DISSIPATION DE LA HOULE SOUS L’ACTION DU CISAILLEMENT INDUIT DE L’ECOULEMENT ATMOSPHERIQUE SWELL DISSIPATION BY INDUCED ATMOSPHERIC SHEAR STRESS

DISSIPATION DE LA HOULE SOUS L’ACTION DU CISAILLEMENT INDUIT DE L’ECOULEMENT

ATMOSPHERIQUE

SWELL DISSIPATION BY INDUCED ATMOSPHERIC SHEAR STRESS

M. CATHELAIN*, Y. PERIGNON*, P.E. GUILLERM*, P. FERRANT*

* ´ Ecole Centrale de Nantes

Laboratoire de recherche en Hydrodynamique, ´ Energ´ etique et Environnement Atmosph´ erique UMR CNRS 6598

[email protected]

R´ esum´ e

Cet article pr´ esente un r´ esum´ e de l’´ etude de la r´ etroaction du for¸cage par une houle id´ eale sur un ´ ecoulement atmosph´ erique au repos et le calcul du coefficient de dissipation visqueuse de l’´ ecoulement atmosph´ erique induit par cette houle. Plusieurs amplitudes de houle ont ´ et´ e test´ ees, correspondant ` a des ´ ecoulements laminaires et turbulents. Cette s´ erie de simulations a ´ et´ e r´ ealis´ ee en RANS avec un mod` ele de loi de paroi type low- Reynolds. En laminaire, le coefficient de dissipation visqueuse tend vers une expression analytique, le coefficient de Dore, calcul´ e ` a partir du travail du cisaillement moyenn´ e sur une longueur d’onde, tandis qu’en r´ egime turbulent, il surestime de 3.8 ` a 8.4% ce coefficient. Un param´ etrage de cette augmentation est exprim´ e en fonction du coefficient de Dore : pour le cas le plus turbulent, l’augmentation atteint moins de 3.5 µ Dore ce qui correspond ` a une distance caract´ eristique d’att´ enuation 1/µ de 20 000 km pour une houle oc´ eanique.

Summary

The aim of this study is to examine the properties of the viscous air-sea boundary

layer driven by an idealized swell in order to characterize the induced atmospheric flow

regime and its associated viscous dissipation over swell. A set of numerical experiments

was conducted in CFD with a RANS numerical model. Under laminar conditions, work of

shear flow is close to the analytical expression by Dore, corresponding to the mean work of

the viscous stress normalized by the power of the underlying wave under the assumption

of low steepness for the ongoing swell, whereas the transition to the full development

of turbulence shows an increase in work of the shear stress. A parametrization of this

increase is deduced in term of viscous decay coefficient computed from the average work

of the shear over a wavelength.

I – Introduction

Dans le contexte d’une exploitation croissante des ressources ´ eoliennes en domaine oc´ eanique, la description fine de la ressource et de son interaction avec des ´ etats de mer locaux va constituer une probl´ ematique essentielle. Les normes utilis´ ees pour le design d’´ eoliennes offshore sont jusqu’` a pr´ esent similaires ` a celles employ´ ees pour les ´ eoliennes terrestres. N´ eanmoins, l’´ evaluation de la ressource de vent en mer est sujette ` a deux facteurs majeurs qui ne sont pas ` a prendre en compte sur terre : la stabilit´ e/instabilit´ e verticale de l’atmosph` ere due ` a la forte capacit´ e thermique de l’oc´ ean et les effets dus aux vagues, incluant notamment la rugosit´ e dynamique de la surface oc´ eanique [8].

De nombreuses ´ etudes exp´ erimentales ont montr´ e l’influence potentielle de l’´ etat de mer sur le transport de la chaleur dans l’atmosph` ere et les flux de quantit´ es de mouvement dans la couche limite atmosph´ erique marine [12] [15]. Des campagnes en mer ont montr´ e que la houle (caract´ eris´ ee par de longues p´ eriodes et des vitesses de phase importantes) impacte le flux de quantit´ e de mouvement bien au-dessus de la couche limite de vagues (zone de l’´ ecoulement directement impact´ ee par la vague, d’extension verticale d’ordre de grandeur O(m)) [12] [13]. Lorsque la houle se propage plus rapidement que le vent, un jet de vent est observ´ e proche de la surface libre et le profil du vent n’est plus logarith- mique. On note aussi une diminution de la contrainte de cisaillement ` a la surface [14]. Ces mesures en mer fournissent des donn´ ees pouvant ˆ etre utilis´ ees dans la param´ etrisation de grandeurs telles que la traˆın´ ee de surface. Cependant l’´ ecoulement au-dessus d’une vague est difficile ` a mesurer en mer et ` a reproduire en laboratoire de par la complexit´ e de l’environnement. Diff´ erentes simulations num´ eriques ont ´ et´ e men´ ees afin d’´ etudier les effets des vagues sur le champ de vent observ´ es lors des campagnes d’observation [12][13].

