Fonctions arithmétiques

(1)

Fonctions arithmétiques

1. Généralités.

2. Nombre et somme des diviseurs.

3. L’indicatrice d’Euler.

4. La fonction de Möbius.

5. Convolution de Dirichlet.

6. Séries de Dirichlet.

7. Séries de Lambert.

8. La fonction U(n) = ppcm(1, 2, …, n).

9. Le problème du cercle dans Z/nZ.

10. Le problème du cercle de Gauss.

Pierre-Jean Hormière __________

A l’adolescent que je fus.

Arthur Rimbaud Introduction

Par « fonctions arithmétiques », on entend ici les fonctions classiques définies sur N* mettant en jeu les propriétés multiplicatives des entiers : divisibilité, factorisation, etc. Ces fonctions τ, σ, ϕ, µ, etc.

possèdent une propriété commune : elles sont « multiplicatives ». Etudiées depuis longtemps, elles recèlent encore bien des mystères, car elles sont liées à la répartition des nombres premiers : théorème des nombres premiers et hypothèse de Riemann. A ces fonctions sont associées des séries génératrices : séries de Dirichlet et séries de Lambert, plus adaptées que les séries entières. La fonction ζ d’Euler et Riemann est la plus importante de ces séries.

L’exposé qui suit est progressif ; il en résulte quelques redites.

Les principales fonctions arithmétiques sont préprogrammées dans le package numtheory de Maple.

with(numtheory);

GIgcd bigomega cfrac cfracpol cyclotomic divisors factorEQ factorset fermat, , , , , , , , , [

imagunit index integral_basis invcfrac invphi issqrfree jacobi kronecker, , , , , , , , ,λ legendre mcombine mersenne minkowski mipolys mlog mobius mroot msqrt, , , , , , , , , nearestp nthconver nthdenom nthnumer nthpow order pdexpand, , , , , , , , ,φ π

pprimroot primroot quadres rootsunity safeprime, , , , , ,σ sq2factor sum2sqr, , ,τ thue] Rappelons que la commande interface permet d’afficher l’algorithme utilisé par Maple.

Exemple : with(numtheory) ; interface(verboseproc = 2) ; eval(invphi) ;

Toutes les fonctions arithmétiques classiques sont référencées sur l’OEIS (On line Encyclopedia of Integer sequences) de Neil Sloane. J’ai indiqué leurs numéros.

1. Généralités.

1.1. Fonctions arithmétiques.

Définition 1 : Par fonction arithmétique, nous entendons une fonction de N* dans C. Par fonction on entendra en général une fonction de [1, +∞[ dans C.

Nous noterons A = FFFF(N*, C) l’ensemble des fonctions arithmétiques, E = FFFF_{([1, +}_∞[, C) celui des fonctions. Ce sont des groupes additifs, et des C-espaces vectoriels.

(2)

Exemples :

1) La plus célèbre des fonctions est celle qui, à un réel x ≥ 1 associe le nombre π(x) des nombres premiers ≤ x. On la note π(x) =

∑

1

≤x p

, p désignant un nombre premier.

On sait depuis Euclide qu’il y a une infinité de nombres premiers ; cela revient à dire que π(x) tend vers l’infini avec x.

Voici une preuve de ce résultat, basée sur la divergence de la série

∑

^+∞

=1

1

n n et la convergence de

∑

^+∞

=11²

n n ^. Tout entier n ≥ 1 s’écrit de façon unique sous la forme n = m².q, où q est un « quadratfrei », c’est-à- dire un produit de facteurs premiers distincts. De sorte que :

∑

^+∞

=1

1

n n⁼

∑

^+∞

=1 1²

m m

∑

q q1 _{, où}

∑

q q1 _{est la} somme des inverses des quadratfrei. On en déduit que la série

∑

q q1 diverge.

Il y a donc une infinité de quadrafrei, donc, par absurde, une infinité de nombres premiers.

Mieux,

∑

q q1₌

∏

_p ⁽¹⁺¹_p⁾. On en déduit que le produit infini

∏

_p ⁽¹⁺¹_p⁾ diverge, donc ln(1 1)

p p

∑

+ diverge, et, par minoration ou équivalent,

∑

p 1p_diverge.

Cette démonstration manque légèrement de rigueur, mais il est facile d’y remédier.

La fonction π(n) a pour premières valeurs :

0 , 1 , 2 , 2 , 3 , 3 , 4 , 4 , 4 , 4 , 5 , 6 , 6 , 6 , 6 , 7 , 7 , 8 , 8 , 8 , 8 , 9 , etc.

Elle est référencée A000720 dans l’OEIS.

2) Une fonction liée à la précédente est celle qui à tout entier n associe le n-ème nombre premier p_n. On a : p₁ = 2 < p₂ = 3 < p₃ = 5 < p₄ = 7 < p₅ = 11 < p₆ = 13 < …

La suite des nombres premiers est référencée A000040 dans l’OEIS.

Les nombres primaires sont les puissances de nombres premiers. Voici les plus petits : 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 7 , 8 , 9 , 11 , 13 , 16 , 17 , 19 , 23 , 25 , 27 , 29 , 31 , 32 , Cette suite est référencée A000961.

3) Les fonctions de Tchebychev θ et ψ sont définies resp. par : θ(x) = p

x p

∑

ln

≤

= ln

∏

_≤x

p

p et ψ(x) = p

x p^m

∑

ln

≤

.

La première somme est étendue aux premiers ≤ x, la seconde aux primaires ≤ x.

Le théorème des nombres premiers stipule que les fonctions : π(x) ,

x x

ln , Li(x) = v.p.

∫

₀^x_ln^dt_t ^,^θ_ln⁽^x_x⁾^et^ψ_ln⁽^x_x⁾

sont équivalentes, ou encore que le n-ème nombre premier, p_n, est équivalent à n.ln n.

Ce résultat, conjecturé par Legendre et Gauss, fut partiellement démontré par Tchebychev en 1852, et complètement, et indépendamment, démontré par Hadamard et de La Vallée Poussin en 1896.

