Théorie abstraite de l'intégration

et théorème de Radon-Nikodym

FrançoisDEMARÇAY

Département de Mathématiques d’Orsay Université Paris-Sud, France

Maintenant que nous avons établi les propriétés fondamentales des espaces mesurables (X,A), oùA ⊂P(X)est uneσ-algèbre, munis d’une mesureµ, nous pouvons dévelop- per la généralisation de la théorie de l’intégration de Lebesgue à ce cadre abstrait. En fait, les théorèmes et les démonstrations de la théorie nouvelle sont quasiment les mêmes que ceux que nous avons détaillés pour l’intégration dansR^d. Autrement dit, nous connaissons déjà presque tout de la théorie abstraite de l’intégration sur un espace mesuré :

X,A, µ ,

car il suffit de remplacer ledxdans les intégrales de la théorie de Lebesgue par undµ.

Aussi, nous nous contenterons de décrire les points essentiels et d’énoncer les théo- rèmes principaux, sans reproduire leurs démonstrations. Tout lecteur ayant bien assimilé les chapitres qui précèdent pourra, s’il le souhaite, compléter les détails.

1. Fonctions mesurables

Pour commencer, abrégeons l’ensemble étendu des nombres réels par : R := {−∞} ∪R∪ {∞}.

SoitXun ensemble abstrait, et soitA ⊂P(X)uneσ-algèbre.

Définition 1.1. Une fonction :

f: (X,A) −→ R

est ditemesurablesi, pour toutc∈R, l’ensemble de sous-niveau : f⁻¹ [−∞, c[

=

x∈X: f(x)< c

∈ A

appartient à laσ-algèbre de référence. Fréquemment, f prendra en fait des valeurs finies dansR.

Avec cette définition, les propriétés élémentaires des fonctions mesurables déjà vues dans R^d se généralisent aisément. Par exemple, on a stabilité sous manipulations algé- briques.

Lemme 1.2. Sif, g: (X,A)−→Rsont mesurables, alorsf g, puisα f+β gavecα, β ∈

R, et aussi|f|, sont mesurables.

1

Les Exercices 1 et 2 proposent même d’autres propriétés élémentaires qui sont satisfaites par des applicationsmesurablesà valeurs dans des espaces plus généraux queR.

La propriété la plus spectaculaire et la plus importante de l’ensemble des fonctions mesurables concerne les suites de fonctions.

Théorème 1.3. Soit une suite(f_n)^∞_n=1de fonctions mesurables : f_n: X,A

−→ R. Alors :

ninf>1f_n, sup

n>1

f_n, lim inf

n→ ∞f_n, lim sup

n→ ∞ f_n, sont mesurables.

Si de plus(f_n)^∞_n=1converge simplement vers une certaine fonction : f_∞(x) := lim

n→∞f_n(x) (∀x∈X),

alors cette fonction-limitef_∞est mesurable.

Enfin, l’analogie avec la théorie de Lebesgue dans R^d demande d’étendre le concept de «presque partout», qui doit tenir compte de la présence d’une mesure µsur l’espace mesurable(X,A).

Définition 1.4. Un ensembleA∈A est ditµ-négligeablesiµ(A) = 0.

Évidemment, tout dépend de la mesure µ: pour la mesure de LebesguedxsurR, tout singleton{c}avecc∈Restdx-négligeable, mais{c}n’est sûrement pas négligeable pour la mesure de Diracδ_c, carδ_c {c}

= 1!

Définition 1.5. Une propriété est dite vraieµ-presque partoutsi l’ensemble des points où elle n’est pas vraie est contenu dans un ensembleµ-négligeable.

En particulier, on dit que deux fonctions f, g: (X,A) −→ R sont égales µ-presque partoutsi :

0 = µ

x∈X: f(x)6=g(x) .

Lemme 1.6. Sif: (X,A)−→Rest mesurable, et sig: (X,A)−→Rsatisfait :

f(x) = g(x) (µ-presque partout),

alorsgest aussi mesurable.