Sullivan et al. [19] utilisent des simulations directes (DNS) qui ont pour objectif l’´ etude de la structure turbulente et des bilans d’´ energie cin´ etique au-dessus de vagues id´ ealis´ ees.

Par la suite, Sullivan [17] a d´ evelopp´ e un mod` ele LES (Large-Eddy Simulation ) pour une vague 2D sinuso¨ıdale et a identifi´ e des r´ eponses d’´ ecoulement pour trois cas : vent oppos´ e ` a la houle, vent suivant la houle et vent au-dessus d’une houle stationnaire. Un mod` ele similaire a ´ et´ e d´ evelopp´ e en 2010 [18] pour tenir compte d’un spectre de vagues.

Les r´ esultats sont concordants avec les ´ etudes r´ ealis´ ees en 2000 et 2008 pour des vagues monochromatiques ainsi qu’avec les campagnes CBLAST [17]. Il semblerait cependant que l’influence de la houle sur le vent soit sensible ` a la composition du spectre de vagues.

Jenkins et al. [6] ont conclu que l’impact de la houle n’est pas insignifiant et que celle-ci devrait ˆ etre prise en compte dans le d´ eveloppement de mod` eles coupl´ es atmosph` ere-oc´ ean.

L’´ etude pr´ esent´ ee ici s’inscrit dans le cadre d’un travail de th` ese dont l’objectif est

l’´ etude de l’influence coupl´ ee du vent sur les vagues. La mod´ elisation du couplage dy-

namique de syst` emes atmosph` ere-oc´ ean n´ ecessite une compr´ ehension fondamentale et

quantitative du m´ ecanisme d’interaction vent-vague qui demeure complexe malgr´ e les

nombreuses ´ etudes r´ ealis´ ees. Le but est, ` a terme, de d´ evelopper un mod` ele de simulation

d´ eterministe du couplage ´ ecoulement atmosph´ erique - ´ etat de mer ce qui permettra de

fournir un outil permettant d’´ evaluer au mieux les conditions d’environnement (dont la

ressource, le for¸cage...). Le travail pr´ esent´ e ici constitue une premi` ere phase de ce pro-

jet. Il a pour but d’´ etudier les effets observ´ es des vagues sur l’´ ecoulement atmosph´ erique

via une mod´ elisation num´ erique et de calculer le coefficient de dissipation visqueuse de

l’´ ecoulement atmosph´ erique induit par la houle. Mieux connaˆıtre les ph´ enom` enes de dis-

sipation atmosph´ erique li´ ee ` a la propagation de la houle permettrait une am´ elioration des

mod` eles de pr´ ediction de houle ne prenant pas en compte la dissipation. En effet, dans le cas de tempˆ etes classiques, ces mod` eles surestiment actuellement de 20% les hauteurs significatives des vagues dans un rayon de plus de 4 000 km du centre de la tempˆ ete [2].

Une houle id´ ealis´ ee en pr´ esence d’un vent constant et en grande profondeur est soumise

`

a un ´ equilibre entre l’´ energie inject´ ee par le vent et les pertes par dissipation : on ob- serve alors un transfert constant d’´ energie sur de tr` es grandes distances. Des observations de la houle par satellite (mesures SAR par l’IFREMER, Ardhuin et al. [1]) ont montr´ e qu’une importante perte ´ energ´ etique avait lieu, notamment pour les houles cambr´ ees. Les mod` eles de propagation de houle prennent en compte les ´ echanges ´ energ´ etiques tels que : l’apport du vent et d’autres facteurs favorisant la formation des vagues, la contribution des effets non lin´ eaires et les pertes li´ ees ` a la dissipation. De nombreux processus restent

`

a ˆ etre identifi´ es et leur influence dans la fermeture du bilan d’´ energie ` a ˆ etre quantifi´ ee, par exemple l’interaction de la houle avec la turbulence oc´ eanique [11] ou avec le couplage de l’atmosph` ere [5].

L’objet du travail pr´ esent´ e dans cet article concerne l’´ etude du processus li´ e au cou- plage houle-atmosph` ere. On n´ eglige ici toute interaction entre un ´ ecoulement induit par la houle et un ´ ecoulement atmosph´ erique (on ne prend pas en compte de vent moyen).

