Tolérancement Modal : De la Métrologie vers les Spécifications

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Tolérancement Modal : De la Métrologie vers les Spécifications

Hugues Favreliere

To cite this version:

Hugues Favreliere. Tolérancement Modal : De la Métrologie vers les Spécifications. Mécanique

[physics.med-ph]. Université de Savoie, 2009. Français. �tel-00426927�

TH` ESE

pr´ esent´ ee ` a

l’ Ecole ´ Polytechnique Universitaire de l’Universit´ e de Savoie pour obtenir le grade de

DOCTEUR de l’UNIVERSIT ´ E DE SAVOIE

—— Sp´ ecialit´ e : G´ enie M´ ecanique ——

par

Hugues Favreli` ere

Tol´ erancement modal

De la M´ etrologie vers les Sp´ ecifications

soutenue le 20 octobre 2009 devant la commission d’examen :

Jean-Marc Linares Rapporteur Professeur des Universit´ es, Universit´ e de la M´ editerran´ ee Luc Mathieu Rapporteur Professeur des Universit´ es, Universit´ e Paris-Sud XI

Jean-Pierre Nadeau Examinateur Professeur des Universit´ es, Arts & M´ etiers ParisTech Bordeaux Thierry Coorevits Examinateur Maˆıtre de conf´ erences, Arts & M´ etiers ParisTech Lille

Jacques Sappei Examinateur Docteur en Science des mat´ eriaux, CTDEC Serge Samper Directeur de th` ese Maˆıtre de conf´ erences, HDR, Universit´ e de Savoie Max Giordano Co-directeur Professeur des Universit´ es, Universit´ e de Savoie

Th` ese pr´ epar´ ee au sein du laboratoire Syst` emes et Mat´ eriaux pour la MEcatronique d’Annecy

et du Centre Technique de l’industrie du D´ ecolletage ` a Cluses.

Remerciements

Je tiens ` a remercier Luc Mahtieu, Professeur ` a l’Universit´ e Paris-Sud XI et Jean-Marc Linares, Pro- fesseur ` a l’Universit´ e de la M´ editerran´ ee d’avoir accept´ e de rapporter sur mes travaux de th` ese. J’ai pu appr´ ecier la pertinence de leurs questions et la qualit´ e des ´ echanges au cours de l’´ evaluation de ce manuscrit.

Je suis tr` es reconnaissant envers Jean-Pierre Nadeau, Professeur aux Arts & M´ etiers ParisTech de Bordeaux qui a pr´ esid´ e ce jury de th` ese. Je remercie ´ egalement Messieurs Thierry Coorevits, Maˆıtre de conf´ erences aux Arts & M´ etiers ParisTech de Lille et Jacques Sappei, Docteur en science des mat´ eriaux d’avoir accept´ e les rˆ oles d’examinateurs. Une pens´ ee particuli` ere ` a M. Sappei qui, dans ce projet, est ` a l’ini- tiative de la collaboration avec le Centre Technique de l’industrie du D´ ecolletage.

Toute ma gratitude va ´ egalement ` a mes responsables de th` ese. Je remercie Max Giordano, Professeur

´

em´ erite de l’Universit´ e de Savoie de m’avoir accueilli, il y a quelques ann´ ees, au sein du Lm´ eca, et aussi pour sa rigueur et son int´ erˆ et lors de ces travaux. Mes remerciements vont ´ egalement ` a Serge Samper, Maˆıtre de conf´ erences ` a l’Universit´ e de Savoie. Qu’il trouve ici toute ma gratitude et mes sinc` eres remerciements pour ses nombreux conseils, son soutien et sa confiance.

Je remercie Thierry Guillemin, Directeur g´ en´ eral du CTDEC, pour son accueil et l’int´ erˆ et qu’il a su porter ` a ce projet. Une pens´ ee particuli` ere ` a l’´ equipe du laboratoire de m´ etrologie puis celle du d´ epartement R&D qui ont su rendre agr´ eable mes s´ ejours au CTDEC. Un grand merci ` a Yann Derickxsen, Ing´ enieur m´ etrologue pour sa curiosit´ e et sa participation active au projet.

Je voudrais remercier l’ensemble des membres du laboratoire SYMME pour leur bonne humeur et leur passion lors des discussions scientifiques, en particulier Pascal Hernandez, Eric Pairel, Pierre-Antoine Adra- gna, Fr´ ed´ eric Germain, Ephraim Goldschmidt et Dimitri Denimal. Je remercie ´ egalement tous les doctorants et stagiaires qui ont grandement contribu´ e ` a rendre ce travail vraiment agr´ eable en alliant convivialit´ e et hydratation. Je pense notamment au cercle footballistique du mercredi soir . . . Mais ` a tous les autres aussi . . .

Je pense ´ egalement

aux anciens

devenus docteurs avec lesquels j’ai pass´ e du bon temps. Je re- mercie particuli` erement Romain Real pour la relecture minutieuse de ce manuscrit.

Je tiens ` a montrer toute ma reconnaissance ` a ma famille qui a permis l’aboutissement de mes longues ann´ ees d’´ etude. Enfin, je tiens ` a remercier Emilie pour sa patience et son soutien inconditionnel.

iii

Avant-propos

Ces travaux de recherche ont ´ et´ e r´ ealis´ es dans le cadre d’une collaboration entre le labora- toire SYMME localis´ e ` a Annecy et l’entreprise CTDEC situ´ ee ` a Cluses. Ce projet ´ emarge dans le programme Tol´ erancement et Qualit´ e G´ eom´ etrique des Produits du pˆ ole de comp´ etitivit´ e

Arve- Industries Haute-Savoie Mont-Blanc

. Il est ´ egalement soutenu par l’Assembl´ ee des Pays de Savoie.

Cr´ e´ e en 2006, le laboratoire SYst` emes et Mat´ eriaux pour la M ´ Ecatronique est l’un des quatre laboratoires de l’ Ecole ´ Polytechnique Universitaire de l’Universit´ e de Savoie. Ce laboratoire r´ eunit les comp´ etences de 44 enseignants chercheurs avec pour buts la maˆıtrise des mat´ eriaux et l’intro- duction de l’intelligence dans des syst` emes m´ ecaniques pour en am´ eliorer les potentialit´ es et/ou les performances.

Le Centre Technique de l’industrie du D´ ecolletage (CTDEC) fut cr´ e´ e en 1962 ` a la demande du Syndicat National du D´ ecolletage (SNDEC) et de la profession. Il se compose de 68 collabo- rateurs dont l’objectif est de promouvoir le progr` es des techniques, contribuer ` a l’am´ elioration de la productivit´ e et ` a l’innovation dans l’industrie du d´ ecolletage. Le CTDEC est un pilier essentiel du pˆ ole de comp´ etitivit´ e

Arve-Industries Haute-Savoie Mont-Blanc

, labellis´ e en 2005 par le gouvernement fran¸ cais.

v

Table des mati` eres

Introduction 1

Pr´ eambule . . . . 1

Du concept ` a la r´ ealisation . . . . 2

L’objet des travaux . . . . 3

1 Comment d´ ecrire la forme g´ eom´ etrique d’un produit ? 5 1.1 Relation entre mesure et caract´ eristiques . . . . 5

1.1.1 Les concepts du langage GeoSpelling . . . . 6

1.1.2 Le param´ etrage de la g´ eom´ etrie . . . . 8

1.1.2.1 Les caract´ eristiques intrins` eques des ´ el´ ements id´ eaux . . . . 8

1.1.2.2 Les caract´ eristiques de situation entre ´ el´ ements id´ eaux . . . . 9

1.1.2.3 Les caract´ eristiques de situation entre ´ el´ ements id´ eaux et non id´ eaux 10 1.2 Proposition d’une classification des param´ etrages de forme . . . . 11

