Le multiplicateur de Schur de 1900 `a nos jours

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Texte intégral

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Le multiplicateur de Schur de 1900 ` a nos jours

Christian Kassel

Institut de Recherche Math´ematique Avanc´ee CNRS - Universit´e de Strasbourg

Strasbourg, France Colloquium, LAMFA, Amiens

1er octobre 2014

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Introduction

Dans cet expos´e je parlerai

•dumultiplicateurintroduit parSchurun peu apr`es 1900,

•puis d’un avatar moderne dˆu `aDrinfeld

Auparavant, je rappellerai ce qu’est ledual de Pontryagind’un groupe ab´elien Je pr´esenterai ainsi trois objets math´ematiques dus `a trois math´ematiciens ayant v´ecu `a trois ´epoques diff´erentes

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Issai Schur (1875–1941)

•professeur `a l’Universit´e de Berlin

•connu pour ses travaux enth´eorie des repr´esentations(“lemme de Schur”) et en combinatoire (“fonctions de Schur”)

•chass´een 1935de son poste de professeuren raison de ses origines juives, puis, suite `a une intervention de Bieberbach, de l’Acad´emie des sciences de Prusse et du comit´e ´editorial deMathematische Zeitschrift

•oblig´e de quitter l’Allemagne en 1939 et mort en exil `a J´erusalem

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Lev Semionovitch Pontriaguine (Pontryagin) (1908–1988)

•aveugle `a l’ˆage de 14 ans suite `a l’explosion d’un r´echaud

•professeur `a Moscou

•connu pour ses travaux entopologie alg´ebriqueet entopologie diff´erentielle(“classes de Pontryagin”)

•et. . . pour ses positions antis´emites

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Vladimir Drinfeld (n´ e en 1954)

•professeur `a Chicago (auparavant, chercheur `a Kharkov)

•connu pour ses travaux sur laconjecture de Langlandset en physique math´ematique menant auxgroupes quantiques

•m´edaille Fields en 1990

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Dual de Pontryagin

SoitG ungroupe ab´elien localement compact

•D´efinition. Uncaract`erede G est une fonction continueχ:G→U`a valeurs dans les nombres complexes de module1telle que

χ(a+b) =χ(a)χ(b) (a,b∈G)

•L’ensemble des caract`eres deG est appel´e ledual de PontryagindeG ; il forme un groupe dont la loi est donn´ee par

(χ·χ0)(a) =χ(a)χ0(a) (a∈G)

•La dualit´e de Pontryagin estinvolutive: b Gb∼=G

•Exemples.

(a)Ub=Z: tout endomorphisme continu deUest de la formez7→zn(nZ) (b)Rb=R: tout homorphisme continuRUest de la formet7→eiat (aR)

•Le dual d’un groupecompactest un groupediscretet r´eciproquement

•Dans la suite on ne s’int´eressera qu’aux groupes compacts et discrets, c’est-`a-dire auxgroupes finis

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Transformation de Fourier discr` ete

•Question. Comment ´etendre la dualit´e de Pontryagin aux groupes (finis)non ab´elienssachant que tout caract`ereχ:G →Use factorise par le quotient ab´elien maximalGab=G/[G,G] ?

•Id´ee. Passer auxalg`ebres de fonctions

•SoitG un groupe fini ab´elien etO(G) l’alg`ebre des fonctions surG `a valeurs complexes. NotonsO(Gb) l’alg`ebre des fonctions sur le dual de Pontryagin deG Latransformation de Fourier discr`ete(TFD)

bf(χ) =X

a∈G

f(a)χ(a) (χ∈G)b d´efinit unisomorphisme d’espaces vectoriels

f 7→bf :O(G)→O(Gb)

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L’alg` ebre d’un groupe

•La TDF n’estpas un isomorphisme d’alg`ebres: on a fb1·fb2=\f1∗f2

o`u le produit∗, ditproduit de convolution, surO(G) est d´efini par (f1∗f2)(a) =X

b∈G

f1(b)f2(a−b) (a∈G)

•Le produit de convolution∗munitO(G) d’une autre structure d’alg`ebre associative et unif`ere, not´eeCG et appel´eel’alg`ebre du groupeG

Etant donn´ea∈G, soiteala fonction nulle partout sauf enao`u elle vaut 1.