La r´ etroaction de la contrainte de cisaillement atmosph´ erique induite par la houle est mal quantifi´ ee, notamment lorsque la vitesse orbitale et le d´ eplacement d’une particule dans l’eau am` enent l’´ ecoulement ` a un seuil de turbulence [2]. La caract´ erisation de ce r´ egime turbulent et de l’amplitude de la dissipation induite sur la houle reste une ques- tion majeure ` a traiter. Lorsqu’on n´ eglige la courbure de la surface, on se rapproche des r´ esultats connus pour une couche limite oscillante sur un fond fixe [4]. La struc- ture d´ etaill´ ee de l’´ ecoulement proche de la surface d’une vague est n´ eanmoins difficile ` a obtenir ` a cause de la complexit´ e de l’environnement et l’ensemble des param` etres environ- nementaux n’est pas ou peu connu. En effet, la couche limite atmosph´ erique d’´ epaisseur caract´ eristique δ = ^q 2ν/ω ≡ O(10 ⁻³ m) a besoin d’ˆ etre ´ etudi´ ee le long d’une longueur d’onde O(100m) sur une hauteur de d´ eplacement vertical correspondant ` a une ampli- tude O(1m). Pour ´ etudier la dynamique laminaire ` a turbulente de cette couche limite, des simulations num´ eriques ont ´ et´ e men´ ees avec STAR-CCM+, un logiciel de simulation s’appuyant sur une r´ esolution de type CFD (Computational Fluid Dynamics) et traitant des probl` emes gouvern´ es entre autres par les ´ equations de Navier-Stokes. L’´ evolution du cisaillement est examin´ ee pour une large gamme de conditions de houle et l’augmentation due ` a la turbulence des termes de travail pari´ etal et du taux de dissipation associ´ e est quantifi´ ee.

La partie II d´ etaille le cadre g´ en´ eral du probl` eme et rappelle la solution analytique sous l’hypoth` ese de faible cambrure de la houle [3]. La partie III d´ ecrit la configuration des s´ eries de simulations num´ eriques et le mod` ele impl´ ement´ e pour l’interface air-mer en CFD. La partie IV-1 pr´ esente les r´ esultats de ces simulations num´ eriques sous des conditions de houle stationnaire. Dans la partie IV-2, les taux de dissipation associ´ es sont

´

evalu´ es et leur ´ evolution sous la contrainte de cisaillement turbulent est quantifi´ ee. Une

param´ etrisation du taux de dissipation en fonction du nombre de Reynolds caract´ eristique

est propos´ ee. La partie V pr´ esente la discussion finale et les conclusions de ce travail.

II – Solution th´ eorique pour les faibles amplitudes

Lorsqu’on ´ etudie le probl` eme d’une houle se propageant dans une couche atmosph´ erique visqueuse au repos, on peut consid´ erer la couche oc´ eanique comme un for¸cage fort sur la couche atmosph´ erique et l’´ ecoulement atmosph´ erique comme un for¸cage faible sur la surface libre. On propose ici une ´ etude de l’´ ecoulement atmosph´ erique cisaill´ e afin d’en d´ eduire la r´ etroaction du for¸cage de grande ´ echelle sur une houle id´ eale. Pour des raisons de simplicit´ e, la houle sera consid´ er´ ee unidirectionnelle et monochromatique. Une premi` ere caract´ erisation de l’´ ecoulement peut ˆ etre r´ ealis´ ee en n´ egligeant la courbure de la surface [2]. On retrouve un nombre de Reynolds caract´ eristique pour l’´ ecoulement atmosph´ erique bas´ e sur la vitesse double et le d´ eplacement double par analogie avec les probl` emes de couche limite oscillante sur plaque plane :

Re = 4u _orb a _orb

ν . (1)

Pour des vagues de profil lin´ eaire en profondeur infinie, on consid` ere la solution de l’´ equation d’Euler η(~ x, t) = a cos(~k~x − ωt) et la vitesse horizontale sous la surface libre est u − (~ x, t) = ωa cos(~k~x − ωt) avec ω = 2π/T la pulsation. u <sub>orb</sub> et a <sub>orb</sub> correspondent respectivement ` a l’amplitude de la vitesse de surface u − et du d´ eplacement η.

L’´ ecoulement est suppos´ e ˆ etre turbulent au-dessus de Re ≈ 10 ⁵ [7] et la contrainte de cisaillement atmosph´ erique ` a la surface libre est alors suppos´ ee d´ evier de la solution analytique laminaire de Dore [3]. La solution laminaire peut s’´ ecrire comme la somme d’un

´

ecoulement potentiel et d’une sous-couche visqueuse permettant de connecter les profils de vitesses ` a travers les deux milieux. La couche visqueuse dans l’eau peut ˆ etre n´ eglig´ ee

`

a cause de l’inertie plus grande de l’eau et de l’ordre de grandeur des grandes longueurs d’onde consid´ er´ ees ici. La solution d’Euler pour le profil de la vitesse atmosph´ erique v´ erifie la mˆ eme solution de l’´ ecoulement potentiel que dans la couche oc´ eanique, avec un raccordement de la couche oc´ eanique par une couche limite visqueuse tel que :

u ₊ (~ x, z, t) = −ωae ^−k(z−η) cos(~k~x − ωt) + 2ωae ^−z

cos(~k~x − ωt − z ⁺ ) (2) avec z ⁺ = (z − η)/ ^q 2ν/ω.

Un tel profil est lin´ eairement d´ efini en n´ egligeant l’´ el´ evation de surface. Le fait d’utiliser ici la distance ` a la surface libre (z − η au lieu de z) fournit une premi` ere estimation du profil.

