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Mines Maths 1 PSI 2002 — Corrigé
Ce corrigé est proposé par Vincent Puyhaubert (ENS Cachan) ; il a été relu par David Lecomte (ENS Cachan) et Walter Appel (professeur en CPGE).
Ce sujet comporte un seul problème décomposé en trois parties. Hormis la toute dernière question, qui utilise tous les résultats précédents, les parties sont indépen- dantes les unes des autres.
• La première partie traite de séries entières. On définit une suite(un)n∈Nà partir d’une fonction f et on s’applique à rechercher le rayon de convergence de la série entière de terme généralunxn. Plusieurs cas, traités en détail, permettent de se rafraîchir les idées sur les séries entières.
• La deuxième partie fait intervenir les séries de Fourier pour obtenir des identi- tés permettant de calculer la limite de la suite(un)n∈Ndans un cas particulier.
Cette partie est surtout calculatoire ; sa seule difficulté réside dans la justifica- tion de l’interversion d’une somme et d’une intégrale (par exemple en montrant une convergence normale).
• La dernière partie introduit la fonction Γ. C’est une intégrale à paramètre très classique mais non moins difficile à étudier. La première question, très technique, ne doit pas rebuter le candidat : la suite fait essentiellement appel au calcul intégral et ne présente pas de difficulté majeure. Le résultat final mérite que l’on s’intéresse à cette partie, quitte à admettre au besoin le résultat de sa première question.
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c Éditions H&K Publié dans lesAnnales des Concours 2/15 Indications
Première partie
I.1.a Donner l’expression deun pour tout entier natureln. En déduire le rayon de convergence de la série entière à l’aide des règles de d’Alembert.
I.1.b Se servir à nouveau des règles de d’Alembert.
I.2.a Utiliser la continuité def en0pour déterminer le signe deun+1/unquandn tend vers l’infini.
I.2.b Invoquer de même la continuité defpour minorer ou majorerun+1/unquand ntend vers l’infini.
I.3 Montrer quewn =
n→+∞O 1
n2
.
I.4.a Utiliser le critère de Riemann pour les séries de terme général 1
nα et le critère des séries alternées.
I.4.b Pour deviner la fonction F, comparer cette situation avec le troisième cas de la question I.1.a.
Deuxième partie
II.1.a Utiliser les développements limités des fonctions sinus et cosinus. Pour le calcul de l’intégrale, chercher une primitive deg. Faire attention à ce qui se passe en0.
II.1.b Pour trouver la relation, prendre la valeur de la série de Fourier en 0.
II.1.c Intégrer l’expression deg, sous la forme d’une série, entre 0 et αet justifier la possibilité d’inverser l’intégrale de la série et la série des intégrales.
II.2 Montrer queln(un)peut s’exprimer sous la forme d’une série convergente et exprimer sa limite en fonction deIα.
Troisième partie
III.1 Utiliser les théorèmes de continuité des intégrales à paramètre.
III.2.a Montrer par récurrence surnqueJn(x) = n!
x(x+ 1)· · ·(x+n). III.2.b Faire un changement de variable dans l’intégrale définissantGn.
III.3 Utiliser l’expression de G comme limite de la suite obtenue à la question précédente et determiner cette limite à l’aide de la question II.2.
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c Éditions H&K Publié dans lesAnnales des Concours 3/15 Première partie
I.1 Rayon de convergence
I.1.a On considère dans un premier temps quef est égale à la fonctionf1. Alors un=
n
k=1
Π
α=αn On en déduit que la sériePunest une série géométrique de raisonα x. Elle est donc convergente si et seulement si|α x|est strictement inférieur à1. On a donc :
DF1=
− 1
|α|; 1
|α|
De plus : F1(x) =
+∞
P
n=0
αnxn= 1 1−α x
Maintenant, on supposef(t) =f2(t) =α t. Ainsi : un=
n k=1
Π
α n = αn
n!
On en déduit, cette fois-ci, que : un+1
un
= α
n+ 1 −−−−→
n→∞ 0
D’après la régle de d’Alembert pour les séries entières, il vient : R =
n→+∞lim
|un+1|
|un| −1
= +∞
Ainsi DF2 =R
On a également F2(x) =
+∞
P
n=0
αnxn n! =eα x
Considérons le dernier cas oùf =f3. On vérifie immédiatement que : f
1 p
=p×1
p−1 = 0
Par conséquent, pour tout entier n supérieur à p, l’un des termes du produit définissantun est nul. On a donc :
∀n > p un= 0
Le terme général de la série entière est donc nul à partir d’un certain rang pour tout réelxet alors la série converge en tout point. Par suite :
DF3 =R On vérifie également que :
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f 1
n
=p×1
n−1 = p−n n On a donc, pour tout entierncompris entre0et p−1:
un=
n k=1
Π
p−k
k =(p−1)· · ·(p−n)
n! = (p−1)!
n!(p−n−1)! = p−1
n
On en déduit l’expression deF3: F3(x) =
p−1
P
n=0
p−1 n
xn= (1 +x)p−1
I.1.b On peut supposer que f prend des valeurs différentes de 0 en tout point d’abscisse1/npour tout entiernstrictement positif. En effet, sinon le terme général de la suite(un)n∈Ns’annule à partir d’un certain rang et donc le rayon de convergence de la série est infini. On applique alors la même technique que dans la question précédente :
un+1
un
=f 1
n+ 1
−−−−→
n→∞ f(0)
Le passage à la limite est justifié puisquef est infiniment dérivable donc continue.
En vertu de la règle de d’Alembert, on peut alors affirmer que : RF= 1
|f(0)|
I.2 Suite de terme généralun
L’hypothèse introduite au début de cette sous-partie par l’énoncé assure que la suite (un)n∈N ne s’annule jamais. Par conséquent, on peut utiliser dans tout le reste du problème la suite (un+1/un)n∈N qui est bien définie pour tout entier n.
I.2.a On utilise la même remarque qu’aux deux questions précédentes : un+1
un
=f 1
n+ 1
−−−−→
n→∞ f(0)
Supposonsf(0) strictement positif. Alors, par continuité, il existeη strictement positif tel que :
∀x∈R x∈[ 0 ;η[ =⇒f(x)> f(0) 2 >0 Alors, pour toutnstrictement plus grand que1/η, on a :
1
n ∈[ 0 ;η[ =⇒ un+1
un
>0
On en déduit en particulier que pour tout n supérieur àN = E(1/η) + 1,un+1
etun sont de même signe. Ainsi sif(0)est strictement positif, la suite(un)n∈N est bien de signe constant partir d’un certain rang.
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