2. Intégration abstraite des fonctions positives

Maintenant, pour développer la théorie de l’intégration des fonctions mesurables défi- nies sur un espace mesuré(X,A, µ), il convient, comme dansR^d, de travailler surtout avec des fonctions positives :

f: X,A

−→ R+ := R+∪ {∞}, et de démarrer avec des fonctions-types simples.

Pour nous épargner quelques complications techniques, nous ferons l’hypothèse constante que l’espace(X,A, µ)estσ-fini.

Définition 2.1. Une fonction étagée positive sur (X,A, µ) est une combinaison linéaire finie :

f = X

finie

α_i·1_Ai,

à coefficients réels positifsαi > 0de fonctions indicatrices1Ai d’ensembles mesurables Ai ∈A.

Alors un résultat d’approximation extrêmement central et utile sur lequel repose la pos- sibilité de réellement ériger une théorie de l’intégration est le suivant.

Théorème 2.2. Sif: (X,A) −→ R+ est une fonction mesurable quelconque sur un es- pace mesuréσ-fini(X,A, µ), alors il existe une suite(ϕ_k)^∞_k=1de fonctionsétagées :

ϕ_k: X −→ R+ (k>1)

croissante :

0 6 ϕ_k(x) 6 ϕ_k+1(x) (∀k>1), qui converge ponctuellement vers :

f(x) = lim

k→∞ϕ_k(x) (∀x∈X).

En effet, ce résultat permet d’étendrela définition naturelle de l’intégrale d’une fonction étagée positive :

Z X

finie

α_i·1_Ai

dµ := X

finie

α_i·µ A_i

— on doit démontrer que la valeur ne dépend pas de la représentation étagée choisie — aux fonctions positives quelconques, en acceptant la valeur∞pour l’intégrale.

Définition 2.3. Sur un espace mesuréσ-fini(X,A, µ), l’intégralede toute fonction mesu- rable positivef est le nombre appartenant àR+∪ {∞}:

Z

X

f dµ := sup

Z

X

ϕ dµ: ϕ: (X,A)−→R+ étagée avec ϕ6f partout

. L’intégrale sur un sous-ensemble mesurable quelconqueA ∈A est alors définie (obte- nue) en multipliant les fonctions (étagées ou non) par la fonction indicatrice deA:

Z

A

f dµ :=

Z

X

f ·1_Adµ.

Toutes les propriétés élémentaires satisfaites par l’intégrale des fonctions étagées positives sont alors héritées — démonstrations analogues au cas de R^d — par les fonctions posi- tives.

Proposition 2.4. Sur un sous-ensemble mesurable A ∈ A d’un espace mesuré σ-fini (X,A, µ), pour toutes fonctions mesurablesf, g: X −→R+∪ {∞}, on a :

• R

A(α f+β g)dµ=αR

A f dµ+βR

A g dµpour tousα, β ∈R+;

• µ(A) = 0impliqueR

A f dµ= 0

• R

A f dµ= 0sif = 0,µ-presque partout surA;

• f prend des valeurs finiesµ-presque partout surAsiR

A f dµ <∞;

• B ⊃AavecB ∈A impliqueR

A f dµ 6R

B f dµ;

• R

A f dµ6R

A g dµsif 6g,µ-presque partout surA;

• R

A∪B f dµ =R

A f dµ+R

B f dµsiA, B ∈A avecA∩B =∅.

Dans la suite, plusieurs notations pourront être employées pour l’intégrale : Z

X

f(x)dµ(x) ≡ Z

X

f dµ ≡ Z

f dµ ≡ Z

f.

3. Théorèmes de convergence

Comme dans le chapitre sur l’intégrale de Lebesgue dansR^d, un auxiliaire essentiel des démonstrations — éludées car très analogues — est le

Théorème 3.1. [d’Egorov]Sur un sous-ensembleA ∈A d’un espace mesuré(X,A, µ) dont la mesureµ(A)<∞est finie, soit une suite de fonctions mesurables positives :

f_n: A −→ R+ (n∈N^∗)

qui convergentµ-presque partoutsimplementvers une certaine fonction-limite : f: A −→ R.

