La téléportation quantique comme primitive universelle de calcul

16 janvier 2009

La t´el´eportation quantique comme primitive universelle de calcul

d’apr` es l’article de D. Gottesman et Isaac L. Chuang

Table des mati` eres

1 Introduction 3

2 Quelques d´efinitions et notations 3

3 T´el´eportation quantique et transormations unitaires 3

3.1 T´el´eportation quantique simple . . . 4 3.2 R´ealisation de la porte CNOT . . . 4 3.3 R´ealisation du groupe de Clifford . . . 5

4 R´ealisation de portes tol´erantes aux fautes 6

4.1 PortesCk . . . 6

5 Conclusion 8

Bibliographie 9

1 Introduction

Depuis que Shor a d´ecouvert son fameux algorithme de d´ecomposition en facteurs premiers, l’informatique quantique est devenue un des sujets de recherche les plus actifs. La difficult´e majeure aujourd’hui r´eside dans la r´ealisation de portes quantiques fiables, ce qui n´ecessite de trouver les constructions les plus efficaces et les plus stables possible.

C’est dans cet effort que s’inscrit l’article de Chuang et Gottesman. Le but ici est d’utiliser la t´el´eportation quantique comme primitive universelle de calcul, c’est-`a-dire comme fonction de base permettant la r´ealisation des portes quantiques les plus importantes (i.e les plus utilis´ees dans les principaux algorithmes connus).

Nous allons donc montrer comment r´ealiser un grand nombre de portes quantiques de mani`ere fiable, en n’utilisant que les mesures dans la base de Bell, l’ensemble des portes `a 1 qubit, ainsi que les ´etats GHZ. Toutes ces constructions ´etant par ailleursrelativement facile `a r´ealiser grˆace `a des syst`emes optiques.

2 Quelques d´ efinitions et notations

On note ¯x= 1−x. Partout on fixeranle nombre de qubits avec lequel on travaille.

D´efinition (Quelques portes)

On note les portes suivantes : H= ^√1

2

1 1 1 −1

P = 1 0

0 i

CN OT =









1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 0 1

0 0 1 0









D´efinition (Base de Bell)

On d´efinit les ´etats de Bell|βxzi= ^{|0xi+(−1)√}₂ ^z|1¯xi avecx, z∈ {0,1}. Les ´etats ainsi d´efinis forment une base de notre espace `a 2 qubits.

La base de Bell `a 2n-qubits est constitu´ee des ket (|00i+|11i)^⊗n.

On notera la mesure dans la base de Bell `a 2n-qubits par une boˆıte marqu´ee d’un B.

D´efinition (Matrices de Pauli)

Les matrices de Pauli sont les 3 matrices 2×2 suivantes : X=

0 1 1 0

Y =

0 −i i 0

Z =

1 0 0 −1

D´efinition (Groupe de Pauli)

Le groupe de Pauli (`a n qubits) est C₁ⁿ ≡ {σ1⊗...⊗σn|σi ∈ {X, Y, Z, I}}. On le notera par la suite simplementC1 si il n’y a pas d’ambiguit´e possible.

D´efinition (Etat GHZ) L’´etat GHZ est

|Ξi= (|000i+|111i)

√ 2

3 T´ el´ eportation quantique et transormations unitaires

On d´ecrit ici une technique mettant en oeuvre la t´el´eportation quantique et permettant de r´ealiser un certain nombre de portes quantiques essentielles. Nous allons montrer dans un premier temps que la technique permet de r´ealiser toutes les portes du groupe de Clifford. On supposera disposer de la mesure de Bell, de toutes les

3.1 T´ el´ eportation quantique simple

Commen¸cons pas rappeler le principe de t´el´eportation quantique habituel.

Alice et Bob g´en`erent ensemble une paire EPR (d’´etats intriqu´es). Ils se s´eparent et partent loin, emportant chacun un des qubit|ΨAlicei (resp.|ΨBobi) de la paire EPR. Plus tard, Alice entre en possession d’un qubit

|ψi dont elle ne connaˆıt pas l’´etat, et doit trouver comment faire parvenir |ψi `a Bob, en n’utilisant que des communications classiques et sa moiti´e de paire EPR. Heureusement la t´el´eportation quantique permet `a Alice de s’en sortir. On supposera qu’alice poss`ede le premier bit d’une la paire EPR|β00i. On note|ψi=α|0i+β|1i.