Alors

ea∗eb=ea+b (a,b∈G)

Conclusion. La TDF permet d’identifier l’alg`ebre des fonctionsO(Gb) sur le dual de PontryaginGbavec l’alg`ebre du groupeCG

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Alg` ebres de Hopf

•SiG est un groupe (fini)non ab´elien, alors les alg`ebresO(G) etCG sont bien d´efinies, et en g´en´eralisant `a partir du cas ab´elien, on peut consid´erer l’alg`ebre du groupeCG commele dual de l’alg`ebre des fonctionsO(G) On va donner un sens pr´ecis `a cette nouvelle dualit´e en utilisant le langage des alg`ebres de Hopf

•Unealg`ebre de Hopfest une alg`ebre associative et unif`ere muni de structures suppl´ementaires, notamment d’un morphisme d’alg`ebres

∆ :H→H⊗H (coproduit) v´erifiant l’´egalit´e decoassociativit´e

(∆⊗idH)∆ = (idH⊗∆)∆

•Le concept d’alg`ebre de Hopf estauto-dual: siH est une alg`ebre de Hopf de dimension finie, alors sondual lin´eaireH= Hom(H,C) en est une ´egalement :

- le produit de Hest la transpos´ee du coproduit deH - le coproduit deH est la transpos´ee du produit deH

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La dualit´ e entre O(G ) et C G

•Pour tout groupe (fini)G,l’alg`ebre des fonctionsO(G) est une alg`ebre de Hopf dont le coproduit est d´efini par

∆(f)(g,h) =f(gh) (g,h∈G)

•L’alg`ebre de groupeCG a ´egalement une structure d’alg`ebre de Hopf ; son coproduit est donn´e par

∆(eg) =eg⊗eg (g∈G)

•L’accouplement naturelh−,−i:CG×O(G)→Cdonn´e par heg,fi=f(g)

induit un isomorphisme d’alg`ebres de HopfCG −→= O(G)

•Moralit´e. Ladualit´e de Pontryagin pour les groupes non ab´eliens, c’est la dualit´e entre les alg`ebres de HopfO(G) etCG

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Repr´ esentations projectives

•Unerepr´esentation lin´eaired’un groupe finiG est un homomorphisme de groupes

ρ:G→GLn(C)

deG vers legroupe lin´eaire g´en´eralpour un certain entiern≥1

•Unerepr´esentation projectived’un groupe finiG est un homomorphisme de groupes

¯

ρ:G →PGLn(C) deG vers legroupe lin´eaire projectif

PGLn(C) =GLn(C)/{λIn, λ∈C− {0}}

Les repr´esentations projectives ont ´etudi´ees parSchurdans deux articles parus en 1904 et 1907 au Journal de Crelle (Journal f¨ur reine und angewandte Mathematik)

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Cocycle associ´ e ` a une repr´ esentation projective

I En associant `a tout ´el´ement dePGLn(C) une matrice inversible dansGLn(C), autrement dit,en choisissant une section de la surjection canoniqueGLn(C)PGLn(C), on peut identifier une repr´esentation projective ¯ρ:G→PGLn(C) `aune fonction

ρ:G →GLn(C)

telle que, pour tousg,h∈G, il existe un scalaireα(g,h)6= 0 tel que ρ(gh) =α(g,h)ρ(g)ρ(h) (g,h∈G)

I Que peut-on dire de la fonctionα:G×G →C×=C− {0}? Si on d´eveloppe l’´egalit´eρ((gh)k) =ρ(g(hk)), on obtient larelation de cocycle

α(g,h)α(gh,k) =α(h,k)α(g,hk) (g,h,k∈G) (1)

•On dit qu’une fonctionα:G×G →C×v´erifiant la relation (1) est un 2-cocycledeG

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Cocycles cohomologues

•Si on fait lechoix d’une autre sectionde la surjectionGLn(C)PGLn(C), on obtient un autre 2-cocycleβ. Il est li´e `aαpar une relation de la forme

β(g,h) =λ(g)λ(h)

λ(gh) α(g,h) (g,h∈G) o`uλ:G→C×est une certaine fonction

On dit que les 2-cocyclesαetβsontcohomologues

•La relation de cohomologie est unerelation d’´equivalencesur les 2-cocycles d’un groupe

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Le multiplicateur de Schur - D´ efinition

•D´efinition. Lemultiplicateur de SchurM(G)de G est le groupe des classes de cohomologie de2-cocycles de G

