Sur la production des paires par des chocs de particules lourdes

HAL Id: jpa-00233259

https://hal.archives-ouvertes.fr/jpa-00233259

Submitted on 1 Jan 1934

HAL is a multi-disciplinary open access

archive for the deposit and dissemination of

sci-entific research documents, whether they are

pub-lished or not. The documents may come from

teaching and research institutions in France or

abroad, or from public or private research centers.

L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est

destinée au dépôt et à la diffusion de documents

scientifiques de niveau recherche, publiés ou non,

émanant des établissements d’enseignement et de

recherche français ou étrangers, des laboratoires

publics ou privés.

Sur la production des paires par des chocs de particules

lourdes

W. Heitler, L. Nordheim

To cite this version:

LE

JOURNAL DE

_PHYSIQUE

ET

LE

RADIUM

SUR LA PRODUCTION DES PAIRES PAR DES CHOCS DE PARTICULES LOURDES

Par W. HEITLER

_(Bristol)

et L. NORDHEIM

_(Paris).

H.-H. Wills

Physical Lab.,

Bristol et

_Collège

de France Lab. de

_{Physique théorique,}

Paris.

Sommaire. 2014 Une méthode est développée pour le calcul de la _production des _paires par des chocs de particules (§ 1) La _question de l’interaction relativiste est étudiée, et il est montré _qu’elle peut être

toujours prise en considération à la même approximation, avec _laquelle on _peut traiter les _problèmes du _rayonnement en _{général (§ 2).} Comme _application, le cas des chocs de _particules lourdes est considéré en

détail _{(§ 3).} La section d’action efficace devient

(à un facteur peu important près), où _{M1, M2} sont les _énergies de repos des deux particules lourdes ₍₁ sera

la _particule incidente,

_T01

son _{énergie cinétique), Z1,} Z2 leurs nombres _{atomiques. Malgré} le

_{facteur $$ Z41 Z22}

l’effet est _{trop petit} pour être observé, à cause de la _{parenthèse, qui provient} du mouvement relatif des deux parti-cules lourdes.

SÉRIE VII.

TOME V.

N’ 9.

SEPTEMBRE

1934.

Introduction. - La théorie du

_rayonnement,

en

combinaison avec

_{l’interprétation}

de Dirac des

posi-trons comme lacunes dans une distribution uniforme des électrons entre les états

_{d’énergie négative,}

_permet

de

_calculer,

au moins entre certaines

_limites,

_les

pro-ba,bilités de la création et destruction des

_paires.

_Le

pro-cessus le

_plus

_simple

de ce _{genre, la}

_production

des

paires

par un

_{rayonnement y}

incident sur _{des noyaux,} a _{pu être étudié}

_{complètement}

et s’est trouvé en accord

quantitatif

avec

_{l’expérience (1).}

Une autre

_possibilité

pour la

production

des

paires

est fournie par des chocs de

_particules.

Ce _{processus est}

_{probablement déjà}

observé

_quelquefois

dans la chambre Wilson

_(2).

En outre son étude sera

_importante

_{pour la discussion}

complète

du

_freinage

des

_particules

de

_grande

vitesse dans le

_rayonnement

_cosmique.

Pour

_premier

_{pas dans}

cette direction nous étudions ici la création des

_paires

par des chocs de

particules

lourdes. Mais pour voir

plus

clairement les

_points

essentiels nous avons

_posé

(1) J. R. OPPEKHEIMER et ~I~I. S. _{PLESSET, Phys. Rev., 1933,}

_{44, 53;}

W. HEITLER et F. SAUTEUR, l~’alt~re, 1933, 132, 892 ; w. HEITLER et

H. BETIIE, Proc. _{Roy, Soc, London,} 193~, 146 A, 83-M2.

. Nous citons

ce dernier mémoire, qui contient les résultats les

plus

complets,

comme 1.

(2) Un rapport prélilninaire sur un essai d’un traitement

théo-rique a été publié par FURI~Y et CARLSSON, _Phys. Rev.

la théorie sous une forme

_complète,

_qui

serait

_applicable

pour des

particules quelconques.

