CO C ON NG GR RU U EN E NC CE ES S D DA AN N S S Z Z – – A AN N NE N EA AU U X X Z Z/ /

CO C ON NG GR RU U EN E NC CE ES S D DA AN N S S Z Z – – A AN N NE N EA AU U X X Z Z/ /

NN

Z Z – – A A PP P PL LI IC C AT A TI IO ON N S S

1 Congruences dans Z

1.1 Définition

Soient n∈`, a b, ∈]. On dit que a est congru à b modulo n si a b− ∈n]. on note alors a≡b n( ).

1.2 Proposition

Pour n∈`, la relation ℜ définie par : ( , )a b 2,a b a b n( )

∀ ∈] ℜ ⇔ ≡ est une relation d'équivalence.

Démonstration Soit n∈`.

,

a a a

∀ ∈] ℜ car a− = ∈a 0 n]. ℜ est donc réflexive.

Soit ( , )a b ∈]² tels que aℜb. a b− ∈n] donc b− ∈a n]. Par conséquent, bℜa. ℜ est donc symétrique.

Soit ( , , )a b c ∈]³ tel que aℜb et bℜc.

a b− ∈n] et b c− ∈n] donc (a b− + − ∈) (b c) n], c'est-à-dire a− ∈c n]. Par conséquent, aℜc. ℜ est donc transitive.

Notation : Pour n∈`, on note ]/n] l'ensemble quotient de ] par la relation d'équivalence ℜ. Si x∈], on note x la classe d'équivalence de x :

{

^/

}

x= y∈] xℜ y .

Remarque : Le cas n=0 n'a pas d'intérêt car ]/ 0] ]= . Le cas n=1 n'a pas d'intérêt non plus car

{ }

/1 = 1 ] ] .

1.3 Théorème

Soient n∈`<sup>*</sup>, ( , )x y ∈ ×` `^*. ( )x≡ y n si et seulement si x et y ont le même reste dans la division euclidienne par n.

Démonstration

Soient n∈`<sup>*</sup>, ( , )x y ∈ ×` `^*.

Supposons que x et y ont le même reste dans la division euclidienne par n.

3

1 2

!( ,q q r, )

∃ ∈` tel que : ₁

2

0 r n

x nq r y nq r

≤ <

⎧⎪ = +

⎨⎪ = +

⎩

1 2 1 2

( ) ( ) ( )

x− =y nq + −r nq + =r n q −q donc x− ∈y n], c'est-à-dire x≡y n( ). Supposons maintenant que x≡y n( ).

2 1 1

!( , )q r

∃ ∈` , x=nq₁+r₁ (avec 0≤ <r₁ n)

2 2 2

!(q r, )

∃ ∈` , y=nq₂+r₂ (avec 0≤ <r₂ n)

1 2 1 2

( ) ( )

x− =y n q −q + r −r

1 2 ( ) ( 1 2)

r − =r x−y −n q −q

x− ∈y n] car x≡ y n( ) et n q( ₁−q₂)∈n] donc r₁− ∈r₂ n] car (n], )+ est un groupe.

0≤ <r1 n et − < − ≤n r₂ 0 donc − < − <n r₁ r₂ n. Les conditions − < − <n r₁ r₂ n et r₁− ∈r₂ n] impliquent r₁− =r₂ 0.

x et y ont donc le même reste dans la division euclidienne par n.

1.4 Proposition

Soient n∈`^*, ( , , , )a b c d ∈]⁴. Alors ( ) ( )

( ) ( )

a b n a c b d n c d n ac bd n

≡ + ≡ +

⎧ ⎧

⎨ ≡ ⇒⎨ ≡

⎩ ⎩ .

Démonstration

Soient n∈`^*, ( , , , )a b c d ∈]⁴. Supposons ( )a≡b n et c≡d n( ).

1, 2 , 1, 2

q q a b nq c d nq

∃ ∈] − = − = .

En additionnant membre à membre, on obtient : (a c+ − +) (b d)=n q( ₁+q₂).

1 2

q + ∈q ] donc a c+ ≡ +b d n( ).

1 2

( )( )

ac= +b nq d+nq

2

2 1 1 2

ac=bd+nbq +nq d+n q q

2 1 1 2

( )

ac bd− =n bq +q d+nq q

2 1 1 2

bq +q d+nq q ∈] donc ac≡bd n( )

Conséquence : ∀ ∈k `^*, a≡b n( ) ⇒ a^k ≡b^k ( )n .

