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Mines Maths 1 PC 2009 — Corrigé
Ce corrigé est proposé par Benoît Landelle (Professeur en CPGE) ; il a été relu par Alexis Gryson (ENS Cachan) et Lætitia Borel-Mathurin (ENS Cachan).
Ce sujet propose l’étude de l’opérateur T défini sur l’espace C0 des fonctions continues et 1-périodiques deRdansCpar
∀f ∈C0 ∀x∈R Tf(x) =1 2
fx
2 +f
x+ 1 2
L’épreuve se décompose en trois parties.
• Dans les préliminaires, on étudie la stabilité deC0parT, la norme d’opérateur deTet la stabilité d’un hyperplan deC0parT, ce qui fait appel à des propriétés élémentaires de continuité et de périodicité ainsi qu’à l’inégalité triangulaire.
La question 4 aborde la notion d’hyperplan et la projection sur un sous-espace parallèlement à un autre.
• Dans la deuxième partie, on s’intéresse à la restriction deTà des sous-espaces vectoriels engendrés par les fonctions trigonométriques 1-périodiques définies parek(x) = e2iπkx pour xréel etk entier relatif. La question 6 est une ques- tion d’algèbre qui permet de mesurer sa capacité à discuter efficacement la diagonalisabilité d’un endomorphisme. La question 7 est difficile et requiert de prendre des initiatives en introduisant des résultats intermédiaires que l’on montre par récurrence. L’analyse de Fourier intervient aux questions 8 et 9.
• La dernière partie, de loin la plus longue et la plus technique, propose d’étudier le comportement de T sur un espace de Hölder. On décrit le phénomène de trou spectral pour la restriction de Tà cet espace. Pour la construction d’un vecteur propre de l’opérateurT, on étudie la convergence normale d’une série de fonctions. La question 14, la plus technique de ce problème, permet de vérifier qu’une fonction propre définie comme somme d’une série de fonctions appartient à un espace de Hölder.
Ce joli problème d’analyse fonctionnelle est de difficulté croissante, avec deux premières parties très abordables et une troisième partie plus délicate, mais plus riche, avec l’usage des fonctions höldériennes. Ce sujet d’une bonne technicité permet de réviser l’ensemble des connaissances du programme de prépa.
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Indications
1 Ne pas oublier de vérifier la périodicité.
2 Pour établir l’égalité, considérere0.
3 Utiliser les changements de variables u=t/2et v= (t+ 1)/2.
4 Écrire C0 comme une somme directe faisant intervenirD et H0 et en déduire la décomposition d’une fonctionf pour cette somme.
5 Pour le calcul de Tek, distinguer selon la parité de k. Pour le calcul de Pek, distinguer selon la nullité dek.
6 Vérifier que(e0, e1, e−1, e2, e−2)est une base deE2et écrire la matrice deT2dans cette base.
7 Pourj entier vérifiantj6navecj=m2l oùl et msont entiers, montrer que
∀p∈[[ 0 ; l]] Tnk
ej= Tnk−pem2l−p
En écrivantj=m2lavecmimpair, déterminerTnk puisTn◦Pn. 8 Leke coefficient de Fourier de la fonction 1-périodiquef est défini par
ck(f) = Z 1
0
f(t)e−2iπktdt 9 Considérer l’applicationf 7→ ck(f)
k∈Z.
13 CalculerTSn puis majorerkTfλ−λfλk∞ avec l’inégalité triangulaire en faisant intervenirTSn. Calculer égalementSn(0).
14 Distinguer les cas|x−y|>1et|x−y|61. Pour le second cas, séparer la somme en deux conformément à l’indication et utiliser la majoration rappelée au début de la partie III.
16 Procéder par récurrence. Mettre en valeur2ket2k+ 1dans les deux sommes qui apparaissent pour reconnaître une partition de[[ 0 ; 2n+1−1 ]].
17 Utiliser le résultat de la question 16 et, avec la relation de Chasles, écrire l’intégrale sur[ 0 ; 1 ]comme somme d’intégrales sur des intervalles de longueur2−n. 18 Utiliser le résultat de la question 16 pour majorermα(Tαnf).
19 Montrer la double inclusion. Pourfassociée à une valeur propre deTα, déterminer Z 1
0
Tαf pour utiliser le résultat de la question 18.