On pose

|Ψ0i=|ψi|β00i= 1

√2[α|0i(|00i+|11i) +β|1i(|00i+|11i)]

Cela peut se r´e´ecrire dans la base de Bell (on le voit simplement en d´eveloppant, ou en faisant les produits scalaires ad´equats) :

|Ψ0i = 1

√2(|β00i(α|0i+β|1i) + |β01i(α|0i −β|1i) + |β10i(α|1i+β|0i) + |β11i(α|1i −β|0i))

En effectuant une mesure dans la base de Bell sur les 2 premiers qubits, on r´ecup`ere donc l’´etat dans lequel se trouve le troisi`eme qubit. Il suffit alors d’appliquer en fonction du r´esultat l’op´erateur de Pauli ad´equat, et le r´esultat est bien|ψi=α|0i+β|1i.

Voici le circuit quantique correspondant.

Fig.1 – T´el´eportation quantique dans la base de Bell

On a donc r´ealis´e la t´el´eportation quantique, en n’utilisant que les portes de Pauli, et la mesure dans la base de Bell.

3.2 R´ ealisation de la porte CNOT

On peut de la mˆeme mani`ere t´el´eporter deux qubits `a travers une porte CNOT, c’est-`a-dire, t´el´eporter deux qubits en leur appliquant le mˆeme effet qu’une porte CNOT. Cela permet alors de r´ealiser la porte CNOT avec uniquement les mesures dans la base de Bell, les portes X et Z de Pauli et un ´etat sp´ecial |χi.

Fig.2 – Pr´eparation de |χi

On pose|αi=a|0i+b|1iet|βi=c|0i+d|1ideux qubits arbitraires. On pose ´egalement un ´etat de contrˆole :

|χi=(|00i+|11i)|00i+ (|01i+|10i)|11i

√ 2

(La figure 2 montre comment pr´eparer cet ´etat `a partir de deux ´etats GHZ)

Fig.3 – R´ealisation de la porte CNOT Fig.4 – Circuit ´equivalent

On peut remarquer que pr´eparer l’´etat |χi revient exactement au mˆeme que prendre deux paires EPR et les faire interagir via une porte CNOT. On remplace alors dans le premier circuit |χi par cette formulation

´equivalente, et on observe un circuit ressemblant fortement `a deux circuits de t´el´eportation quantique, pr´ec´ed´es d’une porte CNOT. Si l’on effectue les calculs (p´enibles), on s’assurera que cela est effectivement une porte CNOT. Cependant on peut le prouver de mani`ere plus simple.

En fait, une raison qui fait que cela marche est que si on prend une op´eration du groupe de Pauli (`a 2 qubits), mettonsσ<sub>1</sub>⊗σ<sub>2</sub> (σ<sub>i</sub>∈ {X, Y, Z, I}), alors comme CNOT pr´eserve le groupe de Pauli par conjugaison, on obtient CNOT(σ<sub>1</sub>⊗σ<sub>2</sub>) = (σ<sup>0</sup><sub>1</sub>⊗σ<sub>2</sub><sup>0</sup>) CNOT, o`u lesσ_i⁰ sont des matrices de Pauli.

Si l’on fait ”glisser” la porte CNOT de la figure 4 vers la droite, et en rempla¸cant les portesX, Z et I par les portes ad´equates au fur et `a mesure qu’on les d´epasse, on peut v´erifier que l’on obtient exactement deux circuits de t´el´eportation quantique distincts, branch´es sur une porte CNOT agissant sur les deux r´esultats des t´el´eportations, c’est-`a-dire CNOT|Ψ2i|Ψ2i, ce que l’on souhaite.

On a donc r´ealis´e la porte CNOT, en n’utilisant que des ´etats GHZ, des matrices de Pauli et d’Hadamard et la mesure de Bell.

3.3 R´ ealisation du groupe de Clifford

On peut en fait r´ealiser toutes les portes du groupe de Clifford, simplement en utilisant les g´en´erateurs du groupe et le r´esultat sur la porte CNOT.

D´efinition (Groupe de Clifford)

Le groupe de Clifford(`a n qubits), not´eC₂ⁿ (par la suite, on notera plus simplement C2), contient tous les op´erateurs laissant le groupe de Pauli stable par conjugaison. Autrement dit :

C2≡ {U|U C1U^†⊂C1} Remarque. Consid´erons le cas o`u on a uniquement1 qubit (n= 1).

