Probabilité et Processus stochastique

(1)

Probabilt´e en Finance

Probabilit´ e et Processus stochastique

Introduction

El kettani Moummou

Facultée Polydisciplinaire Université de Tétuan

13 mars 2017

(2)

Introduction

Incertitude des march´es Financi`eres

(3)

Les probabililit´ es en Finance

Sommaire Premi`ere Partie

Espace probabilisé : Propriété σ-additive

Variables aléatoires Variables discrètes Variables continues Lois de Probabilités

Lois discr`etes Loi Binimial Loi de Poisson Lois Continues

loi Normal Loi Log-Normal

Vecteurs al´eaoires

Introduction aux processus stochastiques

(4)

Les probabililit´ es en Finance

Espace probabilisé : Propriété σ-additive Variables aléatoires

Variables discr`etes Variables continues Lois de Probabilit´es

(5)

Les probabililit´ es en Finance

Variables discr`etes

Variables continues Lois de Probabilit´es

(6)

Les probabililit´ es en Finance

Variables discr`etes Variables continues

Lois de Probabilit´es Lois discr`etes

Loi Binimial Loi de Poisson Lois Continues

(7)

Les probabililit´ es en Finance

(8)

Les probabililit´ es en Finance

Lois discr`etes

Loi Binimial Loi de Poisson Lois Continues

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Les probabililit´ es en Finance

Lois discr`etes Loi Binimial

Loi de Poisson Lois Continues

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Les probabililit´ es en Finance

Lois discr`etes Loi Binimial Loi de Poisson

Lois Continues loi Normal Loi Log-Normal

(11)

Les probabililit´ es en Finance

loi Normal

Loi Log-Normal

(12)

Les probabililit´ es en Finance

(13)

Les probabililit´ es en Finance

loi Normal

(14)

Les probabililit´ es en Finance

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Espace probabilis´ e

Notion deσ-algebre : D´efinition

On appelle espace probabilis´e le triple (Ω,Θ,P) tel que :

1 Ω est un ensemble non vide

2 Θ une famille de sous ensembles de Ω satisfaisant les conditions suivantes :

• Ω∈Θ ;

• pour toute suite d’´ev´enementsAi, i = 1,2, . . . , .../Ai ∈Θ, alors ∪^∞_i=1A_i ∈Θ

• pour tout ´ev´enementA∈Θ, on aA^c = Ω−A∈Θ

(16)

Espace probabilis´ e

Mesure de Probabilité : Propriété de σ-additivité

P assigne un nombre a chaque ´ev´enement, P : Θ−→[0,1]

• P(Ω) = 1 ;

• pour toute suite d’´ev´enementsA_i, i = 1,2, . . . , .../A_i ∈Θ, disjoints deux a deux :

A_i∩A_j =∅;i 6=j

(17)

Espace probabilis´ e

Mesure de Probabilit´e : Probabilit´e conditionnelle

Etant donn´e (Ω,Θ,P), un espace probabilis´e ; soitB ∈Ω, un

événement tel que P(B)6= 0. On défini la nouvelle mesure, noté P_B(.), par

PB : Θ−→ [0,1]

A−→ PB(A) =P(A/B) = ^P(A∩B)_P_(B₎

• Verifier que P_B(.) est une mesure de probabilit´e.Elle s’appelle

(18)

Variables al´ eatoires et distribution de probabilit´ e

D´efinition

Etant donnés deux espaces mesurables (Ω,Θ) et (E,B), une variable aléatoireX est une fonction définie sur Ω a valeur dansE

X Ω−→E telle que

∨B ∈ B,X⁻¹(B)∈Ω ou

(19)

Variables al´ eatoires et distribution de probabilit´ e

D´efinition lit´eraire

Une variable aléatoire est une réalisation d’une épreuve exprimée à partir des quantités mesurables d’une manière incertaine

Autrement dit, une variable al´eatoireX, est l’ application mesurable d´efinie para

X : Ω −→ E

ω −→ X(ω) =x Distribution de probabilit´e

A chaque variable aléatoire X on peut associer une distribution de probabilitéP_X, appellé “distribution deX”, définie comme

(20)

Variables al´ eatoires et distribution de probabilit´ e

Exemple

Si on considère l’événement prix de stock, l’actif en stock X, est une variable aléatoire définie par

X : (Ω,Θ,P) −→ (R,B,P_X)

ω = prix de stock −→ X(ω) = actif en stock

p = prix spot −→ X(p) = actif encours de stock

(21)

Fonction de R´ epartition

D´efinition

Etant donnée une variable aléatoire X, On appelle fonction de répartition de X, l’applicationF définie par

F :I ⊂R −→ [0,1]

x −→ F(x) =P[X ≤x]

Exemple de la valeur en risque ”VaR()”

