Les conseils du jury

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c Éditions H&K Publié dans lesAnnales des Concours 1/20

Centrale Maths 1 MP 2010 — Corrigé

Ce corrigé est proposé par Olivier Glorieux (ENS Lyon) et Guillaume Batog (ENS Cachan) ; il a été relu par Céline Chevalier (ENS Cachan).

Ce sujet original a pour but de construire une fonction continue f de [ 0 ; 1 ] dansCdont l’image est un triangle plein. Il se compose de trois parties de difficulté progressive.

• La première commence par des préliminaires géométriques, un peu déroutants, où l’on exploite la représentation complexe des réflexions et des homothéties.

On étudie en particulier deux transformations du plan complexe qui permettent de définirf avant de poursuivre par l’étude du diamètre d’un triangle du plan.

• La deuxième partie consiste à construire la fonctionf comme la limite des itérés d’un opérateur fonctionnel. Elle se traite indépendamment de la première.

• La dernière partie étudie quelques propriétés de la fonctionf ainsi construite : surjectivité, non-injectivité, dérivabilité nulle part. Elle mélange des questions techniques, calculatoires et de réflexion. Un programme informatique est éga- lement demandé pour calculer une valeur approchée d’un antécédent def. Ce sujet est long mais bien construit. Les deux premières parties prennent du temps, et c’est là que se faisait la différence entre les copies. La topologie apparaît ponctuellement tout au long du sujet, dans un large spectre : compacité, convexité, suites de Cauchy, continuité, connexité par arcs, densité. C’est la seule partie du programme de seconde année nécessaire pour traiter ce sujet, qui constitue un bon entraînement général aux épreuves d’analyse de Centrale.

Les conseils du jury

Le rapport du jury pointe plusieurs faiblesses dans les copies qui ont été lourdement sanctionnées. Il est conseillé aux candidats d’être au point sur les compétences de base suivantes : calculer dans le corps des complexes (produit, conjugaison), déterminer la somme d’une série géométrique, établir la convergence d’une série par comparaison ou connaître la partie entière et l’inégalité fondamentale⌊x⌋6x <⌊x⌋+ 1 pour tout réelx.

Concernant la rédaction des démonstrations, le jury demande « d’éviter les expressions telles queclairement ouimmédiatement; elles ne dissimulent pas l’absence de preuve et agacent les correcteurs ». Invoquez les théorèmes au programme ou indiquez clairement les arguments permettant d’écrire telle ou telle affirmation. Par exemple, pour justifier la continuité d’une application,

« de petits mots tels que linéaire en dimension finie, polynôme, théorème de composition... ont été appréciés. » Enfin, soyez honnête : « évitez, lorsque vous ne savez pas répondre à une question, de prétendre qu’il y a une erreur dans l’énoncé »...

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Indications

Partie I

I.A.3.a Se ramener au cas oùa= 0et l’axe de symétrie est celui des abscisses.

I.A.3.c Chercher une relation vérifiée parφ0 etφ1 de la forme z^′=a+ρe^2iθ(z−a)

I.A.4 Calculer les images des sommets du triangle.

I.B.1.a Rappelons que les compacts pour la topologie usuelle deRⁿ sont exacte- ment les fermés bornés.

I.B.1.c C’est l’image d’un compact par une application continue bien choisie.

I.B.2.a Voici une égalité bien utile, oùz∈Cetz^′=αa+βb+γcavecα+β+γ= 1:

|z−z^′|=|α(z−a) +β(z−b) +γ(z−c)| I.B.2.b Pourz∈Cet z^′∈abc, utiliser l’inégalitéc

|z−z^′|6maxn

max(|z^′′−a|,|z^′′−b|,|z^′′−c|)|z^′′∈abcco

I.B.3 Vérifier que(eτn)n>1est une suite décroissante (pour l’inclusion) de triangles compacts deC.

Partie II

II.2 Ne surtout pas oublier de montrer queTgest continue.

II.3 Calculer le maximum deTg2−Tg1sur[ 0 ; 1/2 ]et[ 1/2 ; 1 ]séparément.

II.4.a Montrer que(fn)_n∈Nest de Cauchy dans l’espace complet(E,k · k^∞).

II.4.c Montrer par récurrence surnquefn(1−x) =−fn(x)pourx∈[ 0 ; 1 ].

Partie III

III.A.1.b Pourp∈N^∗ fixé, établir quefxp=φrp+1(f(xp+1)).

III.A.2.d Calculer l’expression (φ0 ◦φ0)^m et l’utiliser avec la relation de la question III.A.1.b pour déterminerf(1/2^k)(distinguer suivant la parité dek).

III.A.3.a Utiliser les résultats des questions III.A.2.c et III.A.1.b.

III.A.4.c L’objectif est de calculer PN n=1

rn

2ⁿ avec lesrn définis à la question précédente à partir dex.

III.A.5.b Vérifier d’abord quef⁻¹est continue.