Alors pour toutε >0, il existe un sous-ensembleA_ε ⊂AavecA_ε∈A, avec : µ A_ε

> µ(A)−ε, et tel que :

f_n

Aε

uniformément

−−−−−−−−→

n→ ∞ f

Aε.

Le premier théorème de convergence, probablement le plus important de tous, est le Théorème 3.2. [de convergence monotone, Beppo-Levi]Sur un sous-ensembleA ∈ A d’un espace mesuréσ-fini(X,A, µ), soit une suite de fonctions mesurables positives :

fn: A −→ R+∪ {∞}, croissante :

f_n(x) 6 f_n+1(x) (∀n>1,∀x∈A). Alors la fonction-limitef(x) :=lim_n→∞f_n(x), à valeurs dansR+∪ {∞}, satisfait :

Z

A

f dµ = lim

n→∞

Z

A

f_ndµ.

Le second possède un intérêt exceptionnel, en tant qu’il ne suppose rien sur la conver- gence de la suite de fonctions étudiée.

Théorème 3.3. [de Fatou]Étant donné une suite quelconque (f_n)^∞_n=1 de fonctions mesu- rables positives :

f_n: A −→ R+∪ {∞} ⁽ⁿ>1), définies sur un ensemble mesurableA∈A d’un espace mesuré(X,A, µ), on a toujours :

Z

A

lim inf

n→ ∞f_n

dµ 6 ^{lim inf}

n→ ∞

Z

A

f_ndµ.

Une application utile concerne les suites(f_n)^∞_n=1 de fonctions convergeant simplement vers une certaine fonction-limite f: A −→ R+ ∪ {∞} : bien qu’il ne soit pas vrai en général queR

lim=lim R

puissent être interverties, on a toutefois au moins : Z

A

f dµ 6 ^{lim inf}

n→ ∞

Z

A

fndµ.

Il est temps maintenant de survoler l’intégrabilité des fonctions qui prennent des valeurs réelles de signe quelconque. Rappelons que la mesurabilité des fonctions est préservée par prise de valeur absolue.

Définition 3.4. Dans un espace mesuré(X,A, µ), surA∈A, une fonction mesurable : f: A −→ R

est diteµ-intégrablesi : Z

A

|f|dµ < ∞.

En particulier, cette définition concerne les fonctions positivesA −→R+∪ {∞}consi- dérées jusqu’à présent, mais qui n’étaient pas supposées intégrables ; en effet, on a autorisé l’intégrale d’une fonction positive à prendre la valeur∞afin de donner plus de flexibilité et de généralité aux théorèmes.

Le cas des fonctions à valeurs complexes :

f: A −→ C

se ramène, en considérantRef etImf, au cas de fonctions à valeurs dansR.

Bien entendu, les propriétés élémentaires des fonctions intégrables proviennent de la Proposition 2.4.

Proposition 3.5. Sur un sous-ensemble mesurable A ∈ A d’un espace mesuré σ-fini (X,A, µ), pour toutes fonctions mesurablesintégrablesf, g:A −→R, on a :

• f, gprennent des valeurs finiesµ-presque partout surA;

• R

A(α f+β g)dµ=αR

A f dµ+βR

A g dµpour tousα, β ∈R;

• µ(A) = 0impliqueR

A f dµ= 0

• R

A f dµ= 0sif = 0,µ-presque partout surA;

• R

A∪B f dµ =R

A f dµ+R

B f dµsiA, B ∈A avecA∩B =∅;

• R

A f dµ6R

A g dµsif 6g,µ-presque partout surA, et : Z

A

f dµ 6

Z

A

|f|dµ (< ∞).

