logarithme

La fonction logarithme népérien

Christophe ROSSIGNOL

Année scolaire 2019/2020

Table des matières

1 La fonction logarithme népérien 2

1.1 Définition – Courbe représentative . . . 2

1.2 Sens de variation – Application . . . 2

1.3 Propriétés algébriques . . . 4

2 Dérivation, primitives 4 2.1 Dérivée de la fonction ln . . . 4

2.2 Primitives de la fonctionx→ _x¹ . . . 5

2.3 Dérivée de lnu, oùuest une fonction . . . 5

2.4 Primitives de ^u_u⁰, oùuest une fonction . . . 6

3 Limites et fonction logarithme 6 3.1 Limites de la fonction logarithme néperien . . . 6

3.2 Des limites importantes . . . 6

Table des figures

Liste des tableaux

∗Ce cours est placé sous licence Creative Commons BY-SAhttp://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

1 LA FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN

1 La fonction logarithme népérien

1.1 Définition – Courbe représentative

Propriété : Pour toutx >0, l’équation e^t=x(d’inconnuet) admet une unique solution.

Cette solution est appeléelogarithme népériendexet est notéelnx.

Démonstration :

La fonction exponentielle est continue et strictement croissante surR.

De plus, lim_t→−∞e^t= 0 et lim_t→+∞e^t= +∞. Donc, d’après le théorème des valeurs intermédiaires : Pour toutx∈]0 ; +∞[, il existe une unique solution à l’équation e^t=x.

Exemples : 1. Comme e⁰= 1,ln 1 = 0.

2. Comme e¹= e,ln e = 1.

Définition : Lafonction logarithme népérienest la fonctiondéfinie sur ]0 ; +∞[qui, à toutx >0 associe lnx, c’est-à-dire l’unique réel dont l’exponentielle estx.

Théorème : Pour toutx >0 et touty∈R:

y= lnx ⇐⇒ x= e^y

Démonstration :

Siy= lnx, alors, par définition,y est l’unique réel dont l’exponentielle estx, d’où : e^y=x.

Réciproquement, six= e^y, lnx= ln (e^y), c’est donc l’unique réel dont l’exponentielle est e^y. Cet unique réel ne peut être quey. On a donc : lnx=y.

Remarques : 1. En particulier, on a montré que :

— Pour toutx∈R,ln (e^x) =x.

— Pour toutx >0, e^lnx=x.

2. On dit que les fonctions logarithme népérien et exponentielle sont des fonctions réciproques. Leurs courbes sont alors symétriques par rapport à la droite d’équationy=x(voir figure 1).

3. Grâce à la courbe représentative de la fonction logarithme, on peut conjecturer que :

x→+∞lim lnx= +∞ et lim

x→0⁺lnx=−∞

On admettra provisoirement ce résultat, qui sera montré dans un cadre plus général dans le chapitre

« Limites – Asymptotes ».

Exercices : 45 page 155¹ – 44, 46 page 155² [TransMath]

1.2 Sens de variation – Application

Propriété : La fonction logarithme népérien eststrictement croissantesur ]0 ; +∞[.

Démonstration :

Soientaetb deux réels strictement positifs, aveca < b.

Commea= e^lna etb= e^lnb, on a : e^lna <e^lnb et, par suite, lna <lnb.

La fonction logarithme népérien est donc strictement croissante sur ]0 ; +∞[.

1. Ensembles de définition.

2. Simplification d’écriture.

1 LA FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN 1.2 Sens de variation – Application

Figure1 – Fonctions réciproques : ln et exp

Conséquences : 1. Pour touta >0 et toutb >0 :

— lna= lnbéquivaut àa=b.

— lna <lnbéquivaut àa < b.

2. Pour toutx >0 :

— lnx >0 équivaut àx >1.

— lnx <0 équivaut à0<x <1.

— lnx= 0équivaut àx= 1.

Remarque : La première partie de cette propriété permet de résoudre des équations ou inéquations com- portant des logarithmes. La deuxième partie donne le signe de lnx.

Exemples : Résolution d’équations et d’inéquations 1. Résoudre l’équation ln (5−2x) = 1 :

Il faut que 5−2x >0, c’est-à-dire x < ⁵₂.

Cette équation équivaut à ln (5−2x) = ln e. On en déduit que 5−2x= e, c’est-à-direx= ⁵⁻e

2 . Cette valeur est bien dans l’intervalle

−∞; ⁵₂

doncS=₅₋e

2 . 2. Résoudre l’inéquation ln (5−2x)<1 :

Il faut que 5−2x >0, c’est-à-dire x < ⁵₂.

Cette équation équivaut à ln (5−2x)<ln e. On en déduit que 5−2x <e, c’est-à-direx > ⁵⁻e

2 . Comme de plus on doit avoirx∈

−∞; ⁵₂

, on aS =₅₋e

2 ; ⁵₂ . 3. Résoudre l’équation e^x+2= 5 :

Cette équation équivaut àx+ 2 = ln 5, c’est-à-direx=−2 + ln 5.

On a doncS ={−2 + ln 5}.

