cos(mL) avec l’axe des abscisses, On peut alors écrire :

mk.L=(2k+ 1);. (7)

Pour la première solution (k=O), un calcul numérique conduit à :

m().L = 1.8745 (8)

Vol 88 - Juin 1994 Charles DE I%ARRA ET Olivier VAI.I.EE

A partir des valeurs de ml; obtenues, on obtient la loi de variation des fréquences propres CON en fonction de la longueur L de la poutre :

et la fréquence fi, la plus basse est, sachant que CU(~= 2xfo : pi.

(5)

(6) L’objet de la manipulation va consister à mesurer fo pour &Verses valeurs de L. à vérifier la relation (6) puis à extraire la constante K.

2. MONTAGE PROPOSE.

La lame étudiée est une lame de scie à métaux en acier dont une des extrémité a été

“aimantée” afin de permettre une détection électromagnétique. D’autres lames ont été testées (régle& de différents type) mais c’est la lame de scie à métaux qui donne les meilleurs résultats. Pour aimanter l’extrémité de la lame, il suffit de la frotter à l’aide d’un puissant aimant permanent.

Le mouvement vibratoire de la lame est aisément détecté en faisant passer l’extrémité aimantée devant le noyau de ïer d’une bobine cylindrique (figure 4). Lorsque la lame passe à proximité du noyau de la bobine, le flux du champ magnétique créé par la lame à travers la bobine varie, ce qui provoque l’apparition d’une force électro-motice induite donc d’un courant qui est converti sous forme de tension à l’entrée de I’oscllloscope. On notera que le signal détecté sur I’oscilloscope n’est qu’une mesure de la vibration de l’extrémité de la lame vibrante. En effet, à chaque fois que la lame passe à proxirmtc! de la bobine, on observe un pic : la fréquence de vibration extraite du signal enregistré et le double de la fréquence de vibration de la lame de se.

L’acquisition et le traitement des données sont réalisés avec le montage expérimental décrit dans la référence Il 1.

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BULLETIN DE L’UNION DES PHYSICIENS 121

étau

A I’intant t = 0, I’extrémlté libre de la lame de scie est écartée de sa position d’équilibre, ce qut revient à exciter le mode de vibration fondamental (oscillant à la fréquence f(j). On notera que les modes de vibrations supérieurs sont plus délicats à exciter séparément.

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3. RESULTATS OBTENUS.

La figure 5 donne une copie d’écran d’un signal typique obtenu avec une longueur L = 17.5 cm. On notera que le phénomène vibratoire est lent, et que le signal ne s’atténue que très peu sur les quelques périodes que dure l’enregistrement.

O.OS -

Le spectre de Fourier (avec une échelle verticale logarithmique) du signal de la tïgure 5 est présenté sur la figure 6. On remarque un puissant pic situé à 32 Hz, et son harmonique à 64 Hz. On peut également déceler la présence de pics beaucoup moins puissants que les pics précedents, que l’on peut attribuer à des sous-harmoniques des modes de vibration plus élevés.

Spectre de puissance

0.0001

10”

10”

10 If’

0 20 40 60 100

FrCquencc (HI)

Fipwe 6. Spectre de Fourier (puissanc~r) du .~i,gnd dr lajgure 5

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BULLE.TIN DE L’UNION DES PHYSICIENS 123

Le tableau 1 fournit une série de mesures réalisées avec la lame de scie à métaux.

Conformément à la relation (6). on remarque que la fréquence mesurée augmente lorsque L diminue.

Tableau 1. Ré.sultutc ohrenus. Le.\

fréquence.~ dom& sont les fiéquencec directement me.wréev

En traçant les couples de points (I/L?, fr)), on note que ceux-ci sont alignés, ce qui est une preuve de la validité de la relation (6). La mesure de la pente de la droite passant par ces points donne le coefficient K, propre à la lame de scie utilisée. En tenant compte du facteur 2 entre la fréquence mesurée et la fréquence de vibration de la lame de scie, on obtient la valeur numérique de K :

K = 3.6 m’!s.

20 4.0

Figure 7. Graphe defo ffréqurncr mewrée) rn font-tion de IILJ.

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4. CONCLUSION.

Cette expérience, très simple à réaliser. peut servir de support d’étude à la Transformée de Fourier. On ne s’est intéressé qu’à la fréquence de vibration fondamentale, mais rien n’empêche d’exciter la lame de scie en lui imprimant un choc. de façon à exciter les modes de vibrations supérieun. On peut compléter cette manipulation par une mesure de l’amortissement de l’oscillation de la lame de scie avec un modèle de frottement fluide. Enfin. cette expétience peut être aussi réalisée à l’aide d’une boîte à musique, en utilisant un mtcrophone et en mesurant la longueur des lames vibrantes.

Dans ce cas. il faut vérifier que I’épalsseur des différentes lames est constante, ce qui n’est pas toujours le cas.

BIBLIOGRAPHIE

Il 1 Ch de IZARRA et 0. VAl.lkt, “Pe~u/r.\ cw~lér : Prude de\ fiéqurnw\ proprrc pur ot~~lwr de Fourier”, B.U.P. N”759, Décembre 1993, pp, 1.549-ISW

121 L. LANDAU et E. LIFCHITZ, “7%&1rie de I’élarric.iré”. Editions Mir, Moscou (1967).

13) M. SOUTIF. “Vihru~ion. Prr~po,qufion. Diffu,ion”, Dunod LJniversité. ( 1975).

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