1.2.1 Proposition de taxinomie des param´ etrages de forme . . . . 12

1.2.2 Approche descriptive . . . . 13

1.2.2.1 Param´ etrage local . . . . 13

1.2.2.2 Param´ etrage global . . . . 16

1.2.3 Approche par reconstruction . . . . 28

1.2.3.1 Param´ etrage local . . . . 29

1.2.3.2 Param´ etrage global . . . . 33

1.3 Conclusion . . . . 37

2 La m´ etrologie modale des surfaces MemoSurf ^® 39 2.1 Introduction . . . . 39

2.2 Principe de la D´ ecomposition Modale Discr` ete . . . . 40

2.2.1 El´ ´ ements de dynamique des syst` emes discrets . . . . 40

2.2.2 L’espace des descripteurs . . . . 41

2.2.2.1 Les modes naturels . . . . 41

2.2.2.2 Les modes technologiques . . . . 44

2.2.3 La projection vectorielle modale . . . . 46

2.3 Formalisation de la DMD en m´ etrologie . . . . 48

2.3.1 Les solutions d’expertise existantes . . . . 48

vii

viii Table des mati` eres

2.3.2 Les six ordres de d´ efauts . . . . 50

2.3.3 Le contenu des dix ´ etapes de MemoSurf ^® . . . . 50

2.3.3.1 Etape 1 : Identification des surfaces fonctionnelles . . . . ´ 52

2.3.3.2 Etape 2 : Choix du niveau modal ´ . . . . 54

2.3.3.3 Etape 3 : Cr´ ´ eation du maillage . . . . 55

2.3.3.4 Etape 4 : Construction de la base modale naturelle ´ . . . . 56

2.3.3.5 Etape 5 : Choix du moyen de mesure . . . . ´ 58

2.3.3.6 Etape 6 : Acquisition et exportation . . . . ´ 58

2.3.3.7 Etape 7 : Association . . . . ´ 59

2.3.3.8 Etape 8 : D´ ´ ecomposition (DMD) . . . . 64

2.3.3.9 Etape 9 : Exploitation et visualisation . . . . ´ 66

2.3.3.10 ´ Etape 10 : Interpr´ etation (modale et fonctionnelle) . . . . 73

2.3.4 Estimation de l’incertitude de la DMD . . . . 73

2.4 M´ ethode d’analyse statistique . . . . 74

2.4.1 Pr´ esentation des r´ esultats des mesures . . . . 74

2.4.2 La DMD d’un lot . . . . 77

2.4.2.1 Repr´ esentation d’un lot par l’approche spectrale . . . . 77

2.4.2.2 Approche spectrale statistique . . . . 79

2.4.2.3 Ecarts de forme g´ ´ eom´ etriques moyens et ´ ecarts-types . . . . 82

2.5 Application ` a des exemples industriels . . . . 83

2.5.1 Etude d’une surface conique . . . . ´ 83

2.5.2 Etude d’un ´ ´ echantillon de surfaces cylindriques . . . . 85

2.5.3 Etude d’une pr´ ´ e-s´ erie de pi` eces plastiques . . . . 87

2.6 Conclusion . . . . 88

3 Assemblage de surfaces avec d´ efauts de forme 91 3.1 Mod` ele et outils de tol´ erancement 3D . . . . 91

3.1.1 Mise en position sans d´ efaut de forme . . . . 92

3.1.2 Mise en position avec d´ efaut de forme . . . . 94

3.2 Etude d’un assemblage . . . . ´ 95

3.2.1 Assemblage en 2D . . . . 96

3.2.1.1 Mise en position sans d´ efauts de forme . . . . 98

3.2.1.2 Mise en position avec d´ efauts de forme . . . 100

3.2.2 Assemblage en 3D . . . 103

3.2.2.1 Mise en position sans d´ efauts de forme . . . 105

3.2.2.2 Mise en position avec d´ efauts de forme . . . 106

3.3 Etude d’un assemblage de lots . . . 108 ´

3.3.1 Simulation d’un lot ` a partir des caract´ eristiques statistiques d’un ´ echantillon pilote . . . 108

3.3.1.1 G´ en´ eration des caract´ eristiques statistiques de l’´ echantillon pilote . 109 3.3.1.2 G´ en´ eration d’un lot ` a partir de ces caract´ eristiques statistiques . . . 110

3.3.2 Cas 2D . . . 111

3.3.3 Cas 3D . . . 112

3.4 Synth` ese de la m´ ethode . . . 114

3.5 Perspectives de la m´ ethode . . . 114

Table des mati` eres ix

4 Vers les sp´ ecifications 117

4.1 Expression du besoin de sp´ ecification . . . 117

4.2 Sp´ ecifications modales . . . 119

4.2.1 Approche spectrale . . . 120

4.2.2 Domaine modal . . . 123

4.2.2.1 Domaine modal d’une zone . . . 123

4.2.2.2 Domaine d’une sp´ ecification quelconque . . . 125

4.2.3 Conclusion sur les sp´ ecifications modales . . . 125

4.3 Vers la maˆıtrise des proc´ ed´ es : emboutissage . . . 126

4.3.1 Probl´ ematique . . . 126

4.3.2 D´ emarche . . . 128

4.3.2.1 Simulation num´ erique . . . 128

4.3.2.2 Validation du mod` ele num´ erique . . . 129

4.3.2.3 R´ ealisation de la simulation initiale . . . 129

4.3.2.4 Param´ etrage modal des ´ ecarts de forme . . . 130

4.3.2.5 Choix des param` etres de pilotage . . . 132

4.3.3 Strat´ egie d’optimisation . . . 133

4.3.3.1 D´ etermination des domaines de variation des param` etres de pilotage 133 4.3.3.2 Choix du mod` ele et plan d’exp´ eriences . . . 133

4.3.3.3 Calcul des coefficients du mod` ele polynomial et analyse de leurs effets134 4.3.3.4 Recherche de la configuration optimale des param` etres . . . 136

4.3.4 Conclusion et perspectives . . . 137

4.4 Vers la sp´ ecification d’un besoin : ´ etanch´ eit´ e . . . 138

4.4.1 Probl´ ematique . . . 138

4.4.2 D´ emarche . . . 140

4.4.2.1 G´ en´ eration des d´ efauts de forme . . . 140

4.4.2.2 Algorithme du calcul de d´ ebit de fuite . . . 143

4.4.3 Perspectives . . . 146

4.5 Conclusion . . . 146

Conclusion et perspectives 149 Bibliographie 153 A Les tol´ erances de forme selon ISO 1101 165 A.1 D´ efinition des tol´ erances g´ eom´ etriques li´ ees ` a la forme . . . 165

A.1.1 Tol´ erance de rectitude . . . 165

A.1.2 Tol´ erance de plan´ eit´ e . . . 166

A.1.3 Tol´ erance de circularit´ e . . . 166

A.1.4 Tol´ erance de cylindricit´ e . . . 167

A.1.5 Tol´ erance de profil d’une ligne non rapport´ ee ` a une r´ ef´ erence sp´ ecifi´ ee . . . . 167

A.1.6 Tol´ erance de profil d’une ligne par rapport ` a un syst` eme de r´ ef´ erences sp´ ecifi´ ees167 A.1.7 Tol´ erance de profil d’une surface non rapport´ ee ` a une r´ ef´ erence sp´ ecifi´ ee . . . 168

A.1.8 Tol´ erance de profil d’une surface par rapport ` a une r´ ef´ erence sp´ ecifi´ ee . . . . 168

A.1.9 Sp´ ecifications restrictives . . . 169

A.2 Exemple d’extension ` a la norme . . . 169

x Table des mati` eres

B La projection vectorielle 171

B.1 Op´ eration de projection vectorielle . . . 171 B.2 Minimisation des ´ ecarts quadratiques . . . 171

C D´ eveloppement informatique MATLAB ^® 173

Publications associ´ ees ` a ces travaux 177

Introduction

Tout est calcul´ e de mani` ere ` a produire le plus grand effet avec la d´ epense et les dimensions les plus petites possibles [ Jean-Baptiste Vaquette de Gribeauval ] 1715–1789

Pr´ eambule

Le concept d’interchangeabilit´ e des pi` eces m´ ecaniques est l’un des fondements de l’industrie moderne. Jusqu’au XIX <sup>e</sup> si` ecle ce concept a ´ et´ e un vecteur d’innovation tant dans les domaines de l’usinage que dans l’organisation des ateliers. Les premi` eres tentatives de fabrication de pi` eces interchangeables datent du d´ ebut du XVIII ^e si` ecle avec la normalisation de l’artillerie. Les progr` es les plus importants sont r´ ealis´ es par Jean-Baptiste Vaquette de Gribeauval qui propose une nouvelle normalisation. Il invente notamment

l’´ etoile

, appareil servant ` a mesurer avec exactitude la dimension int´ erieure d’un canon. Il r´ eduit ainsi les tol´ erances et donc l’espace entre le boulet et le canon, ce qui am´ eliore port´ ee et pr´ ecision. C’est en 1817 que l’am´ ericain John Hall r´ eussit ` a livrer une centaine de fusils ` a pi` eces interchangeables. En effet, la pr´ ecision des pi` eces produites a permis leur interchangeabilit´ e. Pour atteindre cette qualit´ e, il fallut modifier les m´ ethodes de travail, introduire de nouveaux outils, construire de nouvelles machines et instituer des contrˆ oles stricts. Les caract´ eristiques modernes de l’industrie se mirent ainsi en place ` a l’occasion de cette quˆ ete de l’interchangeabilit´ e [ Peaucelle , 05].

1

2 Introduction

Figure 1 – Platine ` a silex de fusil

Du concept ` a la r´ ealisation

La d´ efinition d’un produit fait appel ` a l’utilisation d’un langage ´ etabli entre les acteurs interve- nant dans le cycle de vie du produit : conception, fabrication et contrˆ ole. Il peut s’agir d’un langage commun, c’est le cas des normes ISO, ou sp´ ecifique. Les normes internationales ISO, utilis´ ees cou- ramment par le concepteur, d´ efinissent la mani` ere dont doivent ˆ etre sp´ ecifi´ ees une cote, la ou les tol´ erances ainsi que les d´ efauts g´ eom´ etriques de forme, position et orientation qui lui sont associ´ es.