Exercices : 15, 17, 18 page 146 et 47, 48, 49, 50, 51, 52, 57, 58 page 155³ [TransMath]

3. Équations et inéquations comportant logarithmes et/ou exponentielles.

1.3 Propriétés algébriques 2 DÉRIVATION, PRIMITIVES

1.3 Propriétés algébriques du logarithme népérien

Théorème 1 : Propriété fondamentale Pour tous réelsa >0 etb >0, on a :

ln (ab) = lna+ lnb

Démonstration :

e^ln(ab)=abet e^lna+lnb= e^lnae^lnb=ab.

On a donc e^ln(ab)= e^lna+lnb et, donc, lnab= lna+ lnb.

Théorème 2 : Soienta,b deux réels strictement positifs etnun entier relatif.

1. ln ¹_a

=−lna 2. ln ^a_b

= lna−lnb 3. ln (aⁿ) =nlna 4. ln√

a=¹₂lna

Démonstration :

1. D’après le théorème 1 : ln a×¹_a

= lna+ ln_a¹. De plus, ln a×¹_a

= ln 1 = 0 donc lna+ ln¹_a = 0 d’où ln_a¹ =−lna.

2. D’après le théorème 1 : ln^a_b = ln a×¹_b

= lna+ ln¹_b = lna−lnb.

3. Le résultat se montre aisément par récurrence pourn≥0.

Pour n <0, il suffit d’utiliser le résultat du 2. pour conclure.

4. lnh (√

a)²i

= lna et, d’après 3. ,lnh (√

a)²i

= 2 ln√

a. On obtient donc 2 ln√

a= lna, soit ln√

a= ¹₂lna.

Remarque : Ce théorème est souvent utilisé pour simplifier des expressions ou pour résoudre des équa- tions ou inéquations (voir exercices). La partie 3. du théorème 2 peut aussi être utilisée pour des suites géométriques.

'

&

$

% Exercice : Soit (u_n) la suite géométrique de premier termeu₀= 1 et de raisonq=⁴₅.

A partir de quel indicena-t-onu_n≤10⁻³?

On aun=u0×qⁿ= ⁴₅ⁿ

. On doit donc résoudre l’inéquation ⁴₅ⁿ

≤10⁻³.

Comme tous les nombres sont strictement positifs, cette équation est équivalente à ln ⁴₅ⁿ

≤ln 10⁻³, c’est-à- dire :nln⁴₅ ≤ −3 ln 10.

Comme de plus ⁴₅ <1, ln⁴₅ <0 donc on obtientn≥ ^{−3 ln 10}_ln4 5

. A la calculatrice, on trouve que ^{−3 ln 10}_ln4

5

'30,96 donc, le plus petit indice estn= 31.

Exercices : 1, 2, 3, ,4 page 143 et 53 page 155⁴ – 55, 56 page 155⁵– 5, 6, 7 page 143⁶ – 20, 21 page 147 ; 31 page 150 et 54 page 155⁷ – 76, 79, 80 page 159⁸ [TransMath]

2 Dérivation, primitives

2.1 Dérivée de la fonction ln

Propriété (admise) : La fonction ln estcontinuesur ]0 ; +∞[.

4. Simplification d’expressions.

5. Résolutions d’équations et d’inéquations.

6. Positions relatives de courbes.

7. Application aux suites géométriques.

8. Fonction ln et suites.

2 DÉRIVATION, PRIMITIVES 2.2 Primitives de la fonctionx→ _x¹

Théorème : La fonction ln estdérivablesur ]0 ; +∞[ et, pour toutx >0 : ln⁰(x) = 1

x

Démonstration : Soita >0 etx >0.

Le taux d’accroissement de la fonction ln enaest t(x) =^lnx−ln_x−a ^a. On poseX = lnxet b= lna. On a :x= e^lnx= e^X et a= e^lna = e^b. Par suite,t(x) =e^X−bX−e^b. Il faut maintenant déterminer limx→at(x).

Comme la fonction ln est continue ena : limx→aX= limx→alnx= lna=b.

De plus, comme la fonction exponentielle est dérivable enb, on a :

X→blim

e^X−e^b

X−b = exp⁰(b) = e^b=a et, par suite : lim_x→at(x) = ¹_a.

La fonction ln est donc dérivable enaet ln⁰(a) = ¹_a.

Exercices : 63 ,65 page 156 et 66, 67, 68 page 157⁹– 69 page 157¹⁰– 11, 12 page 145 ; 32 page 150 et 90 page 163¹¹– 14 page 145 ; 77, 78 page 159 ; 88 page 162 et 102 page 165¹² [TransMath]

2.2 Primitives de la fonction x →

Propriété : Uneprimitivesur ]0 ; +∞[ def(x) = 1

x est F(x) = lnx.

Exercices : 1 page 200 ; 15 page 202 ; 61 page 217 ; 21, 26 page 204 ; 29 page 205 ; 85 page 218 ; 107 page 221 ; 113 page 22¹³– 129 page 226¹⁴ [TransMath]

2.3 Dérivée de ln u, où u est une fonction

Propriété : Soituune fonctiondérivableetstrictement positivesur un intervalleI.

