HAL Id: jpa-00233259
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Submitted on 1 Jan 1934
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Sur la production des paires par des chocs de particules
lourdes
W. Heitler, L. Nordheim
To cite this version:
LE
JOURNAL DE
PHYSIQUE
ET
LE
RADIUM
SUR LA PRODUCTION DES PAIRES PAR DES CHOCS DE PARTICULES LOURDES
Par W. HEITLER
(Bristol)
et L. NORDHEIM(Paris).
H.-H. Wills
Physical Lab.,
Bristol etCollège
de France Lab. dePhysique théorique,
Paris.Sommaire. 2014 Une méthode est développée pour le calcul de la production des paires par des chocs de particules (§ 1) La question de l’interaction relativiste est étudiée, et il est montré qu’elle peut être
toujours prise en considération à la même approximation, avec laquelle on peut traiter les problèmes du rayonnement en général (§ 2). Comme application, le cas des chocs de particules lourdes est considéré en
détail (§ 3). La section d’action efficace devient
(à un facteur peu important près), où M1, M2 sont les énergies de repos des deux particules lourdes (1 sera
la particule incidente,
T01
son énergie cinétique), Z1, Z2 leurs nombres atomiques. Malgré lefacteur $$ Z41 Z22
l’effet est trop petit pour être observé, à cause de la parenthèse, qui provient du mouvement relatif des deux parti-cules lourdes.SÉRIE VII.
TOME V.
N’ 9.
SEPTEMBRE
1934.
Introduction. - La théorie du
rayonnement,
encombinaison avec
l’interprétation
de Dirac desposi-trons comme lacunes dans une distribution uniforme des électrons entre les états
d’énergie négative,
permet
decalculer,
au moins entre certaineslimites,
lespro-ba,bilités de la création et destruction des
paires.
Lepro-cessus le
plus
simple
de ce genre, laproduction
despaires
par unrayonnement y
incident sur des noyaux, a pu être étudiécomplètement
et s’est trouvé en accordquantitatif
avecl’expérience (1).
Une autrepossibilité
pour la
production
despaires
est fournie par des chocs departicules.
Ce processus estprobablement déjà
observé
quelquefois
dans la chambre Wilson(2).
En outre son étude seraimportante
pour la discussioncomplète
dufreinage
desparticules
degrande
vitesse dans lerayonnement
cosmique.
Pourpremier
pas danscette direction nous étudions ici la création des
paires
par des chocs departicules
lourdes. Mais pour voirplus
clairement lespoints
essentiels nous avonsposé
(1) J. R. OPPEKHEIMER et ~I~I. S. PLESSET, Phys. Rev., 1933,
44, 53;
W. HEITLER et F. SAUTEUR, l~’alt~re, 1933, 132, 892 ; w. HEITLER etH. BETIIE, Proc. Roy, Soc, London, 193~, 146 A, 83-M2.
. Nous citons
ce dernier mémoire, qui contient les résultats les
plus
complets,
comme 1.(2) Un rapport prélilninaire sur un essai d’un traitement
théo-rique a été publié par FURI~Y et CARLSSON, Phys. Rev.
la théorie sous une forme
complète,
qui
seraitapplicable
pour desparticules quelconques.
Si on a des
électrons,
laquestion
de l’interactionrelativiste devient
importante.
Par unegénéralisation
légère
de la méthode de Moeller il esttoujours possible,
même pour les
problèmes plus compliqués,
de tenircompte
du retard et de l’interactionmagnétique
desspins
à la mêmeapproximation,
aveclaquelle
onpeut
traiter les
phénomènes
durayonnement
engénéral.
Pour les
particules
lourdes nous obtenons lerésultat,
que la
production
despaires
d’électrons nejoue
aucunrôle pour leur
freinage.
Mais ceci n’est pas dû à lagrandeur
de la masse, mais à un effet del’entraîne-ment des deux
particules
de massescomparables.
1. Méthode
générale ;
états intermédiaires. -La méthode 1plus simple
pour tous lesproblèmes
des chocs et durayonnement
consiste dans la méthode de Born.Négligeant
enapproximation
zéro toutes les interactions onpart
des ondesplanes
pour des états
stationnaires
desparticules.