Si on a des

électrons,

la

_question

de l’interaction

relativiste devient

_importante.

Par une

_{généralisation}

légère

de la méthode de Moeller il est

_{toujours possible,}

même pour les

problèmes plus compliqués,

de tenir

compte

du retard et de l’interaction

_magnétique

des

spins

à la même

_{approximation,}

avec

_laquelle

on

_peut

traiter les

_phénomènes

du

_rayonnement

en

_général.

Pour les

_particules

lourdes nous obtenons le

résultat,

que la

production

des

_paires

d’électrons ne

_joue

aucun

rôle pour leur

freinage.

Mais ceci n’est _pas dû à la

grandeur

de la masse, mais à un effet de

l’entraîne-ment des deux

_particules

de masses

_comparables.

1. Méthode

_{générale ;}

états intermédiaires. -La méthode 1

_{plus simple}

pour tous les

_problèmes

des chocs et du

rayonnement

consiste dans la méthode de Born.

_Négligeant

en

_{approximation}

zéro toutes les interactions on

_part

des ondes

_planes

pour des états

stationnaires

des

particules.

Pour sim=

plifier

les formules nous

_employons

les notations

sui-vantes :

450

fi = _{constante de} Planck divisée _{par 2’7t.}

p =

impulsion

d’une

particule

multipliée

par c

(vitesse

de la

_lumière).

k

_{= impulsion}

d’un

_{photon multiplié}

_par c. u = mc~.

s

_{= énergie}

individuelle d’une

_particule.

E .-

_énergie

totale du

_système

considéré.

u = fonctions de Dirac à 4

_composantes,

normali-sées pour l’unité du volume.

a, ~

=

_opérateurs

de Dirac.

A

_chaque

valeur des

_impulsions

_p

_{appartiennent}

quatre

ondes de

_type

_(1),

deux

_{d’énergie positive,}

deux

d’énergie négative

(~).

Un

positron

est

_simplement

une lacune dans la dis-tribution normalement

_{complètement remplie}

des

élec-trons sur des états

_{d’énergie négative}

avec

l’éner-gie

e+ =

1

ê

1

et les

_impulsions

_{p~ .--_ - p.}

_La

pro-duction des

_paires

est considérée comme transition d’une seule

_particule

d’un état

_négatif

à un état normal.

Grâce aux interactions diverses

_{(voir §}

₂₎

des

tran-sitions auront lieu entre les états stationnaires avec des

probabilités

où

8°, S

désignent

l’état initial et l’état final

_(l’état

initial

portera

toujours

l’indice

_°,

l’état final sera écrit sans

indice)

et

Hsos

désigne

l’élément de _matrice correspon-dant à cette transition. Généralement des transitions

ne sont

_possibles

_que sur des états intermédiaires

S’,

S",

et les éléments de matrice deviennent

où les

_{Hs’ S’t,}

etc.,

sont les _{éléments de matrice pour les} transitions entre les états différents. La somme s’étend sur toutes les successions d’états

_{intermédiaires,}

_qui

conduisent à l’état final désiré avec la

_puissance

la

_plus

petite possible

en e

_{(charge électronique).}

C’est

généra-lement sur toutes les

_{possibilités}

de l’orientation des

spins

et des

_{énergies positives}

et

_négatives

des états

S’,

, S’f...

Pour obtenir la _{section d’action pour} un _processus

de cette sorte on a finalement à

_multiplier

les

Wsos

_par

le nombre des états dans des intervalles

_d’énergie

et des éléments des

_angles

solides entre

_lesquels

les transitions ont

_lieu,

et à _{diviser par la vitesse de la}

particule

incidente. Pour notre

_problème

de la création des

_paires

par des chocs on obtient par

_conséquent

pour la section élémentaire de la

production

d’un

élec-tron _p-, E- et d’un

_positron

_{p+, é+ par transition de}

la

_{particule primaire}

(1) Pour les valeurs des fonctions u, comparer par

exemple

W.

_H~ITLEft,

Z.

_Physik,1933,

_84, 145.

où Q est

_l’angle

solide élémentaire considéré

_(comp.

