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Mines Maths 1 MP 2002 — Corrigé
Ce corrigé est proposé par Sébastien Gadat (ENS Cachan) ; il a été relu par Walter Appel (Professeur en CPGE) et Jean Starynkévitch (ENS Cachan).
Ce problème propose une étude de la fonction E : x 7−→ eex. On démontre notamment qu’elle est développable en série entière sur R et on étudie très préci- sément le comportement asymptotique des coefficients de son développement.
Le sujet est globalement abordable car les questions s’enchaînent correctement et la difficulté est bien progressive. Les outils utilisés sont classiques en analyse : ce sont par exemple les développements en série entière et les équivalents de suites.
La question IV-2 est difficile.
• Dans la première partie, après avoir démontré que la fonction considérée est développable en série entière, on calcule explicitement les coefficients du déve- loppement en série, dont on établit ensuite un premier équivalent asymptotique.
• La deuxième partie propose l’étude d’une fonction à paramètre. On y définit implicitement une suite (µn)n∈N; on montre d’une part que cette suite est négligeable devant (n)n∈N, et d’autre part que pour tout α∈ ] 0 ; 1 [, la suite (nα)n∈Nest négligeable devant(µn)n∈N.
• La troisième partie établit des inégalités sur une suite de fonctions(gn)n∈Ndans le but de vérifier les hypothèses d’un théorème de Lebesgue.
• Enfin, la dernière partie achève l’étude du comportement asymptotique des coefficients, dont elle propose un équivalent en fonction deµn.
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Indications
Partie I
I-1-a Utiliser deux fois le développement en série entière de la fonctionexp.
I-1-b Utiliser les familles sommables.
I-1-c Étudier le développement en série entière deE′. I-2-b Calculer la limite de Un−Vn
Un
pourn−→+∞.
I-3-b Utiliser le résultat de la question I-2-b ainsi que la formule de Stirling.
Partie II
II-1-b Dresser le tableau de variation de la fonction φλ.
II-2-b Remarquer que ϕ est croissante, utiliser alors la fonction réciproque de ϕ trouvée à la question II-1-c.
Partie III
III-1-c Écrire les développements limités nécessaires grâce aux résultats de la ques- tion II-2-b.
III-1-d Faire apparaître le majorant cherché dans l’expression de gn, démontrer ensuite que le quotient de ce majorant pargn est supérieur à1.
III-2-b Utiliser la monotonie de la fonctionu.
Partie IV
IV-1 Appliquer le théorème de convergence dominée de Lebesgue.
IV-2 La fonction gn est croissante sur ]−√n; 0 [ et décroissante sur ] 0 ;+∞[; en déduire des encadrements avec des intégrales de la somme proposée.
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Première partie
I-1-a
La première question du sujet est à la fois classique et déstabilisante.
On est en effet tenté d’utiliser un théorème de composition de fonctions développables en série entière mais ce théorème est hors programme.
Alors qu’une utilisation très simple de ce théorème nous permettrait de conclure rapidement, on est donc obligé de recourir soit à la méthode classique consistant à démontrer que la fonction E est égale à sa série de Taylor en tout point, soit à l’utilisation de familles sommables.
Nous donnerons tout d’abord la démonstration utilisant ces familles avant de tirer les grands traits de la démonstration faisant appel au théo- rème de Bernstein en démontrant que le reste de Taylor en tout point deE tend vers0.
On remarque également que cette démonstration s’applique en fait à toutes les fonctions dont les dérivéesne sont positives en tout point.
Démontrons que E est développable en série entière sur R. Prenons un réel a quelconque deR; pour prouver queE est développable en série entière ena, il suffit d’étudier la fonctionx7−→E(x+a)et de démontrer qu’elle est développable en série entière en0.
Utilisons le développement en série entière de la fonctionexpune première fois.
On a ∀x∈R E(x) =
+∞
P
n=0
exn n!
Puis, en développant à nouveaux7−→enx en série entière, on obtient
∀x∈R E(x) =
+∞
P
n=0
1 n!
+∞
P
m=0
(nx)m m!
(1) Servons-nous des familles sommables pour permuter les ordres de sommation.
En effet, la famille
nmxm n!m!
(n,m)∈N2
est sommable pour tout réelxpuisque si l’on se donne deux partiesI etJfinies deN, on obtient
P
i∈I
P
j∈J
ij|x|j
j!i! 6E(|x|)
Par conséquent, on peut permuter l’ordre de sommation dans l’expression(1)et
∀x∈R E(x) =
+∞
P
m=0
xm m!
+∞
P
n=0
nm n!
En utilisant cette formule démontrée pour la fonctionEenx+a, il vient,
∀x∈R E(x+a) =
+∞
P
m=0
Am
(x+a)m m! =
+∞
P
m=0
Am
m!
m
P
k=0
Ckmxkam−k
où l’on a posé ∀m∈N Am=
+∞
P
n=0
nm n!
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À nouveau, la famille Am
m!Ckmxkam−k
m∈N,k6m
est sommable puisque, siI est un sous-ensemble fini de∆ où∆ ={(k, l)|l6k, l∈N}, on a
∀x∈R P
(m,k)∈I
Am
m!Ckmxkam−k
6E(|x+a|)
On peut donc en conclure que
∀x∈R E(x+a) =
+∞
P
k=0
xk
+∞
P
m=k
Am
m!Ckmam−k
D’où Eest développable en série entière surR.
Donnons une idée de la démonstration utilisant le théorème de Bernstein.
Notons P(n) :∀x∈R E(n)(x) = Pn(ex)E(x)
oùPnest un polynôme à coefficients strictement positifs. On démontre par récurrence que la propriétéP(n)est vraie pour toutnappartenant àN.
On en déduit immédiatement que
∀n∈N ∀x∈R E(n)(x)>0
Démontrons alors que la fonction E est somme de sa série de Taylor sur R. Donnons-nous un point a de R. On étudie la fonction : g : x 7−→ f(x+a) et son développement de Taylor en0. La formule de Taylor avec reste intégral à l’ordren s’écrit,
∀x∈R g(x) =
n
P
k=0
xk
k!g(k)(0) + Z x
0
(x−t)n
n! g(n+1)(t) dt (2) Notons Sn(x) la somme de Taylor tronquée à l’ordre n et Rn(x) le reste inté- gral. On démontre que(Sn(x))n∈Nest croissante et que(Rn(x))n∈Nest décroissante.
On montre également que la suite(Rn(x))n∈N est convergente.
Enfin, il suffit de remarquer que si l’on se donnex, y tels que x < y, il vient Rn(x)
xn+1 6 Rn(y) yn+1
Ainsi, dans le cas oùxest positif, on a le premier résultat
n→∞lim Rn(x) = 0
Enfin, sixest négatif, on a
|Rn(x)|=|x|n+1 n!
Z 1
0
(1−u)ng(n+1)(xu)6|x|n+1
n! g(n+1)(0)
Mais le terme majorant tend vers 0 car la suite(Sn(x))n∈Nest convergente. On en conclut que quel que soitx réel, le reste de Taylor(Rn(x))n∈N tend vers0. Donc g est développable en série entière en 0. Comme ceci est valable pour tout réel a, finalement,
Eest développable en série entière surR.
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