La g´ eom´ etrie cible du produit, d´ efinie en conception, n’´ etant pas r´ ealisable en production, il est n´ ecessaire de trouver un compromis entre le bureau d’´ etudes et les moyens de production permet- tant de garantir le bon fonctionnement du produit. La maˆıtrise des variations g´ eom´ etriques d’un produit tout au long de son cycle de vie est donc l’enjeu majeur du tol´ erancement g´ eom´ etrique.

Depuis quelques dizaines d’ann´ ees, cet enjeu anime un nombre important de travaux de re- cherche en tol´ erancement. De plus, l’av` enement de la simulation dans ce domaine a permis d’int´ egrer une vue plus r´ ealiste dans les mod` eles de conception des produits et dans les processus de fabrica- tion, d’assemblage et de contrˆ ole. La maˆıtrise de la qualit´ e g´ eom´ etrique des produits se d´ ecompose en six ordres de d´ efauts, d´ efinis selon des crit` eres technologiques et math´ ematiques [ ISO-8785 , 98].

Si l’on s’int´ eresse aux expressions des variations d’une g´ eom´ etrie, on doit consid´ erer le mod` ele qui permet de la d´ efinir. Ces mod` eles de variations g´ eom´ etriques d´ efinissent alors des langages permet- tant d’´ echanger sur les limites admissibles par la g´ eom´ etrie observable par rapport ` a l’id´ eale. Les premiers ordres de d´ efauts sur la position et la dimension des surfaces d’un produit sont trait´ es par des mod` eles de variations issus principalement de la th´ eorie des m´ ecanismes. Ces mod` eles aboutissent ` a des m´ ethodes d’analyse et de synth` ese de tol´ erances de plus en plus utilis´ ees dans l’industrie. A l’oppos´ e de ces ordres, nous retrouvons la caract´ erisation des ´ etats de surfaces o` u les m´ ethodes de traitement de signal donnent des r´ esultats int´ eressants. Quant au d´ efaut de forme, qui se situe entre ces ordres de d´ efaut, il est le parent pauvre de ces mod` eles de variations.

Ces mod` eles s’appuient sur un param´ etrage de la g´ eom´ etrie et de ses instances. Il doit permettre

de d´ ecrire au mieux le r´ eel observ´ e. La capacit´ e croissante des moyens de mesure a permis ` a de nou-

veaux param´ etrages d’exprimer la g´ eom´ etrie mesur´ ee avec une plus grande pr´ ecision. L’´ emergence

des moyens de mesure d’une part et la n´ ecessit´ e d’un mod` ele de variations des formes g´ eom´ etriques

d’autre part nous ont pouss´ es ` a d´ efinir un nouveau param´ etrage. Introduit par des travaux de

recherche sur la corr´ elation entre les vibrations sonores d’une cloche et ses d´ efauts g´ eom´ etriques,

le param´ etrage modal permet de mod´ eliser un ´ el´ ement g´ eom´ etrique dans un espace de formes

Introduction 3

g´ eom´ etriques, issues de la m´ ecanique vibratoire.

Au cœur du mod` ele de variations, ce param´ etrage nous permet de d´ efinir le tol´ erancement mo- dal. Le d´ eploiement de ce mod` ele de tol´ erancement est l’objet des travaux qui seront pr´ esent´ es dans ce document. Introduit dans le domaine de la m´ etrologie dans un premier temps, le param´ etrage modal est utilis´ e pour visualiser les d´ efauts g´ eom´ etriques des surfaces : c’est la M´ etrologie Modale des Surf aces (MemoSurf ^® ). Au del` a de la visualisation, la m´ etrologie est ´ egalement une ´ etape de v´ erification des sp´ ecifications g´ eom´ etriques. La d´ efinition d’exigences fonctionnelles est donc indispensable ` a notre mod` ele de tol´ erancement. Nous essaierons donc de d´ efinir un langage de sp´ ecification ` a travers le param´ etrage modal.

L’objet des travaux

L’objectif global de ces travaux est de proposer un param´ etrage des formes ` a partir duquel nous essayons de d´ efinir un mod` ele de tol´ erancement. Le domaine de pr´ edilection du param´ etrage modal ´ etant le d´ efaut de forme voire d’ondulation, les exigences fonctionnelles, que nous tentons de d´ efinir, s’appliquent ` a des pi` eces ou des m´ ecanismes o` u la forme des surfaces fonctionnelles est essentielle ` a la fonctionnalit´ e. Cependant pour pouvoir sp´ ecifier les surfaces fonctionnelles, il faut ˆ

etre en mesure de caract´ eriser les d´ efauts g´ eom´ etriques de ces surfaces. Une grande partie de ces travaux a donc ´ et´ e consacr´ ee au d´ eveloppement d’un outil d’expertise m´ etrologique de la forme des surfaces.

Le chapitre 1 pr´ esente un ´ etat de l’art des diff´ erents param´ etrages de formes que nous avons pu recenser au cours de nos travaux. Ne pouvant pas ˆ etre exhaustifs, nous proposons de classer les diff´ erentes approches selon qu’elles soient dans une d´ emarche de description ou de reconstruction.

Nous distinguons pour chaque approche le fait que le param´ etrage caract´ erise globalement la sur- face ou au contraire n´ ecessite une partition de la surface permettant de r´ ealiser un param´ etrage par morceaux, que l’on identifie comme ´ etant un param´ etrage local. Un param´ etrage bas´ e sur une ap- proche descriptive caract´ erise la forme d’une surface dans un espace de param` etres de forme d´ efinis explicitement. Quant aux param´ etrages bas´ es sur des m´ ethodes de reconstruction, ils s’attacheront davantage ` a la qualit´ e de la mod´ elisation de la surface qu’` a la valeur des param` etres.

Le chapitre 2 introduit le param´ etrage modal appliqu´ e dans le domaine de la m´ etrologie des sur- faces. Ce param´ etrage de type descriptif permet de caract´ eriser des d´ efauts g´ eom´ etriques de forme de la surface consid´ er´ ee. Il r´ esulte d’une m´ ethode de d´ ecomposition que l’on nomme D´ ecomposition Modale Discr` ete (DMD). La DMD va d´ ecomposer la surface, connue de mani` ere discr` ete, dans un es- pace de descripteurs qui d´ erivent du domaine de la m´ ecanique vibratoire, d’o` u le terme

modale

. Une formalisation de l’application m´ etrologique, dont a fait l’objet cette m´ ethode de d´ ecomposition, est d´ eploy´ ee ` a travers 10 ´ etapes. L’expertise d’un lot de surfaces nous am` ene ` a d´ efinir un ensemble d’outils statistiques permettant ainsi de caract´ eriser non seulement les d´ efauts g´ eom´ etriques du lot mais aussi la signature du proc´ ed´ e de fabrication et/ou mesure.

Nous proposons dans le troisi` eme chapitre d’´ etudier la prise en compte du d´ efaut de forme dans un processus d’assemblage pour en ´ evaluer sa pr´ ecision. Nous pr´ esentons un bref ´ etat de l’art sur les diff´ erents mod` eles et outils du tol´ erancement 3D qui abordent la probl´ ematique d’assemblage sans jeux et ` a efforts impos´ es. Telles sont les hypoth` eses dans lesquelles nous nous pla¸ cons. Nous sugg´ erons de compl´ eter le param´ etrage des surfaces associ´ ees par le param´ etrage modal. La perti- nence de la prise en compte des d´ efauts de forme est alors pr´ esent´ ee en ´ evaluant la conformit´ e d’un assemblage de deux pi` eces puis celle d’un lot d’assemblages.

Enfin, dans le quatri` eme chapitre, nous pr´ esentons nos avanc´ ees sur les sp´ ecifications fonction-

nelles. De nos jours, nous constatons que les tol´ erances li´ ees ` a ces exigences sont de plus en plus

4 Introduction

serr´ ees compte tenu des fonctionnalit´ es ` a garantir. Or, le tol´ erancement par zone ne fait pas la

distinction entre les ordres de d´ efauts. Afin de sp´ ecifier au plus juste, nous introduisons deux ap-

proches construites ` a partir du param´ etrage modal. La premi` ere va d´ efinir un ensemble de bilimites

sur chaque param` etre ou groupe de param` etres modaux et la deuxi` eme tiendra compte des com-

binaisons possibles de ces param` etres modaux. Nous pr´ esentons ensuite deux d´ emarches sur des

probl` emes industriels qui nous permettrons d’estimer des variations admissibles sur les param` etres

modaux. L’une portera sur la maˆıtrise d’un proc´ ed´ e de fabrication et l’autre sur la sp´ ecification

d’un besoin.

1

Comment d´ ecrire la forme g´ eom´ etrique d’un produit ?