Pour sim=plifier
les formules nousemployons
les notationssui-vantes :
450
fi = constante de Planck divisée par 2’7t.
p =
impulsion
d’uneparticule
multipliée
par c
(vitesse
de lalumière).
k
= impulsion
d’unphoton multiplié
par c. u = mc~.s
= énergie
individuelle d’uneparticule.
E .-
énergie
totale dusystème
considéré.u = fonctions de Dirac à 4
composantes,
normali-sées pour l’unité du volume.a, ~
=opérateurs
de Dirac.A
chaque
valeur desimpulsions
p
appartiennent
quatre
ondes detype
(1),
deuxd’énergie positive,
deuxd’énergie négative
(~).
Un
positron
estsimplement
une lacune dans la dis-tribution normalementcomplètement remplie
desélec-trons sur des états
d’énergie négative
avecl’éner-gie
e+ =
1
ê
1
et lesimpulsions
p~ .--_ - p.
Lapro-duction des
paires
est considérée comme transition d’une seuleparticule
d’un étatnégatif
à un état normal.Grâce aux interactions diverses
(voir §
2)
destran-sitions auront lieu entre les états stationnaires avec des
probabilités
où
8°, S
désignent
l’état initial et l’état final(l’état
initialportera
toujours
l’indice°,
l’état final sera écrit sansindice)
etHsos
désigne
l’élément de matrice correspon-dant à cette transition. Généralement des transitionsne sont
possibles
que sur des états intermédiairesS’,
S",
et les éléments de matrice deviennent
où les
Hs’ S’t,
etc.,
sont les éléments de matrice pour les transitions entre les états différents. La somme s’étend sur toutes les successions d’étatsintermédiaires,
qui
conduisent à l’état final désiré avec la
puissance
laplus
petite possible
en e(charge électronique).
C’estgénéra-lement sur toutes les
possibilités
de l’orientation desspins
et desénergies positives
etnégatives
des étatsS’,
, S’f...Pour obtenir la section d’action pour un processus
de cette sorte on a finalement à
multiplier
lesWsos
parle nombre des états dans des intervalles
d’énergie
et des éléments desangles
solides entrelesquels
les transitions ontlieu,
et à diviser par la vitesse de laparticule
incidente. Pour notreproblème
de la création despaires
par des chocs on obtient parconséquent
pour la section élémentaire de la
production
d’unélec-tron p-, E- et d’un
positron
p+, é+ par transition dela
particule primaire
(1) Pour les valeurs des fonctions u, comparer par
exemple
W.
H~ITLEft,
Z.Physik,1933,
84, 145.où Q est
l’angle
solide élémentaire considéré(comp.
I)
(p
serapporte
à laparticule
incidenteaprès
lepro-cessus).
L’intégration
sur epeut
être faiteimmédiatement,
grâce
aufacteur 8 (-E’,,-E)
dans(2).
En introduisant F pour variable au lieu de 6 on aLa
première
tâche est alors la recherche des étatsintermédiaires. Comme il est bien connu, il
n’y
a des éléments de matrices élémentaires que pour des échan-gesd’impulsion
entre deuxparticules (et
pas entreplusieurs
particules).
Dans notre cas, nous avons troisparticules :
1. uneparticule
incidente;
2. uneparticule
initialement en repos et 3.
l’électron,
qui
fait unetran-sition d’un état
négatif
à un étatpositif
(création
de lapaire). L’échange d’impulsion
etd’énergie
entre troisparticules
nepeut
s’effectuer alors que sur des états intermédiaires. Parexemple
lepremier
paspeut
êtreune transition
c’est-à-dire que, par l’interaction entre les
parti-cules 1 et
2,
le numéro 2 passe à son état final mais 1seulement à un état
intermédiaire;
le second pas étant alorsn
c’est-à-dire que,
grâce
à l’interaction entre 1 et3,
tous les deuxpassent
à leur état final. Toutes lesparticules
ayant
les mêmesdroits,
onpeut
changer
leur ordre eton obtient donc 6
possibilités correspondant
aux 6per-mutations de trois
objets, qui
sont énumérées dans le tableau suivantPour
chaque impulsion
intermédiaire~’1,
etc.,
on anaturellement en outre les 4
possibilités
des deuxsignes
d’énergie
et des deux orientations duspin.
qui
déterminentcomplètement
p’,
p",
et par la loi de la conservation del’énergie
totaleon
peut
simplifier
lesexpressions
pour lesdénomina-teurs dans la formule
(3).