> with(numtheory);with(plots):

> pi(10);pi(100);pi(1000);pi(10000);pi(100000);

> p:=plot(pi(floor(x)),x=1..500,numpoints = 500,color=red,thickness=2):

q:=plot(Li(x),x=1..500,color=green,thickness=2):

r:=plot(x/ln(x),x=1..500,color=blue,thickness=2):display({p,q,r});

25

4 168 1229 9592

(3)

> ithprime(100);pi(541);

Les calculs ci-dessous suggèrent que Li(n) est une meilleure approximation de π(n) que ) ln(nn _.

> with(numtheory);

> for k from 1 to 10 do

print([pi(10^k),evalf(Li(10^k)),evalf(10^k/ln(10^k))]);od;

[4 6.165599505 4.342944819, , ]

[25 30.12614158 21.71472410, , ]

[168 177.6096580 144.7648273, , ]

[1229 1246.137216 1085.736205, , ]

[9592 9629.809001 8685.889642, , ]

[78498 78627.54916 72382.41364, , ]

[664579 664918.4050 620420.6885, , ]

[5761455 .5762209375 10, ⁷,.5428681025 10⁷]

[50847534 .5084923496 10, ⁸,.4825494243 10⁸]

[455052511 .4550556146 10, ⁹,.4342944819 10⁹] En 1859, Riemann a démontré que π(x) =

∑

1

≤x p

est la somme d’un terme principal, Li(x), et d’un

« train d’ondes » dont les fréquences sont données par les zéros complexes non triviaux de la fonction ζ, et il a conjecturé que tous les zéros non triviaux de cette fonction se trouvent sur la droite critique Re z = ½.

Remarque : L’exercice suivant fournit des expressions de π(n) et pn, au demeurant inutiles : Exercice : La fonction E désigne la partie entière.

a) Soit n ∈ N*. Quel est le reste euclidien de (n − 1) ! par n ? b) En déduire la formule de Minác : π(n) =

∑

= n

j 2

E

(

j j 1)! 1 ( − +

)

− E

(

j j 1)!

( −

)

.

puis la formule de Minác et William (1995) : p_n = 2 +

∑

= +

n

m

n

m E n E

2

/ 1 ) )) ( (1

(

π

^.

Lorsqu’une fonction arithmétique f n’a pas d’équivalent simple parce qu’elle est trop irrégulière, on peut chercher son ordre moyen, c’est-à-dire un équivalent des moyennes de Cesàro

n n f f(1)+...+ ( )_.

1.2. Fonctions multiplicatives.

Notation : Si m et n sont deux entiers, on note m ∧∧∧∧ n leur pgcd, m ∨∨∨∨ n leur ppcm.

Définition 2 : Une fonction arithmétique f est dite multiplicative si : f(1) = 1 et ∀(m, n) m ∧∧∧∧ n = 1 ⇒ f(m.n) = f(m).f(n).

Elle est dite complètement multiplicative si f(1) = 1 et ∀(m, n) f(m.n) = f(m).f(n).

541 100

(4)

La condition f(1) = 1, qui équivaut ici à f(1) ≠ 0, évite de considérer la fonction nulle.

Une fonction complètement multiplicative est entièrement définie par les valeurs qu’elle prend sur les nombres premiers, car si n = (p1)^k¹ … (pr)^k^r estla factorisation de n, f(n) = f(p1)^k¹ … f(pr)^k^r. Une fonction multiplicative est entièrement définie par les valeurs qu’elle prend sur les nombres

« primaires », c’est-à-dire sur les puissances de nombres premiers, car si n = (p1)^k¹ … (pr)^k^r est la factorisation de n, alors f(n) =

∏

_i₌^r₁ ^f⁽^pⁱ^kⁱ⁾^.

Le produit usuel de deux fonctions multiplicatives (resp. complètement multiplicatives) l’est aussi.

Proposition 1 : Soit f une fonction multiplicative.

∀(m, n) ∈ N*×N* f(m ∧∧∧∧ n).f(m ∨∨∨∨ n) = f(m).f(n).

Preuve : Notons m =

∏

_p ^p^α⁽^p⁾ ^{et n =}

∏

_p ^p^β⁽^p⁾ les factorisations de m et n.

D’une part, f(m).f(n) =

∏

_p ^f(^p^α⁽^p⁾)

∏

_p ^f⁽^p^β⁽^p⁾⁾⁼

∏

_p ^f⁽^p^α⁽^p⁾^).^f⁽^p^β⁽^p⁾⁾^.

D’autre part, f(m ∧∧∧∧ n).f(m ∨∨∨∨ n) =

∏

_p ^f(^p^min(^α⁽^p^),^β⁽^p⁾⁾)

∏

_p ^f⁽^p^max(^α⁽^p^),^β⁽^p⁾⁾⁾⁼

∏

_p ^f⁽^p^α⁽^p⁾^).^f⁽^p^β⁽^p⁾⁾^.

Exercice : Plus généralement, si a₁, …, a_n sont n entiers > 0, ayant m pour ppcm, montrer que : f(m)

∏

_i_<_j ^f⁽^aⁱ^∧^a^j⁾ _i_<

∏

_j_<_k_<_l^f⁽âⁱ^∧â^j^∧â^k^∧â^l⁾^{… =}

∏

_i ^f⁽^aⁱ⁾ _i

∏

_<_j_<_k^f⁽âⁱ^∧â^j^∧â^k⁾^…

Exemples de fonctions multiplicatives :

• Les fonctions e_k : n → n^k (k ∈ N, Z, R ou C) sont complètement multiplicatives ; la fonction e₀ se note aussi 1. Ce ne sont pas les seules :

• La fonction f_a(n) = 1 si n ∧∧∧∧ a = 1, 0 sinon, est complètement multiplicative.

En particulier, si a = p est premier, f_p(n) = 1 si p ne divise pas n, 0 si p | n. f₂(n) =

21 ( 1 – (−1)ⁿ) . La fonction définie par f(n) = 0 si n est pair, f(n) = ²

1

) 1

(− ⁿ⁻ si n est impair aussi. Elle correspond à f(2) = 0, f(p) = 1 si p ≡ 1 (mod 4), f(p) = −1 si p ≡ 3 (mod 4).

Hardy & Wright introduisent cette fonction pour étudier le nombre de représentions de n comme somme de deux carrés (p. 241).