_I)

(p

se

_rapporte

à la

_particule

incidente

_après

_le

pro-cessus).

L’intégration

sur e

_peut

être faite

immédiatement,

grâce

au

_{facteur 8 (-E’,,-E)}

dans

_(2).

En introduisant F _{pour variable} au lieu de 6 on a

La

_première

tâche est alors la recherche des états

intermédiaires. Comme il est bien connu, il

n’y

a des éléments de matrices élémentaires que pour des échan-ges

d’impulsion

entre deux

_{particules (et}

_{pas entre}

plusieurs

particules).

Dans notre cas, nous avons trois

particules :

1. une

_particule

_incidente;

2. une

_particule

initialement en _{repos et 3.}

_{l’électron,}

_qui

fait une

tran-sition d’un état

_négatif

à un état

_positif

_(création

de la

_{paire). L’échange d’impulsion}

et

_d’énergie

entre trois

particules

ne

_peut

s’effectuer _{alors que} sur des états intermédiaires. Par

_exemple

le

_premier

pas

peut

être

une transition

c’est-à-dire _{que, par} l’interaction entre les

parti-cules 1 et

2,

le numéro 2 passe à son état final mais 1

seulement à un état

_{intermédiaire;}

le _{second pas étant} alors

n

c’est-à-dire que,

grâce

à l’interaction entre 1 et

_3,

tous les deux

_passent

à leur état final. Toutes les

_particules

ayant

les mêmes

droits,

on

_peut

_changer

leur ordre et

on obtient donc 6

_{possibilités correspondant}

aux ₆

per-mutations de trois

_{objets, qui}

sont énumérées dans le tableau suivant

Pour

_{chaque impulsion}

intermédiaire

_~’1,

_etc.,

on a

naturellement en outre les 4

_{possibilités}

des deux

_signes

d’énergie

et des deux orientations du

_spin.

qui

déterminent

_{complètement}

_p’,

_p",

_{et par la loi de} la conservation de

_l’énergie

totale

on

_peut

_simplifier

les

expressions

_{pour les}

dénomina-teurs dans la formule

(3).

On a _par

_exemple

Le tableau suivant

donne,

d’après (6)

et

_(8),

les

va-leurs pour les

impulsions

intermédiaires et les déno-minateurs

_{correspondants}

où

(conservation

de

_{l’impulsion).}

En utilisant les

_expressions

₍₉₎

nous _pouvons écrire l’élément de matrice

_complet

₍₃₎

à l’aide d’une notation évidente.

La somme k

_porte

sur les trois

_particules,

les sommes intérieures sont sur tous les 4 états différents

corres-pondant

aux

_impulsions

données

_peut

_{p". L’expression}

(11)

peut

être

_simplifiée

_pour les diverses

_{applications.}

Par

_exemple

si on a un électron

_{(particule 1)}

incident sur un _noyau

_(particule

₂₎

on

_peut

_négliger

le

mouve-ment du dernier

_grâce

à sa

_grande

masse. C’est-à-dire

on

_peut

considérer toutes les

_énergies

_C2o, ê:2,

ê2"

ê2"

égales

à

m2 C2.

Alors toutes les différences de ces

gran-deurs

_{disparaissent.}

Les dénominateurs des deux termes du membre avec k= ~ en

₍₁₁₎

deviennent alors

égales

mais de

_signes

_opposés,

la conservation de

l’énergie

exigeant

maintenant

Les numérateurs étant

_égaux

dans ce cas les deux

termes se

_compensent,

et

_{l’élément (11)}

ne _{contient que}

4 membres essentiels.

2. Eléments de

matrice;

interaction relati-viste. - IL faut introduire maintenant les

_expressions

détaillées _{pour les éléments de matrice. L’interaction}

coulombienne entre les trois

_particules

est

oit Zi

signifie

la

_{charge (positive}

ou

_négative)

_{de la}

par-ticule i en unité de e. Le

_premier

terme ne donne une

contribution que pour un

_{échange d’impulsion}

entre

les

_particules

1 et

_2,

et on a la formule bien connue

(comp.