On a parexemple
Le tableau suivant
donne,
d’après (6)
et(8),
lesva-leurs pour les
impulsions
intermédiaires et les déno-minateurscorrespondants
où
(conservation
del’impulsion).
En utilisant les
expressions
(9)
nous pouvons écrire l’élément de matricecomplet
(3)
à l’aide d’une notation évidente.La somme k
porte
sur les troisparticules,
les sommes intérieures sont sur tous les 4 états différentscorres-pondant
auximpulsions
donnéespeut
p". L’expression
(11)
peut
êtresimplifiée
pour les diversesapplications.
Parexemple
si on a un électron(particule 1)
incident sur un noyau(particule
2)
onpeut
négliger
lemouve-ment du dernier
grâce
à sagrande
masse. C’est-à-direon
peut
considérer toutes lesénergies
C2o, ê:2,ê2"
ê2"
égales
àm2 C2.
Alors toutes les différences de cesgran-deurs
disparaissent.
Les dénominateurs des deux termes du membre avec k= ~ en(11)
deviennent alorségales
mais designes
opposés,
la conservation del’énergie
exigeant
maintenantLes numérateurs étant
égaux
dans ce cas les deuxtermes se
compensent,
etl’élément (11)
ne contient que4 membres essentiels.
2. Eléments de
matrice;
interaction relati-viste. - IL faut introduire maintenant lesexpressions
détaillées pour les éléments de matrice. L’interaction
coulombienne entre les trois
particules
estoit Zi
signifie
lacharge (positive
ounégative)
de lapar-ticule i en unité de e. Le
premier
terme ne donne unecontribution que pour un
échange d’impulsion
entreles
particules
1 et2,
et on a la formule bien connue(comp.
1),
~-(conservation
del’impulsion).
Si on
peut
négliger
les effetsrelativistes,
c’est-à-dire
si
l’énergie cinétique
d’uneparticule
estpetite
parrap-port
àl’énergie
au reposmc2,
aussi bien pour l’étatinitial que pour l’état
final,
onpeut
substituer l’unitépour les
expressions (u°i u,),
etc. C’estgénéralement
permis
pour desparticules
lourdes avec leurgrande
masse de repos.
Mais les
expressions
(11
et(2)
ne sont pas encorecomplètes,
parcequ’on
n’a pas tenucompte
des effets de retard des forces et de l’interactionmagnétique
desspins
entre eux. Il est bien connu aussi dans la théorieclassique,
que l’interaction relativiste entre deuxpar-ticules donne lieu à des difficultés fondamentales. Le
problème rigoureux
resteinabordable,
àfortiori,
dans la théoriequantique,
mais onpeut
le traiterapproxi-mativement et
justement
dans la mêmeapproximation
que les
problèmes
durayonnement
engénéral,
cequi
est satisfaisant.
La méthode a été
indiquée
par Moller(1)
et Bethe et Fermi(2)
et il faut seulement unegénéralisation
légère
pour
comprendre
tous les cas.En dehors des forces coulombiennes on a le
couplage
avec le
champ
durayonnement.
Grâce à lui desélé-ments de matrice existent pour des transitions
pO -* P
d’une seuleparticule
avec émission ouabsorption
d’unphoton
(vecteur
d’unité de la direction de la propaga-tionk,
vecteur d’unité de lapolarisation e).
Les éléments de matricecorrespondants
sont(conservation
del’impulsion).
(comp.
I).
Comme ilscontiennent
lacharge
seulementà la
première puissance
onpeut
obtenir une transitioncomme sur la formule
(2)
par l’intermédiaire d’un étatoù un oscillateur du
rayonnement
estexcité,
c’est-à-dired’abord émission d’un
photon
et alorsréabsorption
(1) G. MOLLEII, Z.Physik,
1931, 70. 686.452
immédiate par l’autre
particule.
Pour unetransi-tion
on a les deux
possibilités
dedécomposition
(indiquées
par les
équations
desimpulsions).