Exemple de la dominance stochastique ”stochastic dominance”

(22)

Fonction de r´ epartition

Valeur en risque

En finance, la fonction de répartition est utilisé pour définir la mesure du risque populair, appelé “valeur en risque-VaR. Les banque doivent avoir un capital suffisant pour enfrenter les pêrtes potentielles en portefeuilles. Pour évaluer la croissance du capital exigé, le VaR(99%)est souvent utilisé. Elle est définie comme le nombre “x tel que

P[X ≥x] = 1−F(x) = 0.99

(23)

Fonction de R´ epartition

Propri´et´es

F est une fonction positive croissante :

si x ≤y alors F(x)≤F(y)

F est une fonction continue adroite : lim_x→a⁺ =F(a)

limx→−∞F(x) = 0; limx→+∞F(x) = 1 P[x1 ≤X ≤x2] =F(x2)−F(x1)

P[X ≥x] = 1−P[X ≤x] = 1−F(x)

(24)

Fonction de R´ epartition

Propri´et´es

F est une fonction positive croissante : si x ≤y alors F(x)≤F(y)

P[X ≥x] = 1−P[X ≤x] = 1−F(x)

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Fonction de R´ epartition

Propri´et´es

F est une fonction continue adroite :

lim_x→a⁺ =F(a)

P[X ≥x] = 1−P[X ≤x] = 1−F(x)

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Fonction de R´ epartition

Propri´et´es

P[X ≥x] = 1−P[X ≤x] = 1−F(x)

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Fonction de R´ epartition

Propri´et´es

limx→−∞F(x) = 0; limx→+∞F(x) = 1

P[x1 ≤X ≤x2] =F(x2)−F(x1) P[X ≥x] = 1−P[X ≤x] = 1−F(x)

(28)

Fonction de R´ epartition

Propri´et´es

P[X ≥x] = 1−P[X ≤x] = 1−F(x)

(29)

Fonction de R´ epartition

Propri´et´es

P[X ≥x] = 1−P[X ≤x] = 1−F(x)

(30)

Variable al´ eatoire discr` ete

D´efinition

Une variable aléatoire X est dite discrète lorsque ses différentes valeurs possible son en nombre fini (ou infini dénombrable). c.a.d

Support(X) ={x₁,x2, . . . ,xn, . . .}

Loi de probabilit´e(Distribution)

La loi de probabilit´e d’une variable al´eatoire X dont le support est Support(X) ={x₁,x₂, . . . ,x_n}

est totalement d´efinie par les couples (x_i,p_i), i = 1,2, . . . ,n ou les p_i indique les masses de probabilit´es :

P(X =x_i) =p_i, i = 1,2, . . . ,n

(31)

Variable al´ eatoire discr` ete

D´efinition

Une variable aléatoire X est dite discrète lorsque ses différentes valeurs possible son en nombre fini (ou infini dénombrable). c.a.d

Support(X) ={x₁,x2, . . . ,xn, . . .}

Loi de probabilit´e(Distribution)

La loi de probabilit´e d’une variable al´eatoire X dont le support est Support(X) ={x₁,x₂, . . . ,x_n}

est totalement d´efinie par les couples (x_i,p_i), i = 1,2, . . . ,n ou les

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Variable al´ eatoire discr` ete

On peut facilement verifier que

n

X

i=1

p_i = 1

Exemple

Une enquête a montré que 5% des actions au sein de la bourse au Casablanca ont chuté de prix. Supposons qu’ on préléve au hazard du marché deux actions. On désigne par X la variable aléatoire qui détermine le nombre des actions dont

(33)

Variable al´ eatoire discr` ete

Fonction de R´epartition Remarque

On a

F(x) =

j

X

i=1

P(X =xi) o`u

x1 ≤x2 ≤. . . ..≤xj ≤x

(34)

Variable al´ eatoire discr` ete

Moments d ’importance Financi`ere

Th´eorie standar du chiox de portefeuilles (Harry Markovitz ,1952).

les investisseurs−→ d´etenir un portefeuille

−→

Esp´erance = mesure du gain Variance = mesure du risque

Au sense math´ematique les investisseurs r´ealisent ” a tradeoff’” un compromis entre l’esperance et la variance. Ces deux notions sont

(35)

Variable al´ eatoire discr` ete

Espérance mathématique. Définition

On appelle espérance mathématique d’une variable aléatoire discrète X de loi de probabilité (x_i,p_i), i = 1,2, , . . . ,n, la quantité

E(X) =

n

X

i=1

p_ix_i

Variance math´ematique. D´efinition

On appelle variance mathématique d’une variable aléatoire discrète X de loi de probabilité (x_i,p_i), i = 1,2, , . . . ,n, la quantité

V(X) = E[X −E(X)]²

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Variable al´ eatoire continue