Le travail moyen de la contrainte visqueuse W _v sous des conditions laminaires : W _v =

*

ρ _a νu ₊ (z = η) ∂u ₊

∂z | _z=η

+

(3) normalis´ e par la puissance lin´ eique de la vague donne le coefficient de dissipation vis- queuse :

µ = − W _v

C _g ρ _w ga ² /2 . (4)

On retrouve l’expression analytique de ce coefficient, corrigeant d’un facteur 2 l’´ equation A8 de Collard et al. [2] et l’´ equation 5 de Ardhuin et al. [1] :

µ _Dore = − ω ² gC _g

ρ _a ρ _w

√ 2νω. (5)

En ´ etudiant num´ eriquement l’´ ecoulement atmosph´ erique turbulent, on s’attend ` a une asymptote bas Reynolds, sous r´ eserve que la cambrure et le nombre de Reynolds ca- ract´ eristique respectent les hypoth` eses ci-dessus. Cependant, puisque les conditions de houle oc´ eanique exc` edent souvent le seuil turbulent de Reynolds th´ eorique, la caract´ erisa- tion du coefficient de dissipation pour une large gamme de r´ egimes d’´ ecoulements reste ` a faire.

III – Mod´ elisation num´ erique

III – 1 G´ eom´ etrie

Un des enjeux de la mod´ elisation num´ erique de la contrainte de cisaillement at- mosph´ erique au-dessus des vagues est la repr´ esentation d´ etaill´ ee de l’´ ecoulement dans le voisinage de la surface libre en mouvement. Dans un r´ ef´ erentiel absolu, le d´ eplacement de la surface libre requerrait un processus de remaillage qui serait tr` es coˆ uteux en ressources et en pr´ ecision. Dans le cas de la houle et plus particuli` erement une houle unidirection- nelle et monochromatique, la mod´ elisation de l’´ ecoulement est plus facile. Si l’´ ecoulement est r´ esolu dans le r´ ef´ erentiel li´ e au d´ eplacement de la crˆ ete de la houle (c’est-` a-dire un r´ ef´ erentiel ´ evoluant ` a la vitesse de phase de la houle monochromatique par rapport au r´ ef´ erentiel absolu), beaucoup de logiciels commerciaux de CFD sont capables de mener de telles simulations num´ eriques. Ici, l’´ etude est r´ ealis´ ee avec le logiciel STAR-CCM+. Le mouvement du r´ ef´ erentiel relatif est en translation lin´ eaire dans la direction ~ x ` a la vitesse U ~ <sub>ref</sub> = C ~ <sub>φ</sub> et la phase de l’´ el´ evation de surface libre est r´ eduite, dans ce r´ ef´ erentiel, ` a une fonction d’espace v´ erifiant ~k~x − ωt = ~k(~ x _ref + C ~ _φ t) − ωt = ~k~x _ref . Sous l’hypoth` ese d’un for¸cage fort de l’oc´ ean sur la couche limite atmosph´ erique et d’une r´ etroaction faible dans l’autre sens, on peut choisir de restreindre le domaine fluide ` a celui de l’atmosph` ere, avec une condition limite appropri´ ee en accord avec le for¸cage oc´ eanique et le mouvement du r´ ef´ erentiel attach´ e ` a la crˆ ete (Fig. 1).

L’´ el´ evation de surface libre est p´ eriodique dans la direction ~ x. Nos simulations num´ eri- ques sont r´ ealis´ ees dans un domaine de longueur λ de l’ordre de 100 m. L’extension transversale est choisie ´ egale ` a λ/16 pour des raisons pratiques. Une ´ etude de sensibilit´ e n’a montr´ e aucune influence de la taille de cette extension transversale et la largeur retenue permet la r´ ealisation de plusieurs simulations du mˆ eme ´ ecoulement en r´ egime turbulent, avec une taille raisonnable de maillage pour les plus grandes longueurs d’onde.

L’extension verticale moyenne du domaine est impos´ ee ` a H = λ/4 avec une fronti` ere sup´ erieure v´ erifiant une fermeture des lignes de courant attendue par la th´ eorie potentielle lin´ eaire :

H(x _ref ) = H + η(x _ref )e ^−kH . (6) Une condition cin´ ematique de type mur est impos´ ee sur les fronti` eres inf´ erieure et sup´ erieure, v´ erifiant la condition de vitesse orbitale de for¸cage u ~ − = u − ~ x + w − ~ z au fond et la solu- tion potentielle u ~ + (z = H) en haut. Les fronti` eres transversales du domaine sont d´ efinies comme des conditions limites de sym´ etrie (soit la d´ eriv´ ee normale d’une quantit´ e nulle ` a cette fronti` ere).

