Effet d’une interaction non locale et separable sur le processus de creation de paires de particules

REPUBLIQUE ALGERIENNE DEMOCRATIQUE ET POPULAIRE

MINISTERE DE L’ENSEIGNEMANT SUPERIEUR

ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE

UNIVERSITE FRERES MENTOURI-CONSTANTINE

FACULTE DES SCIENCES EXACTES

DEPARTEMENT DE PHYSIQUE

N

_{d’ordre :56/D3C/2018}

Série :03/Phy/2018

THESE

POUR OBTENIR LE DIPLOME DE DOCTORAT

3

_{CYCLE (LMD) EN PHYSIQUE}

Spécialité : PHYSIQUE THEORIQUE

THEME :

EFFET D’UNE INTERACTION NON LOCALE ET SEPARABLE

SUR LE PROCESSUS DE CREATION DE PAIRES DE PARTICULES

PRESENTEE PAR:

HAFDALLAH ABDELHAKIM

Soutenue: 13 /05/2018

Devant le jury

Président:

Mr. Noureddine Mebarki Prof Université Frères Mentouri, Constantine

Rapporteur :

Mr. Lyazid Chetouani Prof Université Frères Mentouri, Constantine

Examinateurs :

Mme. Baya Bentag Prof Université Frères Mentouri, Constantine

Mr. Abdelmalik Boumali Prof Université Larbi Tebessi , Tebessa

Table des matieres

1 Introduction Generale 3

2 Creation Des Paires 12

2.1 Introduction . . . 12

2.2 Action e ective . . . 14

2.2.1 Determination de l'action e ective et probabilite . . . 21

2.2.2 Cas particulier : Potentiel non local et separable . . . 33

2.3 Conclusion . . . 36

3 Equation de Du n-Kemmer-Petiau (DKP) avec une interaction non locale et separable 38 3.1 Introduction . . . 38 3.2 Determination de G0(xb;xa; E) et de G(xb;xa; E) . . . 39 3.3 Conclusion . . . 46 4 Conclusion generale 47 4.0.1 Annexe A . . . 48 4.0.2 Annexe B . . . 49

Remerciements

Ce travail a ete realise dans le cadre d'un projet de n d'etudes, pour obtenir le dipl^ome de Doctorat LMD en physique Theorique a l'universite de Frere Mentouri -constantine-. Avant tout, je remercie ALLAH tout puissant de m'avoir donne la volonte et le courage de mener a bien ce travail. Et d'une facon toute particuliere, je remercie mes chers parents pour

leurs patience et leurs encouragements.

Je tiens a remercier mon encadreur le Pr L. Chetouani pour m'avoir proposer ce sujet qui est interessant et riche en physique. Je suis tres reconnaissant tout particulierement pour la

con ance qu'il m'a temoignee et la liberte qu'il me la adresse .

j'exprime ma profonde renconnaissance a Pr N. Mebarki, d'avoir accepte de presider le jury de soutenance.

Je remercie egalment Pr B. Bentag, Pr A.Boumali et Pr .Aouachria d'avoir accepte de faire partie du jury

En n, je remercie beaucoup mon epouse M.Nadjette pour l'aide preciense qu'elle m'a apporte tout le long de ce travail.

Chapitre 1

Introduction Generale

La creation de paires de particules chargees dans le vide par un champ electrique externe a ete etudiee par Schwinger il y a plusieurs ans. Bien qu'un demi-siecle se soit ecoule depuis la publication de l' uvre classique de Schwinger, le sujet de la creation de paires reste largement discute dans la theorie des cordes et des trous noirs [1],[2]. Le mecanisme de Schwinger de la production par paires, mis en avant pour etudier la production de paires electron-positon dans un champ electrique fort et uniforme, a ete applique a de nombreux problemes de la physique contemporaine. Dans la physique des circuits electroniques macroscopiques, l'e et de la production de particules est entravee par la petite taille de l'energie de transition par rapport a la hauteur de barriere qui est de l'ordre de la masse d'electrons [3],[4]. Le mecanisme de Schwinger a souvent ete invoque pour etudier la production de particules dans chromodynamique quantique, applique aux collisions nucleon-nucleon ou e + e , le champ entre un quark et un antiquark est represente en approximation par un champ de jauge abelien sous la m^eme forme que le champ electrique constant entre deux plaques de condenseur en electrodynamique quantique QED)[5],[6].

Des nombreux travaux (experimentaux et theoriques) ont ete publies sur le systeme a deux nucleons. Cependant, nos informations sur les forces nucleaires sont encore plut^ot petites. Du point de vue theorique, cela est d^u en partie a la di culte de resoudre le probleme de la di usion. Par consequent, il nous semble interessant de discuter d'un potentiel nucleaire special pour lequel nous pouvons obtenir facilement une solution exacte. Ce potentiel est non local et donc de forme fondamentalement di erente de ceux habituellement discutes, mais comme personne

ne conna^t la forme correcte, il reste de la place pour tester de nouveaux types [7]. Les potentiels separables ont ete largement utilises en physique nucleaire, il y a depuis de nombreuses annees que l'equation de Schr•odinger avec un potentiel separable peut ^etre resolue analytiquement. Les potentiels separables sont tres pratiques du point de vue mathematique car ceux-ci reduisent un ensemble d'equations algebriques faciles a resoudre. Cependant, physiquement, ces potentiels ne sont pas une bonne representation car la non-localite est di usee sur toute la gamme. De nombreux potentiels separables ont ete construits pour reproduire les donnees de decalage de phase a deux corps et l'energie de liaison de deuteron, mais ceux-ci ne reproduisent pas d'autres proprietes de deuteron comme les facteurs de forme, la probabilite d'etat D, etc [8].

Des potentiels separables ont ete utilises dans di erents calculs a plusieurs corps comme la matiere nucleaire, le triton et les noyaux nis. ces potentiels, en raison de leur simplicite, sont presque exclusivement utilises pour l'etude de problemes a trois corps en physique nucleaire.

Dans une tentative de reconcilier la mecanique quantique avec la relativite, Dirac a propose de lineariser l'equation de Klein Gordon (KG) des particules libres, en se basant sur la relation relativiste quadratique entre l'energie et la quantite de mouvement. Il a bien obtenu une equation relativiste de premier ordre par rapport au temps decrivant ainsi le mouvement d'une particule de spin-1/2, tels que l'electron. Historiquement Dirac a introduit son equation sous la forme :

^

H (x) = (!:!p + m) (x) = i@ (x)

@t (1.1)

ou ^H est l'operateur Hamiltonien, (x) et m sont respectivement la fonction d'onde et la masse de la particule relativiste, !p est l'operateur impulsion et ! et sont des coe cients a determiner.

Or comme c!p i!_{r l' equation de Dirac s'ecrit explicitement :}

( i!:!_{r + m) = i}@

@t (1.2)

Comme on le verra plus loin, les coe cients i(i = 1; 2; 3) et ne peuvent pas ^etre des

nom-bres. Ce sont des matrices n n et l'equation de Dirac peut-^etre consideree comme une equation matricielle dans la quelle la fonction d'onde est une matrice colonne a n composantes :

= 0 B B B B B B B B B @ 1 2 : : n 1 C C C C C C C C C A ; (1.3)

Pour que l'equation de Dirac soit consideree comme l'equation decrivant le mouvement relativiste d'une particule libre de masse m, chacune des composantes _i de la matrice colonne doit satisfaire l'equation de Klein-Gordon c-a-d

@2+ m2 _i(x) = 0 _{) (} !_r2+ m2) _i(x) = @

2 i(x)

@t2 (1.4)

Pour cela, il su t d'appliquer l'operateur Hamiltonien ^H a l'equation de Dirac. En e et, on obtient dans ce cas

( i!:!_{r + m)( i!:}!_{r + m) =} @

2

@t2 (1.5)

soit donc explicitement : 1 2 3 X i;j=1 ( i j+ j i) @2 @xi_@xj im 3 X i=1 ( i + i) @ @xi+ 2_m2 ₌ @2 @t2 = ( ! r2+m2) (1.6)

Cette relation impose donc, comme on peut le voir, des conditions sur les coe cients i et .

Ces conditions sont

i j + j i= f i ; jg = 2 ijI

i + i = f i ; g = 0

2

i = 2 = I

(1.7)

ou I est la matrice unite.

La relation d'anticommutation f i; g = 0, indique clairement que les coe cients i et

doivent ^etre des matrices et non des nombres. D'autre part pour que l'operateur Hamiltonien, ^

H =( i!:!_{r + m), soit un operateur hermitien, il est necessaire que les matrices} iet soient

des matrices hermitiennes c-a-d y= et

y

On montre que la plus petite dimension avec laquelle on peut construire les matrices i et

est la dimension n = 4. Le choix de ces matrices n'est cependant pas unique. En choisissant la representation dite de Dirac-Pauli, les matrices et i s'ecrivent

= 0 @ 0 I I 0 1 A , i = 0 @ i 0 0 i 1 A , i = 1; 2; 3 (1.8)

La physique est independante du choix de la representation preferee.

ou I et 0 sont respectivement les matrices unite et nulle 2 2 et i = (i = 1; 2; 3) sont

les matrices de Pauli :

1= 0 @ 0 1 1 0 1 A , 2 = 0 @ 0 i i 0 1 A , 2= 0 @ 1 0 0 1 1 A (1.9)

Le fait que les matrices i et soient d'ordre 4, conduit necessairement, dans l'equation de

Dirac, a ce que la fonction d'onde de la particule soit une matrice colonne a 4 elements :

= 0 B B B B B B @ 1 2 3 4 1 C C C C C C A (1.10)

Cette fonction d'onde a 4 composantes n'est pas un quadrivecteur mais un nouvel objet appele bi-spineur de Dirac (On dit aussi spineur par abus de langage).