•Depuis l’av`enement del’alg`ebre homologiqueet de lacohomologie des groupes(1940–50), on sait que le multiplicateur de Schur s’identifie au second groupe de cohomologie du groupeG :

M(G) =H2(G,C×) ce qui donne de puissants moyens de le calculer

•Remarque. SiG est un groupe ab´elien fini, alorsGb=H1(G,C×)

On peut consid´erer le multiplicateur de Schur comme unanalogue sup´erieurdu dual de Pontryagin

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Le multiplicateur de Schur - Exemples

I Schur (1911) a d´etermin´e le multiplicateur de Schur desgroupes sym´etriquesetaltern´es:

M(Sn) = (

Z/2 sin≥4 1 sin≤3

M(An) =





Z/2 sin≥8 etn= 4,5 Z/6 sin= 6,7

1 sin≤3

I Les multiplicateurs de Schur de tous lesgroupes simplesont ´et´e calcul´es dans les ann´ees 1960–70. Par exemple,

(a) pour le Monstre de Fischer-Griess, on aM(F1) = 1 (b)M(PSL3(F4))∼=Z/12×Z/4

I Pour desgroupes “compos´es”le multiplicateur peut ˆetre “grand” : M((Z/2)N)∼= (Z/2)N(N−1)/2

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Vers un “dual” du multiplicateur de Schur

Questions

•Peut-ond´efinir le multiplicateur de Schurd’un groupe finiG en termes de l’alg`ebre des fonctionsO(G) ?

Comme nous l’avons vu, une telle r´einterpr´etation permet de voir la dualit´e de Pontryagin des groupes dans le cadre plus g´en´eral de la dualit´e des alg`ebres de Hopf

O(G)←→CG

•Plus g´en´eralement, peut-on d´efinir le multiplicateur de Schur dans le cadre desalg`ebres de Hopf?

•Lar´eponse est oui; elle fait intervenir les “twists de Drinfeld”

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Twists de Drinfeld

Ils ont ´et´e introduits par Drinfeld en 1989–90 pour classifier les groupes quantiques qu’il avait d´efinis quelques ann´ees auparavant

•D´efinition. (a) Untwist de Drinfeldsur une alg`ebre de Hopf H est un

´el´ement inversible F ∈H⊗H v´erifiant l’´equation

(F⊗1) (∆⊗idH)(F) = (1⊗F) (idH⊗∆)(F)∈H⊗H⊗H (2)

•SiH=O(G) estl’alg`ebre des fonctionscomplexes sur un groupe finiG, alors un twist de Drinfeld

F ∈O(G)⊗O(G) =O(G×G)

n’est autre qu’une fonctionF :G×G →Cv´erifiant deux conditions : (a)F prend des valeurs dansC×⇐⇒inversibilit´e deF

(b)F est un2-cocycledeG ⇐⇒´equation (2)

Conclusion. Un twist de Drinfeld surH=O(G) est un 2-cocycle deG

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Le multiplicateur de Schur exprim´ e

`

a l’aide des twists de Drinfeld

•Lemme. Deux2-cocycles F,F0de G sontcohomologuessi et seulement si F0= (λ⊗λ)F∆(λ−1)∈O(G)⊗O(G) (3) o`uλest un ´el´ement inversible de O(G), c’est-`a-dire une fonctionλ:G →C×

`a valeurs non nulles

Cons´equences.

(a) Lemultiplicateur de SchurM(G) d’un groupe fini s’identifie `a l’ensemble desclasses de cohomologie des twists de Drinfeldsur l’alg`ebre de HopfO(G)

(b) La relation d’´equivalence (3) s’´etend aux twists de Drinfeld sur les alg`ebres de Hopf

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Le multiplicateur de Schur d’une alg` ebre de Hopf

•Premi`ere tentative. D´efinir le multiplicateur de Schur d’une alg`ebre de HopfH comme l’ensemble des classes de cohomologie des twists de Drinfeld surH

•Un hic ! Leproduit de twistsde Drinfeld sur une alg`ebre de Hopf non commutativen’est en g´en´eral pas un twistde Drinfeld

•Deuxi`eme tentative. On se restreint aux twists de Drinfeldinvariants, c’est-`a-dire aux twistsF tels que

∆(a)F=F∆(a) (a∈H)