Dans l’air, une condition initiale de repos dans le r´ ef´ erentiel absolu est facilement

transposable dans le r´ ef´ erentiel relatif avec une vitesse initiale et homog` ene de − U ~ _ref

associ´ ee ` a la condition de d´ ebit massique d’entr´ ee au niveau de la fronti` ere en amont. Une

condition de p´ eriodicit´ e est impos´ ee sur les deux fronti` eres amont et aval. Le maximum

Figure 1 – (a) Champ de vitesse absolue et lignes de courant de la section centrale du domaine atmosph´ erique, associ´ es au vecteur vitesse ` a la crˆ ete pour Re = 12 x 10 <sup>5</sup> et T = 10 s. (b) Vue d´ etaill´ ee du vecteur vitesse dans le voisinage de la surface libre ` a la crˆ ete de l’´ el´ evation de surface libre est situ´ e au centre du domaine fluide le long de l’axe ~ x et nous avons choisi une vague se propageant selon la direction −~ x afin de consid´ erer une entr´ ee de masse positive au niveau du cˆ ot´ e gauche du domaine ( en x = −λ/2).

III – 2 Solveur

La strat´ egie de mod´ elisation et le choix de la fermeture turbulente sont li´ es ` a la nature de l’´ ecoulement ´ etudi´ e ici. Pour ce cas sp´ ecifique d’´ ecoulement cisaill´ e visqueux, une ap- proche Reynolds-Averaged Navier-Stokes (RANS) semble appropri´ ee ` a la mod´ elisation de la r´ egion proche paroi avec des coˆ uts raisonnables. De plus, dans le r´ ef´ erentiel relatif d´ ecrit pr´ ec´ edemment, l’´ ecoulement moyen est suppos´ e atteindre un ´ etat stationnaire ce qui per- met l’utilisation de simulations RANS stationnaires. Pour une mod´ elisation ad´ equate du cisaillement dans la r´ egion de proche paroi, un mod` ele de fermeture de type Low-Reynolds K-Epsilon est retenu parmi d’autres mod` eles. La r´ egion fluide est mod´ elis´ ee comme un composant unique de gaz id´ eal dont la densit´ e et la viscosit´ e cin´ ematique sont choisies telles que ρ _a = 1.18 kg.m ⁻³ et ν _a = 1.57 × 10 ⁻⁵ m ² .s ⁻¹ . La sous-couche visqueuse a besoin d’ˆ etre proprement ´ etablie pour nos simulations num´ eriques et donc un traitement de mur de type low-y+ est utilis´ e. Le maillage est form´ e d’une grille de poly` edres dans le domaine fluide et d’un raffinement par une couche prismatique dans le voisinage des parois (cf Fig.

2). La distance adimensionnelle au mur y+ = ^yu _ν

a

(u _∗ ´ etant la vitesse de r´ ef´ erence relative

`

a la contrainte pari´ etale de cisaillement) est utilis´ ee comme un crit` ere a posteriori pour

la validation du raffinement du maillage (y ⁺ ≈ 1).

Figure 2 – Maillage g´ en´ eral et maillage de la r´ egion proche paroi

IV – Simulation de l’interface air-mer

IV – 1 Domaine homog` ene

Une s´ erie de simulations est r´ ealis´ ee afin d’´ evaluer les propri´ et´ es de l’´ ecoulement dans un domaine de type infiniment homog` ene [10]. Les fronti` eres amont et aval du domaine de longueur 1λ sont connect´ ees par une interface p´ eriodique. On d´ efinit une s´ erie de 36 simulations num´ eriques pour des valeurs de T dans une plage de 10 ` a 17.5 s et de Reynolds dans une plage de 5 × 10 <sup>4</sup> ` a 1.2 × 10 ⁶ pour une caract´ erisation du comportement de l’´ ecoulement.

Pour un nombre de Reynolds donn´ e (Re = 5 × 10 ⁴ , 5 × 10 ⁵ et 12 × 10 ⁵ (Tableau 1)), la cambrure de la couche limite inf´ erieure va varier en fonction de la longueur d’onde.

Par cons´ equent, l’ensemble des simulations fournira une estimation de la caract´ erisation

de l’´ ecoulement par le nombre de Reynolds pr´ ec´ edemment d´ efini. Les simulations RANS

stationnaires ont r´ ealis´ e jusqu’` a 1000 it´ erations et la convergence des simulations a ´ et´ e

v´ erifi´ ee a posteriori en consid´ erant les r´ esidus. La taille de base des cellules de la grille

d´ estructur´ ee est choisie ` a 1 m ce qui v´ erifie le test de convergence en maillage. Les pro-

pri´ et´ es de la couche prismatique sont choisies de mani` ere ` a v´ erifier y ⁺ < 1 pour des grands

Reynolds.

Comme dans la caract´ erisation de l’´ ecoulement oscillant sur plaque plane de Jensen et al. [7], la contrainte pari´ etale de cisaillement le long de la longueur d’onde (ou d’une p´ eriode oscillante dans [7]) montre une transition laminaire-turbulente de l’´ ecoulement cisaill´ e. La r´ egion proche paroi est suppos´ ee ˆ etre la partie de l’´ ecoulement qui montre la plus grande d´ ependance en Reynolds. La contrainte pari´ etale de cisaillement et son travail associ´ e au-dessus d’une surface libre en mouvement sont en effet des quantit´ es sensibles pour ´ etudier la caract´ erisation de l’´ ecoulement. En normalisant le travail de la contrainte totale de cisaillement par l’amplitude caract´ eristique de l’expression de Dore pour la contrainte horizontale de cisaillement (a ² ω ² √

ω) que l’on trace selon la direction

~

x relative ` a la longueur d’onde, on retrouve la scalabilit´ e pour n’importe quel nombre de Reynolds (Fig. 3).