La somme s’étend sur les deux
possibilités
de lapola-risation,
c’est-à-dire sur deux vecteurs d’unité e,qui
sont
perpendiculaires
entre eux et parrapport
auvec-teur de
propagation
k(qui,
pour sapart,
estparallèle
àR).
Si onprend
la coordonnée z d’unsystème
carté-On déduit de ces relations
Les vecteurs k sont alors
complètement
déterminés,
et c’est seulement un oscillateur du
rayonnement
(ou
deux avec des sensopposés
dedirection)
à l’aideduquel
la transition sepeut
effectuer.Par la
règle § 1 (2)
sur les états intermédiaires et ensommant sur
(a)
et(b)
on obtient pour l’élément dematrice dû au
rayonnement
sien dans cette direction k et .x
et ~
pour les deuxdirections de
polarisation,
on voitfacilement,
quel’expression
(4),
qui
a la forme(ae) (be)
(a
et b desvecteurs
quelconques)
donne’
L’élément de matrice total pour la transition
(pt,
p’)
-(pi, P~)
devient doncoù
Pour obtenir
l’expression complète
pour lesproba-bilités il faut insérer seulement les valeurs
(6)
pour tous les éléments de matrice dans laformule §
1(11).
Pour voirplus
clairement le sensphysique
del’élé-ment
(6)
on considère le casspécial
oùl’énergie
est conservée pour la transition(~a)
(ce qui
n’est pasgénéralement rempli
pour des transitions aux étatsintermédiaires),
parexemple
comme pour des chocsde deux
particules
seulement. Alors on a en outre~ 2013
E1--- -(S~
-ê2),
et à l’aide del’équation
de Diracon obtient aisément
(comp.
Bethe etFermi,
1.c.)
ce
qui
est bien la formule deMoller,
qui
tientcompte
du retard des forces(remplacement
de~~1
par
lalon-gueur
du vecteur à 4 dimensionsRl,2J
et del’inter-action directe des
spins (seconde terme).
Mais pour les étatsintermédiaires,
pourlesquels
on n’a pas decon-servation de
l’énergie,
il fautgarder
toutel’expres-sion
(6).
Si les
énergies cinétiques
d’uneparticule
sontpetites
pour l’état initial comme pour l’étatfinal,
les effets relativistes(contenus
enHII)
peuvent
êtrenégligés,
parce que lesgrandeurs
(ut
a1U1),
etc.,
deviennentpetites
parrapport
àl’unité
elles
sont del’ordre v e
c
les
produits
(ît
Mi)
sans a étantégaux
à 1 dans ce cas.3. Production des
paires
par des chocs de par-ticules lourdes. - Commeapplication
de la théoriegénérale,
nous étudions laproduction
despaires
par desparticules
lourdes. C’est-à-dire nous considérons uneparticule
(proton,
particule
~c on ion d’un autreélément), qui
passeprès
d’un noyau lourd initialementen repos. Par l’interaction mutuelle de ces deux
parti-cules entre
elles,
et avec un électron initialement à unétat
négatif,
un transfertd’énergie
à ce dernier estpos-sible,
telqu’il peut
sauter à un étatd’énergie
positive.
Nousdésignons
toutes les variables serapportant
auxdeux
particules
lourdes par des lettresmajuscules
(Pi,
P2’
etc.)
et celles de l’électron par des lettresminuscules sans indices
(p°,
p,etc. ;
r =p° - p).
Parce que daus toutes les transitions
(même
dans celles aux étatsintermédiaires)
uneparticule
lourdeOn
peut
maintenant vérifier sanspeine,
quel’impul-sion transférée à 1‘électron
(c’est-à-dire
la somme desimpulsions
de l’électron et dupositron)
esttoujours
petite
par rapport
auxchangements d’impulsion
despar-ticules lourdes. On a pour des
particules
quelconques
ou 3, =
E+
-ex
=énergie
totale de lapaire
(à
--_. F° -E).
Ce
rapport
sera alorspetit,
sil’énergie
de laparti-cule incidente ne diffère pas
trop
de sonénergie
derepos, condition
remplie
pour desparticules
lourdes.car on
peut
remplacer
lesénergies
desparticules
lourdes par leur
énergie
de repos~~1,
s’il nes’agit
pasdes différences.