D´efinition1

On dit qu’ une variable al´eatoireX est continue s’elle exite une fonctionf(x) continue (sauf au plus dans un ensemble fini ou d´enombrable), positive telque

P[X ≤x] = Z x

−∞

f(t)dt

(37)

Variable al´ eatoire continue

D´efinition2 [Remarque]

Une variable aléatoire continue X est donc une variable qui prend des valeurs dans un intervalI = [a,b] deRavec une densité de probabilitéf(x) telque :

f(x)≥0 et R+∞

−∞ f(t)dt = 1

(38)

Variable al´ eatoire continue

Apartir de cette fonction densit´e en calcul la probabilit´e d’ un

événement relatif à la variable aléatoire de la forme suivante : P[x1 ≤X ≤x2] =

Z x2

x1

f(x)dx

Noter bien

La valeur en un pointx de la fonction densit´e n’est pas la probabilit´e en ce point :

x

(39)

Variable al´ eatoire continue

Fonction de Répartition (de distribution) La fonction de répartition définie para

F(x) =P[X ≤x] = Z x

−∞

f(t)dt est reliée à la fonction de densité par lexpression

f(x) = dF(x) dt

(40)

Variable al´ eatoire Continue

Espérance mathématique. Définition

On appelle espérance mathématique d’une variable aléatoire continueX de densité de probabilité f(x), la quantité

E(X) =µ_X = Z +∞

−∞

xf(x)dx

Variance math´ematique. D´efinition

On appelle variance mathématique d’une variable aléatoire continueX de densité de probabilité f(x), la quantité

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In´ egalit´ e de Chebychev

Noter bien

La variance d ’une variables aléatoire controle la déviation des données parapport a l’ésperance (valeur moyenne).

Particulièrement, une petite variance implique qu’une grande déviation n’est pas probable. La version précise de cette regle s’appelle ”Inégalité de Chebychev” :

P[|X −µ| ≥α]≤ σ² α²

(42)

Transformation d’une variable al´ eatoire

Question ?

Si on connait la distribution de probabilité (d.p), d’une variable aléatoire X donnée, peut on déduire la (d.p) d’une transformation

Y =g(X)

où g(.) est une fonction régulière sauf dans un ensemble négligeable ?

Beaucoup d’exemples économique et financières montrent que cette question est pértinente

Exemple−→Derivative security Est un contrat o`u le

rembouresement ”payoff” est une fonction g(.) du prix d’un bien sous-jacent, tel comme le prix de stock o`u Indice

(43)

Transformation d’une variable al´ eatoire

Question ?

Si on connait la distribution de probabilité (d.p), d’une variable aléatoire X donnée, peut on déduire la (d.p) d’une transformation

Y =g(X)

où g(.) est une fonction régulière sauf dans un ensemble négligeable ?

Beaucoup d’exemples économique et financières montrent que cette question est pértinente

Exemple−→ Derivative security Est un contrat o`u le

(44)

Transformation d’une variable al´ eatoire Derivative security vs stock price

L’option ”appelle” sur le stock, avec le ”exercice price”K et

´ech´eanceT est un contrat qui paie

Y_T =g(X_T) =max(X_T−K,0) o`u X_T est le prix de stock dans la periodeT

Derivative security Souvent prend la forme d’un accord pour acheter ou vendre un bien (actif)

(45)

Transformation d’une variable al´ eatoire

Proposition

Etant données une variable aléatoireX de densité de probabilité f_X(.) et une fonction g(.), monotone de classe C¹[R,R], alors la densité de probabilité f_Y de la variable Y =g(X) est définie par

f_Y(x) = ( _f

X(g⁻¹(x))

|g⁰(g(x)| si x∈Y(Ω)

0 sinon

o`u

Y(Ω) ={y ∈R/y =Y(ω), ω∈Ω}

(46)

Lois de Probabilit´ e usuelle dans les mod` eles financi` eres Lois discr` etes

Loi Binomial.

D´efinition1

On dit qu’une variable al´eatoire X suit une loi binomial de parametresn etp, si son support est

Support(X) ={0,1,2. . . ,n}

et sa masse de probabilit´e est d´efini par

(47)

Lois de Probabilit´ e usuelle dans les mod` eles financi` eres Lois discr` etes

Loi Binomial.