Ecrivons maintenant l'equation de Dirac sous forme covariante en introduisant

0 ₌ 0= ; (1.11) i ₌ i = 0 i (1.12) qui conduit a (i @ m) (!r ; t) = 0: (1.13)

Reecrivons ainsi les relations (1:7) comme suit : 0_; 0 _{= 2} 0 2_{= 2 1} 4 4; 0_; i _{= 0;} i_; j = 0; i 6= j; f ; g = 2g ; (1.14)

en presence d'une interaction, l'equation de Dirac s'ecrit comme suit

[ (i@ eA ) m] (!r ; t) = 0: (1.15)

Multiplions l'equation de Dirac a gauche par

0 _i@ @t eA0+ i_(i@ i eAi) 0m (!r ; t) = 0; (1.16) i@ @t = H0 + V ; (1.17) ou H0 = i@i+ 0m; V = eA0+ e iAi: (1.18)

cette derniere equation ressemble a l'equation de Schr•odinger en interaction classique avec un champ electromagnetique, m^eme si la fonction d'onde est un spineur. Notamment, dans le cas particulier ou A = ('; 0) le potentiel se reduit au potentiel electrique multiplie par la charge de la particule e.

L'equation de Dirac decoule de la densite lagrangienne :

L = (i @ m) = L0+ i

2@ (1.19)

ou

L0 = i

avec : et qui est un spineur \ligne" = ₁; ₂; ₃; ₄ . Dans les deux cas, les densites lagrangiennes L et L0_{s'annulent lorsqu'elles sont evaluees pour un spineur solution de l'equation}

de Dirac.

L'equation relativiste de premier ordre du Du n-Kemmer-Petiau (DKP) est une equation decrivant les particules de spin-0 et de spin-1. Elle a considere est une extension du formalisme covariant de l'equation de Dirac, decrit les particules scalaires de spin-0 et vectorielles de spin-1, dans lequel on remplace les matrices gamma par des matrices b^eta veri ant un algebre plus compliquee connue sous le nom de l'algebre de Kemmer

(ie @ M ) _k= 0; (1.21)

avec sont des matrices satisfaisant les relations de commutation suivants :

e e e + e e e = e g + e g : (1.22)

dont les matrices possedent trois representations irreductibles, une triviale de dimension 0 , et les deux autres de dimensions 5 et 10 representant respectivement

les particules de spin s = 0 et s = 1. Elles generent l'algebre de Kemmer suivant

e e e + e e e = g e + g e : (1.23)

aux matrices des algebres de spin demi-entier, tel que l'algebre de Dirac, elles possedent la propriete des algebres de spin entier non inversibles.

On choisit une representation pour les matrices e dans laquelle ek+ = ek, et e0+ = e0, et on ecrit pour le cas de spin-0 les matrices suivantes comme

suit : e0 = 0 @ 2 2 03 3 0 0 1 A ; ei = 0 @ 0 i i T 0 1 A ; i = 1; 2; 3 (1.24) avec = 0 @ 0 1 1 0 1 A ; 1₌ 0 @ 1 0 0 0 0 0 1 A ; 2 0 @ 0 1 0 0 0 0 1 A ; 3 ₌ 0 @ 0 0 1 0 0 0 1 A (1.25)

et _T representant la matrice transposee de et 0 etant la matrice nulle. Par contre, pour le cas de spin-1 on a e0 = 0 B B B B B B @ 0 0 0 0 0T 0 1 0 0T 1 0 0 0T 0 0 0 1 C C C C C C A ; ei = 0 B B B B B B @ 0 0 ei 0 0T 0 0 isi eT 0 0 0 0T isi 0 0 1 C C C C C C A , i = 1; 2; 3 (1.26)

avec 0 et ei sont donnees par :

0 = 0 0 0 ; e1 = 1 0 0 ; e1 = 0 1 0 ; e1= 0 0 1 (1.27)

et 1 et 0 etant respectivement, la matrice unite et la matrice nulle. Les si sont les si matrices

standards non-relativistes du spin-1

s1 = 0 B B B @ 0 0 0 0 0 i 0 i 0 1 C C C A ; s1= 0 B B B @ 0 0 i 0 0 0 i 0 0 1 C C C A ; s3 = 0 B B B @ 0 i 0 i 0 0 0 0 0 1 C C C A (1.28)

En presence d'une interaction electromagnetique A ; Eq. (1:21) prend la forme : n

ie (@ + ieA ) Mo (~x; t) = 0: (1.29)

Conjuguons maintenant l'equation (1:21) :

i@ +e + M += 0: (1.30)

On de nit par :

= + 2 e0 2 1 ; (1.31)

d'ou

avec etant l'adjoint de qui veri e l'equation adjointe suivante :

i (@ ieA ) e + M = 0: (1.33)

Sachant que :

e e0 = +e +e0; (1.34)

on tire l'equation de continuite :

@ J = 0; (1.35)

ou J s'ecrit de la facon suivante :

J = J0; Jk = e ; (1.36)

avec

Jk= ek : (1.37)

La densite de probabilite est alors donnee par

J0 = e0 : (1.38)

qui est aussi n'est pas de nie positive : comme dans le cas avec des equations de Proca et de KG, il est donc necessaire de recourir a la reinterpretation de Pauli et Weisskopf qui est basee sur la symetrie de charge. Contrairement aux matrices gamma de l'algebre de Dirac, ces matrices sont des inversibles.

Les exemples standards et apparemment les seuls pour les solutions des equations relativistes discutes dans les manuels de mecanique quantique sont ceux du puits carre et du potentiel de Coulomb. Dans ce contexte, le but de notre travail est d'etudier la probabilite de creation des paires dans l'equation de Dirac en presence du potentiel non local et separable, et la solution de l'equation de DKP lorsque le potentiel est aussi separable et non local.

Cette these comporte deux chapitre de la facon suivante : Dans le premier chapitre nous traitons l'e et de perturbation de vide par une interaction non locale et separables sur le processus de creation de paires de particules de Dirac, ou nous utilisons l'approche de Schwinger

de l'action e ective pour calculer la probabilite. l'equation de continuite est determiner et nalement nous appliquons le potentiel delta de Dirac comme un cas particulier d'un potentiel non local et separable.

Le deuxieme chapitre consiste a etudier le spectre d'energie de l'equation de DKP avec une interaction non locale et separable en passant par le calcul de l'expession de la fonction de Green des particules de spin 0.

Chapitre 2

Creation Des Paires

2.1

Introduction

Nous savons que le processus de creation de paires de particules formule par Schwinger [2] au moyen de l'amplitude de transition vide-vide et en termes d'action e ective est en fait le mecanisme le plus etudie. Ainsi, pour la comprehension de ces phenomenes physiques, di erentes approches ont ete developpees telles que celles basees sur la fonction de Green [9], ou la methode adiabatique[10] , la technique de diagonalisation hamiltonienne[11] , l'approximation semi-classique de WKB et plus particulierement la soi-disant approche des etats de vide "in" et "out" bases sur la transformation de Bogoliubov [12] , le theoreme des statistiques de spin [13] et les antiparticules decrites par les solutions d'energie negative remontant dans le temps etant a la base de cette approche.

Succinctement, la plupart des travaux de la litterature lies au processus de creation de particules considerent la probabilite et un grand inter^et est focalise sur l'obtention de formes analytiques de cette probabilite. Parmi les expressions, la plus simple est celle que Schwinger a obtenue en considerant comme interactions avec le vide, un champ electromagnetique constant et une onde de Volkov. Pour cette derniere interaction, il n'y a pas de processus de creation de paires.

Parmi les travaux utilisant l'approche de Schwinger de l'action e ective, nous pouvons encore trouver d'autres resultats simples pour la probabilite [14, 15] .

Dans ce chapitre, nous considerons une interaction ayant une forme particuliere en con-traste avec celle classiquement utilisee : il s'agit d'une forme non locale et separable [16] Cette interaction a ete consideree dans le cadre du probleme pose par le potentiel de la fonction dans le contexte structure periodique unidimensionnelle [17] et en particulier sur l'ambigu•te du comportement au point x = 0 de la fonction d'onde. L'avantage de la separabilite confere au potentiel une certaine exibilite puisque les calculs sont faciles a manipuler ce qui explique son utilisation dans de nombreux domaines et plus particulierement en physique nucleaire voir par exemple [18].

De plus, sachant que l'equation de Dirac avec cette interaction non-locale est resoluble analytiquement, il nous a semble utile de considerer le processus de creation de paires de particules de Dirac lorsque le vide est perturbe par cette interaction separable et non locale et de voir son e et, la determination de la probabilite relative a ce mecanisme est notre objectif principal.

Symboliquement, cette interaction separable, qui perturbe le vide a une forme de type matriciel. Elle est la suivante

^

V = ( g + h) j v >< v j , (2.1)

ou g et h sont des parametres reels et les matrices de Dirac habituelles 4 4.

Dans l'espace de con guration, son action sur la fonction d'onde (spineur) (x; t) est de nee par < x j ^V j (t) >= Z dx0 _{< x j ^V j x}0 > x0; t = ( g + h) v (x) Z ₁ 1 dx0v x0 x0; t ; (2.2) ou v (x) = hxj vi est choisi reel et tel que v (x) = v ( x) et v ( 1) = 0.

Il est evident au moment t , cette interaction depend de l'espace entier via la fonction d'onde .

Notez que si l'on se developpe v (x0) en serie au voisinage du point x , nous obtenons avec l'aide de l'operateur de deplacement ei(x0 _x)^p

, la relation v (x) = ei(x0 _x)^p

avons

< x j ^V j x0 >= ( g + h) v (x) v x0 = ( g + h) v (x) ei(x0 x)^pv (x) ; (2.3) et son action sur est donnee par

< x j ^V j (t) >= ( g + h) v (x) Z ₁

1

dx0ei(x0 x)^p v (x) (x; t) ; (2.4) = 2 ( g + h) v (x) ^ (^p) v (x) (x; t) ; (2.5)

c-a-d que la non-localite de l'interaction est caracterisee par la dependance a l'impulsion ^p (operateur). Formellement, la serie R1₁dx0ei(x0 x)^p = R1₁dx0

h

1 +i(x0_1!x)^p +(i(x0 x)^p)

2 2! + :::

i

est note par l'operateur 2 ^ (^p) :

Apres cette precision, nous procedons comme suit : premierement, l'action e ective Sef f:

est exprime en fonction des fonctions Green G ( avec interaction) et G0 (libre) . Puis, de la

partie imaginaire de Sef f: la probabilite liee au processus de creation de paires est determinee:

En tant qu'application, nous choisissons pour le produit un potentiel non local v(x)v(x0) la forme du produit d'une fonction de Dirac (x) (x0) au lieu d'une forme locale (x) .Le probleme du potentiel est connu [19]pour les di erents resultats obtenus par la limite de la solution a l'origine x = 0 quand le potentiel est remplace par un potentiel ni .