Le numérateur de
(4)
devient donc(comp.
3).
Dans les
dénominateurs,
iln’y
a pas de tellesdiffé-rences, et on
peut
entièrementnégliger
r vis-à-vis des R,Par
conséquent,
on aapproximativement :
et
L’expression
totale(4)
devient donc :(Un
autre cas seracelui,
oùl’énergie
totale A de lapaire
est àpeine plus grande
que2 n’lc2,
c’est-à-dire,
sison
énergie
cinétique
estpetite.)
t Nous pouvons donc
négliger
les termes enR 12R22
dansn
RI’-R,2
(1)
et admettre .Pour éliminer les
énergies
intermédiaires en(1)
onpeut procéder
de la manière suivante. Nous écrivons pour laparenthèse
intérieureA l’aide des
valeurs § 1 (9)
pour lesimpulsions
intermédiaires on obtient
L’autre
parenthèse
de(1)
donne exactement la même valeurseulement
avecéchange
des indices 1 et 2. Gràceà
(3),
l’expression
(1)
devient alorset
par § 1
(2)
et(4)
on obtient pour la section d’actionLe
produit 1
[eau]2
des fonctions de Diracpeut
être évalué par une méthode due à Casimir. Il faut lesommer sur toutes les directions du
spin
de l’état ini-tial et de l’état final. En utilisant la relation évidente(H=
oc p+
pw
étant la Hamiltoniennede l’électron),
on
peut remplacer
la somme sur les deux directions duspin 12
par une somme sur les 4 fonctions de Dirac 1 ’(changement
designe
del’énergie
inclus)
et onpeut
454
u.
(0
unopérateur
quelconque).
On obtient alorsLes éléments
d’angle
solidepeuvent
êtrespécifiés
par l’orientation relative des vecteurs r et
R
et parleurs valeurs absolues r et
R,
et on obtientDans
(9).
nous pouvons en outreremplacer
EÎ,
Et
parivi.
Le facteur20132013
esttoujours
d’ordre degran-deur
1,
siM2
z>Mi,
car on aEn sommant sur cos
(rR)
de 0àx,
sur r de1 pO - p
1
kapo
-~-
p, sur R de P° - P àpo +
P et en écrivantAu
reste,
il ne seraitpoint
difficile de l’évaluercomplètement.
Le résultat devient donccomme
on obtient le résultat final
Le facteur contenant les
impulsions
et lesénergies
sommé sur ê+ et z, devient de l’ordre degrandeur
1,
et la section totale pour laproduction
despaires
par le choc d’uneparticule
11111
7~, ~
sur un noyauNIQ,
Z2
en repos est alors
où
T1= E° - Nl1
estl’énergie cinétique
de laparti-cule incidente
(dont
nous supposonsqu’elle
soit del’ordre de
grandeur ~
et pasM).
Encomparant
cerésultat avec la section pour la
production
despaires
par un
rayonnement y
(comp. I).
On remarque que l’effet étudié ici est très
petit.
Enpremier
lieu,
on a naturellement un facteurà l137
detJL-
p-plus.
Enoutre,
ily a le
facteur -
qui
est d’ordre2013,
Ml Tt
10
t
c’est-à-dire du
rapport
des masses de l’électron et de laparticule
incidente. Pour desprotons
(comme
par-ticules
incidentes),
l’effet n’est alors pas observable. Onpourrait
croirequ’il
seraitbeaucoup plus grand
pourdes ions
lourds,
grâce
au facteurZ4.
Mais dans ce cas, laparenthèse
en(14)
devientpetite,
parce que lerap-port Z/M
de lacharge
à la masse d’un noyau ne varieque très peu. Ce
facteur,
qui provient
del’entraîne-ment du noyau initialement en repos est donc
respon-sable de la
petitesse
del’effet,
cependant
que l’influencede la
grande
masse seraitcompensée
par l’actionplus
efficace de la
charge
plus
élevée.Nous tenons à coeur à remercier les savants
français,
qui
ont siobligeamment
fourni lapossibilité
detra-vailler à Paris à un de nous