2 Anneaux Z/nZ

Dans la suite, on prendra n∈`^*.

2.1 Définition

On définit sur ]/n] une multiplication et une addition en posant :

. .

, / : x y x y

x y n

x y x y

⎧ =

∀ ∈ ⎪⎨

+ = + ] ] ⎪⎩

Ces opérations sont bien définies :

Soient ,ξ β∈] ]/n . Il existe ,x y∈] tels que ξ =x et β = y. Choisissons maintenant un autre représentant x' de ξ et un autre représentant y' de β : ξ =x' et β = y'.

Alors x≡x n' ( ) et y≡y n' ( ) et donc x+ ≡ +y x' y n' ( ) et x y. ≡x y n'. ' ( )

2.2 Théorème

(

^{]/n], , .+}

)

est un anneau commutatif

Démonstration

+ est une loi interne sur ]/n] :

Soient , ,β ξ γ∈] ]/n ,β =x,ξ = y,γ =z

( )

(β ξ+ )+ =γ x+y +z

= + +x y z (définition de + dans ]/n]) =(x+y)+z (idem)

= +x (y+z) (associativité de + dans ]) = + +x y z (définition de + dans ]/n]) ^{= +x}

( )

^y+z (définition de + dans ]/n]) donc + est associative

x y β ξ+ = +

= +x y (définition de + dans ]/n]) = +y x (commutativité de + dans ]) = +y x (définition de + dans ]/n]) donc + est commutative.

0 x 0

β+ = + = +x 0 =x =β

donc 0 est l'élément neutre pour +

x x x

β+ − = + − = + −x ( x) =0

donc tout élément de ]/n] admet un opposé.

. est une loi interne dans ]/n] :

Soient , ,β ξ γ ∈] ]/n ,β =x,ξ = y,γ =z. c'est le même type de démonstration que pour l'addition :

( )

( . ).β ξ γ = x y z. . =x y z. . =( . ).x y z =x y z.( . ) =x y z. . ^{=x y z.}

( )

^.

donc . est associative.

. x y. β ξ = =x y. =y x. =y x. =ξ β.

donc . est commutative dans ]/n]. .1 x.1

β = =x.1 =x =β

donc 1 est élément neutre pour .

( )

.( ) x y. z β ξ γ+ = + =x y. +z =x y.( +z) =x y. +x z. =x y. +x z. =x y. +x z. =β ξ β γ. + .

donc . est distributive sur + dans ]/n].

2.3 Un exemple de tables

Pour simplifier les écritures, les nombres figurant dans les tableaux désignent des classes.

+ 0 1 2 3 × 0 1 2 3

0 0 1 2 3 0 0 0 0 0 1 1 2 3 0 1 0 1 2 3 2 2 3 0 1 2 0 2 0 2 3 3 0 1 2 3 0 3 2 1

2.4 Théorème

Soient 2,n≥ n∈`, x∈`. x est inversible dans ]/n] si et seulement si x∧ =n 1. Démonstration

Soient 2,n≥ n∈`, x∈`.

Supposons x inversible dans ]/n]. Il existe y∈] ]/n tel que .x y=1, ou encore .x y≡1 ( )n . il existe alors q∈] tel que .x y− =1 n q. . On en déduit que .x y+ −( q n). =1. D'après le théorème de Bézout, il en résulte que x∧ =n 1.

Supposons maintenant que x∧ =n 1. D'après le théorème de Bézout, il existe ( , )u v ∈]² tel que :

. . 1

x u+n v=

. . 1

x u+n v=

. . 1

x u+n v=

. . 1

x u+n v=

. 1

x u= car n=0

donc x est inversible dans ]/n].

2.5 Corollaire

Soit p∈`^*. /] p] est un corps si et seulement si p est un nombre premier.

Démonstration Soit p∈`^*.

(

^{∀ ∈k `, 1≤ ≤ −k p 1, k∧ = ⇔p 1}

)

^{p premier}

Si ]/p] est un corps alors tout élément non nul de ]/p] est inversible donc pour tout k∈` vérifiant 1≤ ≤ −k p 1, k∧ =p 1. p est donc premier.

Si p est un nombre premier alors pour tout k∈` vérifiant 1≤ ≤ −k p 1 (c'est-à-dire tout élément non nul de ]/p]), 1k∧ =p . Donc k est inversible.