1),

~

-(conservation

de

_{l’impulsion).}

Si on

_peut

_négliger

les effets

relativistes,

c’est-à-dire

si

_{l’énergie cinétique}

d’une

_particule

est

_petite

_par

rap-port

à

_l’énergie

au _repos

mc2,

aussi bien pour l’état

initial que pour l’état

final,

on

_peut

substituer l’unité

pour les

expressions (u°i u,),

etc. C’est

_{généralement}

permis

pour des

particules

lourdes avec leur

_grande

masse de repos.

Mais les

_expressions

₍₁₁

et

₍₂₎

ne _{sont pas} encore

complètes,

parce

qu’on

n’a pas tenu

_compte

des effets de retard des forces et de l’interaction

_magnétique

des

spins

entre eux. Il est bien connu aussi dans la théorie

classique,

que l’interaction relativiste entre deux

par-ticules donne lieu à des difficultés fondamentales. Le

problème rigoureux

reste

inabordable,

à

_fortiori,

dans la théorie

_quantique,

mais on

_peut

le traiter

approxi-mativement et

_justement

dans la même

_{approximation}

que les

problèmes

du

rayonnement

en

_général,

ce

_qui

est satisfaisant.

La méthode a été

_indiquée

_{par Moller}

₍₁₎

et Bethe et Fermi

₍₂₎

et il faut seulement une

_{généralisation}

_légère

pour

comprendre

tous les cas.

En dehors des forces coulombiennes on a le

_couplage

avec le

_champ

du

_rayonnement.

Grâce à lui des

élé-ments de _{matrice existent pour des transitions}

_{pO -* P}

d’une seule

_particule

avec émission ou

_absorption

d’un

photon

(vecteur

d’unité de _{la direction de la} propaga-tion

k,

vecteur d’unité de la

_{polarisation e).}

Les éléments de matrice

_{correspondants}

sont

(conservation

de

_{l’impulsion).}

(comp.

I).

Comme ils

_contiennent

la

_charge

seulement

à la

_{première puissance}

on

_peut

obtenir une transition

comme sur la formule

₍₂₎

_par l’intermédiaire d’un état

où un oscillateur du

_rayonnement

est

excité,

c’est-à-dire

d’abord émission d’un

_photon

et alors

_{réabsorption}

(1) G. MOLLEII, Z.

_Physik,

1931, 70. 686.

452

immédiate par l’autre

_particule.

Pour une

transi-tion

on a les deux

_{possibilités}

de

décomposition

(indiquées

par les

équations

des

impulsions).

La somme s’étend sur les deux

_{possibilités}

de la

pola-risation,

c’est-à-dire sur deux vecteurs d’unité e,

_qui

sont

_{perpendiculaires}

entre eux _{et par}

_rapport

au

vec-teur de

_propagation

k

_(qui,

pour sa

_part,

est

_parallèle

à

_R).

Si on

_prend

la coordonnée z d’un

_système

carté-On déduit de ces relations

Les vecteurs k sont alors

_{complètement}

déterminés,

et c’est seulement un oscillateur du

_rayonnement

_(ou

deux avec des sens

_opposés

de

_direction)

à l’aide

_duquel

la transition se

_peut

effectuer.

Par la

_{règle § 1 (2)}

sur les états intermédiaires et en

sommant sur

(a)

et

_(b)

on obtient pour l’élément de

matrice dû au

_rayonnement

sien dans cette direction k et .x

_{et ~}

_pour les deux

directions de

_{polarisation,}

on voit

facilement,

_que

l’expression

(4),

qui

a la forme

(ae) (be)

_(a

et b des

vecteurs

_quelconques)

donne

’

L’élément de matrice total pour la transition

(pt,

p’)

-

_{(pi, P~)}

devient donc

où

Pour obtenir

_{l’expression complète}

_{pour les}

proba-bilités il faut insérer seulement les valeurs

₍₆₎

_pour tous les éléments de matrice dans la

_{formule §}

1

_(11).