• La fonction χ définie par χ(n) = 1 si n est un carré parfait, 0 sinon, est multiplicative, mais pas complètement. Elle est définie par χ(p^k) = 1 si k est pair , 0 sinon.

Plus généralement la fonction caractéristique des puissances k-èmes est multiplicative.

• Si a ≥ 1 est fixé, la fonction g_a(n) = 1 si n | a , 0 sinon, et h_a(n) = a ∧∧∧∧ n sont multiplicatives.

Si a = (p1)^k¹ … (pr)^k^r , g_a est caractérisée par g_a((pi)^hⁱ ) = 1 pour h_i≤ k_i, g_a(p^k) = 0 si p ≠ p_i. h_a est caractérisée par g_a((pi)^h ) = (pi)^min(^h^,^kⁱ⁾ pour h_i ≤ ki, h_a(p^k) = 1 si p ≠ pi.

• Si n = (p1)^k¹ … (pr)^k^r , soient ω(n) = r le nombre de facteurs premiers distincts de n, et Ω(n) = k1 +… + k_r la somme des valuations.

ω(1) = Ω(1) = 0 et m ∧∧∧∧ n = 1 ⇒ ω(mn) = ω(m) + ω(n) et Ω(mn) = Ω(m) + Ω(n).

Par suite, les fonctions λ0(n) = (−1)^ω⁽ⁿ⁾ et λ(n) = (−1)^Ω⁽ⁿ⁾ sont multiplicatives.

(5)

Ces fonctions sont appelées fonction de Liouville ¹.

> with(numtheory);

> n:=659880;ifactors(n);bigomega(n);

> liouville:=proc(n) (-1)^bigomega(n);end;

> liouville(659880);

Remarque : l’hypothèse de Riemann équivaut au fait que, pour tout ε > 0, la suite

+ε 2 / 11

n ^{[ λ}⁰^{(1) + λ}⁰(2) + … + λ0(n) ] tend vers 0 quand n tend vers l’infini.

• La fonction qui, à tout entier n > 0 associe le nombre de couples (a, b) d’entiers > 0 tels que a.b = n et a ∧∧∧∧ b = 1, est multiplicative. Elle vaut en effet 2^ω(n), car si n = (p1)^k¹ … (pr)^k^r, se donner a équi- vaut à se donner une partie de l’ensemble à r éléments { (p1)^k¹,…, (pr)^k^r }. Elle vérifie f(p^k) = 2.

• La fonction « radical » qui, à tout entier n = (p1)^k¹… (pr)^k^r associe le quadratfrei p₁× … × p_r, est multiplicative. Elle est caractérisée par rad(p^k) = p, et référencée A007947 sur l’OEIS.

> with(numtheory);

> rad:=n->mul(p,p=factorset(n));

> [seq(rad(n),n=1..40)];

1 2 3 2 5 6 7 2 3 10 11 6 13 14 15 2 17 6 19 10 21 22 23 6 5 26 3 14 29, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , [

30 31 2 33 34 35 6 37 38 39 10, , , , , , , , , , ]

Les éléments nilpotents de Z/nZ sont les multiples de rad(n). Ils sont au nombre de nil(n) = n/rad(n), qui est aussi une fonction multiplicative de n, caractérisée par nil(p^k) = p^k⁻¹ .

• La fameuse fonction τ de Ramanujan (ne pas confondre avec la fonction nombre de diviseurs), qui tant me fascina dans le fameux petit Cours d’arithmétique supérieure de Jean-Pierre Serre, est également multiplicative. Elle est définie par :

∀q ∈ C | q | < 1 q

∏

_n^+∞₌₁⁽¹⁻^qⁿ⁾²⁴⁼

∑

^+∞

=1

).

(

n

qn

τ n ^.

Et elle vérifie pour tout premier p et tout entier n ≥ 1, τ(p) τ(pⁿ) = τ(pⁿ⁺¹) + p¹¹τ(pⁿ⁻¹) .

La démonstration de tout ceci dépasse le cadre de cette étude : je renvoie au petit livre de Jean-Pierre Serre. La fonction de Ramanujan est référencée A000594 sur l’OEIS.

Néanmoins, on peut programmer avec Maple le calcul des premières valeur de τ.

> Ramanujan:=proc(n)

> local k;

> rem(expand(q*product((1-q^k)^24,k=1..n)),q^(n+1),q);

> end;

> for n from 1 to 10 do Ramanujan(n);od;

q − 24 q² + 252 q³ − 1472 q⁴ + 4830 q⁵ − 6048 q⁶ − 16744 q⁷ + 84480 q⁸ − 113643 q⁹ 115920 q¹⁰

−

• Mais de nombreux exemples de fonctions multiplicatives sont fournis par les équations algébriques dans Z/nZ, et le théorème chinois.

Soient a un entier fixé, et pour tout n ≥ 1, f(n) le nombre de solutions dans Z/nZ de la congruence x²≡ a (mod n), et g(n) le nombre de solutions (x, y) dans (Z/nZ)² de l’équation x² + y²≡ a (mod n).

Les fonctions f et g sont multiplicatives en vertu du théorème chinois.

1 Cette fonction ne doit pas être confondue avec la fonction λ de Carmichael, qui sera vue au § 3. Ces chevau- chements de notations sont hélas inévitables.

[1 [, [2 3, ],[3 3 [, ], 5 1, ],[13 1, ],[47 1, ]]] 9 :=

n 659880

-1

(6)

Plus généralement, soit P ∈ Z[X₁, …, X_k] un polynôme à k indéterminées. Le nombre c_P(n) de solutions dans (Z/nZ)^k de l’équation P(x₁, …, x_k) ≡ a (mod n) est une fonction multiplicative.

Illustrons ces idées sur un exemple : un anneau A sera dit « doré » si l’équation x² – x – 1 = 0 admet au moins une solution dans A. Les solutions de cette équation sont appelés nombres d’or de A. Dans mon chapitre sur la suite de Fibonacci et le nombre d’or, j’ai démontré (§ 17) le résultat suivant : Théorème du nombre d’or : Pour que l’anneau Z/nZ soit doré, il faut et il suffit que les seuls diviseurs premiers de n soient congrus à 1 ou 9 modulo 10, ou 5 mais avec un exposant égal à 1.