On peut consid´erer que les ´el´ements de C₁ sont des rotations dans la sph`ere de Bloch qui permutent les directions±x,±yet±z. Fixons une des 6 directions vers laquelle on peut envoyer l’axex. On peut alors encore tourner autour de x et envoyer la direction z vers 4 nouvelles directions possibles. C1 est donc le groupe des sym´etries de rotation du cubeS4 (qui correspond au groupe des permutations des diagonales du cube).

Th´eor`eme (G´en´erateurs de C2).

Les portes suivantes : CNOT, H et P, engendrent le groupe de Clifford.

On pourra se r´ef´erer `a la preuve d´ecrite dans [3].

Th´eor`eme (R´ealisation du groupe de Clifford).

On peut r´ealiser toutes les portes quantiques du groupe C2.

D´emonstration. Etant donn´e qu’on a suppos´e avoir toutes les portes sur un qubit, et qu’on a montr´e comment r´ealiser la porteCN OT, on peut donc r´ealiser toutes les portes du groupe de Clifford.

4 R´ ealisation de portes tol´ erantes aux fautes

Il est important de se rendre compte, que tout ce que l’on fait jusque maintenant est cens´e se d´erouler dans un syst`eme quantique (celui repr´esentant l’ordinateur quantique) parfaitement isol´e du monde ext´erieur. En effet, autrement, l’environnement mesurerait en permanence l’´etat du syst`eme, ce qui pertuberait le calcul : c’est ce qu’on appelle la d´ecoh´erence. Cependant, dans le monde r´eel, aucun syst`eme n’est parfaitement isol´e et un certain nombre d’interactions ind´esirables avec l’ext´erieur ont lieu en permanence.

On souhaite tout de mˆeme pouvoir r´ealiser dans ce contexte un ordinateur quantique qui r´eussirait `a calculer en pr´esence de ce bruit quantique. C’est tout le propos des codes correcteurs d’erreur et des portes quantiques r´esistantes aux erreurs. Les premiers permettent d’encoder et d´ecoder des ´etats de mani`ere `a ce que l’on puisse facilement v´erifier leur possible alt´eration, et restaurer l’´etat original le cas ´ech´eant. Pour ce faire, on suppose que l’on dispose de portes quantiques proc´edant au codage et l’encodage de l’´etat de mani`ere parfaite. Pourtant, il est ´evident que si les portes quantiques sont elles-mˆemes victimes du bruit, l’hypoth`ese ne tient plus.

La th´eorie des portes quantiques tol´erantes aux fautes permet de corriger dans une grande mesure ces d´efauts. Nous ne donnerons pas les d´etails de cette th´eorie, mais il sera tenu pour acquis que les portes de base des constructions suivantes et pass´ees peuvent ˆetre construites pour ˆetre tol´erantes aux fautes. On pourra se r´ef´erer au chapitre 10 de [4] pour un expos´e complet de ces deux domaines.

Nous allons donc montrer comment il est possible de r´ealiser un grand nombre de portes quantiques (une infinit´e) r´esistantes aux erreurs, en n’utilisant que des m´ecanismes simples (dont la t´el´eportation quantique et

4.1 Portes C

D´efinition (Groupe de Clifford d’ordre k)

On note legroupe de Clifford d’ordre k Ck+1 ≡ {U|U C1U^†⊂Ck}.

Remarque. Pour tout k,Ck ⊂Ck+1.

D´emonstration. – En effet, on a d´ej`a clairementC<sub>1</sub>⊂C<sub>2</sub>, c’est-`a-dire que les matrices de Pauli sont stables par conjugaison avec les autres matrices de Pauli. On peut s’en assurer en faisant de simples calculs. (Par exemple,XY X^† =Y, Y ZY^†=Z, etc.)

– Supposons qu’on aC_k−1⊂C_k. Soit V ∈C_k. On veut montrer queV ∈C_k+1. Alors siU ∈C₁,V U V^† ∈ C_k−1⊂C_k, ce qui est la d´efinition deC_k+1. DoncV ∈C_k. On a bienC_k⊂C_k+1.

La recherche de portes quantiques int´eressantes contenues dans S

kCk est toujours un sujet de recherches actives. N´eanmoins on connaˆıt un certain nombre de portes quantiques primordiales appartenant `a cet ensemble, comme la porte CNOT, la porte de Toffoli ou bien encore les rotationsπ/2<sup>k</sup> tr`es utilis´ees dans l’algorithme de Shor. C’est pourquoi il est tr`es int´eressant de savoir r´ealiser les portes de cet ensemble.