Pour voir

_plus

clairement le sens

_physique

de

l’élé-ment

₍₆₎

on considère le cas

_spécial

où

_l’énergie

est conservée pour la transition

(~a)

(ce qui

n’est pas

généralement rempli

pour des transitions aux états

intermédiaires),

par

exemple

comme _{pour des chocs}

de deux

_particules

seulement. Alors on a en outre

~ 2013

E1--- -

(S~

-

ê2),

et à l’aide de

_{l’équation}

de Dirac

on obtient aisément

_(comp.

Bethe et

_Fermi,

1.

_c.)

ce

_qui

est bien la formule de

Moller,

qui

tient

_compte

du retard des forces

_{(remplacement}

de

_~~1

_par

la

lon-gueur

du vecteur à 4 dimensions

Rl,2J

et de

l’inter-action directe des

_{spins (seconde terme).}

_{Mais pour les} états

intermédiaires,

pour

lesquels

on n’a pas de

con-servation de

_{l’énergie,}

il faut

_garder

toute

l’expres-sion

_(6).

Si les

_{énergies cinétiques}

d’une

_particule

sont

_petites

pour l’état initial comme _{pour l’état}

_final,

les effets relativistes

_(contenus

en

_HII)

_peuvent

être

_négligés,

parce que les

grandeurs

(ut

a1

_U1),

etc.,

deviennent

petites

par

rapport

à

_l’unité

elles

sont de

l’ordre v e

c

les

_produits

_(ît

_Mi)

sans a étant

_égaux

à 1 dans ce cas.

3. Production des

_paires

par des chocs de par-ticules lourdes. - Comme

_application

de la théorie

générale,

nous étudions la

_production

des

_paires

par des

_particules

lourdes. C’est-à-dire nous considérons une

_particule

_(proton,

_particule

~c on ion d’un autre

élément), qui

passe

près

d’un noyau lourd initialement

en _{repos. Par l’interaction mutuelle de} ces deux

parti-cules entre

_elles,

et avec un électron initialement à un

état

_négatif,

un transfert

d’énergie

à ce dernier est

pos-sible,

tel

_{qu’il peut}

sauter à un état

_d’énergie

_positive.

Nous

_désignons

toutes les variables se

_rapportant

aux

deux

_particules

_{lourdes par des lettres}

_majuscules

(Pi,

P2’

etc.)

et celles _{de l’électron par des} lettres

minuscules sans indices

_(p°,

_p,

_{etc. ;}

r =

p° - p).

Parce que daus toutes les transitions

(même

dans celles aux états

_{intermédiaires)}

une

_particule

lourde

On

_peut

maintenant vérifier sans

_peine,

_que

l’impul-sion transférée à 1‘électron

_{(c’est-à-dire}

la somme des

impulsions

de l’électron et du

_positron)

est

_toujours

petite

par rapport

aux

_{changements d’impulsion}

des

par-ticules lourdes. On a _{pour des}

_particules

_quelconques

ou 3, =

E+

-ex

=

énergie

totale de la

paire

(à

--_. F° -

E).

Ce

_rapport

sera alors

_petit,

si

_l’énergie

de la

parti-cule incidente ne diffère pas

_trop

de son

_énergie

de

repos, condition

remplie

pour des

particules

lourdes.

car on

_peut

_remplacer

les

_énergies

des

_particules

lourdes _{par leur}

_énergie

_{de repos}

_~~1,

s’il ne

_s’agit

_pas

des différences.

Le numérateur de

₍₄₎

devient donc

_(comp.

_3).

Dans les

dénominateurs,

il

_n’y

a _{pas de telles}

diffé-rences, et on

_peut

entièrement

_négliger

r vis-à-vis des R,

Par

_conséquent,

on a

_{approximativement :}

et

L’expression

totale

₍₄₎

devient donc :

(Un

autre cas sera

_celui,

où

_l’énergie

totale A de la

paire

est à

_{peine plus grande}

_que

2 n’lc2,

c’est-à-dire,

si

son

_énergie

_cinétique

est

_petite.)

t Nous pouvons donc

négliger

les termes en

R 12R22

dans

n

RI’-R,2

(1)

et admettre .