2.2

Action e ective

D'abord, il est facile de s'assurer que l'action relative a l'interaction non locale est la suivante

S ; + = Z dxdtL = Z dxdt 2 6 4 +_{(x; t)} 1 i @ @x+ m (x; t) i +_{(x; t)} @ @t (x; t) + +(x; t) ( g + h) v (x) Z dx0v (x0) (x0; t) 3 7 5 ; (2.6)

puisque par la variation par rapport aux champs +et , nous obtenons les equations d'Euler-Lagrange @S @ +_{(y; u)} = @L @ + @ @t @L @@_@t+ @ @x @L @@_@x+ = 0 , (2.7)

@S @ +_{(y; u)} = Z dxdt 2 6 4 @

@ +_(y;u) + _i@x@ + m (x; t) i_@ +@_(y;u) + @_@t

+_@ +@_(y;u) +( g + h) v (x) Z dx0_{v (x}0_{) (x}0_{; t)} 3 7 5 (2.8) @S @ +_{(y; u)} = Z dxdt (x y) (t u) @ i@x+ m (x; t) i @ @t + ( g + h) v (x) Z dx0v x0 x0; t (2.9)

c-a-d on obtient respectivement l'equation de Dirac 1 i @ @x + m i @ @t (x; t) + ( g + h) v (x) Z dx0v x0 x0; t = 0; (2.10)

et son adjoint avec les m^emes etapes @S @ (y; u) = @L @ @ @t @L @@_@t @ @x @L @@_@x = 0; (2.11) @S @ (y; u) = Z dxdt 2 6 4 + @ i@x+ m @ @ (y;u) (x; t) i + @_{@t@ (y;u)}@ + +( g + h) v (x) Z dx0v (x0)_{@ (y;u)}@ (x0; t) 3 7 5 (2.12) @S @ (y; u) = Z dxdt 2 6 4 + @ i@x (x y) (t u) + m (x y) (t u) i + (x y) @ @t (t u) + +( g + h) v (x) Z dx0v (x0) (x0 y) (t u) 3 7 5 (2.13)

@S @ (y; u) = Z dxdt + @ i@x (x y) (t u) + Z dxdt + m (x y) (t u) i Z dxdt + (x y) @ @t (t u) + Z dxdt +( g + h) v (x) Z dx0v x0 x0 y (t u) (2.14) Alors @S @ (y; u) = Z dx +(x; u) @ i@x (x y) + +_{(y; u) m} i Z dt +(y; t) @ @t (t u) + Z dx +(x; u) ( g + h) v (x) v (y) (t u)(2.15) +_{(x; t)} 1 i @ @x + m + i @ @t ! + v (x) Z dx0v x0 + x0; t ( g + h) = 0; (2.16) et etant les matrices habituelles de Dirac 4x4.

Nous savons que l'amplitude de la transition vide-vide A(vac: vac:) est donnee par [20]

A(vac vac) = Z D +D eiRdxdt +O^D ₌ Z D +D eiS (2.17) = N Det ^OD = eiSef f; (2.18)

ou maintenant, + _{et sont des variables de Grassmann et S}

ef f est l'action e ective qui,

dans notre cas, est donne par l'expression suivante

Sef f = i exp " T r ln p + m^ E + i0^ + ^ p + m E + ^^ V + i0+ # ; (2.19) ^

V etant la perturbation qui est l'interaction non-locale.

d'action e ective par

P = 1 eiSef f 2 _{= 1 e}i(Sef f S_{ef f}) = 1 e 2 Im Sef f

' 2 Im Sef f: (2.20)

Pour la determination de Sef f , il est plus approprie d'utiliser l'identite

lna + i0 + b + i0+ = Z ₊₁ 0 ds s h eis(b+i0+) eis(a+i0+)i; (2.21)

a n d'utiliser la forme exponentielle. Puis, Sef f prend la forme suivante

Sef f = iT r Z ₊₁ 0 ds s h eis( p+ m^ E+ ^^ V +i0+) eis( p+ m^ E+i0^ +)i (2.22) = iT rDT rx Z ₊₁ 0 ds s h eis( p+ m+ ^^ V +i0+) eis( p+ m+i0^ +)iT rt e is ^E ; (2.23)

ou le symbole T r = T rxT rtT rD indique une sommation diagonale respectivement sur les

co-ordonnees spatio-temporelles et sur les indices spinoriels. La derniere trace ayant ete factorisee parce que les operateurs ^p et ^E commute:

Notons par j t > et j x > les vecteurs propres des operateurs ^x et ^t . Ces kets sont tels que ^

t j t > = t j t > , ^E j t >= i@t@ j t >, ^x j x > =x j x > et ^p j x > = @

i@x j x > :

La derniere trace par rapport a l'operateur de translation temporelle e is ^E est facilement calculable . Tout d'abord, developpons-nous en serie e is ^E _{en tenant compte de l'action de ^E}

sur le ket j t >;le resultat est simplement egal a

e is ^E _{j t >=} 1 + s@ @t + s_@t@ 2 2! + ::: ! j t > =j t + s > : (2.24)

Ensuite, l'element de matrice de e is ^E a comme resultat

< tb j es @

@t j t_a>= ht_bj t_a+ si

cela nous permet d'obtenir sa trace T rtes @ @t = Z dt < tb j es @ @t j t_a> tb=ta=t = Z dt (s (tb ta))jtb=ta=t= (s) Z T 0 dt = T (s) : (2.26) L'action e ective est reduite a

Sef f = T Z ₊₁ 1 ds (s) s T rDT rx h (s) eis( p+ m+ ^^ V +i0+) eis( p+ m+i0^ +) i; (2.27)

ou la fonction de Heaviside _{(s)a ete ajoute a n d'etendre les limites des integrations (0; 1)} en ( 1; 1) .Ainsi, nous avons exprime l'action e ective en fonction des operateurs d'evolution (ou propagateurs) avec et sans interaction.

Cependant, il nous semble plus approprie d'utiliser les fonctions de Green pour la determination de Sef f . Pour cela, avec la representation integrale suivante de (s)

(s) = Z ₊₁ 1 dE 2i eiEs E i0 pour (0) = 1 2; qui devient avec le passage E ! E H^

(s) = Z ₊₁ 1 dE 2i eis(E H^) E H^ i0;

nous obtenons la representation integrale du propagateur au moyen de la fonction de Green

(s) ei ^Hs= Z ₊₁ 1 dE 2i eiEs E H^ i0+; (2.28)

ou H est le Hamiltonien qui regit le mouvement. En remplacant ^^ H par ( ^p + m) et par ( ^p + m + V ) ; nous avons respectivement les operateurs de Green

- sans interaction (libre)

^

G0(E) =

1

- et en presence de l'interaction non-locale ^V

^

G (E) = 1

E p + m + ^^ V + i0+ : (2.30)

Ainsi, l'action e ective est maintenant fonction de ^G et ^G0

Sef f = iT Z ₊₁ 1 ds (s) s Z ₊₁ 1 dE 2i e iEs_{T r} DT rx h ^ G (E) G^0(E) i (2.31) = T Z ₊₁ 1 EdE 2i T rDT rx h ^ G (E) G^0(E) i ; (2.32)

avec la propriete R+1₁ ds (s)_s eiEs = R+1₁ ds 0(s) eiEs _{= iE}R+1₁ ds (s) eiEs _{= iE;a ete utilise} a n de simpli er les integrations.

Il reste a determiner ^G. Formellement, observons que ^G et ^G0veri e les equations suivantes

[E ( ^_{p + m + ( g + h) jvi hvj)] ^G (E) = 1;} (2.33) [E ( ^p + m)] ^G0(E) = 1 (2.34)

et de ces deux equations, nous obtenons la relation entre ^_{G (E) et ^}G0(E)

^

G (E) = ^G0(E) + ^G0(E) ( g + h) jvi hvj ^G (E) : (2.35)

A n de determiner ^G; nous pouvons proceder en suivant deux methodes non perturbatives et perturbatives :

1-methode non perturbative : premierement, en multipliant Eq.(2:35) a gauche par le bra < vj, nous obtenons

hvj ^G (E) = ₁ 1 hvj ^G0(E) ; (2.36)

ou nous avons pose

= hvj ^G0(E) ( g + h) jvi : (2.37)

l'operateur Green lie a l'interaction

^

G (E) = ^G0(E) + ^G0(E) jvi ( g + h)

1

1 hvj ^G0(E) ; (2.38) en fonction de ^G0(libre). Cette methode pour obtenir ^G est donc non perturbative.

2- l'autre methode (iteration) est perturbative : elle consiste a remplacer successivement ^G du deuxieme membre par son expression (2:35)

^

G (E) = ^G0(E) + ^G0(E) ( g + h) jvi hvj ^G (E)

= ^G0(E) + ^G0(E) ( g + h) jvi hvj ^G0(E) + ^G0(E) ( g + h) jvi hvj ^G (E)

= ^G0(E) + ^G0(E) ( g + h) jvi hvj ^G0(E)

+ ^G0(E) ( g + h) jvi hvj ^G0(E) ( g + h) jvi hvj ^G0(E) +

= ^G0(E) + ^G0(E) ( g + h) jvi hvj ^G0(E) + ^G0(E) ( g + h) jvi hvj ^G0(E)

+ ^G0(E) ( g + h) jvi 2hvj ^G0(E) + :::

= ^G0(E) + ^G0(E) ( g + h) jvi 1 + + 2+ ::: hvj ^G0(E)

= ^G0(E) + ^G0(E) jvi ( g + h)

1

1 hvj ^G0(E) ; (2.39)

Donc, le resultat est le m^eme suivant les deux methodes.