Le nombre de nombres d’or dans Z/nZ est f(n), où f est la fonction multiplicative donnée par : f(2^k) = 0 , f(p^k) = 0 pour p ≡ 3 ou 7 ( mod 10 ),

f(5) = 1 , f(5^k) = 0 pour k ≥ 2 , f(p^k) = 2 pour p ≡ 1 ou 9 ( mod 10 ).

• Enfin, une autre fonction multiplicative extrêmement importante est celle qui à tout entier n associe le nombre de groupes abéliens non isomorphes à n éléments, autrement dit le nombre de classes d’isomorphisme de groupes abéliens d’ordre n. En vertu du théorème de Gauss-Kronecker de dévissage des groupes abéliens finis, cette fonction NGA associe à tout entier

n = (p₁)^k¹… (p_r)^k^r le produit p(k₁) ××××… ×××× p(k_r) ,

où p(k) est le nombre de partitions de l’entier k, c’est-à-dire le nombre de façons de l’exprimer comme somme d’entiers (à l’ordre près). Ainsi p(5) = 7 car 5 a 7 partitions :

5 = 4 + 1 = 3 + 2 = 3 + 1 + 1 = 2 + 2 + 1 = 2 + 1 + 1 + 1 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1.

Cette fonction est répertoriée A000688 dans l’OEIS. Programmons-la avec Maple :

> with(combinat);with(numtheory);with(padic);with(plots);

> NGA:=proc(n) if n = 0 then 0 else

mul(numbpart(ordp(n,p)),p=factorset(n));fi;end;

> [seq(NGA(n),n=0..100)];

0 1 1 1 2 1 1 1 3 2 1 1 2 1 1 1 5 1 2 1 2 1 1 1 3 2 1 3 2 1 1 1 7 1 1 1, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , [

4 1 1 1 3 1 1 1 2 2 1 1 5 2 2 1 2 1 3 1 3 1 1 1 2 1 1 2 11 1 1 1 2 1, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , 1 1 6 1 1 2 2 1 1 1 5 5 1 1 2 1 1 1 3 1 2 1 2 1 1 1 7 1 2 2 4, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ]

> listplot([seq([n,NGA(n)],n=0..100)],color=blue,thickness=2);

> listplot([seq([n,NGA(n)],n=0..200)],color=blue,thickness=2);

Les pics sont atteints pour n = 2, 4, 8, 16, 32, 64, etc.

Pour n = 4, tout groupe abélien est isomorphe à Z/2Z×Z/2Z ou Z/4Z

Pour n = 8, tout groupe abélien est isomorphe à Z/2Z×Z/2Z×Z/2Z, Z/2Z×Z/4Z ou Z/8Z, etc.

(7)

1.3. Propriétés des fonctions multiplicatives.

Ce § technique peut être réservé à une seconde lecture. On note Π l’ensemble des nombres primaires.

Proposition 2 : Soit f une fonction complètement multiplicative.

Pour que f soit bornée, il faut et il suffit que ∀p ∈ PPPP | f(p) | ≤ 1.

Pour que f tende vers 0 en +∞, il faut et il suffit que ∀p ∈PPPP | f(p) | < 1 et que lim _p_∈PPPP, p→+∞ f(p) = 0.

Preuve : La première équivalence, facile, est laissée au lecteur.

Supposons que f tend vers 0 en +∞. Alors il est clair que : lim _p∈PPPP, p→+∞ f(p) = 0 . S’il existait p ∈ PPPP tel que | f(p) | ≥ 1, alors la suite ( f(p^k) )_k ne tendrait pas vers 0.

Réciproquement, supposons ∀p ∈PPPP | f(p) | < 1 et lim _p_∈_P_P_P_P_{, p}_→₊_∞ f(p) = 0 . Notons p₁ < p₂ < … < p_n < … la suite des nombres premiers.

Soit 0 < ε < 1. Il existe i tel que, pour tout j > i, | f(p_j) | ≤ε.

Soit alors n = (p1)^k¹ … (pr)^k^r un entier factorisé, avec k_r > 0. Si r > i, alors | f(n) | ≤ ε.

Sinon, tous les facteurs premiers p_j de n sont ≤ pi , donc n ≤ (pi)^ω⁽ⁿ⁾. Du coup, ω(n) → +∞ avec n.

Notons M = max ( | f(p₁) | , … , | f(p_i) | ) < 1. Alors | f(n) | ≤ M^ω(n)→ 0 quand n → +∞. Proposition 3 : Soit f une fonction multiplicative.

Pour que f tende vers 0 en +∞, il faut et il suffit que lim _n_∈Π_{, n}_→₊_∞ f(n) = 0.

Preuve : La condition est évidemment nécessaire. Montrons qu’elle est suffisante.

Il découle de l’hypothèse que :

i) ∃A ≥ 1 ∀p ∈ PPPP ∀m ≥ 1 | f(p^m) | ≤ A .

ii) ∃B ∈ N* ∀p ∈ PPPP ∀m ≥ 1 p^m > B ⇒ | f(p^m) | ≤ 1 .

iii) ∀ε > 0 ∃N(ε) ∀p ∈PPPP_∀_m_≥_{1 p}^m_{> N(}_ε₎⇒ | f(p^m) | ≤ 1 .

Je dis d’abord que f est bornée. Soit en effet n = (p1)^k¹ … (pr)^k^r la factorisation de n.

Les primaires (pi)^kⁱ qui sont ≤ B sont en nombre fini ≤ B. Les autres sont > B. Donc | f(n) | ≤ A^B. Les nombres primaires ≤ N(ε) sont en nombre fini, ainsi que les entiers dont les facteurs primaires sont ≤ N(ε). Soit P(ε) un majorant de ces nombres. Si donc n > P(ε), l’un au moins des facteurs primaires p^k de n est > N(ε). Ecrivons n = p^k m . Alors f(n) = f(p^k).f(m) et | f(n) | ≤ ε A^B. Cqfd.

Proposition 4 : Une fonction multiplicative monotone de N* dans R*₊ est complètement multipli- cative, et est de la forme f(n) = n^α (α ∈ R).