Figure 3 – Evolution du travail normalis´ e de la contrainte de cisaillement ` a la paroi en fonction de la position le long d’une longueur d’onde, d’un cas laminaire ` a un cas pleinement turbulent pour 4 p´ eriodes de vagues (lignes color´ ees). La solution laminaire analytique est trac´ ee en noir.

Alors que les simulations pour Re = 5 × 10 ⁴ et Re = 10 ⁵ montrent une bonne concor-

dance avec l’expression analytique de Dore, la transition vers la turbulence observ´ ee ` a

Re = 2 × 10 ⁵ montre une forte diff´ erence par rapport ` a la solution laminaire sur deux quarts de longueur d’onde [10]. Cela est en effet en accord avec les observations de Jen- sen et al. [7] ainsi que les simulations DNS de Spalart et Baldwin [16] pour lesquels la transition d´ emarre entre Re = 1.6 × 10 <sup>5</sup> et Re = 2.9 × 10 <sup>5</sup> pour la plaque plane oscil- lante. L’initiation de la turbulence apparaˆıt en aval du maximum de la vitesse orbitale horizontale et influence le travail de cisaillement jusqu’` a l’endroit o` u la vitesse orbitale change de signe. Quand Re augmente, l’initiation du comportement turbulent se d´ ecale en amont. Le passage du r´ egime de transition vers un r´ egime pleinement turbulent semble ˆ

etre atteint pour des ´ ecoulements ` a Re ≈ 10 <sup>6</sup> . Ces graphiques adimensionn´ es montrent aussi l’influence ` a bas ordre de la cambrure en fonction des propri´ et´ es du cisaillement tur- bulent. Pour un Reynolds donn´ e, et pour les diff´ erentes cambrures pour chaque longueur d’onde, l’´ ecart du travail de cisaillement reste n´ egligeable entre les diff´ erentes longueurs d’onde. L’influence de la longueur du domaine dans de telles conditions p´ eriodiques est a posteriori v´ erifi´ ee en comparant ` a des domaines plus longs. Les r´ esultats en terme de travail de cisaillement montrent une sensibilit´ e vraiment faible par rapport ` a la longueur du domaine p´ eriodique.

IV – 2 Param´ etrisation des taux de dissipation pour les r´ egimes turbulents Le travail de la contrainte pari´ etale de cisaillement est moyenn´ e sur la longueur du domaine de calcul (1λ) et normalis´ e par l’´ energie de la vague :

W _v = h~ u − · ~ τ _v i . (7)

On retrouve ` a partir des pr´ ec´ edentes simulations RANS une estimation des coefficients de dissipation visqueuse. Leur intensit´ e est trac´ ee dans Fig. 4 en fonction des valeurs de Reynolds pour les diff´ erents cas test pr´ esent´ es plus tˆ ot.

Les deux cas laminaires (Re = 5 × 10 ⁴ et Re = 10 ⁵ ) mettent en avant les commentaires pr´ ec´ edents sur le travail de la contrainte de cisaillement. L’´ ecart des coefficients de dis- sipation en RANS par rapport aux coefficients de Dore montre une l´ eg` ere surestimation comprise entre 3.8% et 8.4% pour ces deux cas laminaires [10]. A partir des simulations de transition turbulente jusqu’aux simulations pleinement turbulentes, les coefficients de dissipation calcul´ es s’´ ecartent comme on s’y attendait de l’asymptote laminaire ` a bas Reynolds. L’augmentation en terme de ratio par rapport au coefficient visqueux de Dore est quantifi´ ee ici. Le graphique des coefficients de dissipation adimensionn´ es en fonction du Reynolds (Fig. 4) met l’accent sur l’accord relativement correct entre les diff´ erentes p´ eriodes de vague. Mˆ eme si Ardhuin et al [1] ont suppos´ e que le cisaillement turbulent seul pouvait donner une dissipation de houle de l’ordre de 56µ _Dore , les contraintes de cisaillement calcul´ ees ici montrent une dissipation de seulement 3.5µ _Dore . Une r´ egression polynomiale fournit une param´ etrisation pour les quatre p´ eriodes de vagues [10]. Le taux de dissipation peut ˆ etre approxim´ e sous la forme :

µ =







µ _Dore , Re ≤ 1.5 × 10 ⁵ 1.42µ _{Dore 1.5×10} ^Re

0.41

, Re > 1.5 × 10 ⁵ . (8)

En supposant que les hypoth` eses consid´ er´ ees dans cette ´ etude sont des conditions

oc´ eaniques et atmosph´ eriques valides, il est clair que la dissipation li´ ee ` a la contrainte de

cisaillement turbulente n’est pas le seul m´ ecanisme responsable dans les taux de dissipa-

tion observ´ es par Ardhuin et al. [1].