De plus, il est remarquable de noter que le deuxieme terme de la fonction de Green, qui est le seul a contribuer au calcul de l'action e cective, a une forme separable gr^ace a la separabilite du potentiel.

En e et, dans l'espace de con guration, ce 2eme terme peut s'ecrire comme suit

hxbj ^G0(E) jvi ( g + h)

1

1 hvj ^G0(E) jxai = hxbj ^G0(E) jvi ( g + h) 1 1 hvj ^G0(E) jxai = V (xb;E) ( g + h) 1 1 V (xa; E) = 2 V (xb;E) ^ (^p) ( g + h) 1 1 V (xa; E) (2.40) ou V (x; E)=Rdxcv (xc) G0(xc;x; E) :

Ainsi, une fois de plus, il appara^t au deuxieme terme de la fonction de Green la car-acteristique de non-localite a travers l'operateur ^ (^p) depuis ^G (xb; xa; E) est une solution d'une

equation pseudo di erentielle suivante.

E + i _@x@ b m + ( g + h) v (xb) Z ₁ 1 dx0e(x0 xb)_@xb@ v (xb) ^G (xb; xa; E) = (xb xa) (2.41) Il est clair que la dependance in nie dans _@x@

b pose le probleme du traitement du potentiel

comme perturbation puisque le terme i _@x@

b peut aussi ^etre considere comme une perturbation

par comparaison avec le potentiel.

Cependant, puisque l'expression de ^G est de m^eme selon les methodes directes et perturba-tives, on conclut qu'il y a continuite analytique et que le traitement est independant du choix de la forme de la perturbation.

Maintenant, determinons les deux fonctions de Green avec et sans interaction.

2.2.1 Determination de l'action e ective et probabilite

Tout d'abord, determinons explicitement la fonction de Green G0(xb;xa; E) qui est l'element

de matrice de l'operateur ^G0. En inserant le projecteurRdp jpi hpj = 1 et avec l'aide de la relation

^

p jpi = p jpi , l'operateur ^p est eliminate . Alors, utiliser le produit scalaire hxj pi = peipx 2 ; nous avons G0(xb;xa; E) = hxbj ^G0(E) jxai = hxbj 1 E ( ^p + m + i0+₎jxai = Z ₊₁ 1 dp 2 eip((xb xa)) E ( p + m + i0+₎ = Z ₊₁ 1 dp 2 eip((xb xa)) E2 _p2 _m2 _i0+ (E + p + m) ; (2.42)

Il est evident qu'il y a deux p^oles p_E2 _m2 _i0+ _{situe sur les plans 1/2 inferieur et}

superieur. Selon la methode des residus, il est facile d'e ectuer l'integrale. Pour les di erents cas de xb et xa, le resultat peut ^etre obtenu par les manipulations suivantes

G0(xb;xa; E) = ( m + E) Z ₊₁ 1 dp 2 1 E2 _i0+ _(p2_{+ m}2₎e ip(xb xa) _(2.43) + Z +1 1 dp 2 p E2 _i0+ _(p2_{+ m}2₎e ip(xb xa) _(2.44)

et utilisons les decompositions

1 E2 _(p2_{+ m}2₎ = 1 p2 0 p2 = 1 2p0 1 p + p0 1 p p0 (2.45) p E2 _(p2_{+ m}2₎ = p p2₀ p2 = 1 2 1 p + p0 + 1 p p0 (2.46) donc G0(xb;xa; E) = 1 2p0 ( m + E) Z ₊₁ 1 dp 2 1 p + p0 1 p p0 eip(xb xa) 2 Z ₊₁ 1 dp 2 1 p + p0 + 1 p p0 eip(xb xa) _(2.47) si xb xa> 0 demi-plan superieur p0= hp E2 _m2 _i0i

Comme les resultats des integrations sont simples

Z ₊₁ 1 dp 2 1 p + p0 1 p p0 eip(xb xa)_{= i lim} p! p0 (p + p0) 1 p + p0 1 p p0 e ip0(xb xa)_{= ie} ip0(xb xa) (2.48) Z ₊₁ 1 dp 2 1 p + p0 + 1 p p0 eip(xb xa)_{= i lim} p! p0 (p + p0) 1 p + p0 + 1 p p0 e ip0(xb xa)_{= ie} ip0(xb xa) (2.49) Alors, la fonction de Green libre est la suivante

G0(xb;xa; E) = i 2p0 ( p0+ ( m + E)) e ip0(xb xa) (2.50) si xb xa< 0 demi-plan inferieur p0= hp E2 _m2 _i0i Z ₊₁ 1 dp 2 1 p + p0 1 p p0 eip(xb xa)_{= i lim} p!p0 (p p0) 1 p + p0 1 p p0 eip0(xb xa)_{= ie}ip0(xb xa) (2.51) Z ₊₁ 1 dp 2 1 p + p0 + 1 p p0 eip(xb xa)_{= i lim} p!p0 (p p0) 1 p + p0 + 1 p p0 eip(xb xa) _{= ie}ip0(xb xa) (2.52) Alors, la fonction de Green libre est la suivante

G0(xb;xa; E) =

i 2p0

( p0+ ( m + E)) eip0(xb xa) (2.53)

Finalment, la fonction de Green est

G0(xb;xa; E) = i 2p_E2 _m2 p E2 _m2_{sin (x} b xa) + ( m + E) e i p E2 _m2_j(x b xa)j (2.54) Pour le trosieme cas c-a-d

E2 < m2 (2.55)

p2_{0= E}2 m2 = m2 _E2 = 2 (2.56) la fonction de Green sera de nit comme suit

G0(xb;xa; E) = ( m + E) Z _dp 2 1 E2 _i0+ _(p2_{+ m}2₎e ip0(xb xa)₊ Z _dp 2 p E2 _i0+ _(p2_{+ m}2₎e ip0(xb xa) (2.57) utilisons toujours la methode de decomposition

1 E2 _(p2_{+ m}2₎ = 1 p2 2 = 1 p2₊ 2 == 1 2i 1 p + i 1 p i (2.58)

p E2 _(p2_{+ m}2₎ = p 2 _p2 = p 2_{+ p}2 = 1 2 1 p + i + 1 p i (2.59) donc G0(xb;xa; E) = 1 2i ( m + E) Z dp 2 1 p + i 1 p i e ip0(xb xa) 1 2 Z dp 2 1 p + i + 1 p i e ip0(xb xa) (2.60) pour (xb xa) > 0; p0= i =pm2 _E2_{!!demi-plan inferieur}

Comme les resultats des integrations sont simples Z dp 2 1 p + i 1 p i e ip0(xb xa)_{= i lim} p!i (p i ) 1 p + i 1 p i e ip0(xb xa)_{= ie} (b a) (2.61) Z dp 2 1 p + i + 1 p i e ip0(xb xa) _{= i lim} p!i (p i ) 1 p + i + 1 p i e ip0(xb xa)_{= ie} (b a) (2.62) G0(xb;xa; E) = 1 2 (i + ( m + E)) e (xb xa) _(2.63) pour (xb xa) < 0; p0 = i =pm2 _E2_{!!demi-plan superieur}

Comme les resultats des integrations sont simples Z _dp 2 1 p + i 1 p i e ip0(xb xa) _{= i lim} p!i (p i ) 1 p + i 1 p i e ip0(xb xa) _{= ie}+ (xb xa) (2.64) Z _dp 2 1 p + i + 1 p i e ip0(xb xa) _{= i lim} p!i (p i ) 1 p + i + 1 p i e ip0(xb xa) _{= ie}+ (xb xa) (2.65) G0(xb;xa; E) = 1 2 ( i + ( m + E)) e + (xb xa) _(2.66)

donc

G0(xb;xa; E) =

1

2 (i sin(xb xa) + ( m + E)) e

jxb xaj _(2.67)

En n, on trouve que l'expression de la fonction de Green dans le cas libre est

G0(xb; xa; E) = 8 < : 1 2 e jxb xaj[i sign (xb xa) + m + E] pour E2 < m2 1 2ipE2 _m2e ipE2 _m2_jx b xaj h _p E2 _m2_{sign (x} b xa) + m + E i pour E2 > m2; (2.68) ou le lien entre =pm2 _E2 _{(avec E}2_{< m}2_{) et p}

0=

p

E2 _m2 _{(avec E}2_{> m}2_{);est donnee par}

= ip0:

Ainsi, la fonction de Green G lies a notre interaction non locale est

G (xb; xa; E) = 1 2ip0 e ip0jxb xaj_{[ p} 0sign (xb xa) + m + E] + 1 2ip0 2Z ₊₁ 1 Z ₊₁ 1 dxcdxzv (xc) v (xz) e ip0jxb xcje ip0jxz xaj [ p0sign (xb xc) + m + E] ( g + h) h 1 1 i [ p0sign (xz xa) + m + E] ; (2.69)

et l'action e ective a pour expression

Sef f = iT Z C EdE 2i 1 2ip0 2 T rDT rx 2 6 6 6 4 R₊₁ 1 R₊₁ 1 dxcdxzv (xc) v (xz) e ip0jxb xcj_e ip0jxz xaj [ p0sign (xb xc) + m + E] ( g + h) h 1 1 i [ p0sign (xz xa) + m + E] 3 7 7 7 5; (2.70) ou p0 = p E2 _m2 _{pour E}2 _{> m}2_:

Calculons la matrice . En inserant les deux projecteurs Rdxbjxbi hxbj =

R

dxajxai hxaj =

=< v j G0( g + h) j v > = Z ₊₁ 1 Z ₊₁ 1 dxbdxav (xb) G0(xb; xa; E) ( g + h) v (xa) = Z ₊₁ 1 Z ₊₁ 1 dxbdxav (xb) 1 2ip0 e ip0jxb xaj_{[ p} 0sign (xb xa) + m + E] ( g + h) v (xa) (2.71) = 1 2ip0 Z ₊₁ 1 dxbv (xb) Z +xb 1 + Z ₊₁ xb dxae ip0jxb xaj[ p0sign (xb xa) + m + E] ( g + h) v (xa) (2.72) = 1 2ip0 2 4 0 @ R+1 1 dxbv (xb) e ip0xbR+xb 1 dxav (xa) e ip0xa_{[ p} 0+ m + E] +R+1₁ dxbv (xb) e ip0xb R₊₁ xb dxav (xa) e ip0xa_{[ p} 0+ m + E] 1 A 3 5 ( g + h) (2.73) = 1 ip0 Z ₊₁ 1 dxbv (xb) e ip0xb Z +xb 1 dxav (xa) eip0xa( m + E) ( g + h) (2.74) = 1