Preuve : [ Oral ENS, et Bourbaki, ex. ]

Montrons seulement une partie du résultat, à savoir qu’une fonction f monotone et complètement multiplicative de N* dans R*₊ est de la forme f(n) = n^α (α∈ R).

Supposons f croissante, et fixons un entier n ≥ 2.

Pour tout entier k ≥ 1, il existe un unique entier ak ≥ 1 tel que 2â^k ≤ n^k < 2â^k⁺¹. Alors f )(2 â^k ≤ f(n)^k ≤ f(2)â^k⁺¹, donc a_k ln f(2) ≤ k ln f(n) ≤ ( ak + 1 ) ln f(2).

Divisons les deux membres par k. Comme lim_k_→₊_∞ k ak =

2 ln

lnn par encadrement, il vient ln f(n) = f n

ln 2 . ln

) 2 (

ln , donc f(n) = n^α , où α = 2 ln

) 2 ( lnf

.

(8)

1.4. Intégrations arithmétiques.

Proposition 5 : Soient f une fonction arithmétique, et F = T(f) la fonction arithmétique définie par

∀n ∈ N* F(n) =

∑

n d

d

f )( . La correspondance T est un automorphisme de C-espace vectoriel de A.

De plus, si f est multiplicative, il en est de même de F = T(f).

Preuve : L’application T est linéaire. Elle est bijective, car si F est une fonction N* → C, alors F = T(f), où f est définie par récurrence forte ainsi : f(1) = F(1) et f(n) = F(n) −

∑

<n d n d

d f

,

) ( .

Supposons maintenant f multiplicative. Si m et n sont premiers entre eux, tout diviseur de mn s’écrit de façon unique comme produit d’un diviseur de m et d’un diviseur de n.

Du coup, F(mn) =

∑

mn d

d

f )( =

∑

n d m d

d d f

, '

) '' '

( =

∑

n d m d

d f d f

, '

) '' ( ) '

( =

∑

m d

d f

'

)) ' (

( (

∑

n d

d f

''

) ''

( ) = F(m).F(n) . Remarque : Nous donnerons plus tard une expression explicite de f à partir de F, et nous montrerons que si F est multiplicative, il en est de même de f.

Proposition 6 : Soit E = FFFF_{([1, +}_∞[, C). A toute fonction f ∈ E associons la fonction F ∈ E définie par ∀x ≥ 1 F(x) =

∑

≤

≤n xf nx

1

)

( . La correspondance T : f → F est linéaire bijective.

Preuve : Le symbole

∑

≤

≤n xf nx

1

)

( signifie en fait

∑

≤

≤ [] 1

) (

x n f nx .

Donnons-nous une fonction F ∈ E, et cherchons f telle que ∀x ≥ 1 F(x) =

∑

≤

≤n xf nx

1

) ( .

Pour 1 ≤ x < 2, on doit poser f(x) = F(x). Supposant f construite sur [1, n–1[, alors pour n−1 ≤ x < n, il faut poser f(x) = F(x) −

∑

≤

≤n x n f x

2

) ( . Or

n x _≤

2 x_<

2

n _≤_n₋_1.

Remarques : 1) Soit f une fonction arithmétique. Si l’on convient de la prolonger par la valeur nulle sur [1, +∞[ − N*, alors les deux opérateurs T coïncident, en ce sens que T o π = π o T.

2) Si l’on prolonge f par la valeur 0 sur ]0, 1[, la formule F(x) =

∑

≤

≤n x n f x

1

)

( s’écrit aussi F(x) =

∑

^+∞

=1

) (

n n

f x . Nous expliciterons plus tard f en fonction de F.

1.5. Probabilités.

En théorie des nombres, on rencontre naturellement des problèmes probabilistes. Nous définirons une probabilité comme limite d’une fréquence.

Définition : Soit A une partie de N*. Nous dirons que l’entier n appartient à A avec la probabilité p si lim_N_→₊_∞

N1 _{card (A}_∩ { 1, 2, …, N }) = p.

On dit aussi que p est la densité arithmétique de A. Cette notion s’étend sans peine à des parties de N*², … , N*^k.

Exemples :

1) Un entier n est pair, resp impair, avec une probabilité ½. Plus généralement, un entier n est congru à h mod k avec une probabilité 1/k.

2) La probabilité pour qu’un entier n soit premier est nulle. Cela découle du théorème des nombres premiers :

N N) π( _∼

N

ln1 (en fait, Tchebychev suffit, et il y a même une preuve élémentaire).

3) La probabilité pour qu’un entier n soit primaire est également nulle.

(9)

Soit en effet Π(N) =

∑

1

≤N p^m

=

∑

≤ 



N

p Np

ln

ln le nombre des primaires ≤ N. Supposons p_n≤ N < p_n+1.

N N) Π( _≤

NN

ln

∑

≤N

p ln1p₌ NN

ln

∑

= n

k₁lnpk

1 _≤

n n

p p 1

ln ₊

∑

= n

k₁lnpk

1 ∼

n n n

ln .

ln

∑

= n

k₁ln1k ∼ n

1

∫

₂ⁿ_ln^dt_t ^∼ _ln¹_n^→^0.

Remarques : Une partie de N* n’a pas toujours de probabilité, et qu’il y a des notions de probabilité, ou de densité, plus sophistiquées que celle ici considérée. Cf. mon problème sur Cesàro. Enfin, cette notion de probabilité n’en est pas une au sens strict du terme.

Exercice : On tire au hasard et indépendamment n entiers ≥ 1, x₁, ..., x_n. Quelle est la probabilité que leur produit ait 5 pour chiffre des unités ?

2. Nombre et somme des diviseurs.

Les anciens, notamment les pythagoriciens, classaient les entiers selon le nombre et la somme de leurs diviseurs. Un nombre était premier (on disait aussi rectilinéaire) ou composé selon qu’il avait deux diviseurs ou non. Il était parfait, déficient ou abondant selon qu’il était égal, supérieur ou inférieur à la somme de ses diviseurs stricts (ou parties aliquotes). Les entiers abondants se divisent eux-mêmes en deux classes : ceux qui sont somme d’un sous-ensemble de leurs diviseurs stricts sont dits semi-parfaits ; les autres sont dits étranges ou tordus, etc...