D´efinition2 [Remarque]

Elle s’´ecrit comme somme den variables ind´ependantes

X_i, i = 1,2, . . . ,n chaqu’une suit une loi de bernoulli de param`etre p, not´e B(p). On a donc :

X =

n

X

i=1

X_i

(48)

Lois de Probabilit´ e usuelle dans les mod` eles financi` eres Lois discr` etes

La loi binomial est très célèbre en finance←− fondation de la célèbre option ”Modèle d’évaluation” développé par Cox-Ross- Rubinstein (1979)

Loi Binomial Exemple

Revenues du stock

Implicitement l’indépendence des revenus successives fait référence à une hipothèse du marché efficace (rentable). Ca

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Lois de Probabilit´ e usuelle dans les mod` eles financi` eres Lois discr` etes

Loi Binomial Revenu du Stock

Ce modèle décrit l’évolution du prix de stock en temp discret. SiSt

est le prix de stock en tempt, en tempt+ 1 on aura St+1=StXt+1

avecXt+1 une variable al´eatoire de BernoulliB(p) dont le support est :Support(X_t+1) ={u,d} tel que

P(X =u) =p −→succ`es

(50)

Lois de Probabilit´ e usuelle dans les mod` eles financi` eres Lois discr` etes

Loi Binomial Revenu du Stock

Les variablesX_t sont considérées indépendantes. Donc S_t est

´egalement d´efini par

S_t =S₀

t

Y

s=1

X_t

Par cons´equent

log(S_t ) =

n

Xlog(X )

(51)

Lois de Probabilit´ e usuelle dans les mod` eles financi` eres Lois discr` etes

Loi Binomial Revenu du stock

Remarque

La distribution des revenus ”ri =log(_S^Sⁱ

i−1), i = 1,2, . . . ,n” ne d´epend pas de l ’indice ”i”, vu que ”P[r_i =u] =p” et

”P[ri =d] = 1−p”. L’espéranceµ et la varianceσ²-qui presentent le revenu espéré et le risque respectivement- ont plus d’importance. En pratique, on obtient souvent ces valeurs apartir des données empiriques, et après en calcul (en estime) les valeurs

(52)

Lois de Probabilit´ e usuelle dans les mod` eles financi` eres Lois discr` etes

Loi BinomialB(n,p)

Moments de premier et second ordre Esp´erance math´ematique

E[X] =np Variance math´ematique

V[X] =np(1−p)

(53)

Lois de Probabilit´ e usuelle dans les mod` eles financi` eres Lois discr` etes

Loi de Poisson D´efinition

On dit qu’une variable al´eatoire X suit une distribution de poisson de param`etre λ(positif), si pour ∨k ∈N on a

P(X =k) =λ^k k!e^−λ On noteX vP(λ)

Usage −→Cette loi est souvent utilis´ee en th´eorie de

(54)

Lois de Probabilit´ e usuelle dans les mod` eles financi` eres Lois discr` etes

Loi de Poisson Proposition

SiX ∼ P(λ), alors les moments de premier et second ordre sont Esp´erance−→ E[X] =λ

Variance −→ V[X] =λ

•Noter bien

La distribution de Poisson est utilis´ee d une mani`ere commune

(55)

Lois de Probabilit´ e usuelle dans les mod` eles financi` eres Lois discr` etes

Loi de Poisson

Exemple :Mod´elisation du risque de cr´edit

Considérer la situation d une societé d’assurance qui adopte certain type de risque en particulier, l’assureur s ’intérésse au montant des reclamations de toutes les polices suscrites. Le total est la somme de demandes individuelle des différents montants ; l’assureur doit aussi avoir un fond suffisant comme garantie de risque. D’une manière simplifié, la quantité suffisante est donnée par

Nombre de Casualit´e N×Montant moyen para declaration

(56)

Lois de Probabilit´ e usuelle dans les mod` eles financi` eres Lois continues

Théorème central limite−→plusieurs test statistiques sont basé sur la distributionnormal. Celle ci permet la modélisationdes revenus dustockavec précision raisonable.

Loi Normal D´efinition

On dit qu’une variable aléatoire X est normal ou suit une loi normal si sa densité de probabilité est définie para :

1

(x−µ)²

(57)

Lois de Probabilit´ e usuelle dans les mod` eles financi` eres Lois continues

Normal centr´e r´eduite

SiX ∼ N(µ, σ) alors la variable al´eatoire Z = X−µ

σ

s’appelleLoi normal centr´e r´eduiteet se note para Z ∼ N(0,1).

On donc

Esp´erance−→E[Z] = 0 Variance −→V[Z] = 1.

(58)

Lois de Probabilit´ e usuelle dans les mod` eles financi` eres Lois continues

Approximation de la Binomial `a la Normal

théorème des mathématiciens DeMoivre et Laplace Lorsque ”n” est large/np≥5 et n(1−p)≥5 alors

B(n,p)∼ N(µ=np, σ² =np(1−p))

•Exercice

(59)

Lois de Probabilit´ e usuelle dans les mod` eles financi` eres Lois continues

Loi Normal

Question importante←− Crise financi`ere de 2008

Le monde Guassien (normal) peut être une hipothèse dangereuse, lors de définir les mesures de risque telle comme la VaR(). Ces mesures ne considèrent pas les faillites, les crises de liquidité et autres mouvements extrèmes.