Objectif du chapitre

L’objectif est de pr´ esenter au lecteur un ensemble de param´ etrages des formes g´ eom´ etriques. Tout d’abord, nous rappelons les concepts g´ en´ eraux d’un langage de sp´ ecification normalis´ ee. A travers ce rappel, nous introduisons la pertinence de ces pa- ram´ etrages dans la sp´ ecification g´ eom´ etrique des produits. Nous proposons, dans la suite, une clas- sification de ces diff´ erents param´ etrages extraits de la litt´ erature scientifique. Sans vouloir ˆ etre exhaus- tif, nous nous attacherons aux m´ ethodes de pa- ram´ etrage dont les applications peuvent ˆ etre li´ ees au tol´ erancement g´ eom´ etrique.

1.1 Relation entre mesure et caract´ eristiques

Jusque dans les ann´ ees 70, les dessinateurs disposaient d’un langage normalis´ e bas´ e sur les longueurs et les angles avec une tol´ erance minimale et maximale. Ce langage ´ etait ` a l’image des moyens de mesure dimensionnels de l’´ epoque. Par la suite, le concept de tol´ erancement g´ eom´ etrique, qui consiste ` a d´ efinir les limites des variations des ´ el´ ements g´ eom´ etriques, s’est d´ evelopp´ e tant dans son utilisation que dans la production des normes. Face ` a ce langage normalis´ e, l’av` enement des moyens de mesure par points nous a amen´ e ` a constater que les difficult´ es rencontr´ ees par les industriels apparaissent lors de l’´ etape de v´ erification de la qualit´ e g´ eom´ etrique du produit. En effet, le m´ etrologue soul` eve des interrogations dans la v´ erification du produit que ne se posaient pas le concepteur dans la sp´ ecification de celui-ci. Un langage univoque, appel´ e GeoSpelling, a ainsi ´ et´ e introduit par Mathieu pour la sp´ ecification et la v´ erification g´ eom´ etrique des pi` eces et des assemblages [ Mathieu et Ballu , 03]. En 2005, il fait l’objet d’un document normalis´ e intitul´ e

Sp´ ecification g´ eom´ etrique des produits (GPS) - Concepts g´ en´ eraux - Mod` ele pour la sp´ ecification et la v´ erification g´ eom´ etriques

[ ISO/TS-17450-1 , 05].

Nous pr´ esentons, dans le paragraphe suivant, les principaux concepts du langage GeoSpelling.

Cette d´ emarche univoque pour la sp´ ecification des produits ainsi que pour la v´ erification s’av` ere ˆ

etre un langage r´ ef´ erence dans les concepts g´ en´ eraux de la sp´ ecification g´ eom´ etrique des produits.

5

6 Comment d´ ecrire la forme g´ eom´ etrique d’un produit ?

Il nous paraˆıt int´ eressant de situer nos travaux de recherche, qui s’attachent ` a maˆıtriser la qualit´ e g´ eom´ etrique des produits, par rapport ` a cette approche unifi´ ee et syst´ ematique.

1.1.1 Les concepts du langage GeoSpelling

Le langage Geospelling repose sur deux id´ ees [ Ballu et al., 01]. La premi` ere id´ ee d´ efinit un mod` ele de pi` eces avec d´ efauts pour le concepteur, appel´ e

skin

mod` ele (figure 1.1). Le concepteur pourra ainsi simuler les variations de la surface au niveau conceptuel et optimiser les valeurs de limites maximales tol´ er´ ees (les tol´ erances) pour lesquelles le besoin fonctionnel de la pi` ece est toujours assur´ e.

Figure 1.1 – Mod` ele nominal et

skin

mod` ele d´ efini par [ Ballu et al., 01]

La deuxi` eme id´ ee ´ etablit un processus de d´ eclaration des ´ el´ ements g´ eom´ etriques pour d´ ecrire la dimension, que l’on souhaite sp´ ecifier ou v´ erifier. La d´ efinition suivante d’une sp´ ecification g´ eom´ etrique en ´ emane : une sp´ ecification est une condition sur une dimension d´ efinie par une caract´ eristique. Cette caract´ eristique s’exprime sur un ´ el´ ement g´ eom´ etrique ou entre des ´ el´ ements g´ eom´ etriques identifi´ es par des op´ erations ` a partir du

skin

mod` ele (figure 1.2).

Figure 1.2 – D´ efinition d’une sp´ ecification ´ enonc´ ee dans Geospelling [Ballu et al., 01]

Dans les concepts du langage GeoSpelling, les caract´ eristiques font r´ ef´ erence ` a des grandeurs

dimensionnelles d´ efinies sur ou entre des ´ el´ ements g´ eom´ etriques. Elles peuvent ˆ etre de diff´ erentes

natures, par exemple le diam` etre d’un cercle est d´ efini comme ´ etant une caract´ eristique dite in-

trins` eque et la distance d’un point d’un ´ el´ ement par rapport ` a un autre ´ el´ ement d´ efinira une

caract´ eristique de situation. Afin d’identifier les ´ el´ ements g´ eom´ etriques sur lesquels sont d´ efinies

ces caract´ eristiques, GeoSpelling propose six op´ erations nomm´ ees : partition, extraction, filtrage,

1.1 Relation entre mesure et caract´ eristiques 7

collection, association et construction (figure 1.3). La description de la g´ eom´ etrie des produits avec ou sans d´ efauts g´ eom´ etriques sera bas´ ee sur ces six op´ erations.

Figure 1.3 – Six op´ erations pour l’identification des ´ el´ ements g´ eom´ etriques En restant dans la g´ en´ eralit´ e de ce processus de description,

ˆ l’op´ eration de partition est utilis´ ee pour identifier des ´ el´ ements g´ eom´ etriques non id´ eaux ¹ et id´ eaux ² .

ˆ L’op´ eration d’extraction, qui suit, permet d’identifier des points sp´ ecifiques ` a partir d’un

´

el´ ement g´ eom´ etrique, id´ eal ou non.

ˆ Le filtrage permet de r´ eduire le niveau d’information n´ ecessaire ` a la d´ efinition d’un ´ el´ ement non id´ eal.

ˆ Les ´ el´ ements non id´ eaux sont ensuite ajust´ es selon diff´ erents crit` eres d’association par des

´

el´ ements id´ eaux.

ˆ L’op´ eration de collection identifie les groupes d’´ el´ ements id´ eaux ou non, conform´ ement aux fonctions du produit.

ˆ Enfin, la construction est l’op´ eration utilis´ ee pour construire un ou plusieurs ´ el´ ements id´ eaux

`

a partir d’autres ´ el´ ements id´ eaux en respectant un ensemble de contraintes.

Une derni` ere op´ eration d’´ evaluation permet d’identifier la valeur d’une caract´ eristique ou d’une fonction d’une caract´ eristique pour ´ evaluer une condition de conformit´ e par exemple.

Comme nous venons de l’exposer, l’utilisation de GeoSpelling est un concept g´ en´ eral qui peut aussi d´ ecrire les processus de mesure. Les concepteurs et les m´ etrologues disposent ainsi d’un langage commun pour, respectivement, sp´ ecifier et v´ erifier la qualit´ e g´ eom´ etrique des produits (cf.

figure 1.4).

1. un ´ el´ ement non id´ eal est un ´ el´ ement g´ eom´ etrique dont la d´ efinition d´ epend enti` erement d’une pi` ece r´ ealis´ ee ou imagin´ ee

2. un ´ el´ ement id´ eal fait r´ ef´ erence ` a un ´ el´ ement g´ eom´ etrique enti` erement d´ efini ` a un nombre fini pr` es de ca-

ract´ eristiques

8 Comment d´ ecrire la forme g´ eom´ etrique d’un produit ?

Figure 1.4 – Dualit´ e entre la sp´ ecification et la v´ erification [ ISO/TS-17450-1 , 05]

1.1.2 Le param´ etrage de la g´ eom´ etrie

La notion de param´ etrage g´ eom´ etrique permet de d´ eterminer les caract´ eristiques utilis´ ees dans l’expression des sp´ ecifications. Soit elles caract´ erisent directement le d´ efaut sp´ ecifi´ e, soit elles sont utilis´ ees comme contrainte dans une op´ eration ou comme un objectif ` a optimiser. Les documents normatifs [ ISO/TS-17450-1 , 05], issus du langage conceptuel GeoSpelling, d´ efinissent trois types de caract´ eristiques :

ˆ les caract´ eristiques intrins` eques d´ efinies sur des ´ el´ ements g´ eom´ etriques id´ eaux (cf. § 1.1.2.1),

ˆ les caract´ eristiques de situation d´ efinies entre des ´ el´ ements id´ eaux (cf. § 1.1.2.2),

ˆ les caract´ eristiques de situation d´ efinies entre des ´ el´ ements id´ eaux et non id´ eaux (cf. §1.1.2.3).

1.1.2.1 Les caract´ eristiques intrins` eques des ´ el´ ements id´ eaux

Des exemples de caract´ eristiques intrins` eques sont donn´ es dans le tableau 1.1. Elles ont ´ et´ e

class´ ees selon la classe d’invariance de l’´ el´ ement id´ eal. Les classes d’invariance sont d´ efinies par les

degr´ es de libert´ e d’un ´ el´ ement qui le laissent g´ eom´ etriquement invariant. Par exemple, la rotation

d’un cylindre autour de son axe laisse invariant sa g´ eom´ etrie, on dira alors que c’est un degr´ e

d’invariance [ Cl´ ement et al., 98].

