Les conseils du jury

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c Éditions H&K Publié dans lesAnnales des Concours 1/17

CCP Maths 2 PSI 2010 — Corrigé

Ce corrigé est proposé par Pauline Tan (ENS Cachan) ; il a été relu par Sophie Rainero (Professeur en CPGE) et Céline Chevalier (ENS Cachan).

Cette épreuve, composée de deux parties indépendantes, porte sur l’étude des itérés d’un endomorphismeℓ d’un espace vectoriel de dimension finie n. Elle s’inté- resse plus précisément à un entier notér(ℓ, u)qui désigne le cardinal de la plus petite famille liée des premiers itérés du vecteurupar l’endomorphismeℓ.

• La première partie est consacrée à l’étude d’un exemple simple dans le cas oùr(ℓ, u) = 2et n= 2. On commence par introduire un changement de base qui permet de reconnaître la nature exacte de l’endomorphismeℓ. En exprimant les coordonnées des itérés d’un vecteur dans une certaine base, on peut montrer que ces points sont situés sur une même conique.

• La seconde partie porte sur l’étude plus générale des liens entre certaines propriétés de ℓ et les valeurs de r(ℓ, u), en particulier lorsque r(ℓ, u) = n.

On commence par montrer des résultats simples surℓdans les cas oùr(ℓ, u) = 1 et r(ℓ, u) = n. Après avoir étudié un exemple, qui sera repris par la suite, on s’intéresse à l’idéal I(ℓ, u) des polynômes P ∈ K[X] tels que P(ℓ)(u) = 0.

Cet idéal est principal, engendré par un polynôme de degré r(ℓ, u). Enfin, on montre une équivalence entre le fait que les valeurs propres sont distinctes et l’égalitér(ℓ, u) =n.

Ce sujet aborde de manière assez large l’algèbre linéaire de première et deuxième années. Il demande en outre d’être à l’aise avec les changements de bases, qui sont nombreux dans la seconde partie.

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Indications

Partie I

I.1.2 Penser aux formules d’addition du cosinus et du sinus.

I.1.4.1 Utiliser le fait que ℓest un automorphisme orthogonal.

I.1.4.2 Se servir de la question I.1.3.

I.1.4.3 Calculer les produits scalaires de deux manières différentes.

I.2.1 Poser un système de trois équations à trois inconnues puis suivre l’indication de l’énoncé.

I.2.2 Regarder le signe des valeurs propres et en déduire la nature de la conique.

Partie II II.1.2 Utiliser un argument de dimension.

II.2 Pour montrer la liberté de la famille, calculer f²(e1). Pour déterminer la combinaison linéaire demandée, calculerf³(e¹)et poser un système linéaire.

Enfin, utiliser la définition der(f, e¹).

II.3.2 Appliquer successivement l’indication de l’énoncé pour chaque ligne, puis développer par rapport à la première ligne.

II.4.2 Utiliser le théorème de Cayley-Hamilton.

II.4.3 Après avoir déterminé G(f, e¹)etχf, raisonner par l’absurde.

II.4.4 Utiliser la question II.4.2.

II.6.1 Penser au fait que la base W est composée de vecteurs propres deℓ.

II.6.2.1 Déterminer le nombre de racines du polynômeP; le résultat démontré est alors un résultat d’injectivité.

II.6.2.2 Reconnaître dans les colonnes de A les coordonnées des itérés d’un certain vecteur et utiliser la question II.1.3.

Les conseils du jury

Ce sujet est relativement abordable, avec, d’après le rapport du jury, beau- coup de « questions simples, résultats classiques ou questions de cours, des- tinées à valider les acquis des deux années de classes préparatoires ». Ainsi, il « a pu être entièrement traité par les meilleurs candidats ». Le rapport du jury souligne aussi que les candidats sont nombreux à ne pas justifier entièrement leurs résultats (questions I.2.2, II.4, II.6) ou à ne traiter que partiellement certaines questions (questions I.1.3, II.1) et il leur recommande

« une rédaction soignée dans les questions de raisonnement ».

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Partie I

I.1.1 Le polynôme caractéristique de l’endomorphismeℓest donné par le calcul de χℓ(λ) = det(ℓ−λid ) = det(M−λI²)pourλ∈C.

χℓ(λ) =

−λ −1

1 2 cos(θ)−λ

=λ²−2 cos(θ)λ+ 1

Les valeurs propres deℓsont les racines deχℓ. Ce dernier a pour discriminant

∆ = 4 cos²(θ)−4 =−4 sin²(θ)< 0

Par conséquent, les racines de χℓ sontcos(θ) + i sin(θ)et cos(θ)−i sin(θ), qui sont distinctes carθ∈] 0 ;π[.

