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Mines Maths 1 PSI 2009 — Corrigé
Ce corrigé est proposé par Benoît Landelle (Professeur en CPGE) ; il a été relu par Alexis Gryson (ENS Cachan) et Lætitia Borel-Mathurin (ENS Cachan).
Ce sujet propose l’étude de l’opérateur T défini sur l’espace C0 des fonctions continues et 1-périodiques deRdansCpar
∀f ∈C0 ∀x∈R Tf(x) =1 2
fx
2 +f
x+ 1 2
L’épreuve se décompose en trois parties.
• Dans les préliminaires, on étudie la stabilité deC0parT, la norme d’opérateur deTet la stabilité d’un hyperplan deC0parT, ce qui fait appel à des propriétés élémentaires de continuité et de périodicité ainsi qu’à l’inégalité triangulaire.
La question 4 aborde la notion d’hyperplan et la projection sur un sous-espace parallèlement à un autre.
• Dans la deuxième partie, on s’intéresse à la restriction deTà des sous-espaces vectoriels engendrés par les fonctions trigonométriques 1-périodiques définies parek(x) = e2iπkx pour xréel etk entier relatif. La question 6 est une ques- tion d’algèbre qui permet de mesurer sa capacité à discuter efficacement la diagonalisabilité d’un endomorphisme. La question 7 est difficile et requiert de prendre des initiatives en introduisant des résultats intermédiaires que l’on montre par récurrence. L’analyse de Fourier intervient aux questions 8 et 9.
• La dernière partie, de loin la plus longue et la plus technique, propose d’étudier le comportement de T sur un espace de Hölder. On décrit le phénomène de trou spectral pour la restriction de Tà cet espace. Pour la construction d’un vecteur propre de l’opérateurT, on étudie la convergence normale d’une série de fonctions. La question 13, la plus technique de ce problème, permet de vérifier qu’une fonction propre définie comme somme d’une série de fonctions appartient à un espace de Hölder.
Ce joli problème d’analyse fonctionnelle est de difficulté croissante, avec deux premières parties très abordables et une troisième partie plus délicate, mais plus riche, avec l’usage des fonctions höldériennes. Ce sujet d’une bonne technicité permet de réviser l’ensemble des connaissances du programme de prépa.
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Indications
1 Ne pas oublier de vérifier la périodicité.
2 Pour établir l’égalité, considérere0.
3 Utiliser les changements de variables u=t/2et v= (t+ 1)/2.
4 Écrire C0 comme une somme directe faisant intervenirD et H0 et en déduire la décomposition d’une fonctionf pour cette somme.
5 Pour le calcul de Tek, distinguer selon la parité de k. Pour le calcul de Pek, distinguer selon la nullité dek.
6 Vérifier que(e0, e1, e−1, e2, e−2)est une base deE2et écrire la matrice deT2dans cette base.
7 Pourj entier vérifiantj6navecj=m2l oùl et msont entiers, montrer que
∀p∈[[ 0 ; l]] Tnk
ej= Tnk−pem2l−p
En écrivantj=m2lavecmimpair, déterminerTnk puisTn◦Pn. 8 Leke coefficient de Fourier de la fonction 1-périodiquef est défini par
ck(f) = Z 1
0
f(t)e−2iπktdt 9 Considérer l’applicationf 7→ ck(f)
k∈Z.
12 CalculerTSn puis majorerkTfλ−λfλk∞ avec l’inégalité triangulaire en faisant intervenirTSn.
13 Distinguer les cas|x−y|>1et|x−y|61. Pour le second cas, séparer la somme en deux conformément à l’indication et utiliser la majoration rappelée au début de la partie III.
15 Procéder par récurrence. Mettre en valeur2ket2k+ 1dans les deux sommes qui apparaissent pour reconnaître une partition de[[ 0 ; 2n+1−1 ]].
16 Utiliser le résultat de la question 15 et, avec la relation de Chasles, écrire l’intégrale sur[ 0 ; 1 ]comme somme d’intégrales sur des intervalles de longueur2−n. 17 Utiliser le résultat de la question 15 pour majorermα(Tαnf).
18 Montrer la double inclusion. Vérifier quefλ est non-nulle. Pourf associée à une valeur propre deTα, déterminer
Z 1 0
Tαfpour utiliser le résultat de la question 17.