1.1 Relation entre mesure et caract´ eristiques 9

Classe d’invariance Type Exemples de caract´ eristiques intrins` eques

complexe

courbe elliptique longueur du petit et du grand axe surface polaire position relative des pˆ oles

. . . . . .

prismatique

prisme avec une base ellip- tique

longueur du petit et du grand axe prisme avec une base en

d´ eveloppante de cercle

rayon de la base

. . . . . .

de r´ evolution

cercle diam` etre

cˆ one angle au sommet

tore diam` etres de la g´ en´ eratrice et de la directrice

. . . . . .

h´ elico¨ ıdale

ligne h´ elico¨ıdale pas de l’h´ elice et rayon surface h´ elico¨ıdale avec une

base en d´ eveloppante de cercle

angle d’h´ elice, angle de pression, rayon de la base

. . . . . .

cylindrique droite aucune

cylindre diam` etre

plane plan aucune

sph´ erique point aucune

sph` ere diam` etre

Tableau 1.1 – Exemples de caract´ eristiques intrins` eques d’´ el´ ements id´ eaux [ ISO/TS-17450-1 , 05]

1.1.2.2 Les caract´ eristiques de situation entre ´ el´ ements id´ eaux

Les caract´ eristiques de situation d´ efinissent la situation relative entre deux ´ el´ ements id´ eaux (position et orientation). Des ´ el´ ements de situation sont d´ efinis pour situer les ´ el´ ements id´ eaux dans l’espace (une matrice de rotation et un vecteur translation). Chaque ´ el´ ement ´ etant situ´ e par rapport ` a un rep` ere global de l’espace, il est simple d’en d´ eduire la position et l’orientation relative entre deux ´ el´ ements. Les caract´ eristiques de situation entre ´ el´ ements id´ eaux peuvent donc se s´ eparer en caract´ eristiques de position et caract´ eristiques d’orientation (cf. tableau 1.2).

Caract´ eristiques de position distance point-point

distance point-droite distance point-plan distance droite-droite distance droite-plan distance plan-plan

Caract´ eristiques d’orientation angle droite-droite

angle droite-plan angle plan-plan

Tableau 1.2 – Caract´ eristiques de situation [ ISO/TS-17450-1 , 05]

10 Comment d´ ecrire la forme g´ eom´ etrique d’un produit ?

1.1.2.3 Les caract´ eristiques de situation entre ´ el´ ements id´ eaux et non id´ eaux

Les caract´ eristiques de situation d´ efinies entre ´ el´ ements id´ eaux et non id´ eaux sont ´ egalement utilis´ ees pour situer les ´ el´ ements id´ eaux et non id´ eaux entre eux. Elles sont d´ efinies par les distances ou des fonctions des distances, calcul´ ees entre chaque point de l’´ el´ ement non id´ eal et l’´ el´ ement id´ eal.

La figure 1.5 montre un exemple de caract´ eristiques de situation entre un ´ el´ ement id´ eal (un cercle) et un ´ el´ ement non id´ eal (un cercle avec des erreurs de forme). Les fonctions g´ en´ eralement utilis´ ees, sont le maximum, le minimum, la somme des carr´ ees des distances.

Figure 1.5 – Caract´ eristiques de situation entre ´ el´ ements id´ eaux et non id´ eaux - Extrait de la norme [ ISO/TS-17450-1 , 05]

En reprenant l’exemple de la figure 1.5, on peut imaginer qu’un m´ etrologue chercherait ` a

´

evaluer la circularit´ e telle qu’elle est d´ ecrite dans les normes sur le tol´ erancement g´ eom´ etrique [ NF-ISO-1101 , 06]. Dans ce cas, la circularit´ e est d´ efinie par une zone de tol´ erance t, limit´ ee par deux cercles concentriques situ´ es dans la section droite consid´ er´ ee (cf. figure 1.6(a)). La valeur de circularit´ e sera donn´ ee par la diff´ erence des deux rayons des cercles. Dans cet exemple, la ca- ract´ eristique de situation est la circularit´ e d´ efinie par la diff´ erence des rayons des cercles (´ el´ ements de situation).

(a) (b)

Figure 1.6 – La circularit´ e comme caract´ eristique de situation

1.2 Proposition d’une classification des param´ etrages de forme 11

La figure 1.6(b) nous pr´ esente l’´ evaluation de la circularit´ e sur un autre ´ el´ ement non id´ eal.

On constate que la zone de tol´ erance t peut avoir la mˆ eme valeur, alors que l’´ el´ ement non id´ eal est g´ eom´ etriquement diff´ erent. Il nous paraˆıt donc n´ ecessaire d’´ etendre l’expression de ces ca- ract´ eristiques de situation pour diff´ erencier ces deux ´ el´ ements.

La probl´ ematique, qui vient d’ˆ etre soulev´ ee, est justement le coeur des travaux de recherche qui vont ˆ etre expos´ es dans ce document. Lorsqu’il s’agit de sp´ ecifier la forme g´ eom´ etrique d’un

´

el´ ement, la valeur de la zone de tol´ erance n’est pas une caract´ eristique de situation suffisante pour la diff´ erencier. Nous proposons l’id´ ee d’introduire un param´ etrage de la forme g´ eom´ etrique permettant ainsi de d´ efinir des caract´ eristiques, que l’on pourra utiliser dans l’expression des sp´ ecifications. Il existe un nombre important de param´ etrages de forme, dont certains ont d’ailleurs fait l’objet de normes dans le domaine de la sp´ ecification g´ eom´ etrique des produits. Nous essaierons dans la section 1.2 suivante d’´ etablir une classification de ces diff´ erents param´ etrages de forme.

1.2 Proposition d’une classification des param´ etrages de forme

Dans les concepts normalis´ es de la sp´ ecification g´ eom´ etrique des produits li´ es aux tol´ erances de forme, on peut identifier deux types de param´ etrages de forme. On trouve, tout d’abord, un param´ etrage par des composantes harmoniques (ondes sinus et/ou cosinus) provenant de la trans- form´ ee de Fourier de la mesure [ ISO/TS-12181-1 , 03]. Nous d´ etaillerons dans le § 1.2.2.2 diff´ erentes applications de ce param´ etrage. Le deuxi` eme param´ etrage a fait l’objet d’une norme sp´ ecifique dans le domaine de l’optique et des instruments d’optique [ NF-ISO-10110-5 , 08]. Il d´ ecrit la forme g´ eom´ etrique des ´ el´ ements avec des combinaisons lin´ eaires des polynˆ omes de Zernike (cf. § 1.2.2.2).

Outre ces aspects de sp´ ecifications g´ eom´ etriques des produits, il existe une multitude d’autres param´ etrages de forme. En effet, durant ces derni` eres ann´ ees, beaucoup de techniques de description et de repr´ esentation des formes ont ´ et´ e d´ evelopp´ ees. Et, au fur et ` a mesure, ces techniques ont trouv´ e de plus en plus de domaines d’applications.

Parti du constat que, pour identifier, trier ou encore regrouper des images d’une collection ou d’une grande base de donn´ ees, une description de la forme visuelle de celles-ci pourrait avoir un grand int´ erˆ et, Zhang pr´ esente un ´ etat de l’art de diff´ erentes techniques de repr´ esentation et de description des formes [ Zhang et Lu , 04]. Il propose une classification de diff´ erentes m´ ethodes pour d´ ecrire la forme des contours et des r´ egions localis´ ees sur les images. Ces techniques se g´ en´ eralisent sur des objets 3D et la grande majorit´ e de ces m´ ethodes de description font appel ` a des m´ ethodes bas´ ees sur des mod` eles dits d´ eformables. La notion de mod` ele d´ eformable a ´ et´ e introduite par Kass dans les ann´ ees 80 [Kass et al., 88], avec des mod` eles 2D de contours actifs permettant la d´ etection et le suivi de fronti` eres sur des images num´ eriques. Un mod` ele d´ eformable est d´ efini par :

ˆ une repr´ esentation g´ eom´ etrique de la surface d´ eformable, qui constitue le param´ etrage de la surface,

ˆ ` a laquelle on associe un mod` ele de d´ eformation, permettant ainsi d’ajuster au mieux le pa- ram´ etrage pr´ ec´ edent ` a la surface d´ eform´ ee.

Pour des cas 3D, Terzopoulos et Metaxas proposent une repr´ esentation param´ etrique des surfaces par des superquadriques, associ´ ees ` a un mod` ele dynamique 3D qui se d´ eforme localement et globa- lement, qui sera d´ evelopp´ e dans la section 1.2.3.1 [ Terzopoulos et Metaxas , 91].