Alors la fonctionf définie surI parf(x) = ln [u(x)]est dérivable surI et : f⁰(x) =u⁰(x)

u(x)

Remarques : 1. C’est une application directe du théorème de dérivation des fonctions composées.

2. En particulier, commeu(x) est strictement positive,f⁰ est du même signe que u⁰ .

3. On trouve des résultats analogues sur les limites en utilisant le théorème de limite de fonctions composées.

Exercices : 25, 26 page 148¹⁵ – 72 page 158¹⁶ – 74, 75 page 158 et 92 page 163¹⁷ – 91, 94 page 163¹⁸ – 97, 98 page 164 et 101 page 165¹⁹– 114 page 222²⁰ [TransMath]

9. Étude de fonctions.

10. Détermination de fonctions.

11. Tangentes.

12. Fonction ln et suites.

13. Primitives, intégrales.

14. Type BAC.

15. Étude de fonctions.

16. Détermination de fonction.

17. Vrai/Faux.

18. Type BAC.

19. Fonction ln et suites.

20. Suites et intégrales.

2.4 Primitives de ^u_u⁰, oùuest une fonction 3 LIMITES ET FONCTION LOGARITHME

2.4 Primitives de

, où u est une fonction

Propriété : Soituune fonctiondérivableetstrictement positivesur un intervalleI.

Alors uneprimitivede la fonctionf définie surI parf(x) = ^u_u(x)^0(x) est : F(x) = ln (u(x))

Remarque : Attentionà ne pas oublier l’hypothèse u >0! Exemple : f(x) =_x2^x−1 surI= ]1 ; +∞[

f semble de la forme ^u_u⁰ avecu(x) =x²−1 etu⁰(x) = 2x.

De plus, sur ]1 ; +∞[,u(x)>0.

On a donc :

f(x) =1

2 × 2x x²−1 Une primitive def surI est donc :

F(x) = 1

2ln x²−1

= lnp x²−1

Exercices : 10 page 201 et 76 page 218²¹– 28 page 204 ; 83 page 218 ; 87, 88 page 219 ; 134 page 228²²– 141, 143 page 229²³[TransMath]

3 Limites et fonction logarithme

3.1 Limites de la fonction logarithme néperien

Propriété :

x→+∞lim lnx= +∞ et lim

x→0⁺lnx=−∞

Démonstration :

Il s’agit de montrer que, pour toutM >0, il existex0>0 tel que, six > x0, lnx > M.

Or lnx > M ⇐⇒x >e^M donc, en posantx0= e^M, on obtient le résultat voulu.

Par suite, limx→+∞lnx= +∞.

Pour la limite en 0⁺, on poseX =_x¹. On a alors : lnx=−ln 1

x =−lnX

Or, lim_x→0+X = +∞et lim_X→+∞−lnX=−∞donc lim_x→0+lnx=−∞.

Exercices : 59 page 156²⁴ – 93 page 163²⁵ [TransMath]

3.2 Des limites importantes

Théorème 1 :

x→+∞lim lnx

x = 0⁺ et lim

x→0⁺xlnx= 0⁻

21. Détermination de primitives.

22. Calcul d’intégrales.

23. Plus difficiles.

24. Calcul de limites.

25. Étude de fonctions.

RÉFÉRENCES RÉFÉRENCES

Démonstration :

On poseX = lnx. On a alorsx= e^X et ^ln_x^x= e^XX. De plus, lim_x→+∞X = lim_x→+∞lnx= +∞et lim_X→+∞e^X

X = +∞donc lim_x→+∞^ln_x^x = 0⁺. On pose ensuiteX =_x¹. On a alorsx= _X¹ etxlnx= _X¹ ln _X¹

=−^ln_X^X. De plus, lim_x→0+X = lim_x→0+ 1

x = +∞et lim_X→+∞^ln_X^X = 0⁺ donc lim_x→0+xlnx= 0⁻. Remarque : On peut montrer de même que, pour tout n≥2,lim_x→+∞^ln_xn^x= 0.

Théorème 2 :

x→1lim lnx

x−1 = 1 et lim

x→0

ln (1 +x)

x = 1

Démonstration :

lnx

x−1 =^{lnx−ln 1}_x−1 ; c’est donc le taux d’accroissement de la fonction ln en 1. Or, la fonction ln est dérivable en 1 donc :

x→1lim lnx

x−1 = ln⁰(1) = 1 1 = 1

Le deuxième résultat se trouve facilement à l’aide du changement de variableX = 1 +x.

Exercices : 60, 61 page 156²⁶ – 62 page 156²⁷ – 22, 23 page 147²⁸ – 13 page 145²⁹[TransMath]

Références

[TransMath] TransMATH Term S, programme 2012 (Nathan) 2, 3, 4, 5, 6, 7

26. Calcul de limites.

27. Dérivabilité d’une fonction.

28. Fonction ln et suites.

29. Une autre démonstration de la limite de ^ln_x^x.