Partie II

Lycée Marceau MP2016/2017 Pour le jeudi 01 septembre 2016

Devoir en temps libre n

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Ce devoir est constitué de deux petits problèmes. L'ordre des exercices ne correspond à aucun critère de diculté ou de longueur : vous pouvez les traiter dans l'ordre que vous voulez. Veillez à soigner la copie tant pour l'écriture, la propreté que pour la rédaction, la rigueur et l'argumentation. Vous numéroterez vos copies et ferez apparaître clairement sur la première page le nombre de copies.

PROBLEME I

Dans tout ce problème,adésigne un réel.

On se propose d'étudier les suites réelles(un)_n∈Nvériant une relation de récurrence du type : Pour tout nde N, un+1 =aun+P(n)

oùP est un polynôme.

Le R-espace vectoriel des suites réelles est noté R^N. Un élément deR^N est noté indiéremment (un)_n∈N ou u.

La partie I étudie le cas où P est constant.

La partie II étudie le cas oùa6= 1. La partie III étudie le cas oùa= 1.

Partie I

Dans cette partie, on poseE_a⁽⁰⁾=n

u∈R^N; ∃b∈R; ∀n∈N, u_n+1 =au_n+bo .

1. Soitu∈E_a⁽⁰⁾. Il existe donc b réel tel que pour tout nde N: un+1 =aun+b. Montrer l'unicité de b. On noterab=bu pouru∈E_a⁽⁰⁾.

2. (a) DéterminerE₁⁽⁰⁾.

(b) DéterminerE₀⁽⁰⁾. Dans le reste de cette partie, aest supposé diérent de 1. 3. Montrer queE_a⁽⁰⁾ est un R-espace vectoriel.

4. Soit x la suite constante égale à 1 (pour toutn de N,x_n= 1) et soit y la suite dénie, pour tout n de N, par : yn=aⁿ.

Montrer que(x, y) est une famille libre deE_a⁽⁰⁾. On précisera les valeurs debx etby. 5. Soitu∈E_a⁽⁰⁾.

(a) Montrer qu'il existe(λ, µ)∈R² unique tel que

(λx₀+µy₀ =u₀

λx₁+µy₁ =u₁

(b) Montrer que, pourλetµdénis à la question précédente, pour tout nde N, u_n=λx_n+µy_n

(c) Que peut-on en conclure ?

6. DéterminerE_a⁽⁰⁾. On donnera en particulier la dimension de E_a⁽⁰⁾.

Partie II

Dans cette partie, on suppose que a6= 1.

On xe un entier naturel p. On note Rp[X] le R-espace vectoriel des polynômes à coecients réels de degré inférieur ou égal àp.

On pourra confondre polynôme et fonction polynomiale.

On pose E_a^(p)= n

u∈R^N; ∃P ∈Rp[X]; ∀n∈N, un+1 =aun+P(n) o.

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1. Soitu∈E_a^(p). Il existe doncP ∈Rp[X]tel que :

∀n∈N, u_n+1 =au_n+P(n)

Montrer l'unicité deP (on pourra étudier l'applicationϕde Rp[X]dans R^p+1 dénie par : ϕ(P) = P(0), P(1), . . . , P(p)

).

On noteraP =Pu pouru∈E_a^(p).

2. Montrer queE_a^(p) est un R-espace vectoriel.

3. Montrer que l'applicationθ dénie surE_a^(p) parθ(u) =Pu est une application linéaire deE_a^(p) dansRp[X]. 4. DéterminerKerθ (noyau de θ).

5. Pourk∈N, on poseQk= (X+ 1)^k−aX^k. (a) Quel est le degré deQk?

(b) Montrer que la famille(Q0, Q1, . . . , Qp) est une base deRp[X].

6. (a) Montrer que pour toutkdans{0,1, . . . , p},Q_k est dans l'image deθ, notée Imθ. (b) Que peut-on en conclure ?

7. Déduire des questions précédentes la dimension deE_a^(p).

8. Pourk∈ {0,1, . . . , p}, on posex^(k) la suite dénie, pour tout nde N, par : x^(k)_n =n^k. On rappelle quey est la suite dénie, pour toutnde N, par : yn=aⁿ.

Montrer que(x⁽⁰⁾, . . . , x^(p), y)est une base deE^(p)_a . 9. Application : déterminer la suite (un)_n∈N vériant :

(∀n∈N, u_n+1 = 2u_n−2n+ 7 u0=−2

Partie III

Dans cette partie, on suppose que a= 1.

1. En adaptant les résultats obtenus à la partie précédente, déterminer : E₁^(p)=

n

u∈R^N; ∃P ∈Rp[X]; ∀n∈N, un+1=un+P(n) o

2. Application : déterminer la suite (u_n)_n∈

N vériant :

(∀n∈N, un+1=un−6n+ 1 u₀=−2

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PROBLEME II

Dans ce problèmeϕdésigne une fonction continue strictement positive sur R, sauf éventuellement en un nombre ni de points.

