Stanislas
Exercices
Espaces Vectoriels
Chapitre XV MPSI 1
2015/2016
Sauf mention contraire,E désigne unK-espace vectoriel, oùK=Rou C.
I - Espaces vectoriels Exercice 1. (-)
1.SoitE=R?+×R. On dénit l'addition surE par(a, b)⊕(a0, b0) = (aa0, b+b0)et la loi externe surR×E parλ(a, b) = (aλ, λb). Montrer que(E,⊕,)est un R-espace vectoriel.
2. Soit A ⊂ R et E = {f ∈ F(R,R) ; ∀ x ∈ A, f(x) = 0}. Montrer que E est un R-espace vectoriel.
Exercice 2. (-)Les ensembles suivants sont-ils des espaces vectoriels ? 1. E1={(xi)∈
J1,nK∈Rn ; x1= 0 et x2 = 0}. 2. E2={(x1, . . . , xn)∈Rn ; x1+x2 = 0}. 3. E3={(x1, . . . , xn)∈Rn ; x16= 0}. 4. E4={(x1, . . . , xn)∈Rn ; x1=x2}. 5. E5={(x1, . . . , xn)∈Rn ; x1x2 = 0}.
6. E6 ={u∈S(R) ; lim
n→+∞(un+1−un) = 0}. 7. E7 ={u∈S(R) ; lim
n→+∞(un+1−un) = 1}. 8. E8 ={f ∈C(R,R) ; f(0) = 0}.
9. E9 ={f ∈C(R,R) ; |f(0)|= 2}.
Exercice 3. (!)Soient A, B deux sous-espaces vectoriels de E. Montrer que les propriétés sui- vantes sont équivalentes
(i). A∪B est un sous-espace vectoriel de E. (ii). A∪B =A+B
(iii). A⊂B ou B⊂A.
Exercice 4. (-)SoientL, M, N trois sous-espaces vectoriels deE. 1. A-t-onL∩(M+N) = (L∩M) + (L∩N)?
2. A-t-onL∩(M+ (L∩N)) = (L∩M) + (L∩N)?
Exercice 5. (♥)SoientF, G, H des sous-espaces vectoriels de E.
1. On suppose queF ∩G=F∩H,F+G=F +H etG⊂H. Montrer queG=H.
2. En déduire que si GetH sont deux supplémentaires d'un même sous-espace vectorielF tels queG⊂H, alors G=H.
3. Montrer par des exemples que le résultat peut être faux si on supprime l'une des trois hypo- thèses.
Exercice 6. (-)Soitu= (0,1,2,3),v= (3,2,1,0)etw= (1,1,1,1)trois vecteurs deR4. Trouver une condition nécessaire et susante pour qu'un vecteur(x, y, z, t) soit dansVect{u, v, w}. Exercice 7. (-) Dans l'espace vectoriel R3, on considère les espaces vectoriels E1 = {(0, y, z), y, z ∈R} etE2 = Vect{u, v}avec u= (1,2,3)etv= (1,3,4). DéterminerE1∩E2 et E1+E2.
Exercice 8.Soientn>2 etE1, . . . , En des s.e.v. de E. Montrer que la sommeE1+· · ·+En est directe si et seulement si pour touti∈J1, nK, Ei∩ P
j6=i
Ej
!
={0E}.
Exercice 9. (!)Soit E l'espace vectoriel des fonctions réelles à valeurs réelles de classe C∞ et 2π-périodiques. On considère l'endomorphisme D qui à une fonction de E associe sa dérivée seconde. Montrer que E= Ker(D)⊕Im(D).
Stanislas A. Camanes
Exercices. Espaces Vectoriels MPSI 1
II - Familles de vecteurs
Exercice 10. (-)Soit p∈N?. Montrer que les familles suivantes sont libres.
1. (fk)k∈[|1,p|], où pour tout x∈R,fk(x) =δxk où δ désigne le symbole de Kronecker.
2. (f1, f2, f3, f4), où pour tout x ∈ R, f1(x) = cosx, f2(x) = sin(x), f3(x) = xcosx, f4(x) = xsinx.
3. (fk)k∈[|1,p|], où pour tout x∈R,fk(x) =ekx. 4. (fk)k∈[|1,p|], où pour tout x∈R,fk(x) =|x−k|.
Exercice 11. (-)Déterminer une famille génératrice des sous-espaces vectoriels suivants.
1. E1={(x, y, z)∈R3 ; x+ 2y+z= 0 et 2x+y+ 3z= 0}. 2. E2={(x, y, z, t)∈R4 ; x+y= 0 et2x−z+t= 0}.
Exercice 12. (-)Déterminer si les familles suivantes sont des bases.
1. B1 = (1,0,0),(1,1,0),(1,1,1)
dansR3. 2. B2 = (1,3,5),(2,5,−2)
dansR3.
3. B3 = (X−1)2,(X−1)(X+ 1),(X+ 1)2
dans R2[X]. 4. B4 = (X−1)(X+ 1), X2,1
dansR2[X].
Exercice 13.Soit (Pi)i∈N une famille de polynômes non nuls échelonnés en degré, i.e. pour tout i < j,06degPi <degPj. Montrer que (Pi)i∈N est une famille libre.
Exercice 14. Soient n > 2 et E1, . . . , En des sous-espaces vectoriels de E diérents de {0E}. Montrer que la sommeE1+· · ·+En est directe si et seulement si, toute famille de vecteurs non nuls de E1× · · · ×En est libre.