Pour éliminer les

_énergies

intermédiaires en

₍₁₎

on

peut procéder

de la manière suivante. Nous écrivons pour la

parenthèse

intérieure

A l’aide des

_{valeurs § 1 (9)}

_{pour les}

_impulsions

intermédiaires on obtient

L’autre

_parenthèse

de

₍₁₎

donne exactement la même valeur

seulement

avec

_échange

des indices 1 et 2. Gràce

à

_(3),

_{l’expression}

₍₁₎

devient alors

et

_{par § 1}

₍₂₎

et

₍₄₎

on obtient pour la section d’action

Le

_{produit 1}

_[eau]2

des fonctions de Dirac

_peut

être évalué par une méthode due à Casimir. Il faut le

sommer sur toutes les directions du

_spin

de l’état ini-tial et de l’état final. En utilisant la relation évidente

(H=

oc p

+

pw

étant la Hamiltonienne

_{de l’électron),}

on

_{peut remplacer}

la somme sur les deux directions du

spin 12

par une somme sur les 4 fonctions de Dirac 1 ’

(changement

de

_signe

de

_l’énergie

_inclus)

et on

_peut

454

u.

(0

un

_opérateur

quelconque).

On obtient alors

Les éléments

_d’angle

solide

_peuvent

être

_spécifiés

par l’orientation relative des vecteurs r et

R

et par

leurs valeurs absolues r et

_R,

et on obtient

Dans

_(9).

nous _{pouvons en outre}

_remplacer

EÎ,

Et

par

ivi.

Le facteur

20132013

est

toujours

d’ordre de

gran-deur

1,

si

M2

z>

_Mi,

car on a

En sommant sur cos

_(rR)

de 0

_àx,

sur r de

_{1 pO - p}

₁

kapo

-~-

p, sur R de P° - P à

po +

P et en écrivant

Au

reste,

il ne serait

_point

difficile de l’évaluer

complètement.

Le résultat devient donc

comme

on obtient le résultat final

Le facteur contenant les

_impulsions

et les

_énergies

sommé sur _{ê+ et z,} devient de l’ordre de

_grandeur

_1,

et la section totale pour la

production

des

_paires

_par le choc d’une

_particule

₁₁₁₁₁

7~, ~

sur un noyau

NIQ,

Z2

en _{repos est alors}

où

_{T1= E° - Nl1}

est

_{l’énergie cinétique}

de la

parti-cule incidente

(dont

nous supposons

qu’elle

soit de

l’ordre de

_{grandeur ~}

et pas

M).

En

_comparant

ce

résultat avec la section _pour la

_production

des

_paires

par un

_{rayonnement y}

(comp. I).

On remarque que l’effet étudié ici est très

_petit.

En

premier

lieu,

on a naturellement un facteur

_{à l137}

de

tJL-

p-plus.

En

_outre,

il

_{y a le}

facteur -

_qui

est d’ordre

2013,

Ml Tt

1

0

t

c’est-à-dire du

_rapport

des masses de l’électron et de la

_particule

incidente. Pour des

_protons

_(comme

par-ticules

incidentes),

l’effet n’est alors pas observable. On

pourrait

croire

_qu’il

serait

_{beaucoup plus grand}

_pour

des ions

lourds,

grâce

au facteur

_Z4.

Mais dans ce _cas, la

_parenthèse

en

₍₁₄₎

devient

_petite,

_{parce que le}

rap-port Z/M

de la

_charge

à la masse d’un _noyau ne varie

que très peu. Ce

facteur,

qui provient

de

l’entraîne-ment _{du noyau} initialement en _{repos est donc}

respon-sable de la

_petitesse

de

_l’effet,

_cependant

_que l’influence

de la

_grande

masse serait

_compensée

par l’action

plus

efficace de la

_charge

_plus

élevée.

Nous tenons à coeur à remercier les savants

_français,

qui

ont si

_obligeamment

fourni la

_possibilité

de

tra-vailler à Paris à un de nous

_(Nordheim),

notamment MM. Léon Brillouin et L. de

_{Broglie qui}

ont bien voulu lui

_témoigner

un intérêt tout

_particulier.