2ip0J [Eh + mg + (Eg + mh)] :

(2.75) avec J = Z ₊₁ 1 Z ₁ 1 dxbdxav (xb) v (xa) e ip0jxb xaj: telque Z ₊₁ 1 Z ₁ 1 dxbdxav (xb) v (xa) e ip0jxb xaj = Z ₊₁ 1 dxbv (xb) Z x 1 + Z ₊₁ x dxav (x) e ip0jxb xaj = Z ₊₁ 1 dxbv (xb) Z x 1 dxav (xa) e ip0(xb xa)+ Z ₊₁ 1 dxbv (xb) Z ₊₁ x dxav (xa) eip0(xb xa) = Z ₊₁ 1 dxbv (xb) e ip0xb Z xb 1 dxav (xa) eip0xa+ Z ₊₁ 1 dxbv (xb) eip0xb Z ₊₁ x dxav (xa) e ip0xa = 2 Z ₊₁ 1 dxbv (xb) e ip0xb Z x 1 dxav (xa) eip0xa (2.76)

Ensuite, nous pouvons deduire ₁1 qui est aussi une matrice. C'est egal a 1 1 = 1 1 _2ip1 0J [Eh + mg + (Eg + mh)] = 2ip0

2ip0 J (Eh + mg) J (Eg + mh)

= 2ip0[2ip0 J (Eh + mg) + J (Eg + mh)]

(2ip0 J (Eh + mg) J (Eg + mh)) (2ip0 J (Eh + mg) + J (Eg + mh))

= 2ip0[2ip0 J (Eh + mg) + J (Eg + mh)] [2ip0 J (E + m) (h + g)] [2ip0+ J (E m) (g h)]

; (2.77)

et donc l'action e ective Sef f a maintenant, pour l'expression

Sef f = T Z C EdE 2i 1 2ip0 1 [2ip0 J (E + m) (h + g)] [2ip0+ J (E m) (g h)] T rDT rx 2 6 6 6 6 6 6 4 R₊₁ 1 R₊₁ 1 dxcdxzv (xc) v (xz) e ip0jxb xcj_e ip0jxz xaj [ p0sign (xb xc) + m + E] ( g + h)

[2ip0 J (Eh + mg) + J (Eg + mh)]

[ p0sign (xz xa) + m + E] 3 7 7 7 7 7 7 5 : (2.78)

Passons au calcul des traces relatives aux matrices dans Sef f:

Apres le developpement des 4 produits des facteurs contenant les matrices et et l'utili-sation des proprietes des traces T r = T r = T r ( ) = 0 , il est facile de voir Sef f est reduit

a Sef f = 4T Z C dE 2i E 2ip0 1 [2ip0 J (E + m) (h + g)] [2ip0+ J (E m) (g h)] T rx 2 6 6 6 4 R₊₁ 1 R₊₁ 1 dxcdxzv (xc) v (xz) e ip0jxb xcje ip0jxz xaj 2 4 2mE Jm h 2 _g2 _{+ 2ip} 0g + EJ g2 _h2 _{+ 2ip} 0h E2+ m2+ p20sign (xz xa) sign (xb xc) 3 5 3 7 7 7 5; (2.79) ou le facteur 4 provient de T rI = 4:

Il reste a e ectuer la derniere trace T rx =

R₊₁

1 dx (:)jxb=xa=x: relative a l'espace de con

Apres quelques manipulations, le resultat est le suivant Sef f = 8T Z C EdE 2i 1 [2ip0 J (E + m) (h + g)] [2ip0 J (E m) (h g)] 2 4 2im (hm + gE) R₊₁ 1 dxe 2ip0x Rx 1dxce ip0xc_{v (x} c) 2 +E Jp0 g2 h2 + 2i (hE+mg) R₊₁ 1 dx R₊₁ x dxce ip0xc_{v (x} c) Rx 1dxzv (xz) e ip0xz 3 5 ; (2.80) ou nous avons utilise la propriete v(x) = v( x) . Cette expression peut encore ^etre reduite si l'on prend en compte les simpli cations apres integrations par une partie des deux integrales triples suivantes. Pour la 1ere integrale nous avons

Z ₊₁ 1 dxe 2ip0x Z x 1 dxceip0xcv (xc) 2 = 1 2ip0 e 2ip0x Z x 1 dxceip0xcv (xc) 2 1 1 + 1 ip0 Z ₁ 1 dxe ip0x_{v (x)} Z x 1 dxceip0xcv (xc) = 2 2ip0 Z 1 1 dxe ip0x_{v (x)} Z x 1 dxceip0xcv (xc) = J 2ip0 ; (2.81) ou le premier terme egal a 0 comme le montre l'annexe A :Pour la deuxieme integrale, nous avons Z ₊₁ 1 dx Z ₊₁ x dxce ip0xcv (xc) Z x 1 dxzv (xz) eip0xz = x Z ₊₁ x dxce ip0xcv (xc) Z x 1 dxzv (xz) eip0xz 1 1 + Z ₊₁ 1 xdxe ip0x_{v (x)} Z x 1 dxzv (xz) eip0xz Z ₊₁ 1 xdxeip0x_{v (x)} Z ₊₁ x dxce ip0xcv (xc) = i @J 2@p0 ; (2.82)

ou le premier terme egal a 0 comme le montre l'annexe A. Ces deux integrales triples sont fonction de J .

Ainsi, nous obtenons une expression pour Sef f ce qui est plus pratique Sef f = 8iT Z C EdE 2i 1 [2ip0 J (E + m) (h + g)] [2ip0 J (E m) (h g)] m p0(hm + gE) J + iE Jp0 g2 h2 _{+ 2i (hE+mg)} @J 2@p0 : (2.83)

Dans cette expression, il est evident qu'il y a 2 points de branchementE = m a cause de la racine carreep_E2 _m2 _{= p}

0 . Par consequent, il est necessaire d'introduire 2 coupes situees

dans les 2 intervalles jEj m . Les p^_{oles (ou singularites) situes dans l'intervalle m < E < m,} correspondent aux etats lies du spectre discret et les 2 coupes correspondent au spectre continu.

Notons par C+_{le chemin]1} i0; m _{i0[ [ ]m + i0; 1 + i0[ et par C le chemin ] 1} i0; m _{i0[ [} ] m + i0; _{1 + i0[ en entourant les points m et} m dans les orientations negatives et

posi-tives et par R_CB le contour entourant les p^oles sur le m < E < m axes. L'integrale sur C se

decompose en 3 integrales par rapport aux 3 contours :R_C=R_C++

R

C +

R

CB

D'abord, laissez-nous determinerR_CB relatives aux etats lies et qui correspondent aux p^oles

(ou singularites, c'est-a-dire que le denominateur est egal a 0). Ces energies d'etats lies EB sont

obtenus en resolvant les equations suivantes

2ip0 J (E + m) (h + g) = 0; (2.84)

2ip0 J (E m) (h g) = 0: (2.85)

En remplacant p0 par

p

E2 _m2 _{il est facile d'obtenir les energies des etats lies. Pour la}

premiere equation, on obtient l'energie de l'etat lie B1

EB1 = 4 (g + h)2J_B2 1 4 + (g + h)2J2 B1 m p_B1=4im (h+g)JB1 4+(h+g)2J 2 B1 avec (g + h) < 0; (2.86)

l'energie de l'etat lie B2 EB2 = 4 (g h)2J_B2 2 4 + (g h)2J2 B2 m p_B2= 4im (h g)JB2 4+(h g)2J 2 B2 avec (g h) < 0: (2.87)

Les conditions (g h) < 0 sont dus a la determination de la racine carree p_E2 _m2 ₌

ipm2 _E2_:

Laissez-nous maintenant determiner la contribution de chaque p^ole. Pour le 1er p^ole B1, a

proximite B1nous avons

1 2ip0 J (E + m) (h + g) = 2ip0+ J (E + m) (h + g) [2ip0 J (E + m) (h + g)] [2ip0+ J (E + m) (h + g)] = 2ip0+ J (E + m) (h + g) 4p2₀ J2_{(E + m)}2_{(h + g)}2 2J (E + m) (h + g) 4p2 0+ J2(E + m) 2_{(h + g)}2 B1 = 2JB1(h + g) Eh4 + J2 B1(h + g) 2i _{m 4 J}2 B1(h + g) 2 = 2 JB1(h + g) 4 + J_B2 1(h + g) 2 1 E EB1 ; (2.88)

et la contribution de ce p^ole B1 a l'action e cace e ective est alors

SB1 ef f:= 8iT (h + g) E 4 + J2_{(h + g)}2 1 gE + hm m p (hm + gE) J + i @J 2@pE Jp g 2 _h2 + 2i (hE+mg) E=EB1 p=p_B1 J =J_B1 ; (2.89) avec EB1 = m 4 (g+h)2J2 B1 4+(g+h)2J2 B1 et pB1 = 4im (g+h)J_B1 4+(g+h)2J2 B1 :

Depuis JB1dans un integral (sur le variable x ) est reel et que S B1

ef f: est reel, cette action

e ective ne contribue pas a l'expression de la probabilite.

Avec le changement (m; g) ! ( m; g) ; l'action e ective SB2

ef f: relatif a B2 a une forme

similaire a celle de SB1

SB2 ef f:= 8iT (h _{g) E} 4 + J2_{(h g)}2 1 gE + hm m p (hm + gE) J + i @J 2@pE Jp g 2 _h2 + 2i (hE+mg) E=EB2 p=p_B2 J =J_B2 ; (2.90) avec EB2 = m 4 (g h)2J_B22 4+(g h)2J2 B2 et pB2 = 4im (g h)J_B2 4+(g h)2J2 B2 : Aussi, l'action SB2

ef f: ne contribue pas a le calcul de la probabilite.