•Coup de chance. Leproduit dedeuxtwists invariantsest un twist invariant

•D´efinition(Peter Schauenburg, 2002). Lemultiplicateur de SchurM(H) d’unealg`ebre de HopfHest le groupe des classes de cohomologie des twists de Drinfeld invariants surH

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Le multiplicateur de Schur de l’alg` ebre d’un groupe

•On peut maintenant essayer de calculer le multiplicateur de Schur de diverses alg`ebres de Hopf

I SiH=O(G) est l’alg`ebre des fonctions sur un groupe finiG, alors au vu des identifications pr´ec´edentes, onretrouve le multiplicateur de Schur deG :

M(O(G)) =M(G)

I Consid´erons maintenant l’alg`ebre duale deO(G), `a savoir l’alg`ebreCG du groupeG.

Nous nous concentrons sur ce cas et posons H(G) =M(CG)

•Cas ab´elien. SiG estab´elien, alorsCG ∼=O(bG) via TFD et donc H(G)∼=M(O(Gb)) =M(Gb)

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Le groupe H(G )

•Que peut-on dire deH(G) =M(CG) quandG est un groupe fini non ab´elien?

•Lar´eponseest donn´ee dans un travail en commun avecPierre Guillot (Strasbourg)

R´ef´erence : P. Guillot, C. Kassel,

Cohomology of invariant Drinfeld twists on group algebras,

Internat. Math. Res. Notices 2010 no. 10, 1894–1939; arXiv:0903.2807

•Je vais me contenter d’´enoncertrois propri´et´esdeH(G) et de donner de quelquesexemplesde calcul

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Propri´ et´ es et calcul de H(G )

•Trois propri´et´es importantes 1. H(G) est ungroupe fini

2. H(G) contient un sous-groupeH0(G) isomorphe `a un sous-groupe d’automorphismes ext´erieursOutc(G) (d´ecrit plus loin)

3. SiG poss`ede ununique sous-groupe distingu´e ab´elien maximalA, alors il existe une suite exacte de la forme

1→ H0(G)→ H(G)→H2(bA,C×)G

(LorsqueG poss`ede plusieurs tels sous-groupes, il y a une formulation plus compliqu´ee de la suite exacte pr´ec´edente)

•Exemples

I SiG est ungroupe simpleou ungroupe sym´etrique, alors H(G) = 1

I PourA4qui est le seul groupe altern´e non simple (il contient legroupe de KleinZ/2×Z/2, qui est le seul sous-groupe distingu´e ab´elien maximal),

H(A4)∼=H2(Z/2×Z/2,C×)A4∼=Z/2

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Le groupe Out

c

(G )

•Le groupe desautomorphismes int´erieursest d´efini par Int(G) =n

ϕ∈Aut(G)| ∃h,∀g∈G, ϕ(g) =hgh−1o Echangeons les quantificateurs :

Autc(G) =n

ϕ∈Aut(G)| ∀g,∃h∈G, ϕ(g) =hgh−1o

Un ´el´ement de Autc(G) est un automorphisme deG quipr´eserve chaque classe de conjugaisondeG

•D´efinition. On pose Outc(G) = Autc(G)/Int(G)

•Exemples pour lesquelsOutc(G) = 1

∗G est ungroupe sym´etrique(exercice)

∗(Feit-Seitz, 1989)G est ungroupe simple

(calcul au cas par cas utilisant la classification des groupes finis simples)

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Le groupe Out

c

(G ) n’est pas toujours trivial, ni ab´ elien

•Burnside (1912)a ´et´e le premier `a construire des groupes pour lesquels Outc(G)6= 1(son exemple le plus petit est d’ordre 729 = 36)

•G. E. Wall (1947)a montr´e que Outc(G) =Z/2 pour legroupe d’ordre 32 G =Z/8oAut(Z/8)

•Burnside a ´enonc´e que Outc(G) est toujours ab´elien, mais. . .

•C.-H. Sah (1968)a construit des groupes o`u Outc(G) estnon ab´elien (son exemple le plus petit est d’ordre 215)

•Cons´equence. Il existe des groupes pour lesquelsH(G) estnon ab´elien et donc des alg`ebres de Hopf pour lesquelles

lemultiplicateur de Schur g´en´eralis´eM(H) est non ab´elien

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Merci de votre attention

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Bibliographie ancienne. . .

•W. Burnside,On the outer automorphisms of a group, Proc. London Math.

Soc. (2) 11 (1912), 225–245.

