Corrig´ e de la s´ erie 3: Syst` emes conservatifs & dissipatifs

PHENOMENES NON-LINEAIRES ET CHAOS

Corrig´ e de la s´ erie 3: Syst` emes conservatifs & dissipatifs

Exercice 3 Formes canoniques

1.

˙ x = y

˙

y = −γy − d dx V (x) 2.

˙ ϕ = ω

˙ x = ν

˙ y = u

˙

ν = ax cos ϕ − Ax x ² + y ²

˙

u = by sin ϕ − Ay x ² + y ²

Exercice 4 Equation de Liouville

1. Pendule amorti

θ ¨ = −α θ ˙ − sin θ (1)

Soit ω = ˙ θ, alors Eq. 1 s’´ecrit comme le syst`eme θ ˙ = ω

˙

ω = −αω − sin θ

Si l’on note x = (θ, ω), ˙ x = X(x) = (ω, −αω − sin θ) d’o` u

∇ · X = ∂X ₁

∂x ₁ + ∂X ₂

∂x ₂ = ∂ω

∂θ + ∂

∂ω (−αω − sin θ) = −α

Le syst`eme est donc conservatif (resp. dissipatif ) si α = 0 (resp. α > 0).

2. Mod`ele de Lorenz

∇ · X = ∂

∂X [σ (Y − X)] + ∂

∂Y [−XZ + rX − Y ] + ∂

∂Z [XY − bZ]

= − (σ + b + 1) < 0

o` u b = 8/3 et σ > 0, parce que le mod`ele de Lorenz d´ecrit l’instabilit´e de B´enard- Rayleigh (voir excercise 3). Le syst`eme est donc dissipatif, et ce particuli`erement pour les huiles, pour lesquelles σ ∼ 40 − 130.

3. Application standard

x _n+1 = x n + y _n+1 (mod 1) = x n + y n − k

2π sin 2πx n mod 1 y n+1 = y n − k

2π sin 2πx n

Le jacobien de cette application est

∂ (x _n+1 , y _n+1 )

∂ (x n , y n )

=

det

1 − k cos 2πx n 1

−k cos 2πx n 1

= 1

Cette application est donc conservative (voir aussi les exemples dans le cours : pen- dule frapp´e, Frenkel-Kontorova, fig. 1.5, 1.6).

4. Application de H´enon x n+1 = 1 − µx ² _n + y n

y _n+1 = bx _n

Le jacobien de cette application est

∂ (x _n+1 , y _n+1 )

∂ (x n , y n )

=

det

−2µx n 1

b 0

= |b|

Ainsi, l’application est conservative si |b| = 1 et dissipative si |b| < 1. Remarquons que si b 6= 0, l’application est inversible. Lorsque b = 0 la dissipation est maximale, et l’application devient non inversible (elle est alors similaire ` a l’application logistique).

5. Application du chat d’Arnold x n+1

y _n+1

= 1 1

1 2 x n

y n

mod 1 Le jacobien de cette application est

∂ (x _n+1 , y _n+1 )

∂ (x n , y n )

=

det

1 1 1 2

= 1 L’application est donc conservative.

6. Flot hamiltonien

˙

q i = ∂H

∂p _i

˙

p i = − ∂H

∂q i

,

2

pour i = 1, . . . , n. La divergence de X est donc div X =

n

X

i=1

∂

∂q i

∂H

∂p i

+

n

X

i=1

∂

∂p i

− ∂H

∂q i

=

n

X

i=1

∂ ² H

∂q i ∂p i

− ∂ ² H

∂p i ∂q i

= 0 si H ∈ C ² ( R ²ⁿ , R ). Le syst`eme est donc conservatif ` a cause de la structure dite

”symplectique”. On ´ecrit souvent X(q, p) = J ∇H, o` u J = _−I ⁰ ₀ ^I

est appel´ee matrice symplectique.

Exercice 5 Syst` emes conservatifs et dissipatifs

Rappelons d’abord quelques propri´et´es qui interviendrons dans la d´emonstration.

1. Multiplication de d´eterminants

det AB = det A det B (2)

2. Soit B une matrice de valeurs propres λ j . On a e ^{Tr B} = e

P

i λ i = Y

i

e ^{λ i} = det e ^B .

Si B est inversible, et en posant B = ln B ⁰ , la relation pr´ec´edente devient

det B ⁰ = e ^{Tr ln B 0} . (3)

3. D´eveloppements limit´es

e ^x = 1 + x + O(x ² ) (4)

ln(1 + x) = x + O(x ² ) (5)

Proc´edons ` a la preuve. Soit M un domaine de l’espace de phase, et soit V (t) le volume de l’image de M par le flot U t . ∀x ₀ ∈ M, on a (par d´efinition du flot) que y(t) = U t (x ₀ ) est solution de ˙ x = X(x). Ainsi

V (t) = Z

U t

dx = Z

M

dx ₀ J (x ₀ , t),

o` u J est le jacobien de la transformation x → x ₀ . Ainsi V ˙ (t) =

Z

M

dx ₀ J ˙ (x ₀ , t) Comme J = det C, avec c ij = _∂x ^{∂x i}

0 j , on a J ˙ = det{ c ˙ ij }.

On a alors

˙

c ij = ∂ x ˙ i

∂x _0j = ∂X i

∂x _0j = X

k

∂x k

∂x _0j

∂X i

∂x k

= (AC) ij

3

o` u A = {a ij } avec a ij = ^∂X _∂x ⁱ

j . Noter que Tr A = X

j

∂X j

∂x j

= div X(x) (6)

On a

C ˙ t = lim

∆t → 0

C _t+∆t − C t

∆t

Donc, en laissant tomber la limite pour le moment, ˙ C = AC devient C _t+∆t = (1 + ∆tA)C _t

Ainsi

det C _t+∆t = det

(1 + ∆tA)C t

(2) = det(1 + ∆tA) det C t (3) = e Tr ln(1+∆tA) det C t (5) = e ^{Tr ∆tA} det C _t

(4) = (1 + Tr ∆tA) det C t (6) = (1 + ∆t div X(x)) det C t

Par cons´equent

det C _t+∆t − det C t

∆t = div X(x) det C t

et en appliquant la limite ∆t → 0 J ˙ = div X(x)J.

Finalement, on a V ˙ (t) =

Z

M

dx ₀ J ˙ (x ₀ , t) = Z

M

dx ₀ J (x ₀ , t) div X(x(x ₀ , t)) = Z

U t

dx div X(x)

4