Maintenant, considerons la partie continue. Premiere reecriture Sef f: comme suit

Sef f:= 8iT Z C+_+C dE 2i E p0 1 p0(J2(g2 h2) + 4) + 4iJ (hE + gm) : m p0 (hm + gE) J + iE @J 2@p0 J p0 g2 h2 + 2i (hE+mg) ; (2.91)

et apres quelques manipulations, nous pouvons montrer que S_{ef f:}cont:prend une forme plus com-pacte (voir l'annexe B)

S_{ef f:}cont: = 16T Re Z _{+1 i0}+ m i0+ dE 2 E p0 8 < : m p0(hm+gE)J p0(J2(g2 h2)+4)+4iJ (hE+gm)+ iE @J 2@p0 J p0(g2 h2)+2i(hE+mg) p0(J2(g2 h2)+4)+4iJ (hE+gm) m p0(hm gE)J p0(J2(g2 h2)+4)+4iJ ( hE+gm) iE @J 2@p0 J p0(g2 h2)+2i( hE+mg) p0(J2(g2 h2)+4)+4iJ ( hE+gm) 9 = ;: (2.92)

Il est evident que Scont:

ef f:est purement reel, sa partie imaginaire est alors egale a zero

Im S_{ef f:}cont: = 0; (2.93)

c-a-d la partie continue de l'action e ective ne contribue pas au calcul de la probabilite. La probabilite liee a notre interaction non locale est alors simplement nulle.

P = 1 exp 2 Im S_{ef f:}cont:+ SB1 ef f:+ S

B2

ef f: = 1 exp (0) = 0: (2.94)

c-a-d qu'il n'y a pas de processus de creation de paire de particules (Dirac) lorsque le vide est perturbe par une telle forme d'interaction separable.

Ce resultat necessite cependant quelques clari cations ou remarques.

A-Considerons l'equation de continuite. Apres avoir multiplie l'equation de Dirac et son adjoint respectivement par + et et par di erence, nous obtenons l'equation suivante

@ + @t + @j @x+ i R₊₁ 1 dx0v (x0) +(x0; t) (g + h) (x; t) v (x) iv (x) +(x; t) ( g + h) R+1₁ dx0 (x0; t) v (x0) = 0; (2.95)

ou j = + est la densite de courant standard : Cette equation n'est pas la forme standard de l'equation de continuite, mais en utilisant la relation f (x; t) = _@t@ Rtdsf (x; s), nous pouvons absorber les deux derniers termes du premier terme de l'equation precedente et on obtient maintenant @ @t + @j @x = 0; (2.96) ou = + + i Z t ds 2 4 R₊₁ 1 dx0v (x0) +(x0; s) ( g + h) (x; s) v (x) v (x) +_{(x; s) ( g + h)} R+1 1 dx0v (x0) (x0; s) 3 5 ; (2.97)

est la nouvelle densite qui n'est clairement de nie positive pour tout v (x) 6= (x). Cependant, notons queR+1₁ dx =R+1₁ + dx = 1 pour tout v (x) :

Ainsi, pour ce type de potentiel, localement il n'y a pas de conservation du nombre de particules (c'est-a-dire que les particules sont creees ou absorbees) mais globalement il y a conservation du nombre de particules.

Comme, on sait que pour l'equation de Dirac, est la fonction d'onde , = + > 0 est la densite de probabilite et devient une variable de Grassmann dans le formalisme de l'integrale fonctionnelle . Dans notre cas depend de v(x) n'est pas toujours > 0 et l'utilisation de l'Eq.11 nous semble non appropriee puisque l'Eq.11 concerne les particules de Dirac (ayant > 0 ):

Ainsi, le resultat de la probabilite = 0 peut s'expliquer par le fait que la creation de paires de particules de type Dirac ( > 0) n'est pas possible avec le potentiel non local.

il faut prendre en compte la nature de la particule et les statistiques correspondantes. Nous savons que nous avons des statistiques de Bose pour les particules satisfaisant l'equation de Klein - Gordon et des statistiques de Fermi pour les particules de Dirac correspondantes. Dans notre cas, il y a une ambigu•te sur la nature de la particule.

B- Sur le plan procedural : la forme lineaire ^E = i_@t@ utilise, a conduit a l'apparition de la fonction Dirac (s (tb ta)) au lieu de la forme quadratique habituelle ^E2 = @

2 @t2 que

l'on obtient en general en appliquant l'operation de conjugaison de charge C. Dans notre cas du potentiel non local, cette operation C conduirait a une forme non exploitable.

A titre d'illustration, choisissons le cas ou v(x) a une forme simple qui est la fonction delta de Dirac,

v (x) = (x) : (2.98)

Dans ce cas, l'interaction non locale devient une interaction locale. Nous savons que la fonction est mal de ni dans l'espace de Hilbert et il peut ^etre de ni par une sequence de fonctions. Pour resoudre l'equation de Dirac par exemple, il faut habituellement une sequence comme un potentiel de puits carre ni, puis prendre la n de la solution obtenue. Pour le cas de l'equation de Dirac, on trouve cependant que la solution depend du choix de la sequence, contrairement a l'equation de Schr•odinger.

2.2.2 Cas particulier : Potentiel non local et separable

Notons que l'integrale J devient simple

J = Z ₊₁ 1 dxv (x) Z ₊₁ 1 dxv (y) e ip0jx yj₌ Z ₊₁ 1 dx (x) Z ₊₁ 1 dx (y) e ip0jx yj_{= 1; (2.99)}

et les energies des etats lies sont egales a

EB1 = 4 (g + h)2 4 + (g + h)2m avec (g + h) < 0; (2.100) EB2 = 4 (g h)2 4 + (g h)2m avec (g h) < 0; (2.101)

et les actions e ectives liees aux etats lies et aux etats continus sont respectivement les suivantes SB1 ef f:= 2T EB1; (2.102) SB2 ef f:= 2T EB2; (2.103) Scont:_{ef f:} = 16T Re Z _{+1 i0}+ m i0+ dE 2 E p0 8 < : m p0(hm+gE) p0((g2 h2)+4)+4i(hE+gm) m p0(hm gE) p0((g2 h2)+4)+4i( hE+gm) + m p0(hm gE) p0((g2 h2)+4) 4i(hE+gm) m p0(hm gE) p0((g2 h2)+4) 4i( hE+gm) 9 = ; = 32T Z _{+1 i0}+ m i0+ + Z m i0+ 1 i0+ ! dE 2 E p0 m p0 (hm + gE) p0 g 2 _h2 _{+ 4} [p0((g2 h2) + 4)]2+ [4 (hE + gm)]2 ; (2.104)

et que la probabilite pour ce cas de potentiel delta de Dirac

P = 1 e 2 Im Sef f:cont:+Sef f:B1 +vB2ef f: _{= 1 1 = 0: (2.105)}

est aussi nulle !

Cependant, ce resultat necessite a nouveau quelques clari cations 1- D'abord, laissez-nous calculer explicitement Scont:

ef f: en e ectuant les deux integrations.

Comme E p E2 _m2 gE+hm [p0((g2 h2) + 4)]2+ [4 (hE + gm)]2 = 1 2 1 g2 _h2_{+ 4} 1 p E2 _m2 g + h 4 + (g + h)2 + g + h 4 + (g + h)2 EB1 E EB1 + (h; EB1) ! ( h; EB2) ; (2.106) et avec l'aide de l' Eq.2.261 [21]

R = a + bx + cx2 Z _dx p a + bx + cx2 = 1 p_cln 2pcR + 2cx + b c > 0 = p1 carc sin 2cx + b p c < 0 = 4ac b2< 0; (2.107)

et l'Eq.2.281 (avec n=1) [21] Z _dx (x + p)npa + bx + cx2 = Z _tn 1_dt p c + (b 2pc) t + (a bp + cp2_{) t}2 t = 1 x + p > 0; (2.108) nous obtenons le resultat suivant de ces deux integrales

Z ₁ m dE p E2 _m2 = lim_E!1ln p E2 _m2_{+ E} m ! ; (2.109) Z ₁ m dE p E2 _m2 1 E EB1 = q 1 m2 _E2 B1 arcsinEB1 m + =2 ; (2.110) Et ainsi Z 1 m dE::: = 1 2 1 g2 _h2_{+ 4} 2 6 6 4 g+h 4+(g+h)2 limE!1ln p E2 _m2_+E m + EB1 g+h 4+(g+h)2 1 q m2 _E2 B1 arcsinE_mB1 + =2 + g h 4+(g h)2limE!1ln p E2 _m2_+E m + EB2 g h 4+(g h)2 1 q m2 _E2 B2 arcsinEB2 m + =2 3 7 7 5 ; (2.111)

et apres quelques manipulations, nous obtenons pour le potentiel delta de Dirac l'expression de la partie continue de l'action e ective

S_{ef f:}cont: = 32T 1 g2 _h2_{+ 4} 2 6 6 4 g+h 4+(g+h)2 limE!1ln p E2 _m2_+E m + g+h 4+(g+h)2 EB1 q m2 _E2 B1 arcsinE_mB1 + g h 4+(g h)2limE!1ln p E2 _m2_+E m + g h 4+(g h)2 E_B2 q m2 _E2 B2 arcsinEB2 m 3 7 7 5 ; (2.112)

et il est evident que S_{ef f:}cont: _{! 1 .}

Dans notre cas de le potentiel _{, notons que l'amplitude vide-vide A(vac vac) = e}iSef f ₌

N Det ^OD ! ei1 et par consequent le passage de l'equation 12 a l'equation 13 pour obtenir la

fonction de Green n'est pas clair. en outre, le potentiel est connu pour le probleme pose par l'obtention de la solution de l'equation de Dirac et bien que des suggestions [18] comme le remplacement de (x) (x) par (x) (0

+_{)+ (0 )}

2 , la solution de ce probleme reste ambigu.

