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Chapitre 6 : Vecteurs
Objectifs :
* Connaitre la définition d’un vecteur
*Connaitre les coordonnées d’un vecteur( définie par un segment) à partir des coordonnées des extrémités du segment
*Connaitre les propriétés sur les coordonnées d’un vecteur.
* Savoir résoudre un problème de géométrie à l’aide des vecteurs dans un repère.
I Translation
Exemple : Une télécabine BCDEF est accrochée à un câble rectiligne. Le point d’attache au câble est en A. Puis la télécabine se déplace et le point d’attache se trouve alors en A’.
1. Dessiner sur la figure ci-dessus, la télécabine après son déplacement.(les nouveaux sommets seront appelés B’C’D’E’F’.
2.a) Comparer les déplacements des points A et B. Qu’en déduit –on pour le quadrilatère AA’B’B ? Qu’en déduit-on pour les segments [AB’] et [A’B] ?
b) Faire de même avec d’autres points de la télécabine.
3a) Proposer une solution pour indiquer sur la figure que le déplacement s’est fait de A vers A’ et non de A’ vers A.
b) On appelle le déplacement précédent translation de vecteur . Quels autres vecteurs aurait- on pu donner à la place (On dit alors que les vecteurs sont égaux)?
c) Sur la figure, proposer le tracer d’un vecteur égal à tel que ce vecteur ne soit pas sur la télécabine. (sur le principe d’une échelle).
Chapitre 6 : vecteurs Page 2 Définition 1 : La translation qui transforme A en B est appelée la translation de vecteur .
Remarque : Le vecteur est donc caractérisé par : - une direction : celle de la droite (AB), - un sens : de A vers B,
- une longueur : la longueur AB.
Définition 3 : A et B désignent deux points du plan. La translation qui transforme A en B associe à tout point C du plan l’unique point D tel que les segments [BC] et [AD] ont le même milieu.
1er cas : C∉(AB)
D est le point tel que ABDC est un parallélogramme.
2e cas : C∈(AB)
On dit que ABDC est un parallélogramme applati.
Définition 3: Dire que les deux vecteurs et sont égaux signifie que la translation qui transforme A en B, associe au point C le point D. On note = .
Remarque : Les deux vecteurs ont donc:
- une même direction - un même sens - une même longueur
Propriétés: Deux vecteurs et sont égaux si et seulement si le quadrilatère ABDC est un
parallélogramme (éventuellement applati). Deux vecteurs et sont égaux si et seulement si [BC]
et [AD] ont le même milieu.
Remarque : Si = alors B et C sont confondus
Définition 4: Ces trois vecteurs sont égaux, on dit alors que , , sont des représentants d’un même
vecteur que l’on peut noter également , (par exemple)
Remarque: On parle ici de la translation de vecteur . Un vecteur admet une infinité de représentants.
Exercices : Math’X 2014 Didier 21à28p325+29,31,32p326
Chapitre 6 : vecteurs Page 3 II . Opérations sur les vecteurs
Exemple : Une fourmi se promène sur la télécabine précédente.
1) Elle part de B selon le trajet définie par puis . Où arrive-t-elle ?
2) Elle part de B et arrive à F selon le trajet définie par puis . Si l’on s’intéresse uniquement à son point de départ et son arrivée, quelle vecteur a-t-elle parcouru finalement ?
3)Comparer et . Que se passe-t-il pour la fourmi si elle enchaine ces deux trajets ?
Définition 1: La somme de deux vecteurs et est le vecteur associé à la translation résultant de l’enchaînement des translations de vecteur et de vecteur et se note .
Remarque : L’ordre d’enchaînement n’a pas d’importance. On peut également enchaîner trois translations ou plus.
Définition 2: Pour tous vecteurs , , on a : = .
= =
= =
Vecteurs particuliers :
Le vecteur nul est le vecteur associé à la translation qui transforme A en A. Il se note et .
Le vecteur opposé à noté - est le vecteur associé à la translation qui transforme B en A. C’est donc le vecteur .
Définition 3: La différence de deux vecteurs et est le vecteur associé à la translation résultant de l’enchaînement des translations de vecteur et de vecteur - où - est le vecteur opposé à et se note .
Exemple : =
Relation de Chasles : Pour tout points A, B, C, =
Remarque : Cette égalité nous dit deux choses :
On peut simplifier une addition de vecteurs dans certains cas. « Dans un enchainement de vecteur on ne s’intéresse qu’au départ et à l’arrivée. Aller de A à B puis de B à C revient à aller de A à C ».
Chapitre 6 : vecteurs Page 4 On peut utiliser la relation de Chasles dans l’autre sens. « on va de A à C , rien ne nous empêche de faire un détour par B »
Exemple : En terme de vecteur , faire un voyage de Lyon à Marseille est équivalent à faire un voyage de Lyon à Pékin puis de Pékin à Marseille. =
Règle du parallélogramme : Pour tout points A, B, C, tous distincts = où D est le point tel que ABDC est un parallélogramme.
Définition 4:Soit = un vecteur non nul donné et k un réel. Le point C tel que k = est tel que : 1er cas : C∈ [AB) et AC=kAB si k>0
2e cas : C est aligné avec A et B mais C∉[AB) et AC=-kAB si k<0
Propriétés :
k=0 ou = si et seulement si k =
k( (k+k’) k(k’
Exercices : Math’X 2014 Didier
41,43,44p327+55,56,58p328+61,62p329+64à66p329+116à120p324+123p334 III. Vecteurs dans un repère
Définition : Soit (O, I, J) un repère du plan.
Pour tout vecteur , il existe un couple (x ; y) tel que = x + y que l’on appelle ses coordonnées.
Remarque : Les notations suivantes sont équivalentes : ou Exemple : Dans le repère (O, I, J) on a (3 ; -2)
O I
J
Chapitre 6 : vecteurs Page 5 Propriété : Soit deux vecteurs et
= si et seulement si
Propriété : Soit A(xA ; yA) et B(xB ; yB) deux points distincts. Alors le vecteur a pour coordonnées :
.
Exemple : Si A(1 ; 2) et B(5 ; -1) Alors
donc
Propriété : Soit deux vecteurs et
et un nombre réel. Alors on a :
-
k
Définition 5: Deux vecteurs et sont colinéaires si il existe un réel k tel que Définitions 6:
Trois points A, B, C du plan sont alignés si et seulement si et sont colinéaires.
Deux droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si et sont colinéaires.
Propriété : Deux vecteurs et
sont colinéaires si et seulement si xy’=x’y
Exercices : Math’X 2014 Didier
33à35,40p326+45,47p327+49,50,52,57p328+67à70p329+72à74,76,77,81,82p330+125,126p335 Exercices supplémentaires : Math’X 2014 Didier
P308,313,315,317,319,320+12à20p324+30,36,39p326+42,46p327+59p328+60p329+71,75,78,79p330 +p332,333
O I
J
B A