Noter bien :Ajustement non optimal

quelques études empiriques ont montré qu il ya des meilleures altérnatives qui tienent en compte les variations large,

regulièrement rencontré dans les marchés financières. Pourtant ces

(60)

Lois de Probabilit´ e usuelle dans les mod` eles financi` eres Lois continues

Choisir la loi log-normal comme modèle des prix de stock est une conséquence de l’hypothèse de marchés efficaces et du théorème central limite.

Loi Log-Normal :Mod`ele des Prix de Stock D´efinition

On dit qu’une variable al´eatoire X positive suit une loi Log-normal si la variableY =logX suit une loi normal. c.a.d

que sa densité de probabilité f_Y(.) est définie comme

(61)

Lois de Probabilit´ e usuelle dans les mod` eles financi` eres Lois continues

•On note la distribution de X para LN(µ, σ²) Loi Log-Normal :Mod`ele des Prix de Stock Proposition

SiX ∼ LN(µ, σ²), alors les moments de premier et second ordre sont

Esp´erance−→E[X] =exp(µ+σ²)

Variance−→V[X] =exp(2µ+σ²)(exp(σ²)−1)

(62)

Lois de Probabilit´ e usuelle dans les mod` eles financi` eres Lois continues

Exemple:Contrat d’ ”Option appelle”

SoitY ∼ N(0,1) et X une variable al´eatoire d´efinie par X =exp[(µ−σ²

2 ) +σY]

ouµet σ sont des nombres reels,σ >0.X repr´esente le prix de stock en premiere periode d’un stock dont le revenu est gaussien (normal) de param`etres µetσ, ou le prix spot de stock est 1. Le

(63)

Vecteurs al´ eatoires Gestion de Portefeuilles

Généralement, en gestion de portefeuilles, on traite un nombre large des stocks (actions) dont les revenues sont aléatoires.

D´efinition

Etant donné (Ω,Θ,P) et (E_Rⁿ,B_Rⁿ) : un espace probabilisé et un espace mesurable respectivement. On appelle vecteur aléatoire de dimension n, l’applicationX définie sur Ω a valeur dans E_Rⁿ :

X : (Ω,Θ,P) −→ (E_Rⁿ,B_Rⁿ)

ω −→ X(ω) = (X₁(ω),X₂(ω), . . . ,X_n(ω)) X(ω) = (x ,x , . . . ,x )

(64)

Vecteurs al´ eatoires

Fonction de r´epartition D´efinition

Cas discret

Etant donné X = (X₁, . . . ,X_n) un vecteur aléatoire, sa fonction de répartition est l’application définie par

F_X : Rⁿ −→ [0,1]

x −→ F_X =P(∩ⁿ_i=1X_i ≤x_i)

n

(65)

Vecteurs al´ eatoires

Fonction de r´epartition D´efinition

Cas continue

Si les (X_i)ⁿ_i=1 son continues la densit´e de probabilit´e conjointe deX est une fonction positive : f_X :Rⁿ−→R⁺ telle que

F_X(x) = Z x1

−∞

Z x2

−∞

. . . . . Z xn

−∞

f_Xdx₁. . .dx_n

(66)

Vecteurs al´ eatoires

Moments de premier et second ordre

Les propriétés d’ une variable aléatoire restent valables pour un vecteur aléatoire. En particulier, on dit qu’ un vecteur est de classe C²[Rⁿ]si toutes ces composantes son de classeC²[R]. Dans ce cas on note par

Espérance mathématique −→E[X] = (E[X₁, . . . ,E[X_n]) Variance mathématique −→V[X]

V[X] =





V[X₁] . . . Cov[X₁,X_n] Cov[X₂,X₁] V[X₂] . . . Cov[X₂,X_n]

... ... ... ...





(67)

Vecteurs al´ eatoires

Moments de premier et second ordre

Proposition

SoientX un vecteur al´eatoire de dimension-n, integrable deux fois etU,W deux vecteurs deRⁿ. Alors on a

1 E[U⁰X] =U⁰E[X]

2 E[U⁰X,W⁰X] =U⁰E[XX⁰]W

3 V[U⁰X] =U⁰V[X]U

4 Cov[U⁰X,W⁰X] =U⁰V[X]W

(68)

Vecteurs al´ eatoires Exemple

Gestion de portefeuille

Considérer un marché financière de n stocks en action ; dont X est le revenu etU ∈Rⁿ la proportion investi enn stocks. On note par R le revenu aléatoire du portefeuille U. Supposer qu’ au moins deux éléments deE[X] son distinct. On veut minimiser le risque en revenu de portefeuille en espérant un gain de ”m$”. Modeliser ce problème en utilisant la théorie standart du choix de portefeuille

(69)