McInerney et Terzopoulos dressent ` a ce propos un ´ etat de l’art sur les mod` eles d´ eformables ap- pliqu´ es ` a l’imagerie m´ edicale [ McInerney et Terzopoulos , 96]. En effet, ces mod` eles s’av` erent ˆ

etre tr` es efficaces et robustes dans la segmentation, l’extraction et le suivi de contours et de sur-

faces. Montagnat et al. exposent une vision plus g´ en´ erale de ces mod` eles et leurs applications, en

proposant une classification des diff´ erentes repr´ esentations g´ eom´ etriques des surfaces d´ eformables

12 Comment d´ ecrire la forme g´ eom´ etrique d’un produit ?

et un ´ etat de l’art des diff´ erents mod` eles de d´ eformations [ Montagnat et al., 01]. Cette clas- sification fait la distinction entre les surfaces d´ eformables ayant une repr´ esentation discr` ete et continue. Chacune des familles est divis´ ee en sous cat´ egories, les surfaces continues peuvent ˆ etre param´ etr´ ees par des ´ equations implicites ou explicites alors que les surfaces discr` etes sont principa- lement repr´ esent´ ees par des maillages discrets ou par des r´ eseaux de particules. Sur des applications de reconnaissance de forme, Cheung et al. exposent une classification de type matriciel des mod` eles d´ eformables [Cheung et al., 02]. D’un cot´ e, ils opposent les mod` eles d´ eformables param´ etr´ es avec des caract´ eristiques locales et ceux param´ etr´ es avec des caract´ eristiques globales. De l’autre, ils font la distinction entre des mod` eles dit de description et des mod` eles bas´ es sur des prototypes. Les mod` eles, dit de description, d´ ecrivent explicitement la forme et ensuite sont ajust´ es avec un mod` ele de d´ eformation, modifiant ainsi l’espace des param` etres de forme. Les autres mod` eles vont chercher

`

a param´ etrer directement les d´ eformations de l’objet en partant d’un prototype particulier qui le repr´ esente.

Le travail de synth` ese, r´ ealis´ e par les ´ equipes de recherches cit´ ees pr´ ec´ edemment, a permis de mettre en ´ evidence un certain nombre de param´ etrages et de groupes diff´ erents de param´ etrages de forme. Tous regroup´ es par la notion de mod` ele d´ eformable, les domaines d’applications, auxquels font r´ ef´ erence les auteurs pr´ ec´ edents, touchent principalement l’imagerie num´ erique 2D et 3D.

Nous proposons dans la suite d’´ etablir une classification des diff´ erents param´ etrages (cf. ta- bleau 1.3), principalement inspir´ ee par cette litt´ erature sur l’imagerie num´ erique. Sans vouloir ˆ etre exhaustif, nous ´ enum´ erons et d´ etaillons un certain nombre de param´ etrages, qui nous paraissent suf- fisamment caract´ eristiques pour d´ ecrire la forme d’´ el´ ements g´ eom´ etriques. Nous illustrons ´ egalement chaque param´ etrage trait´ e, par un bref ´ etat de l’art dont les travaux sont orient´ es dans le domaine de l’ing´ enierie m´ ecanique.

1.2.1 Proposition de taxinomie des param´ etrages de forme

Nous avons fait le choix d’un classement de type matriciel : param´ etrage local vs. global et param´ etrage descriptif vs. de reconstruction. Les m´ ethodes de param´ etrage local r´ ealisent un d´ ecoupage de l’´ el´ ement g´ eom´ etrique ` a caract´ eriser et mod´ elisent la forme de chaque partie d´ ecoup´ ee avec des caract´ eristiques de forme, alors que les param´ etrages globaux s’attachent ` a repr´ esenter la forme de l’´ el´ ement g´ eom´ etrique complet. Les param´ etrages bas´ es sur une approche descriptive d´ ecrivent la forme dans un espace de param` etres de forme d´ efinis explicitement. Et d’un autre cot´ e, les param´ etrages bas´ es sur des m´ ethodes de reconstruction se concentrent davantage sur la qualit´ e de la reconstruction que sur la pertinence des caract´ eristiques du param´ etrage.

Cependant, on peut repr´ esenter ou identifier un ´ el´ ement g´ eom´ etrique autrement que par un

param´ etrage g´ eom´ etrique. Dans une revue bibliographique, Iyer et al. exposent un ensemble de

techniques destin´ ees ` a la recherche de forme 3D dans une base de donn´ ees [ Iyer et al., 05]. Ces tech-

niques sont bas´ ees sur les diff´ erents param´ etrages des formes. Ils r´ epertorient ces param´ etrages dans

six cat´ egories. On y retrouve les param´ etrages de type g´ eom´ etriques ainsi que des repr´ esentations

bas´ ees sur des graphes (graphes squelettes, graphes de Reeb, etc.) ou encore des histogrammes de

distribution de points de mesure. Les techniques bas´ ees sur les graphes offrent effectivement une

grande rapidit´ e dans ce type d’application mais la conversion qui permet de repr´ esenter la g´ eom´ etrie

en 3D est g´ en´ eralement limit´ ee ` a des topologies d’´ el´ ements g´ eom´ etriques simples.

1.2 Proposition d’une classification des param´ etrages de forme 13

Param´ etrage Local Param´ etrage Global

Description

– Transform´ ee en cosinus discr` ete (DCT) appliqu´ ee au JPEG – D´ ecomposition sous structurale

Par des descripteurs a priori : – D´ ecomposition de Fourier – D´ ecomposition en cosinus – Harmoniques sph´ eriques – Polynˆ omes de Zernike – Polynˆ omes de Chebyshev – D´ ecomposition en Ondelettes – D´ ecomposition modale

Par des descripteurs a posteriori : – Analyse en Composantes Principales – D´ ecomposition Modale Empirique

Reconstruction

– Courbes et surfaces param´ etr´ ees – Mod` eles de contours actifs – Mod` ele local bas´ e sur des super-

quadriques – Surfaces fractales

– Surfaces de niveaux

– Mod` ele bas´ e sur des superquadriques – Enveloppe convexe

– Construction de formes technolo- giques

Tableau 1.3 – Classification des param´ etrages de forme 1.2.2 Approche descriptive

Nous qualifions les param´ etrages de descriptifs, lorsqu’ils n´ ecessitent l’utilisation d’un ensemble de descripteurs. Nous d´ efinissons un descripteur comme ´ etant un mod` ele de repr´ esentation des

´

el´ ements g´ eom´ etriques. La forme de l’´ el´ ement g´ eom´ etrique peut ainsi ˆ etre d´ ecrite dans un espace de descripteurs. Les descripteurs sont d´ efinis explicitement, soit a priori, c’est-` a-dire sans aucune pr´ evision de la forme de l’´ el´ ement g´ eom´ etrique, soit a posteriori, ` a ce moment-l` a les descripteurs sont estim´ es ` a partir d’un ´ el´ ement ou d’un lot d’´ el´ ements g´ eom´ etriques.

1.2.2.1 Param´ etrage local

Dans la famille des param´ etrages de type descriptifs, on distingue les param´ etrages agissant localement sur les ´ el´ ements g´ eom´ etriques de ceux qui caract´ erisent globalement les ´ el´ ements. Cette m´ ethode consiste ` a r´ ealiser une partition de l’´ el´ ement g´ eom´ etrique en plusieurs morceaux sur les- quels seront appliqu´ es le param´ etrage descriptif choisi. Par la synth` ese de ces param´ etrages locaux, on d´ ecrira la forme globale de l’´ el´ ement g´ eom´ etrique.

Une application tr` es r´ epandue, qui utilise ce type de param´ etrage, est la norme de compres-

sion JPEG [ ISO/CEI-10918-1 , 94] (acronyme de Joint Photographics Experts Group) employ´ ee

en imagerie num´ erique. Cette norme, n´ ee d’un rassemblement de professionnels de l’industrie de

l’image, est bas´ ee sur la DCT (Discrete Cosinus Transform). En r´ esum´ e, le principe est le suivant,

chaque image num´ erique est d´ ecoup´ ee en carreaux, g´ en´ eralement 64 (8×8) ou 256 (16×16) pixels

(cd. figure 1.7). Ensuite, selon le type de codage des couleurs adopt´ e, chaque

couleur

de chaque

carreaux de pixels subit une transformation num´ erique. La transformation num´ erique appliqu´ ee

est donc la DCT ou transform´ ee discr` ete en cosinus en fran¸ cais. Cette transformation permet de

d´ ecrire chaque bloc par un spectre de fr´ equences et d’amplitudes plutˆ ot qu’en pixels et en cou-

leurs. Une op´ eration de quantification permet de compresser les donn´ ees. La synth` ese de chaque

transformation permet de compresser l’image totale.

14 Comment d´ ecrire la forme g´ eom´ etrique d’un produit ?

Figure 1.7 – Ordre de codage d´ efini par la norme JPEG

Dans cette application, la transform´ ee discr` ete en cosinus (cf. ´ equation 1.1) r´ ealise un pa- ram´ etrage de chaque bloc de pixels, en d´ ecomposant l’information de

couleur

dans un espace de description d´ efini par une base de fonctions (cf. figure 1.8). Dans le cas de la DCT, les fonctions sont des combinaisons d’harmoniques en cosinus.