(x) = 0(x) + 2e ip0x ( x) E g 2 _h2 + 2iph (E + m ) (h2 _g2_{) p}2 0+ 4ih (hE + gm) p0 4p20 0(0) + 2eip0x _(x) m h 2 _g2 _{+ 2ip} 0g (m + E) (h2 _g2_{) p}2 0+ 4ih (hE + gm) p0 4p20 0(0) ; (2.113)

ou le spineur 0(0) est tel que [ p0+ m + E] 0(0) = 0 ( 0(x) etant la solution libre de

l'equation de Dirac). Nous reconnaissons dans cette expression une superposition de trois ondes : incidente, re echie et transmise.

De chaque c^ote de l'origine, nous avons

0+ = 1 + 2 m h 2 _g2 _{+ 2ip} 0g (h2 _g2_{) p}2 0+ 4ih (hE + gm) p0 4p20 (m + E) ! 0(0) ; (2.114) 0 = 1 + 2 E g 2 _h2 _{+ 2iph} (h2 _g2_{) p}2 0+ 4ih (hE + gm) p0 4p20 (E + m ) ! 0(0) : (2.115)

et il est clair que (0+_{) 6=} (0 ) et pour x = 0, (0) est inde nie.

Ainsi, pour le cas particulier v (x) = (x), la propriete (x) (x; s) = (x) (0; s) est non valide si (0; s) est inde nie et Suivant l' Eq.61, nous n'avons pas le formulaire standard = + pour la densite. En outre (0; t) et j (0; t) = + sont mal de nis.

En un mot, puisqu'il n'y a pas d'equation de continuite pour ce cas particulier, Le potentiel ne peut pas creer de particules de type Dirac ( > 0) et donc la probabilite est nulle.

2.3

Conclusion

Dans ce travail qui peut ^etre considere comme une contribution au probleme du potentiel dans l'equation de Dirac , nous avons considere le processus de creation de paires en determinant la probabilite suivant l'approche de l'action e ective, le vide etant perturbe par un potentiel non local et separable.

De l'equation de continuite, il a ete montre que sous l'e et de l'interaction non locale clas-siquement, n'est pas de ni positif alors qu'une particule de Dirac a un > 0 et le resultat est evidemment une probabilite nulle de creer des particules de type Dirac. Avec une autre ap-proche comme la methode des etats de vide "in" et "out", la m^eme ambigu•te subsiste, puisque la nature de la particule en relation avec le theoreme de statistique de spin est necessaire pour obtenir la probabilite

Pour le cas limite du potentiel , la solution a l'origine x = 0 est mal de nie. Dans ce cas, il n'y a pas de continuite car ( ; j) ne sont pas de nis a l'origine. Alors, la probabilite de creer des particules de Dirac est egalement nul.

Chapitre 3

Equation de Du

n-Kemmer-Petiau

(DKP) avec une interaction non

locale et separable

3.1

Introduction

Nous savons que les particules relativistes de spin-0 sont decrites par l'equation de Klein Gordon (KG), equation dont le defaut majeur est une densite non de nie positive et que les particules de spin -1/2 sont decrites par une equation de type matriciel et lineaire - equation de Dirac- qu'on obtient en faisant jouer l'espace et le temps un m^eme r^ole. Si la densite est dans ce cas de nie positive, l'importance de cette equation reside surtout dans la prediction de l'existence d'antiparticules .

Il existe cependant une autre equation relativiste ou l'espace et le temps jouent le m^eme r^ole et qui ressemble a celle de Dirac : il s'agit de Du n-Kemmer-Petiau (DKP)[22],[23],[24] qui est reservee a la description du mouvement des particules de spin-0 et de spin-1. Pour le cas du spin 0, les deux equations DKP et KG dans certaines situations,peuvent donner des resultats di erents [25],[26] . C'est ainsi qu'il a ete montre pour les reactions meson-noyau, que l'ajustement des resultats theoriques par rapport aux resultats experimentaux est meilleur pour l'equation de DKP que pour l'equation de KG [27]

Rappelons que l'equation DKP est de type matriciel et a une certaine ressemblance avec celle de Dirac ou le temps et l'espace jouent le m^eme r^ole, et ou les matrices de Dirac sont remplacees par les matrices eu mais obeissant aux relations suivantes

e e e + e e e = g e + g e : (3.1)

En presence d'une interaction cette equation DKP a la forme suivante

ie @ m (x; t) + V (x; t) = 0: (3.2)

Dans ce papier , on se propose d'utiliser des interactions de type non locale et separable[4][3] pour l'obtention de la solution de l'equation DKP. Dans le cas non relativiste, il est connu les interactions de type non local ont ete largement utilisees en physique nucleaire.

Cette interaction nous la choissons avec la forme simple suivante

^

V = M jvi hvj (3.3)

ou M est matrice .

Son action sur la fonction d'onde est donnee par

V (x; t) = M v(x) Z ₊₁

1

dx0v (x0) x0; t ; (3.4)

ou l'on peut voir a travers l'integrale,que l'interaction depend de la fonction d'onde non seule-ment d'un point mais de tout l'espace.

3.2

Determination de G

(x

x

;

E) et de G(x

x

;

E)

Commencons par l'equation de DKP libre (V = 0)

ie0@0+ ie 1

ou les e obeissent aux relations suivantes

e e e + e e e = g e + g e : (3.6)

D'abord, posons ^/p = e ^p et multiplions par ^p

^/ pe e + e e ^/p = ^p e + g ^/p; (3.7) et ensuite par ^p ^ 6 p ^6 p + _{6 p ^}^_{6 p = ^}p2 + ^p ^_{6 p;} (3.8) , et par ^p ^ 6 p ^6 p ^6 p + ^6 p ^6 p ^6 p = ^p2_{6 p + ^}^ p2_{6 p;}^ (3.9) on obient la propriete suivante, utile pour la suite

^

6 p3 = ^p2_{6 p;}^ (3.10)

ou l'on peut noter que ^p2 est sans matrice.

En presence de l'interaction ^V ; l'equation DKP devient

ie /@ m = V^ : (3.11)

Pour obtenir sa solution on procede comme suit a on resoud d'abord l'eq. libre (sans intercation)

ie /@ m 0 = 0: (3.12)

ie /@0 m G0 x0; t0; t; x = 2 X0 X (3.13)

ie0@/0₀+ ie1@/0₁ m G0 x0; t0; t; x = t0 t x0 x :

Alors la solution de l'equation de DKP avec interaction se deduit de a et b. Elle est donnee par hxj j i = hxj j 0i hxj G0V j i^ (x) = 0(x) hxj G0V j i^ = 0(x) Z dx0_{hxj G}0 x0 x0 V j i^ = 0(x) Z dx0G0 x; x0; E x0 V j i^ (3.14)

Determinons d'abord la fonction de Green G0(x0; x:E) qui est reliee a G0(x0; t0; t; x) par

G0 x0; t0; t; x = Z d2p (2 )2G0(E; p) e i[E(t0 _{t) p(x}0 _x)] = Z dEdp (2 )2G0(E; p) e i[E(t0 _{t) p(x}0 _x)] = Z dE 2 dp 2 G0(E; p) e i[E(t0 _{t) p(x}0 _x)] = Z _dE 2 e iE(t0 _t) G0 x0; x:E ; (3.15)

en rappelant au passage que

t0 t = Z _dE

2 e

iE(t0 _t)

Ainsi nous avons respectivement ie0@/0₀+ ie1@/0₁ m Z _dE 2 e iE(t0 _t) G0 x0; x; E = x0 x Z _dE 2 e iE(t0 _t) Z _dE 2 e iE(t0 _t) ie0E + ie1@/0₁ m G0 x0; x; E = x0 x Z _dE 2 e iE(t0 _t) e0E + ie1@/0₁ m G0 x0; x; E = x0 x ie0E + ie1@/0₁ m Z _dp 2 G0(E; p) e ip(x0 _x) = x0 x = Z _dp 2 e ip(x0 _x) ; (3.17)

et par identi cation

e0E e1p^ m G0(E; p) = I

G0(E; p) =

I

e0E e1p^ m

; (3.18)

ou encore de maniere symbolique

G0=

I ^ 6 P m:

Ayant trouve G0, modi ons son expression en multipliant par ^ / P2 m + ^P/ ! : Nous avons G0= I ^ 6P2 m + ^6 P 6 P^ m ^ 6 P2 m + ^6 P ! = I ^ 6P3 m + ^6 P 2 _^ 6 P2 m ^_{6 P} ^ 6 P2 m + ^6 P ! = I ^ 6P3 m m ^6 P ^ 6 P2 m + ^6 P ! = I ^ P2 m m 6 P^ ^ 6 P2 m + ^6 P ! : (3.19)

Dans cette expression, notons que le denominateur contient encore des matrices ^_{6 P :} Comme ^ 6 P G0= mG0+ I = I P2 m m ^ 6 P2 m + ^6 P ! ; (3.20) alors, nalement G0= I P2 _m2 ^ 6 P2 m + ^6 P ! I m: (3.21)

Dans l"espace des con gurations la fonction de Green libre s'ecrit

G0 x0; x; E = Z ₁ 1 dp 2 eip(x0 x) P2 _m2 6 P2 m + 6 P (x0 x) m : (3.22)

Il est clair que le denominateur s'annule lorsque P2 m2 = E2 p2 m2 = 0;c'est a dire pour k = pE2 _m2 _{= (2 p^oles)} Developpons l'integrale Z dp 2 eip(x0 x) P2 _m2 ^_/ P2 m + ^P/ ! = Z dp 2 eip(x0 x) E2 _(p2_{+ m}2 _i0) 0 B @ Ee0 pe1 2 m + Ee 0 pe1 1 C A = Z _dp 2 eip(x0 x) E2 _(p2_{+ m}2_{) + i0} 0 @E 2_e02_{+ p}2_e12 _{Ep e}0_e1_{+ e}1_e0 m + Ee 0 pe1 1 A ; (3.23) et utilisons les decompositions