Th´eor`eme (R´ealisation de Ck).

Pour toutk on sait r´ealiser `a l’aide de la t´el´eportation quantique toutes les portes deCk. D´emonstration. On reprend les notations de la partie pr´ec´edente sur la r´ealisation deC₂.

On a vu qu’on pouvait r´ealiser toutes les portes de C₁ et de C₂. Supposons qu’on sait r´ealiser toutes les portes deC_k, montrons alors que l’on peut r´ealiser celles deC_k+1.

Soit|ψiunn-qubit d’entr´ee etU ∈C_k+1 l’op´erateur `a r´ealiser. On construit d’abord l’´etat suivant :

|Ψⁿ_Ui= (I⊗U)|Ψⁿi

On effectue ensuite une mesure dans la base de Bell sur |ψiet les n premiers bits de |Ψⁿ_Ui. Cette mesure nous donnex, z, qui nous renseigne sur la projection effectu´ee par la mesure sur la deuxi`eme partie de |Ψⁿ_Ui.

Apr`es la mesure, lesnderniers qubits sont dans l’´etat

|ψouti=U Rxz|ψi=U Rxz(U^†U)|ψi=R⁰_xzU|ψi

o`uRxz est la matrice de Pauli agissant sur|ψiapr`es la mesure dans la base de Bell. Ici,R⁰_xz =U RxzU^† ∈Ck

carRxz ∈C1. CommeR⁰_xz est dansCk, on sait qu’on peut r´ealiser cette porte (et donc sa conjugu´ee) de mani`ere fiable. Il n’y a plus qu’`a appliquerR^0†_xz, et on se retrouve avecU|ψi.

Ainsi, si|Ψⁿ_Uiest pr´epar´e de mani`ere fiable, alors on a r´ealis´e une porte quantiqueU fiable deC_k+1. Voici le circuit r´esumant le m´ecanisme :

Fig.5 – R´ealisation de Ck

5 Conclusion

On aura finalement montrer que, disposant de la mesure de Bell, de toutes les portes quantiques agissant sur un qubit et des ´etats GHZ, on peut mettre en oeuvre et utiliser la t´el´eportation quantique comme ”brique de base” dans l’´elaboration d’ordinateurs quantiques, de mani`ere tr`es fiable. Il est d’ailleurs de nos jours com- mun´ement admis que la t´el´eportation quantique semnble ˆetre le moyen le plus simple de construire un ordinateur quantique.

On aura omis le pr´eparation de mani`ere tol´erante aux fautes de l’´etat|Ψ<sup>n</sup><sub>U</sub>i, mais le caract`ere tr`es technique de la preuve ne pr´esente que peu d’int´erˆet, et demanderait d’introduire la th´eorie des codes correcteur d’erreur.

L’article est tr`es court et ne pose pas de r´eelle difficult´e technique. Le style condens´e et ´evasif (souvent de mise dans les revues consacr´ees `a la physique) n’aide pas `a la compr´ehension d´etaill´ee des r´esultats. Cependant, la bibliographie fournie rem´edie dans une grande mesure au probl`eme pos´e par ces omissions.

En revanche, les auteurs ne s’embarassent pas de replacer les les probl`emes soulev´es et r´esolus dans leur contexte, et se contentent d’exposer la technique mise en oeuvre, c’est pourquoi j’ai tent´e de rappeler les probl´ematiques sous-jacentes.

On pourra noter que malgr´e le fait que l’article n’est dans l’ensemble pas d’une grande technicit´e, et pr´esente peu de r´esultats, au vu du nombre de citations de cet article, il apparaˆıt qu’il est devenu l’un des classiques du domaine de la r´ealisation des portes quantiques.

R´ ef´ erences

[1] D. Gottesman, I. L. ChuangQuantum teleportation is a universal computational primitive

[2] D. Gottesman,The Heisenberg Representation of Quantum Computers, in Proceedings of the XXII Inter- national Colloquium on Group Theoretical Methods in Physics, eds. S.P. Corney et al, (Cambridge, MA, International Press, 1999).

[3] D. Gottesman, A Theory of fault-tolerant quantum computation, arXiv :quant-ph/9702029v2.

[4] M A. Nielsen, I L. ChuangQuantum Computation and Quantum Information, Cambridge University Press.