Ainsi, 28 est un nombre parfait, car 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14.

14 est un nombre déficient, car 14 > 1 + 2 + 7 = 10.

18 est un nombre abondant, car 18 < 1 + 2 + 3 + 6 + 9 = 21.

2.1. Les fonctions ττττ et σσσσ.

Définition 1 : Si n est un entier ≥ 1, on note τ(n) le nombre des diviseurs positifs de n, σ(n) la somme des diviseurs de n, et, plus généralement, pour tout naturel k, σk(n) la somme des puissances k-èmes des diviseurs de n. Autrement dit : τ(n) =

∑

1

n d

, σ(n) = d

n d

∑

^,^σ^k^{(n) =}

∑

n d

dk . Dans le symbole

∑

n d

d

f )( , la somme est étendue à tous les diviseurs > 0 de n, y compris 1 et n.

La fonction τ est référencée A000005, la fonction σ A000203 dans l’OEIS.

τ(n) est le nombre de sous-groupes d’un groupe cyclique d’ordre n, car pour tout diviseur d de n un tel groupe admet un et un seul sous-groupe d’ordre d, qui est lui-même cyclique.

Proposition 1 : Si n = (p1)^k¹ … (pr)^k^r estla factorisation de n : τ(n) =

∏

₌^r ⁺

i

ki 1

) 1

( , σ(n) =

∏

₌^r ⁺₋⁻

i i

k i

p pⁱ

1 1

1 )

( 1 , σk(n) =

∏

₌^r ⁺₋⁻

i ik k k i

p p ⁱ

1

) 1 (

1 )

( 1 .

Preuve : Un diviseur de n s’écrit de façon unique sous la forme d = (p1)^m¹… (pr)^m^r, où 0 ≤ m_i≤ k_i. On en déduit aussitôt que n admet

∏

_i₌^r₁⁽^kⁱ⁺¹⁾ diviseurs. De plus, par distributivité :

σ(n) =

∑ ∑

= =

1

0 0

1) ...( ) (

...

k

m k

m

r m m

r

p r

p = (

∑ ∑

= =

1

1 1

0 0

1) )...( ( ) ) (

k

m

k

m r m

m ^r

r

p r

p =

∏

₌^r ⁺₋⁻

i i

k i

p pⁱ

1 1

1 )

( 1 . Idem pour σk.

Le mieux toutefois est de noter que les fonctions τ, σ et σk sont multiplicatives. Ce sont en effet les images par T des fonctions complètement multiplicatives e_k : n → n^k, pour k = 0, 1, puis pour k quelconque. Du coup, pour retrouver les formules données en prop. 1, il suffit de calculer les images des nombres primaires.

(10)

Proposition 2 : i) La moyenne arithmétique des diviseurs de n est donnée par A(n) = ) (

) (

n

τ

n

σ

_.

ii) La moyenne géométrique des diviseurs de n est donnée par : G(n) = n. iii) La moyenne harmonique des diviseurs de n est donnée par : H(n) =

) (

n n n

σ τ

_.

Ce sont trois fonctions multiplicatives.

Preuve : ii)

( ∏

n d

d)² = (

∏

n d

d)(

∏

n

d dn ) =

∏

n d

n = n^τ⁽ⁿ⁾. Du coup,

∏

n d

d = n^τ^(n)/2. iii) Le calcul de H(n) =

∑

n d

d n

) / 1 (

)

τ

( découle de l’égalité

∑

n

d dn ₌

∑

n d

d , obtenue par réindexation.

Remarque : il découle du raisonnement précédent que n^τ(n)est un carré parfait.

>with(numtheory);

> Diviseurs:=proc(n)

print(ifactors(n));print(ifactor(n));print(factorset(n));

print(tau(n));print(sigma(n));issqrfree(n);end;

> Diviseurs(10500);

[1 [, [2 2, ],[3 1, ],[5 3, ],[7 1, ]]]

> with(numtheory);

> P:=n->mul(d,d=divisors(n));Q:=n->sqrt(n^tau(n));

> seq(P(n),n=1..25);

1 2 3 8 5 36 7 64 27 100 11 1728 13 196 225 1024 17 5832 19 8000 441, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , 484 23 331776 125, , ,

> seq(Q(n),n=1..25);

1 2 3 8 5 36 7 64 27 100 11 1728 13 196 225 1024 17 5832 19 8000 441, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , 484 23 331776 125, , ,

2.2. Exercices.

Exercice 1 : Quel est le plus petit entier ayant 15 diviseurs ? 17 diviseurs ? Réponses : 144 et 65536.

Exercice 2 : Trouver les entiers dont le produit des diviseurs est 3³⁰× 5⁴⁰. Solution :

∏

n d

d a les mêmes facteurs premiers que n. Donc n est de la forme n = 3^a× 5^b . τ(n) = ( a + 1 )( b + 1 ), donc n^τ^(n)/2 = 3^a(a+1)/2 × 5^b(b+1)/2 = 3³⁰ × 5⁴⁰.

Comme ni 30, ni 40 ne sont triangulaires, n n’existe pas.

Exercice 3 : Démontrer l’équivalence τ(n) est impair ⇔ n est un carré.

Solution : τ(n) =

∏

_i₌^r₁⁽^kⁱ⁺¹⁾ est impair ssi chaque entier k_i + 1 est impair, autrement dit si chacun des k_i est pair, ce qui équivaut à dire que n est un carré.

Exercice 4 : Un entier n ≥ 1 est dit « refactorisable » ² si τ(n) | n.

1) Donner la liste des entiers refactorisables ≤ 200. La reconnaître dans l’OEIS.

2) Quels sont les nombres premiers refactorisables ? les nombres primaires refactorisables ?

2 Cf. Jean-Paul Delahaye, Pour la Science, avril 2020, p. 72-77.

( )

2 ² 3( ) 5( )³ 7( ) ^{^{2 3 5 7}^{, , ,} ^}

48 34944 false

(11)

3) En déduire qu’il existe une infinité de nombres refactorisables pairs, resp. impairs.

