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ARITHMETIQUE
I. Rappel : Divisibilité
1. Multiples et diviseurs de nombres naturels
Définition : Un nombre naturel (ou entier naturel) est un nombre entier positif ou nul.
Ensemble des nombres naturels = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, …}
Définition : Soit a et b, deux nombres naturels. a est un multiple de b lorsqu’il existe un entier naturel q tel que a = b x q.
On dit aussi que b est un diviseur de a ou que a est divisible par b.
Exemple :
30 est un multiple de 2. 30 est divisible par 2. 2 est un diviseur de 30.
En effet, il existe un nombre q tel que 30 = 2 x q. q est égal à 15.
2. Rappels : Les critères de divisibilité Un nombre entier est divisible :
- par 2, si son chiffre des unités est pair, - par 5, si son chiffre des unités est 0 ou 5, - par 10, si son chiffre des unités est 0,
- par 3, si la somme de ses chiffres est divisible par 3, - par 9, si la somme de ses chiffres est divisible par 9.
Exemples :
1) 30 est divisible par 2, 5, 10 et 3. 2) 1071 est divisible par 3 et 9.
Car 1+0+7+1 = 9. Et 9 est divisible par 3 et par 9.
3. Nombres premiers
Définition : Un nombre naturel est premier s’il possède exactement deux diviseurs qui sont 1 et lui-même.
Exemples :
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, … Cette liste est infinie.
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Remarque :
Le nombre 1 n’est pas premier car il n’a qu’un seul diviseur.
Le nombre 0 n’est pas premier car il admet tous les autres nombres entiers comme diviseurs.
4. Décomposition d’un nombre en produits de facteurs premiers Exemples :
20 = 2 x 2 x 5 est une décomposition du nombre 20 en produits de facteurs premiers.
En effet, chaque facteur de la décomposition est un nombre premier.
231 = 3 x 7 x 11
225 = 3 x 3 x 5 x 5
Propriété :
Tout nombre non premier peut se décomposer en produits de facteurs premiers. Cette décomposition est unique à l’ordre des facteurs près.
Méthode : Décomposer un nombre en produits de facteurs premiers Décomposer 300 en produits de facteurs premiers.
Pour le faire, il est important de bien connaître le début de la liste des nombres premiers : 2, 3, 5, 7, 11, 13, …
Il existe deux méthodes : Méthode A
On prend la liste des nombres premiers et on les teste les uns après les autres :
300 est-il divisible par 2 ? Oui : 300 = 2 ×150.
150 est-il divisible par 2 ? Oui : 300 = 2 ×2 × 75
.
75 est-il divisible par 2 ? Non.
75 est-il divisible par 3 ? Oui : 300 = 2 × 2 × 3 × 25
25 est-il divisible par 3 ? Non.
25 est-il divisible par 5 ? Oui : 300 = 2 × 2 × 3 × 5 × 5
Nous obtenons bien un produit où tous les facteurs sont des nombres premiers. Nous avons terminé !
Méthode B
On commence à décomposer 300 par ce que l’on connaît (de ses tables de
multiplications !) ; par exemple : 300 = 3 × 100
3 est-il un nombre premier ? Oui, on le garde !
100 est-il un nombre premier ? Non, on le décompose !
300 = 3 × 10 × 10
10 est-il un nombre premier ? Non, on le décompose ! 300 = 3 × 2 × 5 × 2 × 5
Nous obtenons bien un produit où tous les facteurs sont des nombres premiers. Nous avons terminé !
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II. Application aux fractions et aux problèmes
1. Nombres premiers entre eux
Exemples :
a) Tous les diviseurs de 60 sont : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60 Tous les diviseurs de 100 sont : 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100
Les diviseurs communs à 60 et 100 sont : 1, 2, 4, 5, 10, 20 b) Tous les diviseurs de 20 sont : 1, 2, 4, 5, 10, 20
Tous les diviseurs de 63 sont : 1, 3, 7, 9, 21, 63 Le seul diviseur commun à 20 et 63 est : 1
On dit dans ce cas que 20 et 63 sont premiers entre eux.
Ce qui n’est pas le cas de 60 et 100 qui ont de nombreux diviseurs communs.
Définition : On dit que deux nombres naturels sont premiers entre eux lorsque leur seul diviseur commun est 1.
2. Fraction irréductible
Définition : On dit qu’une fraction est irréductible, lorsque son numérateur et son dénominateur sont premiers entre eux.
Méthode : Rendre une fraction irréductible Rendre irréductible la fraction 60
126.
Pour rendre une fraction irréductible, il faut décomposer son numérateur et son dénominateur en produits de facteurs premiers.
60 = 30 x 2 = 15 x 2 x 2 = 5 x 3 x 2 x 2
126 = 63 x 2 = 21 x 3 x 2 = 7 x 3 x 3 x 2
On a ainsi : 60
126=2× 2 ×3× 5
2×3× 3 × 7=2 × 5 3 × 7=10
21
10 et 21 sont premiers entre eux et donc : 10
21 est la fraction irréductible égale à 60 126.
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3. Arithmétique appliquée aux problèmes Méthode : Résoudre un problème avec l’arithmétique
Un photographe doit réaliser une exposition en présentant ses œuvres sur des panneaux contenant chacun le même nombre de photos de paysage et le même nombre de
portraits. Il dispose de 224 photos de paysage et de 288 portraits.
Combien peut-il réaliser au maximum de panneaux en utilisant toutes les photos ? Et combien chaque panneau contient-il de paysages et de portraits ?
Il faut rechercher le plus grand diviseur commun à 224 et 288 : c’est le nombre maximum de panneaux. Pour cela, décomposons :
224 = 2 × 112 = 2 × 2 × 56 = 2 × 2 × 8 × 7 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2× 7
288 = 2 × 144 = 2 × 12 × 12 = 2 × 3 × 4 × 3 × 4 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2× 3 × 3
Repérons en rouge les facteurs communs aux deux décompositions : c’est le plus grand diviseur commun.
On pourra donc faire au maximum 2 × 2 × 2 × 2 × 2 =32 panneaux.
Les nombres restants dans chaque décomposition nous permettent de répondre à la seconde question :
Chaque panneau contient 7 paysages et 3 × 3 = 9 portraits.