C(u, v) = α(u)α(v)

N−1

X

x=0 N−1

X

y=0

f (x, y) cos

π(2x + 1)u 2N

cos

π(2y + 1)v 2N

(1.1) pour u, v = 0, 1, 2, . . . , N − 1. La transformation inverse est d´ efinie par l’´ equation 1.2 suivante,

f (x, y) =

N−1

X

u=0 N−1

X

v=0

α(u)α(v)C(u, v) cos

π(2x + 1)u 2N

cos

π(2y + 1)v 2N

(1.2) pour x, y = 0, 1, 2, . . . , N − 1 et α(u) et α(v) sont d´ efinies par l’´ equation 1.3.

α(u) =





 q 1

N pour u = 0 q 2

N pour u 6= 0 (1.3)

Nous montrons sur la figure 1.8, la repr´ esentation de la base des fonctions cosinus pour N = 5. On

observe une progression de la complexit´ e de la base dans les directions horizontales et verticales,

qui s’explique par l’accroissement de la fr´ equence des cosinus.

1.2 Proposition d’une classification des param´ etrages de forme 15

Figure 1.8 – Base des fonctions cosinus de la DCT. La couleur verte repr´ esente une amplitude nulle, le rouge repr´ esente les amplitudes positives et le bleu repr´ esente les amplitudes n´ egatives

Il est int´ eressant de pr´ eciser que nous avons pr´ esent´ e la DCT bidimensionnelle, puisque les objets ` a d´ ecrire ´ etaient bi-param´ etr´ es, mais sa premi` ere utilisation est monodimensionnelle.

Ce type de param´ etrage rejoint les m´ ethodes de sous-structuration en dynamique des structures.

En effet, ces m´ ethodes permettent d’´ etudier le comportement d’une structure ` a travers plusieurs sous-structures. La principale diff´ erence est que la sous-structuration peut garantir des conditions de continuit´ e (libre et/ou fixe) entre les sous-structures (cf. figure 1.9). On peut imaginer d´ ecrire la forme des ´ el´ ements g´ eom´ etriques par un comportement m´ ecanique donn´ e et le param´ etrer par les

´

equations classiques de la m´ ecanique. On retrouvera ce type de d´ emarche dans des param´ etrages

orient´ es reconstruction (cf. § 1.2.3) qui, par application de contraintes m´ ecaniques ` a la structure, se

conformera ` a la forme de l’´ el´ ement g´ eom´ etrique.

16 Comment d´ ecrire la forme g´ eom´ etrique d’un produit ?

Figure 1.9 – M´ ethode de sous-structuration

En restant dans le domaine de la m´ ecanique, on trouve dans la litt´ erature des param´ etrages issus des ´ equations de la dynamique. La r´ esolution de ces ´ equations permet d’obtenir les modes naturels de vibration de la structure mod´ elis´ ee. Ainsi par une combinaison des formes particuli` eres des modes, on dispose d’un param´ etrage de la forme. Initi´ e par des travaux sur les techniques de reconnaissance d’images, notamment par l’´ equipe am´ ericaine de Pentland [Pentland, 90] puis celle de Nastar ` a l’INRIA [ Nastar et Ayache , 93], nous consid´ erons ce param´ etrage original comme un param´ etrage descriptif dans notre classification. Pour en revenir ` a l’objet de ce paragraphe, ce param´ etrage par comportement dynamique peut s’associer aux m´ ethodes de sous-structuration pour d´ efinir des caract´ eristiques locales. Nous porterons une attention particuli` ere ` a ce param´ etrage dans la suite de ce manuscrit puisqu’il est ` a l’origine des travaux qui y seront d´ evelopp´ es.

1.2.2.2 Param´ etrage global

Les param´ etrages globaux, que nous qualifions de descriptifs, reposent sur une base de des- cription. Nous verrons qu’il existe plusieurs m´ ethodes pour g´ en´ erer ces bases. Le principe est simple, il s’agit d’identifier les descripteurs ou param` etres qui caract´ erisent au mieux la forme de l’´ el´ ement g´ eom´ etrique. En r´ ealit´ e, cette op´ eration d’identification se traduit par une d´ ecomposition de la forme dans l’espace des descripteurs d´ efinis par la base. Nous nous int´ eresserons moins aux diff´ erentes m´ ethodes de d´ ecomposition qu’aux diff´ erentes bases existantes, qui ont fait l’objet d’ap- plications concr` etes. Nous avons choisi de s´ eparer les bases de description d´ efinies a priori, qui sont compl` etement d´ ecorr´ el´ ees de la forme de la g´ eom´ etrie, des bases d´ efinies a posteriori, c’est-` a-dire inh´ erentes ` a la forme de la g´ eom´ etrie.

ˆ Descripteurs d´ efinis a priori

(a) D´ ecomposition en cosinus. Ce param´ etrage est bas´ e sur la transform´ ee discr` ete en cosinus (DCT) d´ ecrite dans le paragraphe pr´ ec´ edent 1.2.2.1. Contrairement ` a son utilisation locale pour la compression d’image, les param` etres r´ esultants de la d´ ecomposition (cf. ´ equation 1.1) caract´ erisent la forme globale de l’´ el´ ement g´ eom´ etrique. Il permet d’avoir une description de la forme par une combinaison des harmoniques en cosinus. Ces harmoniques, appel´ ees commun´ ement modes, forment une base orthogonale ce qui assure l’ind´ ependance des param` etres. La transform´ ee inverse (cf.

´

equation 1.2) permet de reconstruire la forme de la g´ eom´ etrie ` a des ´ ecarts pr` es, compte tenu du nombre de modes s´ electionn´ es.

Dans la th´ ematique du tol´ erancement g´ eom´ etrique, Huang et Ceglarek proposent justement de

mod´ eliser les ´ ecarts de forme d’une pi` ece avec une m´ ethode de d´ ecomposition bas´ ee sur la DCT

[ Huang et Ceglarek , 02]. Selon les hypoth` eses de lissage, les ´ ecarts de forme mesur´ es f (x, y)

1.2 Proposition d’une classification des param´ etrages de forme 17

peuvent ˆ etre ajust´ es par le mod` ele suivant : f (x, y) = c ₀ +

I−1

X

u=1 I−1

X

v=1

c _u,v cos (uxπ) cos (vyπ) + (x, y) (1.4) o` u I repr´ esente le nombre de modes consid´ er´ es dans le mod` ele avec I < N , c u,v les coefficients de la DCT et (x, y) le r´ esidu. Ils pr´ esentent une application industrielle de ce param´ etrage sur une pi` ece emboutie. ` A partir de la mesure de la pi` ece emboutie, la d´ ecomposition par la DCT permet de calculer les coefficients associ´ es ` a chaque mode. Leur valeur permet d’estimer la pertinence de chacun dans leur interpr´ etation physique vis-` a-vis du proc´ ed´ e de fabrication.

(b) D´ ecomposition en s´ erie de Fourier. Ce param´ etrage est construit ` a partir de la Transform´ ee de Fourier Discr` ete (DFT). Le lecteur aura remarqu´ e que nous parlons de transform´ ee de Fourier discr` ete car dans la majorit´ e des cas, la transform´ ee de Fourier est appliqu´ ee ` a des objets discrets.

Plus g´ en´ erale que la transform´ ee en cosinus, la transform´ ee de Fourier permet de d´ ecomposer la forme de la g´ eom´ etrie dans une base d’harmoniques en cosinus et sinus, ce qui permet d’obtenir un spectre des amplitudes associ´ e ` a un spectre de phase. Elle est d´ efinie par l’´ equation 1.5 suivante :

F (u, v) =

N−1

X

x=0 N −1

X

y=0

f(x, y)exp

−2π ux + vy N

(1.5) L’op´ eration de transform´ ee inverse (cf. ´ equation 1.6), comme pour la DCT, reconstruit la forme de la g´ eom´ etrie.

f (x, y) = 1 T ²

N−1

X

u=0 N −1

X

v=0

F(u, v)exp

2π ux + vy N

(1.6) Lorsque l’on applique la DFT a un objet discret quelconque, par exemple la mesure d’un ´ el´ ement g´ eom´ etrique, le nombre d’harmoniques maximum, qui peut la caract´ eriser, est ´ egal au nombre de points de mesure de l’´ el´ ement. Avec un nombre d’harmoniques inf´ erieur ` a N , on obtient obligatoi- rement un filtrage de l’objet, suppl´ ementaire ` a celui d´ ej` a induit par la discr´ etisation. La quantit´ e d’informations n´ ecessaires ` a la d´ efinition de l’objet est alors r´ eduite.