Vecteurs al´ eatoires, cas de dim − n = 2 Variable Bivariante

Distribution de probabilit´es conjointes Cas discret-Exemple

Considérer l’espace Ω ={ω₁, ω2, ω3, ω4}et la varibales aléatoire bivariéeZ = (X,Y), telle que

Support(Z) ={(1,1),(−1,2),(1,2),(−1,1)}

HH HH

HH X

Y y1 = 1 y2= 2 Total pi•

x₁ = 1 1 p₁₁= ¹₄ 1 p₁₂= ¹₄ 2 ²₄−→ p₁₁+p₁₂ x₂ =−1 1 p₂₁= ¹₄ 1 p₂₂= ²₄ 2 ¹₄−→ p₂₁+p₂₂

2 2 4

(70)

Vecteurs al´ eatoires Variable Bivariante

Distribution de probabilit´es conjointes Cas discret-Exemple

Masse de probabilit´e −→PZ(Ω) ={p₁₁,p12,p21,p22} avec

p₁₁ = P(X = 1,Y = 1) = P_Z(1,1) = ¹₄ p12 = P(X = 1,Y = 2) = PZ(1,2) = ¹₄ p = P(X = 2,Y = 1) = P (2,1) = ¹

(71)

Vecteurs al´ eatoires Variable Bivariante

Distributions de probabilit´es marginales Cas discret-Exemple

Observer que la veriable aléatoireX prend les valeurs−1 et 1, donc le support deX est Support(X) ={−1,1}, reste à détérminer P(X = 1) etP(X =−1)

P(X = 1) = P_z(1,1) +P_Z(1,2) = ¹₄ −→p1•

P(X =−1) = Pz(−1,1) +P_Z(−1,2) = ¹₄ −→p2•

(72)

Vecteurs al´ eatoires Variable Bivariante

Distribution de probabilités Cas discret-Forme générale

Considérer la varibales aléatoire bivariéeZ = (X,Y), dont le Support(Z) ={(x_i,y_j);i = 1, . . . ,n j = 1, . . . ,m}telleque PZ(xi,yj) =pij alors les distributions marginales de X et Y sont

Marginale de X −→(xi,pi•) avecpi• =P

jpij

Marginale de Y −→(y,p ) avecp =P p

(73)

Vecteurs al´ eatoires Variable Bivariante

Moments de premier et de second ordre Cas discret-Forme g´en´erale

Esp´erance Math´ematique :

E(Z) =E(X,Y)−→(E[X],E[Y]) = (P

ixipi•,P

jyjp•j) Covariances :

Cov(X,Y) = P

i,j(x_i −E(X))(y_j −E(Y))p_ij, i = 1,2. . .; j = 1,2, . . . Distribution conditionnelleX/Y

(74)

Vecteurs al´ eatoires Variable Bivariante

Distribution de probabilités Cas continu-Forme générale

Considérer un vecteur aléatoire Z = (X,Y) continu ; donc il existe une fonctionf_z, appelé fonction de densité telle que

f_Z ≥0 R+∞

−∞ fZ(z)dz =R+∞

−∞

R+∞

−∞ fZ(x,y)dxdy = 1 avec dz=dxdy

•Fonction de r´epartition

(75)

Vecteurs al´ eatoires Variable Bivariante

Distribution de probabilités Cas continu-Forme générale

Considérer la variable aléatoire bivarianteZ = (X,Y) dont la fonction de densité est f_z, alors les distributions marginales deX et deY son

Marginale de X −→f_X(x) =R+∞

−∞ fz(x,y)dy Marginale de Y −→f_Y(y) =R+∞

−∞ f_z(x,y)dx

(76)

Vecteurs al´ eatoires Variable Bivariante

Distribution de probabilit´es Conditionnelle Notion d’ind´ependance entre variables

On dit que deux variable aléatoires X et Y sont independantes (au sense statistique), si la fonction de densité de probabilité conjointe est le produit des densité de probabilité marginales.c.a.d

f_Z(x,y) =f_X(x)f_Y(y) ce qui est ´equivalent `a

(77)

Vecteurs al´ eatoires Variable Bivariante

Distribution de probabilit´es Conditionnelle Notion d’ind´ependance entre variables

•Distribution de probabili´e conditionnelle P[X ≤x/Y ≤y] =

Z x

−∞

fX(x/y)dx = Z x

−∞

fZ(x,y) f_Y(y) dx

•Remarques

La variable X est dite independante de Y si P[X ≤x/Y ≤y] =P[X ≤x]

(78)

Notion de processus Stochastiques Introduction

Définition générale

On entend par Processus stochastique une collection de variables aléatoires {X_t;t∈T} définies sur un même espace probabilisé (Ω,F,P) a valeurs dansR.T s’appelle l’ensemble indice, ou bien l’espace paramétrique; généralement inclu dansR. L’ensembles des valeurs qui peut prendreX_t s’appelle ensemble d’états