Cette dernière inégalité est tellement utile et importante dans toutes les mathématiques qu’il faudrait la graver en lettres lumineuses flamboyantes au sommet de la Tour Eiffel ! Proposition 3.6. Sur un sous-ensemble mesurable A ∈ A d’un espace mesuré σ-fini (X,A, µ), pour toutes fonctions mesurablesf, g: X −→R, on a :

f = g, µ-presque partout =⇒

f est µ-intégrable ⇐⇒ g est µ-intégrable et alors R

A f dµ = R

A g dµ.

Nous pouvons maintenant énoncer le théorème-phare de toute la théorie.

Théorème 3.7. [de la convergence dominée, Lebesgue] Sur un sous-ensemble mesu- rableA∈ A d’un espace mesuréσ-fini(X,A, µ), soit une suite de fonctions mesurables (f_n)^∞_n=1 à valeurs dansR. On suppose que cette suite converge simplement vers une cer- taine fonction-limitef:A −→R.

S’il existe une fonction-dominatrice mesurableg: A−→R+∪ {∞}avec :

f_n(x) 6 g(x) (µ-presque partout,∀n>1), qui estµ-intégrable :

Z

A

g dµ < ∞, alors :

lim

n→∞

Z

A

f_ndµ = Z

A

f dµ.

Ainsi, sous cette hypothèse d’existence d’une fonction-dominatrice positive µ- intégrable, on peut intervertir limite et intégration.

De surcroît, comme cela a été vu pour l’intégrale de Lebesgue classique dansR^d, on a en fait mieux :

0 = lim

n→∞

Z

A

f_n−fdµ.

Définition 3.8. Les classes d’équivalence, modulo égalitéµ-presque partout, de fonctions µ-intégrables sur un espace mesuréσ-fini(X,A, µ), forment un espace vectoriel noté :

L¹(X, µ).

Théorème 3.9. Cet espaceL¹(X, µ)est complet.

Enfin, pour terminer ce chapitre de survol, formulons deux généralisations des théo- rèmes de continuité et de dérivabilité d’intégrales dépendant de paramètres qui sont des corollaires assez directs de la convergence dominée de Lebesgue.

Théorème 3.10. Soit un espace mesuréσ-fini(X,A, µ), soit I ⊂ Run intervalle d’inté- rieur non vide, soitA ∈A, et soit une fonction :

f: A×I −→ R. Si, en unt₀ ∈I:

• pour toutt∼t₀ dans un voisinage det₀, la fonctionx7−→f(x, t)estµ-intégrable,

• pour toutx∈A, on a lim

t→t0

f(x, t) = f(x, t₀),

• il existe une fonction g: A −→ R dominantf(x, t) 6 g(x)pour tout x ∈ Aet tout t∼t0, avecR

A g dµ < ∞,

alors la fonctionx−→f(x, t₀)estµ-intégrableet :

tlim→t0

Z

A

f(x, t)dµ = Z

A

f(x, t₀)dµ.

Le second résultat concerne la dérivabilité.

Théorème 3.11. Soit un espace mesuréσ-fini(X,A, µ), soit I ⊂ Run intervalle d’inté- rieur non vide, soitA ∈A, et soit une fonction :

f: A×I −→ R. Si, en unt₀ ∈I:

• pour toutt ∼ t0 dans un voisinage det0, la fonctionx 7−→ f(x, t)estµ-intégrable sur A,

• pour toutx∈A, la fonctiont7−→f(x, t)est dérivable ent=t₀, de dérivée ^∂f_∂t(x, t₀),

• il existe une fonctiong: A −→ Rdominant^∂f

∂t(x, t) 6 g(x)pour toutx ∈ A et tout t∼t₀, avecR

A f dµ <∞,

alors la fonctionx7−→ ^∂f_∂t(x, t0)estµ-intégrable surA,et : d

dt Z

A

f(x, t)dµ t0

= Z

A

∂f

∂t(x, t₀)dµ.

