Seconde 8 DST2 Correction 18 octobre 2016 Exercice 1 : Un ensemble de d´efinition
f est d´efinie lorsquex6= 2. L’ensemble de d´efinition est ]− ∞; 2[∪]2; +∞[.
Exercice 2 : Une premi`ere fonction
1. f(2) = 4 + 5 = 9. L’image de 2 est 9 .f(13) = 2×13 + 5 = 173. L’image de 13 est 173 . 2. f(x) = 2 ssi 2x=−3 ssix=−32. L’ de 13 est −32 .
Exercice 3 : Une seconde fonction
1. f(2) = 4−8 + 7 = 3. L’image de 3 parf est 3 . f √
5 + 1
= (√
5 + 1)2−4(√
5 + 1) + 7 = 5 + 2√
5 + 1−4√
5−4 + 7 =−2√
5 + 9. L’image de√
5 + 1 est −2√ 5 + 9 . 2. x2−4x+ 7 = 7 ssix2−4x= 0 ssix(x−4) = 0 ssix= 0 oux= 4. Les ant´ec´edents de 7 sont 0 et 4 .
3. a. (x−2)2+ 3 =x2−4x+ 4 + 3 =x2−4x+ 7 =f(x).
b. (x−2)2+ 3 = 12 ssi (x−2)2−9 = 0 ssi (x−2−3)(x−2 + 3) = 0 ssi (x−5)(x+ 1) = 0 ssix= 5 oux=−1. Les ant´ec´edents de 12 sont 5 et−1 .
Exercice 4 : Lecture graphique Partie A :
1. L’image de 1 est 0.
2. Les antecedents de 2 parf sont −1 et 0 .
3. L’ensemble des solutions def(x)>2 est ]−1; 0[ . L’en- semble des solutions def(x)60 est [−3;−2]∪[1; 3] . Partie B :
1. `A l’aide d’un tableau de valeurs, on trace la courbe.
2. Graphiquementg(x) = f(x) lorsque les courbes s’inter- sectent. Les solutions sont donc −1, 0 et 2 .
3. La courbe de g est au-dessus de celle de g sur [−1; 0]∪ [2; 3], l’ensemble des solutions est donc [−1; 0]∪[2; 3] .
−3 −2 −1 1 2
−4
−3
−2
−1 1 2 3
0
Cf
Cg
Exercice 5 : Un petit algorithme
1. Pour−2, on a :
−2 x+ 2 0 x2 0 −2x 0 x−5 −5
La valeur affich´ee est −5 .
Pour 5, on a :
5 x+ 2 7 x2 49 −2x −98 x−5 −103
La valeur affich´ee est −103 .
2. Si la variable vautx:
x x+ 2 x+ 2 x2 (x+ 2)2 −2x −2(x+ 2)2 x−5 −2(x+ 2)2−5
−2(x+ 2)2−5 =−2(x2+ 4x+ 4)−5 = −2x2−8x−8−5 = −2x2−8x−13. Ce qui correspond bien `a ce qui est demand´e.
Exercice 6 : Un petit probl`eme
1. f(4) = 95,2. 95,2% des consommateurs sont satisfaits lorsque l’attraction dure 5 minutes.
Pour afficher la courbe sur la calculatrice, on mettrexmin= 1,xmax= 7,ymin= 0 etymax= 100 2. `A l’aide de la calculatrice, on r´esoutf(x) = 75, on trouve 2 solutions 2,18 et 5,65 `a 0,01 pr`es.
Si l’attraction dure 2,18 ou 5,65 minutes, 75% des consommateurs seront satisfaits.
3. Graphiquement, on voit qu’entre 1 et 7, la courbe ne d´epasse pas 100 en ordonn´ee.
Il n’est donc pas possible que tous les consommateurs soient satisfaits . Exercice 7 : Prise d’initiative
Soitxla longueurAE.
Calculons l’aire deABCD : 12(5 + 3)×4 = 16cm2.
L’aire du triangleBCEest l’aire du trap`eze moins l’aire des deux triangles rectangles.
Aire deABE : 12×AB×AE= 5x2cm2 et aire deDCE : 12×DC×ED= 3(4−x)2 cm2. Aire deBCE : 16−3(4−x)2 −5x2 = 20−2x2 .
Il nous reste donc plus qu’`a r´esoudre l’´equations suivante : Aire deBCE=12 aire deABCDc’est-`a-dire 20−2x2 = 8 c’est-`a-dire x= 2. E doit donc ˆetre plac´e au milieu du segment [AD].
