Lycée Alphonse Daudet - MPSI Année 2020-2021 Cours et compléments
Un exemple d'utilisation du formalisme symbolique.
Une résolution de système par Diophante (dans Livres d'Arithmétiques).
Trouver trois nombres qui, pris deux à deux, forment des nombres proposés. Il faut toutefois que la moitié de la somme des nombres proposés soit plus grande que chacun de ces nombres.
Proposons donc que le premier nombre, augmenté du second, forme vingt unités ; que le second, augmenté du troisième, forme trente unités, et que le troisième, augmenté du premier, forme quarante unités.
Posons que la somme des trois nombres est une arithme.
Dès lors, puisque le premier nombre plus le second forment vingt unités, si nous retranchons vingt unités d'une arithme, nous aurons comme troisième nombre une arithme moins vingt unités.
Pour la même raison, le premier nombre sera d'une arithme moins trente unités, et le second nombre sera d'une arithme moins quarante unités.
Il faut encore que la somme des trois nombres devienne égale à une arithme. Mais, la somme des trois nombres forme trois arithmes moins quatre-vingt-dix unités. Égalons-les à une arithme, et l'arithme devient quarante-cinq unités.
Revenons à ce que nous avons posé : le premier nombre sera quinze unités, le second sera cinq unités, le troisième sera vingt-cinq unités, et la preuve est claire.
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Lycée Alphonse Daudet - MPSI Année 2020-2021 Cours et compléments
Un exemple d'utilisation du formalisme symbolique.
Une résolution de système par Diophante (dans Livres d'Arithmétiques).
Trouver trois nombres qui, pris deux à deux, forment des nombres proposés. Il faut toutefois que la moitié de la somme des nombres proposés soit plus grande que chacun de ces nombres.
Proposons donc que le premier nombre, augmenté du second, forme vingt unités ; que le second, augmenté du troisième, forme trente unités, et que le troisième, augmenté du premier, forme quarante unités.
Posons que la somme des trois nombres est une arithme.
Dès lors, puisque le premier nombre plus le second forment vingt unités, si nous retranchons vingt unités d'une arithme, nous aurons comme troisième nombre une arithme moins vingt unités.
Pour la même raison, le premier nombre sera d'une arithme moins trente unités, et le second nombre sera d'une arithme moins quarante unités.
Il faut encore que la somme des trois nombres devienne égale à une arithme. Mais, la somme des trois nombres forme trois arithmes moins quatre-vingt-dix unités. Égalons-les à une arithme, et l'arithme devient quarante-cinq unités.
Revenons à ce que nous avons posé : le premier nombre sera quinze unités, le second sera cinq unités, le troisième sera vingt-cinq unités, et la preuve est claire.
Traduction en formalisme symbolique.
Soit à résoudre :
x+y= 20 y+z= 30 x+z= 40 x, y, z>0.
PosonsS=x+y+z, on a :
z=S−20 x=S−30 y=S−40.
En sommant les trois équations on trouve S = 3S−90doncS= 45.
Finalement on a nécessairement x = 15, y= 5,z= 25, et la réciproque est claire.
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