Autrement dit un processus stochastiqueX est une application d´efinie comme :

(79)

Notion de processus Stochastiques Introduction

L’application

X(ω, .) : T −→ R

t −→ X(ω,t) =Xt(ω) s’appelle ”Trajectoire” du processus, ou bien ”r´ealisation”

Notion de FiltrationF

Pour sep´ecifier un processus stochastique on a pas besoin seulement d’unσ−algebre Θ, mais d’une suite croissante des σ−algebre F = (F ) , appel´e Filtration:

(80)

Notion de processus Stochastiques Introduction

Notion de FiltrationF

(F_t)t∈T est un mod`ele abstract qui nous offre une information sur le chemin du processus (disons que c’ est un code a suivre jusqu `a le temps ”t=n”), De telle sorte que si on connait que

l’événement àF_n a été ou non réalisé, on peut inférer le chemin suivit par le processus jusqu à la fin,

Exemple

(81)

Notion de processus Stochastiques Introduction

• Ω = n

S₃^(uuu),S₃^(uud),S₃^(udu),S₃^(udd),S₃^(duu),S₃^(dud),S₃^(ddu),S₃^(ddd)o

= {ω₁, ω₂, ω₃, ω₄, ω₅, ω₆, ω₇, ω₈}

• F₀ ={∅,Ω}

• F₁ = {∅,Ω,{ω₁, ω2, ω3, ω4},{ω₅, ω6, ω7, ω8}}

= n

∅,Ω,S₃^(uuu),S₃^(uud),S₃^(udu),S₃^(udd)},{S₃^(duu),S₃^(dud), S₃^(ddu),S₃^(ddd)}o

• F₂ = n

∅,Ω,{S₃^(uuu),S₃^(uud),S₃^(udu),S₃^(udd)},{S₃^(duu),S₃^(dud),

S^(ddu),S^(ddd)},{S^(uuu),S^(uud)},{S^(udu),S^(udd)},{S^(duu),S^(dud)},{S^(ddu),S^(ddd)}o

(82)

Processus stochastiques Caract´ eristiques Probabilistes

Distribution de probabilit´es

Sous certaines condition on peut démontrer qu’ un processus stochastique est détéminé , d une manière unique, par ces distributions conjointes finis (voir breiman 1992) :

Ft1,t2,...,tn(x1,x2, . . . ,xn) =P[Xt1 ≤x1,Xt2 ≤x2, . . . ,Xtn ≤xn] o`u

t ≤t ≤. . .≤t ⊂T

(83)

Processus stochastiques Caract´ eristiques Probabilistes

Si le premier saut est une hausse:=u

E[S3/F₁](u) = P[X1(u),X2(u),X3(u)]ω1+P[X1(u),X2(u),X3(d)]ω2

+ P[X₁(u),X₂(d),X₃(u)]ω₃+P[X₁(u),X₂(d),X₃(d)]ω₄

•Noter bien

Cette possibilité se réalise avec une probabilié : P[X1(u)] =P[X1=u]

Si le premier saut est une baisse:=d

E[S₃/F₁](d) = P[X₁(d),X₂(u),X₃(u)]ω₅+P[X₁(d),X₂(u),X₃(d)]ω₆ + P[X₁(d),X₂(d),X₃(u)]ω₇+P[X₁(d),X₂(d),X₃(d)]ω₈

•Noter bien

(84)

Processus stochastiques Caract´ eristiques Probabilistes

D’ une mani`ere similaire on peut calculer E[S3/F₂]

•Noter bien

E[S₃/F₂]est une variable aléatoire F₂-mésurable, et ces valeurs dépendent des deux premièrs sauts.

Valeur Probabilit´e

E[S3/F₂](uu) =p(u,u,u)S₃^(u,u,u)+p(u,u,d)S₃^(u,u,d) P[X1=u,X2=u]

E[S₃/F₂](ud) =p(u,d,u)S₃^(u,d,u)+p(u,d,d)S₃^(u,u,d) P[X₁=u,X₂=d] E[S /F ](du) =p(d,u,u)S^(d,u,u)+p(d,u,d)S^(d,u,d) P[X =d,X =u]

(85)

Processus stochastiques Caract´ eristiques Probabilistes

Les acroissements ind´ependants D´efinition

Si pour toust₁≤t₂≤. . .≤t_n⊂T, les variables aléatoires Xt1,Xt2−Xt1,Xt3−Xt2, . . . ,Xtn−Xtn−1, sont indépendentes, on dit donc que le processus{X_t,t ∈T}est d’accroissement indépendents.