Exercice 15. (!)Soit P l'ensemble des nombres premiers positifs. Montrer que (ln(p))p∈P est une famille libre duQ-espace vectorielR.
III - Applications linéaires
Exercice 16.Montrer que l'ensemble suivant est un espace vectoriel.
f ∈F(R,R) ; ∃(A, θ)∈R2 ; ∀ t∈R, f(t) =Acos(t+θ) .
Exercice 17. (-) Déterminer si les applications suivantes sont des applications linéaires. Le cas échéant, déterminer le noyau et l'image.
1. f1 : R3→R2,(x, y, z)7→(−x+ 2y,2x−3y+z).
2. f2 : R3→R3,(x, y, z)7→(2x+y−z, x−y+ 3z,4x+y−z). 3. f3 : R3→R3,(x, y, z)7→(y+z, x+y+z, x).
4. f4 : R3→R2,(x, y, z)7→2(x+y, x−y). 5. f5 : R3→R2,(x, y, z)7→z(x+y, x−y). 6. f6 : R3→R2,(x, y, z)7→2(x+y+z, x−y).
Exercice 18. (!) Soit a ∈ C et fa : C → C, z 7→ z +az. Montrer que fa est R-linéaire.
Déterminer, en fonction des valeurs dea, le noyau et l'image defa.
Stanislas A. Camanes
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Exercice 19. (Polynômes d’endomorphismes,♥)Soit E un K-espace vectoriel et u ∈ L(E). On noteraP(u) =a0IdE+
Pn
k=1
akuk∈L(E).
1. Montrer que pour tousP, Q∈K[X],(P+Q)(u) =P(u) +Q(u) et(P Q)(u) =P(u)◦Q(u). 2. Montrer queKerP(u) etImP(u) sont stables paru.
Exercice 20. (-)On noteT l'endomorphisme deR[X]qui à tout polynômeP associe le polynôme T(P) tel que
T(P) = (8 + 3X)P−(5X−X2)P0+ (X2−X3)P00. L'endomorphismeT est-il injectif ?
Exercice 21. (-)Soit f une forme linéaire non nulle surE. Montrer que f est surjective.
Exercice 22. (♥)Soient u ∈ L(E, F) etv ∈ L(F, G). Montrer que v◦u = 0 si et seulement si Im(u)⊂Ker(v).
Exercice 23. (♥)Soit u ∈L(E) telle que u3 =u. Montrer que Im(u2) etKer(u) sont des sous- espaces vectoriels supplémentaires dans E.
Exercice 24. (♥)Soient f, g∈L(E) telles quef ◦g =g◦f. Montrer que Ker(f) etIm(f) sont stables parg.
Exercice 25. (!)On considère l'espace vectorielE =C∞(R,R) muni des lois usuelles +,·ainsi que l'applicationϕ : E →E, y7→y0−xy. On considère l'ensembleE1={y∈E ; y(0) = 0}. 1. Montrer que(E1,+,·) est un espace vectoriel.
2. Montrer queϕest un isomorphisme deE1 surE.
Exercice 26. (♥, !)Soitf ∈L(E) telle que pour tout x∈E,(x, f(x))soit liée. Montrer quef est une homothétie.
IV - Endomorphismes remarquables
Exercice 27.On considère E=C1([0,1],R)et on pose
F ={f ∈E ; f(0) =f0(0) = 0}, G={g : [0,1]→R, x7→ax+b,(a, b)∈R2}.
1. Montrer queF etG sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires deE.
2. Déterminer les projections surF (parallèlement à G) et surG (parallèlement àF).
Exercice 28. (-)Soitu∈L(R3)telle que pour tout(x, y, z)∈R3,u(x, y, z) = 13(x+2y+2z,2x+
y−2z,2x−2y+z). L'application linéaireuest-elle un projecteur ? une symétrie ? Le cas échéant, préciser ses éléments caractéristiques.
Exercice 29. (♥)Soientp etq deux projecteurs de E. Montrer que 1. p◦q =p ⇔ Ker(q)⊂Ker(p).
2. p+q est un projecteur si et seulement sip◦q =q◦p= 0. 3. p◦q est un projecteur sip◦q=q◦p.
Exercice 30. (-)Soit p un projecteur de E. Montrer queIdE+p est un automorphisme linéaire de E. Préciser, à l'aide dep, son application inverse.
Stanislas A. Camanes
Exercices. Espaces Vectoriels MPSI 1
Exercice 31. (-)Soient p1, p2 deux projecteurs tels que p1◦p2 = 0. Soit q = p1+p2−p2◦p1. Montrer queq est le projecteur surIm(p1) + Im(p2)parallèlement à Ker(p1)∩Ker(p2).
Exercice 32. (!) Soient n, N ∈ N? et u ∈ L(CN) tels que un = Id. Soit E un sous-espace vectoriel de CN stable paru etpune projection sur E. On dénit l'endomorphisme
q = 1 n+ 1
n
X
k=0
uk◦p◦un−k.
1. Montrer queq est un projecteur.
2. En déduire queCN =E⊕Kerq. Exercice 33.Soient E =
p
L
k=1
Ek. Pour tout i∈J1, pK, on dénit pi : E → E,
p
P
k=1
xk 7→xi. Soit (i, j)∈J1, pK
2. Montrer que 1. pi est un projecteur.
2. i6=j ⇒ pipj = 0L(E). 3. IdE =
p
P
i=1
pi.
Stanislas A. Camanes
