Chapitre 1
Généralités sur les fonctions
I. Définir une fonction
1. Vocabulaire
Une fonction est un procédé qui a un nombrexassocie un (unique) nombre que l’on notef(x).
Processusf
x f(x)
• On note : f : x7−→f(x)(La fonctionf qui àxassocief(x)) ;
• Si yest l’image de xpar la fonctionf (c’est-à-dire siy=f(x)) alors on dit quexest un antécédent dey par la fonctionf;
• L’ensemble de définition d’une fonctionf est l’ensemble des réelsxtelsf(x)existe.
Un réel dont l’image ne peut pas être calculée parf est appelée valeur interdite de f. Définition
II. Représentation graphique
1. Définitions
On se place dans un repère (O ; I ; J).
Soientf une fonction,Df son ensemble de définition etxappartenant àDf.
La représentation graphique (ou courbe représentative) de la fonctionf, notée Cf, est l’ensemble des points M dont les coordonnées sont de la forme(x;f(x)).
Définition
2. Variations d’une fonction
Étudier les variations d’une fonction, c’est déterminer les intervalles sur lesquels elle est croissante, ceux sur lesquels elle est décroissante ou ceux sur lesquels elle est constante.
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III. Les fonctions affines
1. Définition
Soitf une fonction définiesur R.
S’il existe deux nombres réelsmet ptels quepour toutnombre réelxon ait : f(x) =mx+p.
alors on dit quef est une fonction affine.
Définition
Remarques : Lorsquep= 0, on parle de fonction linéaire et lorsquem= 0, on parle de fonction constante.
2. Représentation graphique.
La représentation graphique d’une fonction affine est une droite.
Cette droite a pour équation :y=mx+p.
Propriété
• Le nombremest appelé coefficient directeur de la droited.
• Le nombrepest appelé ordonnée à l’origine de la droited.
Définition
Cas particuliers :
• Sip= 0, alors la droite passe par l’origine du repère (elle représente une fonction linéaire).
• Sim= 0, alors la droite est horizontale (elle représente une fonction constante).
Soitf une fonction affine définie surRparf(x) =mx+p.
•Sim >0alorsf est strictement croissante.
•Sim <0alorsf est strictement décroissante.
•Sim= 0alorsf est constante.
Remarques
IV. Signe d’une fonction affine
Pour étudier le signe d’une fonction affinef, on résoutf(x) = 0, c’est-à-diremx+p= 0.
La solution de cette équation est−p m
On place cette valeurdans le tableau de signeen indiquant que la fonction vaut alors0.
Ensuite, on utilise les variations de cette fonction.
Méthode
Si m <0, la fonction estdécroissante:
0
+
−p m + ++
−
−−
−
b
Sim >0, la fonction estcroissante:
0
−
−
−
− ++
+++
b
−p m
Les valeurs de la fonction évoluent donc dupositifaunégatif.
x Signe def(x)
−∞ −p
m +∞
+ 0 −
Les valeurs de la fonction évoluent donc dunégatifaupositif.
x Signe def(x)
−∞ −p
m +∞
− 0 +
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