• Noter bien

{X_t,t ∈T} est d’accroissement ind´ependents ssi W

t, τ ∈T avec

(86)

Notion de processus Stochastiques Introduction

Classification

Géneralement, les processus stochastiques sont classifiés en quatres types, selon la nature des deux espaces concernés, espace d états et des paramètres respectivement

´etats et temps discrets ´etats discrets et temps continu

´etats continus et temps discret ´etats et temps continus

Exemples

(87)

Notion de processus Stochastiques Introduction

Cas speciales des Processus stochastiques

G´en´eralement il ya deux classes importantes des processus stochastiques

Les Martingales−→E[X_t/X_s] =E[X_s]

Les Markoviens −→E[Xt/Xt−1,Xt−2, . . . ,X0] =E[Xt−1] La propriété de Martingaleveut dire que le processusX_t , sachant le présent “tempss” , n’ a aucune tendance au future ; ce que signifie que la moyenne de toute les possibilités future d’etats X_t

(88)

Notion de processus Stochastiques Processus Markovien

Processus de Bernoulli D´efinition

Le processus deBernoulliest une serie (collection) des variables al´eatoires X₁,X₂, . . . ,X_n, . . .; binaires ind´ependentes et

identiquement distribu´ees telle que

P[X_n= 1] =p et P[X_n= 0] = 1−p Remarque

Le processus de Bernoulli est un cas particulier des processus

(89)

Notion de processus Stochastiques Processus Markovien

Dite autrement

Considérer une serie d’essais indépendents, dont on ne peut obtenir que deux résultas

1 Succ`es−→ P[Succ`es] =p

2 Echec −→ P[Echec] =1-p

Le nombreN(t) des succ`es dans “t” essais, o`u “t =n⁰⁰∈N s’appelleProcessus de Bernoulli

Le mod`ele

(90)

Notion de processus Stochastiques Processus Markovien

•Noter bien

Certains modèles peuvent être incrusté dans autres processus stochastique ; en particulier, le modèle de Bernoulli

Processus de Bernoulli

Exemple de prix de stock (risk security)

Considérant {S_t,t∈T} le processus stochastique décrivant le parcours d’une actions boursière (selon un modèle binomialde prix de stock), il vient que

(91)

Notion de processus Stochastiques

Processus Markovien : Mod` ele de Bernoulli

Le modèle de Bernoulli est un des processus élémentairesde Markov

Propriet´e Markovienne

P[Xn+1=xn−1/Xn=xn, . . . ,X1 =x1] =P[Xn+1=xn−1/Xn=xn]

Probabilit´es des transitions→P =







p sixn=xn+1+ 1 1−p six_n=x_n+1

0 sinon

•Noter Bien

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Notion de processus Stochastiques Processus Markovien

Un chemin aléatoire est une formalisation mathématique d’une trajectoire définie à partir d’une serie des “sauts aléatoires”

Chemin aléatoire ←− Etudes commencés avec Bacheliers (1990) Définition

Un chemin aléatoire {X_n,n∈N} est une collection des variables aléatoires indépendantes identiquement distribuyési.i.d dontles accroissements finissont indépendants

•Noter bien

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Notion de processus Stochastiques Processus Markovien

Chemin al´eatoire simple D´efinition

Le chemin al´eatoire simple est un processus{S_n}_n≥0 de markov telque :

S_n+1 =S_n+ξ_n+1, o`u chaque ξ_n∈ {−1,1}.

Les variables aléatoires {ξ_n}_n≥0 sont indépendantes et identiquement distribuées telles que

P[Sn+1 =k+ 1/Sn=k] =p; P[Sn+1=k−1/Sn=k] = 1−p

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Notion de processus Stochastiques

Mouvement Brownien←− R.Brown (1773-1858)

Bachelier (1870-1946) faisait usage de ce mouvement pour d´ecrire le comportement de prix de stock en finance(paris)

Mouvement Brownien-Processus de Wiener D´efinition

Le mouvement Brownien se d´efine comme un processus stochastique{B(t),t ≥0} tel que

1 B(0) = 0

2 B(t) est d’acroissements ind´ependents avec

(95)

Notion de processus Stochastiques

Mouvement Brownien←− R.Brown (1773-1858)

Remarque

les trajectoires du M.B “B(t)” sont continues presque sˆur Lemme

Etant donner un Processus de wiener (M.B){B(t),t ≥0}, alors on a pour√

s,t ≥0

1 E[B(s +t)−B(s)/B(r),0≤r ≤s] = 0

2 Cov[B(s),B(t)] =min(t,s)

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Notion de processus Stochastiques Processus de poisson

D´efinition

Un processus{N_t,t ∈T}est dite de poisson de param´etreλ≥0 si

N₀= 0

Pour tout s ≥0, t ≥0, la variable al´eatoireNt−Ns suit une loi de poisson P((t−s)λ)

Les acroissements N₁−N₀,N₂−N₁, . . . ,N_t−Nt−1 sont