Raja et Radhakrishnan appliquent justement la d´ ecomposition en s´ erie de Fourier pour analyser des mesures de profils de rugosit´ e [ Raja et Radhakrishnan , 77]. L’objet de leurs travaux est d’obtenir une bonne approximation de la mesure en r´ eduisant le nombre d’harmoniques. Pour cela, ils mettent en place un crit` ere permettant de trouver ce nombre optimal pour garantir une pr´ ecision suffisante. Leur ´ etude montre qu’en fonction du type de profils (de forme, de surface tourn´ ee ou rectifi´ ee), le nombre d’harmoniques utiles pour atteindre le mˆ eme niveau d’approximation varie fortement. Bien ´ evidemment, plus on va tendre vers la surface rectifi´ ee (d´ efauts principaux de tr` es courtes longueurs d’ondes) plus le nombre d’harmoniques doit ˆ etre important pour synth´ etiser et assurer une bonne reconstruction.

Les travaux de Chien [ Chien , 82] en 1982 puis ceux de Cho et Tu [ Cho et Tu , 01] en 2001, pro- posent des mod` eles de pr´ ediction pour param´ etrer les profils de circularit´ e des pi` eces tourn´ ees. Ils sont bas´ es sur les s´ eries de Fourier. Ces diff´ erents travaux montrent l’int´ erˆ et d’utiliser les s´ eries de Fourier pour mod´ eliser la relation entre les mouvements de la broche d’usinage et le profil de circu- larit´ e de la pi` ece. En effet, les harmoniques en cosinus et sinus sont repr´ esentatifs des ph´ enom` enes de vibrations entre l’outil de coupe et la pi` ece.

Toujours dans cet objectif de relier le proc´ ed´ e d’usinage avec la forme de la g´ eom´ etrie des pi` eces,

une ´ equipe am´ ericaine [ Henke et al., 99, Summerhays et al., 01] propose deux types de mod` eles

ou param´ etrages pour caract´ eriser la forme g´ eom´ etrique des pi` eces cylindriques. Le premier mod` ele

18 Comment d´ ecrire la forme g´ eom´ etrique d’un produit ?

est analytique et mod´ elise les d´ efauts g´ eom´ etriques radiaux par des s´ eries de Fourier alors que les d´ efauts axiaux sont mod´ elis´ es par des polynˆ omes de Chebyshev, que l’on d´ eveloppera dans la suite de ce paragraphe. Le second mod` ele utilise l’analyse en composantes principales qui permet d’ex- traire une base de formes caract´ eristiques ` a partir des donn´ ees g´ eom´ etriques mesur´ ees. On abordera dans le paragraphe suivant sur les descripteurs d´ efinis a posteriori ce type de param´ etrage. Ces travaux d´ emontrent la polyvalence du mod` ele analytique pour param´ etrer les d´ efauts des pi` eces cylindriques g´ en´ er´ es par la majorit´ e des proc´ ed´ es de fabrication. L’autre mod` ele s’av` ere plus effi- cace pour des probl` emes de discontinuit´ es sur la g´ eom´ etrie de la pi` ece, souvent produites par des op´ erations successives d’usinage.

Capello et Semeraro, de l’´ ecole polytechnique de Milan, proposent un mod` ele d’association des

´

el´ ements g´ eom´ etriques pour mettre en ´ evidence l’effet de l’´ echantillonnage, impos´ e par la me- sure, dans l’´ evaluation de la conformit´ e des sp´ ecifications g´ eom´ etriques choisies par le concep- teur. Sur un exemple de profil circulaire [ Capello et Semeraro , 99], ils montrent que les deux principaux facteurs influents sur la qualit´ e de l’association des ´ el´ ements g´ eom´ etriques sont le nombre et la position des points de mesure. Et une mauvaise association entraˆınera une mau- vaise estimation de la g´ eom´ etrie pour ´ evaluer sa conformit´ e. Pour am´ eliorer la pr´ ecision de l’as- sociation entre l’´ el´ ement g´ eom´ etrique mesur´ e et l’´ el´ ement associ´ e, ils proposent de repr´ esenter l’´ el´ ement mesur´ e par des harmoniques issues des s´ eries de Fourier. Les travaux r´ ealis´ es en 2000 dans [ Capello et Semeraro , 00] sur une g´ eom´ etrie plane, ont permis d’´ etablir une relation ana- lytique entre l’erreur d’association estim´ ee et plusieurs facteurs, tels que le nombre et la distri- bution des points de mesure, l’erreur de mesure ou encore l’erreur de position de la pi` ece sur la machine. Capello et Semeraro ´ etendent leur mod` ele ` a d’autres types de g´ eom´ etrie compatibles avec un ´ echantillonnage uniforme rectangulaire, en l’occurrence ligne et cercle pour les ´ el´ ements 2D et pour les ´ el´ ements 3D : plan, cylindre et cˆ one. Dans [ Capello et Semeraro , 01a], ils forma- lisent la th´ eorie sur ces g´ eom´ etries et d´ efinissent pour chacune les relations entre l’erreur estim´ ee et la g´ eom´ etrie associ´ ee, le plan de contrˆ ole et le proc´ ed´ e de fabrication et de mesure. Les d´ efauts g´ eom´ etriques g´ en´ er´ es par la fabrication peuvent ˆ etre dus ` a des ph´ enom` enes tel que la vibration de l’outil de coupe ou encore ` a un retour ´ elastique de la pi` ece. Dans la deuxi` eme partie de leurs tra- vaux [ Capello et Semeraro , 01b], Capello et Semeraro supposent que les d´ efauts g´ eom´ etriques d’une surface peuvent se d´ ecomposer en d´ efauts sp´ ecifiques cr´ e´ es par des ph´ enom` enes particuliers.

Ils classent alors les ph´ enom` enes ´ el´ ementaires identifi´ es pour voir dans quelle mesure les classes de ph´ enom` enes participent ` a la partie syst´ ematique et/ou al´ eatoire de l’erreur d’association estim´ ee.

La d´ ecomposition en s´ eries de Fourier fait partie des m´ ethodes de param´ etrage des formes les plus r´ epandues. La norme sur la circularit´ e [ ISO/TS-12181-1 , 03] fait r´ ef´ erence ` a des param` etres faisant intervenir les composantes harmoniques de la transform´ ee de Fourier, qui s’expriment comme une amplitude et une phase pour chaque nombre d’ondulations par tour (UPR). Les s´ eries de Fourier sont aussi ´ evoqu´ ees dans les annexes de normes concernant les strat´ egies d’extraction des ´ el´ ements g´ eom´ etriques. Pour l’´ evaluation de la rectitude, les documents normatifs [ ISO/TS-12780-2 , 03]

consid` erent que le profil extrait peut se d´ ecomposer en s´ erie de Fourier. Pour satisfaire le crit` ere de

Nyquist, il en r´ esulte une strat´ egie d’´ echantillonnage en fonction de la fr´ equence de la plus haute

harmonique consid´ er´ ee. Il en sera de mˆ eme pour la plan´ eit´ e [ ISO/TS-12781-2 , 03] et la cylindricit´ e

[ ISO/TS-12180-2 , 03].

1.2 Proposition d’une classification des param´ etrages de forme 19

(c) Harmoniques sph´ eriques. Cette autre m´ ethode de param´ etrage permet de d´ ecrire des formes complexes dans une base de description, compos´ ee d’harmoniques sph´ eriques. Comme la base des harmoniques de Fourier, cette base est orthogonale. Une surface bi-param´ etr´ ee par θ et φ peut alors se d´ evelopper sous la forme :

f (θ, φ) =

∞

X

l=0 l

X

m=−l

c ^m _l Y _l ^m (θ, φ) (1.7)

o` u c <sup>m</sup> <sub>l</sub> sont les coefficients issus de la d´ ecomposition dans la base des harmoniques sph´ eriques et Y <sub>l</sub> <sup>m</sup> (θ, φ) d´ efinissent les harmoniques sph´ eriques [ Wikip´ edia , 09]. Dans le tableau 1.4, les premi` eres expressions analytiques des harmoniques associ´ ees ` a leurs repr´ esentations sont pr´ esent´ ees.

Expression analytique Repr´ esentation ^a Y ₀ ⁰ (θ, φ) = ¹ ₂

q 1 π

Y ₁ ⁰ (θ, φ) = ¹ ₂ q 3

π cos θ

Y ₁ ¹ (θ, φ) = − ¹ ₂ q

3

2π sin θe ^φ

Y ₂ ⁰ (θ, φ) = ¹ ₄ q 5

π 3 cos ² θ − 1

Y ₂ ¹ (θ, φ) = − ¹ ₂ q

15

2π sin θ cos θe ^φ

Y ₂ ² (θ, φ) = ¹ ₄ q 15

2π sin ² θe ^2φ

Y ₃ ⁰ (θ, φ) = ¹ ₄ q 7

π 5 cos ³ θ − 3 cos θ

Y ₃ ¹ (θ, φ) = ⁻¹ ₈ q 21

π sin θ cos ² θ − 1 e ^φ

suite sur la prochaine page. . .

a. on ne repr´ esente ici que la partie r´ eelle de l’expression analytique