III.A.6.d Pourz∈τ fixé, considérer une suite(yn)_n∈Nde points fixes pour chacune des fonctionsφr1(z)◦ · · · ◦φrn(z)et montrer quef(yn)−−−−→_n→∞ z.

III.B.2.a Remarquer que les suites(αn)n>1et(βn)n>1 satisfont les hypothèses de la question précédente et montrer que le taux d’accroissement

f(βn)−f(αn) βn−αn

est divergent.

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I. Préliminaires géométriques

I.A.1 Montrons chacune des inclusions de l’égalité demandée. Soit z appartenant àτ, montrons qu’il appartient àτ0ouτ1. Par définition deτ, il existe(α, β, γ)∈(R₊)³ vérifiantα+β+γ= 1 et

z=α×(−1) +β×1 +γ×i = (β−α) + iγ Deux cas se présentent.

• Cas 1 : β−α >0.Choisissons

α^′= 2α β^′ =β−α γ^′=γ Ainsi, z=β^′+ iγ^′=α^′×0 +β^′×1 +γ^′×i appartient àτ1car(α^′, β^′, γ^′)appartient àK.

• Cas 2 : β−α <0.Dans ce cas, prenons

α^′=α−β β^′= 2β γ^′=γ Ainsi, z=−α^′+ iγ^′ =α^′×(−1) +β^′×0 +γ^′×i appartient àτ0car(α^′, β^′, γ^′)appartient àK.

En conclusion, τ ⊂τ1∪τ0

Montrons l’autre inclusion, en commençant par τ0 ⊂ τ. Considéronsx0 appartenant à τ0 et montrons qu’il appartient à τ. Il existe donc (α, β, γ) ∈ K tel que x0=−α+γi. On doit l’écrire sous la forme

x0=−α^′+β^′+γ^′i

avec (α^′, β^′, γ^′) ∈ K. En particulier, on doit prendre γ^′ = γ (égalité des parties imaginaires). Il reste à choisirα^′ et β^′. En posant

α^′=α+β

2 et β^′ =β 2 on obtient α^′+β^′+γ^′=α+β

2 +β

2 +γ=α+β+γ= 1 et −α^′+β^′+γ^′i =−α−β

2 +β

2 +γi =x0

doncx0∈τ puisτ0⊂τ. De la même manière,τ1⊂τ d’oùτ ⊃τ1∪τ0. Finalement, τ =τ1∪τ0

I.A.2 Les trianglesτ0et τ1 se trouvent de part et d’autre de l’axe des imaginaires purs dans le triangleτ, dont les côtés sont représentés en gras sur la figure ci-dessous.

0 i

−1 1

τ₁ τ₀

τ

Re (z) Im (z)

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I.A.3.a Considérons le changement de variable u= e⁻ⁱ^θ(z−a) pour se ramener au cas oùa= 0etθ= 0, c’est-à-dire à la réflexion suivant l’axe des réels. L’imageu^′ du complexeupar cette réflexion vérifie

u^′=u

d’où e⁻ⁱ^θ(z^′−a) = e⁻ⁱ^θ(z−a) c’est-à-dire z^′−a= e^2iθ(z−a)

I.A.3.b Considérons le changement de variableu=z−apour se ramener au cas oùa= 0, c’est-à-dire à l’homothétie de centreOet de rapportρ >0. L’imageu^′ du complexeupar cette homothétie vérifie

u^′ =ρ u On en déduit que z^′−a=ρ(z−a)

I.A.3.c D’après les deux questions précédentes, l’imagez^′′d’un complexez par la composée d’une réflexion et d’une homothétie, dont le centreaappartient à l’axe de la réflexion, vérifie les relations

z^′−a=ρ(z−a) (homothétie)

et z^′′−a= e^2iθ(z^′−a) (réflexion)

donc z^′′=a+ρe^2iθ(z−a)

Déterminonsa, θ et ρpour queφ0(z)s’exprime sous cette forme. Remarquons que le pointaest fixé par cette transformation. Soitaun tel point fixe pourφ0:

a=φ0(a) = 1 + i

2 ¯a+−1 + i 2

En remplaçantaparφ0(a)dans le membre de droite, on obtient a= 1 + i

2

1 + i

2 ¯a+−1 + i 2

+−1 + i 2

= 1 + i 2

1−i

2 a+−1−i 2

+−1 + i 2

= 1 2a− i

2 +−1 + i 2 a= a−1

2

Nécessairement,a=−1 et c’est le seul point fixe deφ0. Cherchons à présent deux réelsρet θtels que

∀z∈C φ0(z) + 1 =ρe^2iθ(z+ 1) Soitz∈C. D’après l’énoncé,

φ0(z) + 1 = 1 + i

2 ¯z+−1 + i

2 + 1 = 1 + i

2 (¯z+ 1) =

√2

2 e^2iπ/8(z+ 1)

La transformationφ0est la composée d’une homothétie de centrea=−1et de rapport√

2/2avec une réflexion d’axe passant paraet dirigé pareⁱ^π/8.