4) Si m et n sont premiers entre eux et refactorisables, que dire de mn ?

5) Trouver les nombres refactorisables ayant deux diviseurs premiers p et q. Exemples ? Solution :

> with(numtheory);

> refactor:=proc(N) local L,n;L:={};for n from 1 to N do if irem(n,tau(n))=0 then L:=[op(L),n]:fi:od;print(L);end;

> refactor(250);

1 2 8 9 12 18 24 36 40 56 60 72 80 84 88 96 104 108 128 132 136 152 156, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , [

180 184 204 225 228 232 240 248, , , , , , , ] L’OEIS, qui sait tout, reconnaît la suite A033950.

2) Le seul nombre premier refactorisable est 2.

Les nombres primaires refactorisables sont tous les p^p⁻¹ et plus galt les p^p^k⁻¹, où p est premier.

4) Si m et n sont premiers entre eux et refactorisables, mn est refactorisable, car τ(mn) = τ(m).τ(n) | mn .

La réciproque est d’ailleurs fausse : 12 est refactorisable, mais ni 3 ni 4 ne le sont.

Exercice 5 : 1) Soit n ∈ Z. Montrer que l’équation x² – y² = n a au moins une solution dans Z×Z ssi n ≡ 0, 1 ou 3 (mod 4).

2) Soit n ∈ N*. Démontrer que card { (x, y) ∈ Z×Z ; x² – y² = n } = 0 si n ≡ 2 (mod 4), 2τ(n/4) si n ≡ 0 (mod 4), 2τ(n) si n ≡ 1 (mod 2).

Solution : cf mes exercices d’Algèbre générale.

Exercice 6 : 1) Montrer que σ(n) est impair ⇔ n est de la forme n = 2^aq² , a ≥ 0, q impair.

2) Résoudre l’équation 3σ(n) = 4n − 17. [ Oral ENS 1986 ] Solution : 1) Ecrivons n = 2^am , où m est impair ; alors σ(n) = σ(2^a).σ(m) ≡ σ(m) (mod 2).

Si m = (p1)^k¹ … (pr)^k^r , alors σ(m) = (1 ... )

1

∏

_i₌^r ⁺^pⁱ⁺ ⁺^pⁱ^kⁱ⁺1 ^≡

∏

_i₌^r₁⁽¹⁺^kⁱ⁾⁼^τ(m) mod 2.

σ(m) est impair ssi tous les 1 + ki sont impairs, i.e. ssi tous les k_i sont pairs, i.e. ssi m est un carré.

2) 3σ(n) = 4n − 17 implique que σ(n) est impair, donc n = 2^aq² , a ≥ 0, q impair.

Cela implique aussi n ≡ 2 (mod 3), donc (table des carrés dans Z/3Z) a ≥ 1.

Dès lors σ(n) = ( 2^a+1 − 1 )σ(q²) ≥ ( 2^a+1 − 1 ) q² ≥ 3

2₂^a+1_q²_{, car 2}^a+1_{≥ 3.}

Finalement, 3σ(n) ≥ 4n. L’équation est sans solution.

Exercice 7 : On s’intéresse ici aux entiers n ≥ 1 tels que σ(n) ∧∧∧∧ n = 1.

1) Donner la liste de ces entiers ≤ 200. La reconnaître dans l’OEIS.

2) Que dire des nombres premiers ? Des nombres primaires ? 3) La réciproque est-elle vraie ?

Solution :

> with(numtheory);

> pseudoprim:=proc(N) local L,n;L:={};for n from 1 to N do if igcd(n,sigma(n))=1 then L:=[op(L),n]:fi:od;print(L);end;

> pseudoprim(200);

1 2 3 4 5 7 8 9 11 13 16 17 19 21 23 25 27 29 31 32 35 36 37 39 41 43, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , [

47 49 50 53 55 57 59 61 63 64 65 67 71 73 75 77 79 81 83 85 89 93 97, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , 98 100 101 103 107 109 111 113 115 119 121 125 127 128 129 131 133, , , , , , , , , , , , , , , , , 137 139 143 144 149 151 155 157 161 163 167 169 171 173 175 179 181, , , , , , , , , , , , , , , , , 183 185 187 189 191 193 197 199, , , , , , , ]

(12)

La suite de ces entiers est référencée A014567 dans l’OEIS.

2) Les nombres premiers sont tels queσ(p) ∧∧∧∧ p = 1, car σ(p) = p + 1,

Les nombres primaires aussi vérifient σ(p^k) ∧∧∧∧ p^k = 1, ou encore σ(p^k) ∧∧∧∧ p = 1, car σ(p^k) = p^k + p^k⁻¹ + … + p + 1.

3) La réciproque est fausse. 21 n’est pas primaire mais σ(21) ∧∧∧∧ 21 = 1, car σ(21) = 4.8 = 32.

35 n’est pas primaire mais vérifie σ(35) ∧∧∧∧ 35 = 1, car σ(35) = 6.8 = 48.

Ce sont les deux plus petits entiers non primaires vérifiant cette propriété.

Plus galt, n = p.q, où p et q sont premiers, p < q, possède cette propriété ssi 2 < p et p ∧∧∧∧ (q + 1) = 1.

En particulier, si p et p + 2 sont des nombres premiers jumeaux avec p > 3, n = p.(p + 2) marche.

> pseudoprim2:=proc(N) local L,n;L:={};for n from 1 to N do if igcd(n,sigma(n))=1 and nops(factorset(n))<>1 then

L:=[op(L),n]:fi:od;print(L);end;

> pseudoprim2(200);

1 21 35 36 39 50 55 57 63 65 75 77 85 93 98 100 111 115 119 129 133, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , [

143 144 155 161 171 175 183 185 187 189, , , , , , , , , ]

Exercice 8 : Maxime Taillardat conjecture que F : n → (τ(n), σ(n)) est injective. Qu’en penser ? Solution : Hélas, c’est faux : F(14) = F(15), F(33) = F(35), F(46) = F(51) = F(55), F(54) = F(56), etc.

Exercice 9 : 1) Etudier les fonctions τ2(n) =

∑

+ n d 1) 2 (

1 et σ2(n) =

∑

+ n d

d

) 1 2 (

, nombre et somme des diviseurs impairs de n.