Les conseils du jury
Comme cela est souvent dit ou écrit, la clarté et la qualité de la rédaction sont des éléments déterminants pour l’évaluation d’une copie de concours. Les auteurs du rapport du jury signalent cependant que « le manque de rigueur et de clarté a été ressenti dans bon nombre de copies. Cela n’a guère facilité la tâche des correcteurs. Il est parfois difficile de se convaincre que le candidat a réellement compris la question ».
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I. Préliminaires
1 Soitf ∈C0. Par les théorèmes généraux, la continuité def implique la continuité deTf et, pour toutxréel,
Tf(x+ 1) = 1 2
f
x+ 1 2
+f
x+ 1 2 +1
2
= 1 2
f
x+ 1 2
+fx
2 + 1 Commef est 1-périodique, il s’ensuit
Tf(x+ 1) = 1 2
f
x+ 1 2
+fx
2
= Tf(x)
On en déduit ∀f ∈C0 Tf ∈C0
La première question est aussi la première impression que donne votre copie.
Il faut lire attentivement le sujet et veiller à répondre précisément à la question. Comme le souligne le rapport du jury, « beaucoup se contentent d’affirmer que commef est continue, alorsTl’est aussi. Certains ont même tenté de démontrer que l’opérateur est linéaire. »
2 Par définition de l’opérateurT, on a, pourf ∈C0, kTfk∞= Sup
x∈R
1 2
fx
2 +f
x+ 1 2
Par inégalité triangulaire, on obtient
kTfk∞6 Sup
x∈R
1 2
fx
2
+
f
x+ 1 2
Il en découle kTfk∞61 2
Sup
x∈R
fx
2
+ Sup
x∈R
f
x+ 1 2
d’où kTfk∞6kfk∞
Il s’ensuit que Sup
kfk∞=1
kTfk∞61
Pour montrer que cette inégalité est en fait une égalité, considéronse0 la fonction constante égale à 1. On ake0k∞= 1et, pour toutxréel,
Te0(x) =1 2
e0
x 2
+e0
x+ 1 2
= 1
autrement dit Te0=e0 (1)
Ainsi, kTe0k∞= 1
ce qui prouve Sup
kfk∞=1
kTfk∞= 1
La justification de la borne supérieure laisse souvent à désirer comme le souligne le rapport du jury : « la plupart des candidats confondent e0 avec [le réel] 1 et pensent que le sup existe et est toujours atteint. »
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3 Soitf ∈H0. Par définition deTet par linéarité de l’intégrale, on a Z 1
0
Tf(t) dt=1 2
Z 1 0
f t
2
dt+ Z 1
0
f t+ 1
2
dt
Procédons aux changements de variablesu = t/2 et v = (t+ 1)/2 respectivement dans la première et la deuxième intégrale du membre de droite de l’égalité ci-dessus.
Il vient
Z 1 0
Tf(t) dt= Z 12
0
f(u) du+ Z 1
1 2
f(v) dv
Par la relation de Chasles, on obtient Z 1
0
Tf(t) dt= Z 1
0
f(u) du= 0
parce quef ∈H0. Autrement dit
H0est stable par T.
Précisons pourquoiH0=
f ∈C0: Z 1
0
f(t) dt= 0
est un hyperplan de C0. On peut interpréter H0 comme le noyau d’une forme linéaire non nulle.
En effet, soitφl’application définie par φ:
C0 −→C f 7−→
Z
[ 0 ;1 ]
f
Il s’agit d’une application linéaire par linéarité de l’intégrale, à valeurs dans l’espace des scalaires C. C’est donc une forme linéaire sur C0. De plus, cette forme est non nulle carφ(e0) = 16= 0. Par définition de H0, on a
H0= Kerφ
ce qui prouve, par théorème, que H0est un hyperplan deC0. 4 Comme
Z 1 0
e0= 1, on en déduit quee0 n’appartient pas àH0 et commeH0 est un hyperplan,C0 admet la décomposition en somme directe
C0= H0⊕D
Ainsi, étant donnéef ∈C0, il existe un unique réelαtel que f =f −αe0+αe0
avec f−αe0∈H0
autrement dit Z 1
0
(f−αe0) (t) dt= 0 ⇐⇒ α= Z 1
0
f(t) dt
Il en résulte que la projectionPsurD = Vect (e0)parallèlement àH0est définie par
∀f ∈C0 P(f) =Z 1 0
f(t) dt e0
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