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c Éditions H&K Publié dans lesAnnales des Concours 3/18 D’après le rapport du jury, « le sujet portait sur l’étude dans l’espaceC0des fonctions continues et 1-périodiques d’un opérateur de transfert dans le but de mettre en évidence la propriété de trou “spectral”. Un sujet intéressant, plein de questions à difficultés plus que raisonnables, combinant à la fois l’algèbre et l’analyse. » Comme cela est souvent dit ou écrit, la clarté et la qualité de la rédaction sont des éléments déterminants pour l’évaluation d’une copie de concours. Les auteurs du rapport du jury déplorent « le grand manque de rigueur et les fautes d’étourderie ».
I. Préliminaires
1 Soitf ∈C0. Par les théorèmes généraux, la continuité def implique la continuité deTf et, pour toutxréel,
Tf(x+ 1) = 1 2
f
x+ 1 2
+f
x+ 1 2 +1
2
= 1 2
f
x+ 1 2
+fx
2 + 1 Commef est 1-périodique, il s’ensuit
Tf(x+ 1) = 1 2
f
x+ 1 2
+fx
2
= Tf(x)
On en déduit ∀f ∈C0 Tf ∈C0
2 Par définition de l’opérateurT, on a, pourf ∈C0, kTfk∞= Sup
x∈R
1 2
fx
2 +f
x+ 1 2
Par inégalité triangulaire, on obtient
kTfk∞6 Sup
x∈R
1 2
fx
2
+
f
x+ 1 2
Il en découle kTfk∞61 2
Sup
x∈R
fx
2
+ Sup
x∈R
f
x+ 1 2
d’où kTfk∞6kfk∞
Il s’ensuit que Sup
kfk∞=1
kTfk∞61
Pour montrer que cette inégalité est en fait une égalité, considéronse0 la fonction constante égale à 1.
Ici, la borne supérieure est atteinte, ce qui n’est pas systématiquent le cas.
Les auteurs du rapport du jury regrettent que « la plupart des candidats [aient] laissé de côté la démonstration de l’égalité ».
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c Éditions H&K Publié dans lesAnnales des Concours 4/18 On ake0k∞= 1et, pour toutxréel,
Te0(x) =1 2
e0
x 2
+e0
x+ 1 2
= 1
autrement dit Te0=e0 (1)
Conformément à la définition donnée en début d’énoncé, cette égalité prouve que 1 est valeur propre de l’opérateur Tpuisquee0 est non nulle.
Ainsi kTe0k∞= 1
ce qui prouve Sup
kfk∞=1
kTfk∞= 1
3 Soitf ∈H0. Par définition deTet par linéarité de l’intégrale, on a Z 1
0
Tf(t) dt=1 2
Z 1 0
f t
2
dt+ Z 1
0
f t+ 1
2
dt
Procédons aux changements de variablesu = t/2 et v = (t+ 1)/2 respectivement dans la première et la deuxième intégrale du membre de droite de l’égalité ci-dessus.
Il vient
Z 1 0
Tf(t) dt= Z 12
0
f(u) du+ Z 1
1 2
f(v) dv
Cette question ne présente pas de réelle difficulté ; pourtant le rapport du jury mentionne que l’« on voit encore souvent des changements de variables mal faits (bornes inchangées) », erreurs que l’on peut vraisemblablement imputer à un manque d’attention lors de la rédaction.
Par la relation de Chasles, on obtient Z 1
0
Tf(t) dt= Z 1
0
f(u) du= 0 parce quef ∈H0. Autrement dit
H0est stable par T.
Précisons pourquoiH0=
f ∈C0: Z 1
0
f(t) dt= 0
est un hyperplan de C0. On peut interpréter H0 comme le noyau d’une forme linéaire non nulle. En effet, soit φl’application définie par
φ:
C0 −→C f 7−→
Z
[ 0 ;1 ]
f
Il s’agit d’une application linéaire par linéarité de l’intégrale, à valeurs dans l’espace des scalairesC. C’est donc une forme linéaire surC0. De plus, cette forme est non nulle carφ(e0) = 16= 0. Par définition deH0, on a
H0= Kerφ
ce qui prouve, par théorème, que H0est un hyperplan deC0.
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