Les valeurs propres de ℓsonteⁱ^θ ete⁻ⁱ^θ.

I.1.2 Pour calculer kvk² et kℓ(v)k², il faut se placer dans la base orthonormale directeE. On doit donc écrire les vecteursv¹ et v² en fonction des vecteursε¹ et ε² de la baseE:

v=x¹v¹+x²v²=x¹ε¹+x² cos(θ)ε¹+sin(θ)ε²

= x¹+x²cos(θ)

ε¹+x²sin(θ)ε² ce qui donne

kvk²= x¹+x²cos(θ)²

+ x²sin(θ)²

=x¹²+ 2x¹x²cos(θ) +x²² Calculons maintenantℓ(v)dans la baseV:

M x¹

x²

=

0 −1 1 2 cos(θ)

x¹ x²

=

−x² x¹+ 2x²cos(θ)

et décomposons-le dans la baseE: ℓ(v) = −x²v¹+ x¹+ 2x²cos(θ)

v²

=−x2ε1+ x1+ 2x2cos(θ)

cos(θ)ε1+ sin(θ)ε2

= x¹cos(θ) +x²(2 cos²(θ)−1)

ε¹+ x¹+ 2x²cos(θ)

sin(θ)ε² ℓ(v) = x¹cos(θ) +x²cos(2θ)

ε¹+ x¹sin(θ) +x²sin(2θ) ε²

en simplifiant grâce aux formules d’addition du sinus et du cosinus. On en déduit kℓ(v)k² = x¹cos(θ) +x²cos(2θ)²

+ x¹sin(θ) +x²sin(2θ)²

=x1

2cos²(θ) + 2x1x2cos(θ) cos(2θ) +x2

2cos²(2θ) +x1

2sin²(θ) + 2x1x2sin(θ) sin(2θ) +x2

2sin²(2θ) kℓ(v)k² =x¹²+ 2x¹x²cos(θ) +x²²

en utilisant à nouveau la formule d’addition et la parité du cosinus. Finalement, pour toutv∈R²,kℓ(v)k²=kvk².

ℓest un automorphisme orthogonal deR².

I.1.3 Par définition, la matrice de passagePde la baseEà la baseV est la matrice de l’identité deE dansV. Puisquev1=ε1 etv2= cos(θ)ε1+ sin(θ)ε2, on obtient

P =

1 cos(θ) 0 sin(θ)

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Il s’agit d’une matrice de taille2×2de déterminantdet P = sin(θ)6= 0, qui est donc inversible et que l’on sait inverser.

P⁻¹= 1 sin(θ)

sin(θ) −cos(θ)

0 1

On rappelle que si M = a b

c d

est une matrice 2 ×2 de déterminant det(M) =a d−b cnon nul, alorsMest inversible et d’inverse

M⁻¹= 1 det(M)

d −b

−c a

SiM^′est la matrice de l’endomorphismeℓrelativement à la baseE, la formule de changement de bases donne

M^′= PMP⁻¹

Par suite, M^′ = 1 sin(θ)

1 cos(θ) 0 sin(θ)

0 −1

1 2 cos(θ)

sin(θ) −cos(θ)

0 1

= 1

sin(θ)

1 cos(θ) 0 sin(θ)

0 −1

sin(θ) cos(θ)

= 1

sin(θ)

sin(θ) cos(θ) cos²(θ)−1 sin²(θ) sin(θ) cos(θ)

= 1

sin(θ)

sin(θ) cos(θ) −sin²(θ) sin²(θ) sin(θ) cos(θ)

M^′ =

cos(θ) −sin(θ) sin(θ) cos(θ)

Finalement, ℓest la rotation d’angleθ.

Attention à traiter correctement le problème du changement de base : le rapport du jury signale que les candidats confondent souvent les matrices de passagePetP⁻¹, ou écrivent les matrices de passage avec les composantes des vecteurs en lignes au lieu d’être en colonnes.

I.1.4.1 Soitk∈N^∗. Ainsi que le propose l’énoncé, calculonskvkk²de deux manières différentes. Le calcul effectué à la question I.1.2 donne, avecx¹=ak et x²=bk:

kvkk²=ak2

+ 2akbkcos(θ) +bk 2

tandis que la définition devk et le caractère orthogonal deℓassurent que kvkk²=kℓ(vk−1)k²=kvk−1k²

Ainsi, la suite(kvkk²)k∈N∗ est constante, égale à son premier termekv1k²= 1. On en déduit la relation

∀k∈N^∗ ak2

+ 2akbkcos(θ) +bk 2= 1