Figure 4 – Evolution du coefficient de dissipation visqueuse adimensionn´ e en fonction du nombre de Reynolds compar´ e au coefficient laminaire analytique (marqueurs). Une interpolation est r´ ealis´ ee pour les 4 cas de p´ eriodes de vague (lignes).

La description d’un ´ ecoulement d’air pleinement r´ ealiste au-dessus d’une houle, en incluant le couplage entre l’´ ecoulement turbulent cisaill´ e proche de la paroi et une cir- culation atmosph´ erique ne fait pas partie du cadre de cet article. En effet, mˆ eme des conditions de faible vent incluent un m´ ecanisme de couplage entre le cisaillement induit par la vague et le cisaillement du vent qui requiert une analyse plus d´ etaill´ ee en terme de mod´ elisation num´ erique et une extension th´ eorique de Kudryavtsev et Makin [9]. Ce- pendant, la mˆ eme configuration num´ erique peut ˆ etre l´ eg` erement modifi´ ee pour prendre en compte la sensibilit´ e de quelques-unes de nos hypoth` eses.

V – Discussion et conclusions

La r´ etroaction de la couche visqueuse atmosph´ erique cisaill´ ee, forc´ ee par une houle lin´ eaire unidirectionnelle et monochromatique, a ´ et´ e simul´ ee ` a l’aide d’un mod` ele num´ erique de type RANS. Consid´ erant un domaine p´ eriodique selon la direction de propagation de la vague, les propri´ et´ es de l’´ ecoulement sous des conditions stationnaires ont ´ et´ e ´ etudi´ ees.

Une s´ erie de simulations num´ eriques a ´ et´ e men´ ee pour une fourchette usuelle de p´ eriodes

et d’amplitudes de houle caract´ eristiques. On y retrouve la d´ ependance de l’´ ecoulement at-

mosph´ erique au nombre de Reynolds comme pour le probl` eme de couche limite oscillante

sur plaque plane. Tandis que le travail de l’´ ecoulement cisaill´ e calcul´ e sous des conditions

laminaires montre un ´ ecart faible par rapport ` a l’expression analytique de Dore, on re-

trouve, ` a partir d’un Reynolds critique (10 ⁵ < Re < 2 × 10 ⁵ ), un ´ etat de transition vers

un d´ eveloppement pleinement turbulent de la couche limite visqueuse cisaill´ ee. La s´ erie de

simulations num´ eriques permet de quantifier de fa¸con coh´ erente l’augmentation du tra- vail quand la turbulence se d´ eveloppe au-dessus d’une fraction croissante de la longueur d’onde. Un param´ etrage de cette augmentation est exprim´ e en fonction du coefficient de dissipation visqueuse calcul´ e ` a partir du travail du cisaillement moyenn´ e sur une longueur d’onde. Pour le cas le plus turbulent, l’augmentation atteint moins de 3.5µ <sub>Dore</sub> ce qui correspond ` a une distance caract´ eristique d’att´ enuation 1/µ de l’ordre de 20 000 km pour une houle oc´ eanique. Ardhuin et al. [1] ont d´ etermin´ e ` a partir de leurs observations des dissipations de pr` es de 56µ _Dore . Nos calculs ne montrent pas de telles valeurs de dissipa- tion mais nous avons n´ eglig´ e l’effet du vent moyen ainsi que les effets thermiques et nous avons travaill´ e avec une surface non rugueuse de la mer et des vagues p´ eriodiques. Nous n’avons pas non plus analys´ e le travail de la contrainte de pression. En effet, le moindre d´ ephasage par rapport ` a la th´ eorie potentielle influencerait fortement le travail li´ e ` a la contrainte de pression. Ce travail n’est pas aussi facilement capt´ e que le travail de la contrainte de cisaillement et notre configuration p´ eriodique n’est pas capable de fournir une estimation quantitative correcte de ce m´ ecanisme.

D’autres m´ ecanismes mettant en jeu la dissipation de la houle restent ` a ˆ etre ´ etudi´ es ` a cette date. La prise en compte d’une circulation atmosph´ erique propre et de son influence exacte sur la houle reste un enjeu pour les outils de simulation num´ erique. Pour l’instant, la formulation de l’augmentation de la contrainte de cisaillement turbulente propos´ ee ici ne permettra pas par elle seule d’´ etablir un terme source propre li´ e ` a la dissipation de la houle pour des mod` eles de vague op´ erationnels, mais on esp` ere aider ` a clarifier l’amplitude des diff´ erents m´ ecanismes de dissipation dans le bilan de l’´ energie de la houle.

L’´ etape suivante de ce travail de th` ese est la validation de ces r´ esultats sous ICARE, logiciel CFD d´ evelopp´ e au LHEEA, r´ esolvant les ´ equations de Navier-Stokes pour un

´

ecoulement de fluide r´ eel ` a surface libre autour de structures en mouvement instationnaire.