3 Applications

3.1 Lemme Chinois

Soient n n₁, ₂∈`, n₁≥2, n₂ ≥2, n₁∧n₂ =1. Soient u u₁, ₂∈] tels que u n_{1 1}+u n_{2 2} =1. Soient

1, 2

a a ∈] et a∈] tels que a≡a u n_{1 2 2}+a u n n_{2 1 1}( )₁ . Alors pour tout x∈], on a :

1 1

1 2

2 2

( ) ( )

( ) x a n

x a n n x a n

≡ ⎫

⎬⇔ ≡

≡ ⎭ .

Démonstration

Soient n n u u a a a₁, ₂, ₁, ₂, ₁, ₂, vérifiant les hypothèses du lemme. Soit x∈]. Supposons x≡a n n( _{1 2}).

, 1 2

k x a kn n

∃ ∈] = +

Alors x≡a n( )₁ et a≡a u n_{1 2 2} ( )n₁ a≡a₁(1−u n_{1 1}) ( )n₁ a≡a₁ ( )n₁

Donc x≡a₁ ( )n₁

On a de même x≡a₂ (n₂)

Supposons maintenant que x≡a₁ ( )n₁ et x≡a₂ (n₂).

x a− est divisible par n₁ et par n₂. Puisque les deux entiers n₁ et n₂ sont premiers entre eux, il en résulte que n n_{1 2} divise x a− , c'est-à-dire x≡a n n( _{1 2}).

Remarque : a est solution du système puisque a≡a₁ ( )n₁ et a≡a₂ (n₂).

3.2 Théorème Chinois

Soient ,p q∈`, p≥2, q≥2 et p∧ =q 1. Alors l'application définie par :

( )

: / / /

pq p ;q

pq p q

x x x

φ ] ]→] ] ]× ] 6

est un isomorphisme d'anneaux.

Démonstration Soient ,x y∈].

(

^{pqx pqy}

) (

^{pqx y}

)

φ + =φ + (définition de l'addition dans ]/pq]) ⁼

(

^px+y;qx+y

)

(définition de φ)

⁼

(

^{px+ py; qx+ qy}

)

(définition de l'addition dans ]/p] et dans ]/q]) ⁼

(

^{px; qx}

) (

^{+ py; qy}

)

(définition dans ]/p] ]× /q])

^=φ

( ) ( )

^{pqx +φ pqy}

De même, on montre que ^φ

( ) ( ) ( )

^{pqxy =φ pqx ×φ pqy .}

Montrons maintenant que φ est surjective : Soient y y₁, ₂∈] et x∈].

( ) (

^{pqx py1; qy2}

)

φ = signifie ^px= ^py₁ et ^qx=^qy₂.

x vérifie alors le système : ¹

2

( ) ( )

x y p

x y q

⎧ ≡

⎨ ≡⎩ .

p et q étant premiers entres eux, on sait qu'il existe une solution au système (d'après le lemme chinois). φ est donc surjective.

Montrons que φ est injective : Soient x y, ∈].

( ) ( )

^{pqx pqy}

φ =φ signifie ^px= ^py et ^qx= ^qy, c'est-à-dire : ( ) ( ) x y p x y q

⎧ ≡

⎨ ≡⎩ . x−y est donc divisible par p et par q donc par pq (car p∧ =q 1).

Donc x≡ y (pq), c'est-à-dire ^pqx= ^pqy Donc φ est injective.

Conclusion : ]/ pq] est bien isomorphe à ]/ p] ]× /q].

3.3 Indicateur d'Euler

Soit ,n∈` n≥2. on note ( )ϕ n le nombre d'éléments de l'ensemble

{

^{k∈`, k ≤n k, ∧ =n 1}

}

^{. la}

fonction ϕ est appelée indicateur d'Euler.

(i) Si p est un nombre premier, alors ( )ϕ p = −p 1 ;

(ii) Si p est un nombre premier et si n∈`^*, alors ^ϕ

( )

^{pn =(p−1) pn−1 ;}

(iii) Si n m, ∈`, n∧ =m 1, alors ϕ(mn)=ϕ( ) ( )mϕ n . Démonstration

(i) Soit p un nombre premier. Alors pour tout k∈`, avec k≤ −p 1, k∧ =p 1. Donc ϕ( )p = −p 1. (ii) Soit p un nombre premier et n un entier naturel non nul.

