Chocs

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CHOC ENTRE DEUX PARTICULES 1) Définitions .

C'est une interaction très brève et très intense entre particules au voisinage immédiat l'une de l'autre.

On admet que le système est isolé et que les particules n'ont pas d'interaction à grande distance, donc le système n'a pas d'énergie potentielle.

Chaque particule étant isolée, sauf pendant la durée du choc, son mouvement avant et après le choc est rectiligne et uniforme.

Zone d 'interaction intense Schématisation

Connaissant les vitesses v₁et v₂ avant le choc, dans un référentiel galiléen (R), on cherche s'il est possible de déterminer les vitesses v'₁et v '₂ après le choc.

2) Propriétés du système dansR. a . Quantité de mouvement.

Le système étant isolé, F_ext= m₁m₂a_G= 0 , sa quantité de mouvement totale reste constante:

P = m₁m₂v_G est un vecteur constant ⇒ m₁v₁m₂v₂=m₁v'₁m₂v'₂ 1

Le centre de masse G est animé d'un mouvement rectiligne uniforme (passant par le point de rencontre C) de vitesse v_G= m₁v₁m₂v₂

m₁m₂ . Le référentiel propre (R*) est galiléen.

b. Energie totale.

L'énergie mécanique totale du système est constante: ∆E=W_ext=0.

Mais l'énergie cinétique peut varier à cause du travail des forces d'interaction au moment du choc (forces intérieures au système), ∆E_c=W_int, ce qui modifie l 'énergie interne U du système :

∆E=∆E_cU =0 ⇒ ∆U= −∆E_c= −W_int.

Le choc est élastique si ∆U=0 donc si l'énergie cinétique est constante:

m₁v₁²m₂v₂²=m₁v '₁²m₂v'₂² 2 Les équations (1) et (2) ne suffisent pas pour déterminer v '₁et v '₂.

Dans le plan v'₁,v '₂, on a 4 inconnues à déterminer et 3 équations seulement:

Conservation de P :

∣

^{∥ P0∥ ==mm11v'v'11cossinθθ11mm22v 'v '22sincosθθ22 v'1 P}

Conservation de E_c: m₁v₁²m₂v₂²=m₁v'₁²m₂v'₂² v'₂ c . Cas particuliers .

α Choc directou choc central

Les vitesses avant et après le choc sont colinéaires. Les équations (1) et (2) deviennent:

m₁v₁m₂v₂=m₁v '₁m₂v '₂ ou m₁v₁−v '₁ =m₂v '₂−v₂ 1

m₁v₁²m₂v₂²=m₁v '₁²m₂v '₂² ou m₁v₁²−v '₁² =m₂v '₂²−v₂² 2

Si le choc existe v '₁≠v₁ et v '₂≠v_2, en divisant2par 1on obtient : v₁v '₁=v₂v '₂ 3 De1et 3, on déduit : v'₁=m₁−m₂v₁2 m₂v₂

m₁m₂ et v'₂=m₂−m₁v₂2m₁v₁ m₁m₂ Si la cible m₂est immobile dansR: v '₁= m₁−m₂

m₁m₂v₁ et v '₂= 2 m₁ m₁m₂v₁. Si , de plus , m₂≫m₁ alors v '₁≈ −v₁ et v'₂≈0.

x y

C θ₁

θ₂

v '₁

v₁

v₂ v '₂

v₁

v₂ v '₂

v '₁

v₁

v₂ v '₂

v₁

v₂ ^C v '₂

2 βParticules de même masse

1 v₁v₂= v '₁v'₂  v₁²v₂²2v₁⋅v₂=v '₁²v '₂²2v'₁⋅v '₂

2 v₁²v₂²=v '₁²v '₂²  v₁⋅v₂= v'₁⋅v'₂

Si la cible m₂est immobile alors v'₁⋅v'₂=0, les trajectoires après le choc sont orthogonales et la mesure de l'angle de déviation d'une particule permet de déterminer les modules des vitesses après le choc.

3) Propriétés dansR^*.

p₁^*=m₁v₁^*=m₁v₁−v_G = m₁m₂

m₁m₂v₁−v₂ = −µv et p₂^*=µv puisque P^*= 0.

De même après le choc: p '₁^*= −µv ' et p '^*₂=µv' avec v '= v '₂−v'₁.

Si le choc est élastique, l'énergie cinétique du système est constante dans (R) et comme v_G est constant elle l 'est aussi dans R^* d'après le théorème de König:

E_c=E_c^*1

2m₁m₂v_G² et E '_c=E '_c^*1

2m₁m₂v_G²: E_c=E'_c ⇒ E_c^*=E '_c^* Or E_c^*= 1

2



^{pm1*21mp2*22}



^=12µv2 et de même E '_c^*=1 2µv '².

On en déduit v²=v'² d'où ∥v∥=∥v '∥et∥p₁^*∥ =∥p '₁^*∥ =∥p₂^*∥ = ∥p '₂^*∥.

Dans (R*), le choc modifie la direction des vecteurs quantité de mouvement sans changer leur module.

Choc dans R^* Composition des vitesses

On peut exprimer les vitesses après le choc en fonction de v ':

m₁v'₁=m₁



^{v '}1−v_G



^{= −µv' ⇒ v '}1= v_G− µ

m₁v' et de mêmev'₂= v_G µ m₂v '.

Le module de v ' est connu ,∥v '∥ =∥v₂−v₁∥, mais pas sa direction.

Une mesure au moins reste nécessaire, par exemple l'angle de déviation αdes particules dansR^*.

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

Choc d'une particule incidente de masse m₁animée de la vitessev₁ sur une cible immobile de masse m₂. Montrer que l 'angle



^vG,v '₁



est égal à l'angle de diffusion barycentrique αet déterminer les angles de diffusion des particules,θ1et θ2, en fonction de αet des masses m₁et m₂.

α

 v

₁^'*

 v

₂^'*

 v

₁^'

 v

_G

 v

₂^'

θ₁ x θ₂ α

 p

₁^* α

 p

^*₂

 p'

₁^*

 p'

₂^*