ICARE utilise une m´ ethode coupl´ ee en vitesses-pression-´ el´ evation de surface libre pour la r´ esolution des ´ equations de Navier-Stokes. Cette m´ ethode repose sur une discr´ etisation implicite au second ordre par diff´ erences finies. Les ´ equations tridimensionnelles sont

´

ecrites sous forme convective dans un syst` eme de coordonn´ ees curvilignes ´ evoluant au cours du temps et permettant de tenir compte du caract` ere instationnaire de l’une des fronti` eres du domaine. Le code a ´ et´ e adapt´ e en a´ erodynamique et il permet de r´ esoudre actuellement un ´ ecoulement atmosph´ erique stationnaire au-dessus d’une vague sinuso¨ıdale p´ eriodique qui constitue la fronti` ere inf´ erieure du domaine d’´ etude. L’objectif sera ` a terme d’introduire un mod` ele de turbulence LES et un couplage avec un mod` ele HOS, code non lin´ eaire de propagation d’´ etats de mer.

R´ ef´ erences

[1] F. Ardhuin, B. Chapron, and F. Collard. Observation of swell dissipation across oceans. Geophysical Research Letters, 36, 2009.

[2] F. Collard, F. Ardhuin, and B. Chapron. Routine monitoring and analysis of ocean swell fields using a spaceborn SAR. Journal of Geophysical Research, 114 (C7), 2009.

[3] B. Dore. Some effects of the air-water interface on gravity waves. Geophysical and Astrophysical Fluid Dynamics, 10 :215–230, 1978.

[4] M. Gundogdu and M. Carpinlioglu. Present state of art on pulsatile flow theory.

JSME Int. J., 42 (3) :398–410, 1999.

[5] D. Harris. The wave-driven wind. Journal of Atmospheric Sciences, 23 :688–693, 1966.

[6] A. Jenkins, M. Paskyabi, I. Fer, A. Gupta, and M. Adakudlu. Modelling the ef- fect of ocean waves on the atmospheric and ocean boundary layers. In DeepWind, Trondheim, Norway, 19-20 January 2012.

[7] B. Jensen, B. Sumer, and J. Fredsoe. Turbulent oscillatory boundary layer at high Reynolds numbers. Journal of Fluid Mechanics, 206 :265–297, 1989.

[8] S. Kalvig, O. Gudmestad, and N. Winther. Exploring the gap between ”best know- ledge” and ”best practice” in boundary layer meteorology for offshore wind energy.

In Wind energy, volume 17, pages 161–171, 2014.

[9] V. Kudryavtsev and V. Makin. Impact of swell on the marine atmospheric boundary layer. Journal of Physical Oceanography, 34 :934–949, 2004.

[10] Y. Perignon, F. Ardhuin, M. Cathelain, and M. Robert. Swell dissipation by induced atmospheric shear stress. Journal of Geophysical Research, 119, 2014.

[11] O. Phillips. A note on the turbulence generated by gravity waves. Journal of Geo- physical Research, 66 (9) :2889–2893, 1961.

[12] A. Rutgersson, A.-S. Smedman, and U. H¨ ogstr¨ om. Use of conventional stability parameters during swell. Journal of Geophysical Research, 106 (C11) :27117–27134, 2001.

[13] A. Semedo, O. Saetra, A. Rutgersson, K. Kahma, and H. Pettersson. Wave-induced wind in the marine boundary layer. Journal of Atmsopheric Sciences, 66 :2256–2271, 2009.

[14] A. Smedman, U. H¨ ogstr¨ om, H. Bergstr¨ om, A. Rutgersson, K. K. Kahma, and H. Pet- tersson. A case study of air-sea interaction during swell conditions. Journal of Geo- physical Research : Oceans, 104(C11) :25833–25851, 1999.

[15] A.-S. Smedman, M. Tjernstr¨ om, and U. H¨ ogstr¨ om. The near-neutral marine atmos- pheric boundary layer with no surface shearing stress : a case study. Journal of Atmsopheric Sciences, 51 :3399–3411, 1994.

[16] P. Spalart and B. Baldwin. Direct simulation of a turbulent oscillating boundary layer. Turbulent shear flows, 6 :417–440, 1989.

[17] P. Sullivan, J. Edson, T. Hristov, and J. McWilliams. Large-eddy simulations and observations of atmospheric marine boundary layers above nonequilibrium surface waves. Journal of Atmospheric Sciences, 65 :1225–1245, 2008.

[18] P. Sullivan, J. McWilliam, and T. Hristov. Large-eddy simulation of high wind marine boundary layers above a spectrum of resolved moving waves. In 19th Conference on Boundary Layer and Turbulence, 2010.

[19] P. Sullivan, J. McWilliams, and C. Moeng. Simulation of turbulent flow over idealized

water waves. Journal of Fluid Mechanics, 404 :47–85, 2000.