On s'intéresse à l'ensemble

{

^{k∈`, k≤ pn, k∧ pn =1}

}

. p étant premier, les seuls entiers k concernés sont ceux qui ne divisent pas pⁿ. Il y a pⁿ⁻¹ diviseurs de pⁿ donc

1 1

(pⁿ) pⁿ pⁿ (p 1)pⁿ ϕ = − ⁻ = − ⁻ .

(iii) Soient ,p q∈` tels que p∧ =q 1.

D'après le théorème Chinois, ]/pq] est isomorphe à ]/p] ]× /q]. Notons φ la fonction définie au paragraphe 3.2.

Notons :

{

^{pq / , 1}

}

Epq = x∈] pq] x∧ pq=

{

^{p / , 1}

}

Ep = x∈] p] x∧ =p

{

^{p / , 1}

}

Eq = x∈] q] x∧ =q

Montrons que φ est une bijection de E_pq dans E_p×E_q.

Soit ^pqx∈E_pq. Alors x∧ pq=1. D'après le théorème de Bézout, il existe ( ; )r s ∈]² tel que 1

rx+spq= .

De cette égalité, il résulte que x∧ =p 1 et x∧ =q 1 (toujours d'après le théorème de Bézout).

Donc ^{f E}

( )

^{pq ⊆Ep×Eq.}

Soit

(

^{px; qy}

)

^∈Ep×Eq.

1

x∧ =p donc il existe ( ; )r s_{1 1} ∈]² tel que xr₁+ ps₁=1. 1

y∧ =q donc il existe ( ;r₂ s₂)∈]² tel que yr₂+qs₂ =1. Il existe ^pqz∈]/ pq] tel que ( )φ z =( ; )x y car φ est bijective.

Donc

p p

q q

z x

z y

⎧ =

⎪⎨

⎪ =

⎩

Donc z− ∈x p]. Il existe k₁∈] tel que x= +z k p₁ . De même, z− ∈y q]. Il existe k₂∈] tel que y= +z k q₂ .

Des égalités xr₁+ps₁ =1 et x= +z k p₁ , on déduit : (z+k p r₁ )₁+ ps₁=1. Des égalités yr₂+qs₂ =1 et y= +z k q₂ , on déduit : (z+k q r₂ )₂ +qs₂ =1.

En multipliant membre à membre les deux dernières égalités obtenue, on obtient :

(

zr1+pu1

)(

zr2+qu2

)

=1, avec u₁ =k r_{1 1}+s₁ et u₂ =k r_{2 2}+s₂.

(

1 2 1 2 1 2

)

1 2 1

z zr r +r qu +pu r +pqu u = Donc z∧pq=1.

Donc ^φ

( )

^{Epq =Ep×Eq.}

Epq est donc en bijection avec E_p×E_q. Ces ensembles sont finis donc ils ont le même cardinal :

( )

^pq

(

^{p q}

)

card E =card E ×E

( )

^pq

( )

^p

( )

^q

card E =card E ×card E , c'est-à-dire (ϕ pq)=ϕ( )p ϕ( )q .

3.4 Théorème de Wilson

Un entier p≥2 est premier si et seulement si (p−1)!≡ −1 ( )p . Démonstration

Soit p∈`, p≥2. Supposons p premier.

1

1

( 1)!

p

k

p k

−

=

− =

∏

^.

Tous les entiers intervenant dans ce produit sont inversibles dans ]/ p] car ]/p] est un corps car p est premier.

Dans le produit

1

1 p

k

k

−

∏

= , on peut regrouper les termes deux à deux (chaque terme avec son inverse), puis les termes qui sont leur propre inverse.

Le produit

1

1 p

k

k

−

∏

= est alors égal au produit des termes qui sont leur propre inverse.

/

x∈] p] est son propre inverse si x² =1, c'est-à-dire

( )( )

^{x−1 x+ =1 0}. il y a deux termes : 1 et

1 p 1

− = − . Donc

1

1

1 1 1

p

k

k

−

=

= × − = −

∏

et donc (p−1)!≡ −1 ( )p .

Supposons (p−1)!≡ −1 ( )p .

Soit d un diviseur de p, différent de 1. Soit p q= d . (p−1)!≡ −1 ( )p donc (d p−1)!≡ −d ( )p .

1

1

( 1)! 0 ( )

p

k k q

d p dq k p

−

=≠

− = ×

∏

≡ ^{car dq= ≡p 0 ( )p .} d est alors un multiple de p.

d est à la fois un multiple de p et un diviseur de p différent de 1 donc d = p. p n'a donc que deux diviseurs : 1 et p.

p est donc un nombre premier.