On suppose par ailleurs queϕpossède une limite`(nie ou innie) en+∞. Le but de ce problème est d'étudier la fonction f oùf(x) est déni, pourx réel, comme étant l'unique solution de l'équation(Ex)d'inconnue y :

(E_x)

Z y x

ϕ(t)dt= 1 La partie I est consacrée à un exemple où l'on détermine explicitementf. La partie II permet d'aboutir à l'existence def si `6= 0.

La partie III étudie des propriétés de la fonctionf.

La partie IV illustre les parties II et III sans calcul explicite def.

Partie I

Dans cette partie, la fonctionϕ est la fonction exponentielleexp.

1. Prouver que pour toutx réel l'équation(E_x)possède une unique solution notéef(x). On montrera quef(x) = ln(1 +e^x).

2. Etudier les variations de f surR. Déterminer les limites def aux bornes de l'intervalle d'étude.

3. Montrer que la droite Dd'équation y=x est asymptote à la courbe C représentant f. Préciser la position de celle-ci par rapport à l'asymptote.

4. Déterminer un développement limité à l'ordre2 pour la fonctionf au voisinage de0.

En déduire l'équation de la tangente en0 à C et la position locale de la courbeC par rapport à celle-ci.

5. Tracer l'allure de la courbeCdans un repère orthonormé, en utilisant les résultats des questions précédentes.

Partie II

Pourx réel, on pose Φ_x(u) = Z u

x

ϕ(t)dt.

On rappelle queΦx est dérivable sur Ret que pour u réel,Φ⁰_x(u) =ϕ(u).

1. Dans cette question seulement, ϕest dénie, pour touttréel, par : ϕ(t) = 1 π(1 +t²). (a) Montrer que pourxety réels,

Z y x

ϕ(t)dt <1.

(b) En déduire que pour toutx réel, l'équation (E_x) n'a pas de solution.

(c) Que vaut`? Dans tout le reste de ce problème, on suppose que `6= 0. 2. Exprimer l'équation(Ex)à l'aide de la fonction Φx.

3. (a) Montrer queΦx est continue strictement croissante surR. Que peut-on en conclure ? (b) Montrer qu'il existet0 réel etA >0tels que pour tout t>t0,ϕ(t)>A.

On pourra distinguer les cas `= +∞ et`réel.

(c) En déduire que pour toutx réel, il existeu>x tel que Φx(u)>1.

(d) En remarquant que Φx(x) = 0, montrer que l'équation (Ex) possède une solution unique. Jusqu'à la n de ce problème,f(x) désigne pour x réel, l'unique solution de l'équation(E_x).

Partie III

1. Montrer, en justiant l'écriture, que pour toutx réel, f(x) = Φ⁻¹₀ Φ0(x) + 1 (on pourra admettre les résultats de la question II) 3)).

2. En déduire quef est continue strictement croissante surR.

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3. (a) On suppose dans cette question a), que ϕ ne s'annule pas. Montrer que f est de classe C¹ sur R et pourx réel, montrer que : f⁰(x) = ϕ(x)

ϕ f(x).

(b) On suppose dans cette questionb), qu'il existex0 réel tel queϕ(x0)6= 0et tel queϕreste strictement positive sur un voisinage def(x0)sauf en f(x0)où ϕs'annule.

Montrer quef n'est pas dérivable enx0 mais que la courbe représentantf possède au point d'abscisse x₀ une tangente verticale.

4. On se propose d'étudier la branche innie def au voisinage de+∞ dans le cas où`= +∞. Soitε∈R^∗₊.

(a) Montrer qu'il existea∈Rtel que pourt>a,ϕ(t)> 1 ε.

(b) En déduire que si x>a,|f(x)−x|6ε. Que peut-on en conclure ?

5. Etudier de même la branche innie def au voisinage de+∞ dans le cas où`∈R^∗+. 6. Dans cette question, on supposeϕpaire. On note Γle graphe def.

(a) Soit(x, y)∈R². Montrer que (x, y)∈Γ si et seulement si(−y,−x)∈Γ.

(b) En déduire que la courbe représentant f possède un axe de symétrie à déterminer.

Partie IV

Dans cette partie, ϕest la fonction dénie, pour toutxréel, par ϕ(x) =x⁴−2x²+ 1. 1. Justier que ϕvérie les hypothèses du problème.

2. Sans calculer f(x) et en utilisant les résultats des parties précédentes, esquisser le graphe de la fonction f, en précisant les éléments remarquables (asymptotes, axe de symétrie, points à tangentes horizontales ou verticales).

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