•I. Schur,Uber die Darstellung der endlichen Gruppen durch gebrochene¨ lineare Substitutionen, J. Reine Angew. Math. 127 (1904), 20-50.

•I. Schur,Untersuchungen ¨uber die Darstellung der endlichen Gruppen durch gebrochene lineare Substitutionen, J. Reine Angew. Math. 132 (1907), 85–137.

•I. Schur,Uber die Darstellung der symmetrischen und der alternierenden¨ Gruppe durch gebrochene lineare Substitutionen, J. Reine Angew. Math. 139 (1911), 155–250.

•G. E. Wall,Finite groups with class-preserving outer automorphisms, J. London Math. Soc. 22 (1947), 315–320.

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et moderne

•V. G. Drinfeld,Quasi-Hopf algebras, Algebra i Analiz 1 (1989), 114–148;

English translation: Leningrad Math. J. 1 (1990), 1419–1457.

•W. Feit, G. M. Seitz,On finite rational groups and related topics, Illinois J. Math. 33 (1989), no. 1, 103–131.

•P. Guillot, C. Kassel,Cohomology of invariant Drinfeld twists on group algebras, Internat. Math. Res. Notices 2010, 1894–1939; arXiv:0903.2807.

•C.-H. Sah,Automorphisms of finite groups, J. Algebra 10 (1968), 47–68.

•P. Schauenburg,Hopf bimodules, coquasibialgebras, and an exact sequence of Kac, Adv. Math. 165 (2002), 194–263.

(28)

The pointed set B(G )

•Definition. LetAbe the category whose objects are thenormal abelian subgroupsA of G and whose arrows are theinclusions. Define

B(G) = [

A∈A

H2(bA,k×)G (a colimit of pointed sets)

HereAb= Hom(A,k×) is the group ofcharactersofAand H2(bA,k×) is the secondcohomology groupofbA

Remark. Ifk×is divisible, thenH2(A,b k×)∼= Hom(Λ2A,b k×)

•The setB(G) is

∗non-empty: it is pointed by the zero element 0 lying in allH2(bA,k×)G

∗it isfinite

•IfG has auniquemaximal normal abelian subgroupA, then B(G) =H2(bA,k×)G

(29)

Determining H

2

(G /k )

Now ourmain resultin the algebraically closed case

Assume that the fieldk isalgebraically closedof characteristic prime to|G| Theorem 2. There is a set-theoretic mapΘ :H2(G/k)→ B(G)such that

(a)H0= Θ−1({0})is asubgroupofH2(G/k)with H0∼= Outc(G)

(b) All fibers ofΘare inbijection withH0; more precisely, Θ(α) = Θ(β)⇐⇒β∈αH0 (α, β∈ H2(G/k)) (c) If|G|isodd, thenΘissurjective

(30)

Wall’s group of order 32

•The groupG=Z/8oAut(Z/8) of order 32 has thepresentation G =hs,t,u|s2=t2=u8= 1, st=ts, sus−1=u3, tut−1=u5i

•G. E. Wall (1947) proved that Outc(G) =Z/2,generatedby the automorphismαdefined by

α(s) =u4s=u2su−2, α(t) =u4t=utu−1, α(u) =u In fact,α(g) =aga−1(g ∈G), where

a=1

2(1 +u4) +

√2

4 u(1−u2−u4+u5)∈CG

•The groupG has a unique maximal normal abelian subgroup, namely A=ht,u4i ∼=Z/2×Z/2. The setB(G) =H2(bA,k×)G hastwo elements

•Therefore,H2(G) has order 4 or 2 according as Θ is surjective or not We werenot able to conclude

(31)

The rationality exact sequence

Assume thatkis ofcharacteristic zerowithalgebraic closure¯k

Theorem 1. Let G be a finite group. If all irreducible¯k-representations of G can be realized over k, then there is anexact sequenceof groups

1−→H1(Gal(¯k/k),Z(G)) −→ H2(G/k)−→ H2(G/k)¯ −→1 (classical bitorsors) (non-comm. bitorsors)

(arithmetic) (geometric)

In particular, ifG has atrivial center, thenH2(G/k)∼=H2(G/¯k) Remark.

H1(Gal(¯k/k),Z(G)) = Homcontinuous(Gal(¯k/k),Z(G))

= lim−→finite Galois ext.k0/k

Hom(Gal(k0/k),Z(G))

Figure

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Références

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