2) Plus généralement, soit a un naturel fixé. Etudier les fonctions τa(n) =

∑

=

∧ 1

;

1

a d n d

et σa(n) =

∑

=

∧ 1

;d a n d

d , nombre et somme des diviseurs de n premiers avec a.

Solution : Reprenons la fonction complètement multiplicative f_a introduite au § 1.2.

τ2(n) =

∑

+ n d 1) 2 (

1 =

∑

n d

d

f2( ) et σ2(n) =

∑

+ n d

d

) 1 2 (

=

∑

n d

d d f2( ). . τa(n) =

∑

=

∧ 1

;

1

a d n d

=

∑

n d

a d

f ( ) et σa(n) =

∑

=

∧ 1

;d a n d

d =

∑

n d

a d d

f ( ). .

Ce sont des fonctions multiplicatives. Il reste à les calculer sur les nombres primaires…

Exercice 10 : Pour tout n ≥ 1, soient f(n) le nombre de diviseurs de n de la forme 3k + 1, g(n) le nombre de diviseurs de n de la forme 3k + 2. Montrer que, pour tout n, f(n) ≥ g(n). [ Oral ENS 2013 ] 2.3. Nombres parfaits.

Définition 3 : Pour tout n ≥ 1, on note σ’(n) = σ(n) − n la somme des diviseurs stricts de n.

Un entier n est dit parfait si σ’(n) = n , autrement dit si σ(n) = 2n.

Les quatre plus petits nombres parfaits sont 6, 28, 496 et 8128. En effet : 6 = ( 1 + 2 ) + 3

28 = ( 1 + 2 + 4 ) + ( 7 + 14 )

496 = ( 1 + 2 + 4 + 8 + 16 ) + ( 31 + 62 + 124 + 248 )

8128 = ( 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 ) + ( 127 + 254 + 508 + 1016 + 2032 )

Connus depuis l’antiquité, ce sont les seuls nombres parfaits < 10000. Le suivant est 33550336.

On en connaît 50 aujourd’hui (janvier 2018). Ils sont référencés A000396 dans l’OEIS.

Théorème 3 (Euclide) : Si 2^q – 1 est premier, 2^q⁻¹( 2^q – 1 ) est un nombre parfait.

Preuve : Par multiplicativité, si n = 2^q⁻¹(2^q – 1), alors :

(13)

σ(n) = σ(2^q−1(2^q – 1)) = σ(2^q−1).σ(2^q – 1) = 1 2

1 2

−−

q

σ(2^q – 1) = (2^q – 1).2^q = 2n.

Théorème 4 (Euler) : Tous les nombres parfaits pairs sont de la forme précédente.

Preuve : Soit n un nombre parfait pair ; écrivons n = 2^h m (m impair, h ≥ 1).

Par multiplicativité, σ(n) = σ(2^h).σ(m) = ( 2^h+1 – 1 ).σ(m).

L’hypothèse σ(n) = 2n se traduit par : ( 2^h+1 – 1 ).σ(m) = 2^h+1m.

En vertu du théorème dit de Gauss, 2^h+1 – 1, qui est premier avec 2^h+1, divise m.

Si m était composé, on pourrait écrire σ(m) = m + x + 1, où x > 0.

Alors ( 2^h+1 – 1 ).( m + x + 1 ) = 2^h+1m , d’où m = ( x + 1 ).( 2^h+1 – 1 ) et x + 1 | m.

Mézalor, x + 1 figurerait dans la liste des diviseurs de m autres que 1 et m, donc x + 1 ≤ x…

Impossible. Donc m est premier. Comme 2^h+1 – 1 divise m , 2^h+1 – 1 = m est premier. CQFD.

Corollaire 1 : Les nombres parfaits pairs sont des nombres triangulaires.

Ce sont également, sauf le premier, les sommes des premiers cubes impairs.

Preuve : Pour tout q ≥ 2, 2^q−1(2^q – 1) = 2

) 1 (m+

m = 1 + 2 + … + m , où m = 2q – 1.

De plus, on montre que S(N) =

∑

= −

N

k

1

)3

1 2

( = N²( 2N² – 1 ) . Si N = ²

1

2

− q

, il vient S(N) = 2^q⁻¹(2^q – 1) ; or 2^q – 1 premier implique q impair, en contraposant.

Corollaire 2 : Les nombres parfaits pairs se terminent par 6 ou 8.

Preuve : Il est facile de montrer que, pour q ≥ 2, 2^q⁻¹(2^q – 1) ≡ 6, 8, 0, 6, 6, 8, 0 [ mod 10 ], périodiquement. Mais q n’est pas multiple de 4, donc 2^q⁻¹(2^q – 1) n’est pas congru à 0 mod 10.

Définition 4 : Les nombres parfaits pairs s’appellent nombres d’Euclide, les entiers de la forme M_q = 2^q – 1 s’appellent nombres de Mersenne.

La correspondance M →

2+1

MM met en bijection les nombres de Mersenne premiers et les nombres d’Euclide. On conjecture qu’il existe une infinité de nombres de Mersenne premiers, donc une infinité de nombres d’Euclide. On en connaît aujourd’hui (janvier 2018) 50.

La commande mersenne([i]) de Maple donne le i-ème nombre de Mersenne premier. On peut donc lister les premiers nombres parfaits pairs :

> with(numtheory):M:=q->mersenne([q]);

> p:=q->M(q)*iquo((M(q)+1),2);

> for q from 1 to 12 do p(q);od;

2305843008139952128

2658455991569831744654692615953842176

191561942608236107294793378084303638130997321548169216

13164036458569648337239753460458722910223472318386943117783728128

14474011154664524427946373126085988481573677491474835889066354349131199\ 152128

Remarque : On conjecture qu’un nombre impair n’est jamais parfait. Carl Pomerance a donné une preuve heuristique de ce résultat. On trouvera dans Ribenboim (p. 81-84) et sur wikipedia des renseignements sur ce sujet.

Exercice 10 : Démontrer qu’un quadratfrei impair (resp. un nombre primaire impair, un carré impair) ne sont jamais parfaits.

28 496 8128 33550336 8589869056 137438691328

6