1 E2 _(p2_{+ m}2_{) + i0} = 1 p2_{+ E}2 _m2_{+ i0} = 1 p2_{+ k}2_{+ i0} = 1 2k 1 p k 1 p + k ;

p E2 _(p2_{+ m}2_{) + i0} = p p2_{+ k}2_{+ i0} = p p2 _k2 = 1 2 1 p k+ 1 p + k : Comme les resultats des integrations sont simples

Z _dp 2 e ip(x0 _x) 1 p k = i x 0 _{x e}ik(x0 _x) ; Z _dp 2 e ip(x0 _x) 1 p + k = i x x 0 _e ik(x0 _x) ; Alors, la fonction de Green libre est nalement la suivante

G0 x0; x; E = 12_{+ I} m x 0 _x i 2k x 0 _{x e}ik(x0 _x) K/2 m + /K ! (3.24) i 2k x x 0 _e ik(x0 _x) K/2 m + /K ! k! k ; (3.25) ou K =(E; k)

Passons a la solution generale de l'equation de DKP D'abord, symboliquement nous avons

j i = j 0i G0(E) M jvi hvj j i ; (3.26)

Multiplions a gauche par hvj , on obient

hvj j i = hvj j 0i hvj G0(E) M jvi hvj j i ; (3.27)

ou encore

(I + hvj G0(E) M jvi) hvj j i = hvj j 0i : (3.28)

Ce qui nous permet de tirer

hvj j i = I

I + hvj G0(E) M jvihvj j 0i :

Posons maintenant = hvj G0(E) M jvi ; (3.30) d'ou j i = j 0i G0(E) M jvi I I + hvj j 0i ; (3.31) et en terme de fonction d'onde

(x) = 0(x) Z dyG0(x; y; E) M v (y) I I + Z dzv (z) 0(z) : (3.32) Posons = hvj G0(E) M jvi = Z hvj G0(E) M jvi = Z dx0dxG0 x0; x; E M v x0 v (x) : (3.33)

Il est clair que l'expression I + _{= I + hvj G}0(E) M jvi se trouvant au denominateur dans la

fonction d'onde est une matrice et que _I+I son inverse est egalement une matrice. Nous savons que pour inverser une matrice il faut passer par le determinant et nalement le spectre des energies est donnee par l"equation suivante

Det (I + ) = 0: (3.34)

Il nous reste a xer la matrice M en utilisant des considerations d'invariance relativiste. Pour le choix simple suivant

M = he1; (3.35)

5 5 e0= 0 B B B B B B B B B @ 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 C C C C C C C C C A :e1 = 0 B B B B B B B B B @ 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 C C C C C C C C C A

nous trouvons la valeur suivante pour l'energie

E2 = m 2 4J2_h2 ou J = 1 2 Z ₁ 1 dxeikx0v x0 Z x0 1 dxe ikxv(x); J = 1₂R1₁dxe ikx0v (x0)Rx 0 1dxe ikx_{v(x) =} 1 2 R₁ 1dxe ikx0 v (x0)Rx 0 1dxe ikx_v(x)

Remarquons que J est reel si k est de la forme k = i ;c'est a dire maginaire pur . Comme E2 = k2+ m2 = 2+ m2 > 0 alors 2 < m2

Distinguons alors les 2 cas

-Cas 1 : si h reel, alors E = i_{2J h}m = imaginaire pur . Dans ce cas il n'ya pas d'etats lies -Cas 2 : si h =imagimaire pur = ia . Alors E2= _4Jm22_a2 et E =

m

2J a:Dans ce cas il ya deux

etats lies a condition m < E = _{2J a}m < m .

3.3

Conclusion

Nous avons montre pour un potentiel non local et separable comment obtenir analytique-ment le spectre d'energie relative a des particules de spin 0 , decrites par l'equation DKP. Pour le cas du spin 1 on doit utiliser des matrices d'ordre 10 10 pour les matrices e0 et e1: Le resultat peut etre trouve ailleurs.

Chapitre 4

Conclusion generale

Dans cette these qui traite essentiellement des equations de Dirac (spin 1=2)et Du n-Kemmer-Petiau (spin 0) , nous pouvons voir qu'elle se compose de deux chapitres :

Dans le premier chapitre, nous avons etudie la probabilite de creation des paires dans l'equation de Dirac, ou le vide est perturbe par un potentiel separable et non local d'une forme matricielle. En suivant l'approche de l'action e ective par l'utilisation des fonctions de Green (libre) et (avec interaction). La probabilite etant determinee via la partie imaginaire de l'action e ective, et nous avons trouve que cette probabilite est nulle c-a-d il n'y a pas de processus de creation de paires pour le type du potentiel non local traite.

A titre d'illustration, le potentiel non local est pris de forme simple `le potentiel delta de Dirac ' qui nous permis de con rmer que puisqu'il n'y a pas d'equation de continuite pour ce cas particulier, on ne peut pas creer de particules de type Dirac.

Dans le deuxieme chapitre, La solution de l'equation de DKP decrite les particules bosoniques de Spin 0 est discutee en presence d'une interaction matricielle de type non locale et separable. Dans ce cas, le spectre d'energie est obtenu analytiquement a travers le calcul de la fonction de Green (libre) de l'equation de DKP. En n, nous avons choisi une forme simple pour une matrice M presente cette interaction.

Les principales perspectives de recherche qui apparaissent a l'issue de cette these concernant les resultats trouves, nous pouvons envisager de completer les travaux suivants :

-Utiliser l'approche de transformation de Bogoliobov pour calculer la probabilite de creation des paires dans l'equation de Dirac avec le type d'interaction choisie (separable et non locale).

- Tester l'in uence de ce potentiel non local sur autres equations relativistes.

4.0.1 Annexe A

Dans cette annexe, nous proposons de montrer que les deux termes suivants sont null : - Pour le premier terme

e 2ip0x Z x 1 dxceip0xcv (xc) 2 1 1 = lim R!1 R! 1lim e 2ip0R Z R 1 dxceip0xcv (xc) 2 = lim "!0+ _R!1lim _{R! 1}lim RR 1dxce ip0xc_{v (x} c) eip0R_e"R !2 = R₁ 1dxce ip0xc_{v (x} c) 1 = cte 1 = 0 !2 R 1 1 dxceip0xcv (xc) 0 = 0 0 !2 = 0 lim "!0+_{R! 1}lim eip0R_e"R_{v (R)} ip0eip0Re"R 2 = lim "!0+_{R! 1}lim v (R) ip0 2 = lim "!0+_{R! 1}lim v (R) ip0 2 = v 2 ( 1) p2 0 = 0 (p06= 0) :

x Z ₊₁ x dxce ip0xcv (xc) Z x 1 dxzv (xz) eip0xz 1 1 = lim R!1 R! 1lim R Z ₊₁ R dxce ip0xcv (xc) Z R 1 dxzv (xz) eip0xz = lim R!1 R! 1lim R₊₁ R dxce ip0xcv (xc) RR 1dxzv (xz) eip0xz 1 R = Z ₁ 1 dxzv (xz) eip0xz lim R!1 R₊₁ R dxce ip0xc_{v (x} c) 1 R Z ₊₁ 1 dxce ip0xcv (xc) lim R! 1 RR 1dxzv (xz) eip0xz 1 R = Z ₁ 1 dxzv (xz) eip0xz lim R!1 e i(p0 i0+)R_{v (R)} 1 R2 Z ₊₁ 1 dxce ip0xcv (xc) lim R! 1 v (R) ei(p0 i0+)R 1 R2 = 0 0 = 0:

parce que lim_R!1e i(p0 i0+)R

! 0 et limR! 1ei(p0 i0 +_)R

! 0

4.0.2 Annexe B

Dans cette annexe, nous developpons l'expression S_{ef f}cont:: Depuit R_{C dEf (E) =}R_C+dEf ( E) , premierement

S_{ef f}cont: = 8iT Z C+ dE 2i E p0 8 < : m p0(hm+gE)J p0(J2(g2 h2)+4)+4iJ (hE+gm) + iE @J 2@p0 J p0(g2 h2)+2i(hE+mg) p0(J2(g2 h2)+4)+4iJ (hE+gm) + m p0(hm gE)J p0(J2(g2 h2)+4)+4iJ ( hE+gm) + iE @J 2@p0 J p0(g2 h2)+2i( hE+mg) p0(J2(g2 h2)+4)+4iJ ( hE+gm) 9 = ;;

ou nous pouvons observer le changement (m; g; h) ! ( m; g; h)dans le deuxieme integral R

C :

Maintenant, laissez-nous decomposer l'integrale comme suit Z C+dE (:) = Z m i0+ +1 i0+dE (:) + Z _1+i0+ m+i0+ dE (:) = Z _{+1 i0}+ m i0+ dE (:) + Z _1+i0+ m+i0+ dE (:) ;

en prenant en compte pour p0le changement de signe :

= p_E2 _m2 _{sur le chemin ]1 + i0; m + i0[ .} alors Scont: ef f: devient S_{ef f:}cont: = 8iT Z _{+1 i0}+ m i0+ dE 2i E p0 8 < : m p0(hm+gE)J p0(J2(g2 h2)+4)+4iJ (hE+gm) + iE @J 2@p0 (J p0(g2 h2)+2i(hE+mg)) p0(J2(g2 h2)+4)+4iJ (hE+gm) m p0(hm gE)J p0(J2(g2 h2)+4)+4iJ ( hE+gm)+ iE @J 2@p0 J p0(g2 h2)+2i( hE+mg) p0(J2(g2 h2)+4)+4iJ ( hE+gm) 9 = ; + 8iT Z _1+i0+ m+i0+ dE 2i E p0 8 < : + m p0(hm+gE)J p0(J 2(g2 h2)+4) 4iJ (hE+gm) iE @J 2@p0 J p0(g2 h2) 2i(hE+mg) p0(J 2(g2 h2)+4) 4iJ (hE+gm) m p0(hm gE)J p0(J 2(g2 h2)+4) 4iJ ( hE+gm) iE @J 2@p0 J p0(g2 h2) 2i( hE+mg) p0(J 2(g2 h2)+4) 4iJ ( hE+gm) 9 = ;:

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