4. Mesure produit

Soient deux espaces mesurables(X,A) et(Y,B), avec A ⊂ P(X) etB ⊂ P(Y) deuxσ-algèbres. Sur le produit cartésien :

X×Y =

(x, y) : x∈X, y ∈Y

existe la famille naturelleRdesrectangles mesurables(produits d’ensembles mesurables) : R :=

A×B: A∈A, B ∈B , qui est unπ-système (est stable par intersections finies), puisque :

A₁×B₁

∩ A₂×B₂

= A₁∩A₂

× B₁∩B₂ , mais n’est pas en général uneσ-algèbre.

Définition 4.1. Laσ-algèbre produit : A ⊗B :=σ R

=σ

A×B: A∈A, B ∈B est laσ-algèbre engendrée dansP X×Y

par les rectangles mesurables.

Dans le contexte classique, on vérifie,cf.l’Exercice 10, que pour tous entiersd1 > 1et d₂ >1, on a :

B_R^d1 ⊗B_R^d2 = B_R^d1+d2.

Maintenant, pour tout ensembleE ⊂X ×Y, et tousx ∈ X,y ∈ Y fixés, les sections verticale et horizontale deEsont :

Ex :=

y∈Y : (x, y)∈E et E^y :=

x∈X: (x, y)∈E . Il est clair que siA∈A etB ∈B sont des ensembles mesurables, alors :

A×B

x =

B lorsquex∈A,

∅ lorsque x6∈A, et A×By

=

A lorsque y∈B,

∅ lorsque y6∈B.

Lemme 4.2. Pour tout ensembleE ∈A ⊗B =σ(R)dans laσ-algèbre produit, on a :

∀x∈X, Ex ∈B et ∀y ∈Y, E^y ∈A.

Dans la suite, nous traiterons seulement la première de deux affirmations, toutes les fois qu’elles seront visiblement symétriques.

Preuve. Fixonsx∈Xet introduisons : E :=

E ⊂X×Y : E_x ∈B . On vérifie (exercice) queE est uneσ-algèbre. Ensuite : Assertion 4.3. On aR ⊂E.

Preuve. En effet, pourA∈A etB ∈B, puisqu’on vient de voir que : A×B

x =

B si x∈A,

∅ sinon,

il est clair queA×B ∈E.

Par conséquent, en appliquantσ(·):

A ⊗B = σ(R) ⊂ σ(E) = E,

ce qui démontre bien que toutE ⊂A ⊗B, d’oùE ∈E, satisfaitE_x ∈B. Lemme 4.4. Pour toute application mesurable :

f: X×Y, A ⊗B

−→ R on a :

∀x∈X, f_x: (Y,B) −→ R est mesurable,

∀y∈Y, f^y: (X,A) −→ R est mesurable.

Preuve. En effet, avecx∈Xfixé, quel que soitc∈R: y∈Y : f_x(y)< c =

y∈Y : f(x, y)< c = {f < c}

x, et comme{f < c} ∈A ⊗B, le lemme qui précède donne bien {f < c}

x ∈B.

À partir de maintenant, (X,A)et (Y,B)seront supposés munis de deux mesures σ- finiesµetν,i.e.:

X = [

n>1

Xn, Xn ⊂ Xn+1, µ Xn

< ∞,

Y = [

n>1

Y_n, Y_n ⊂ Y_n+1, ν Y_n

< ∞.

Proposition 4.5. Pour tout ensemble mesurableE ∈A ⊗B, les deux applications : (X,A) −→ R+∪ {∞}

x 7−→ ν E_x et (Y,B) −→ R+∪ {∞}

y 7−→ ν E^y sont mesurables.

Démonstration. Supposons temporairement que ν est finie, i.e. que ν(Y) < ∞, d’où la majoration uniforme :

0 6 ν E_x

6 ν(Y) < ∞ ⁽∀x∈X).

Pour un rectangle mesurableA×B ∈R, il est clair que : ν (A×B)_x

=

ν(B) lorsque x∈A, 0 lorsque x6∈A, ce qui peut s’écrire :

x 7−→ ν (A×B)_x

=

x 7−→ ν(B)·1_A(x)

,

et commeν(B) < ∞, toutes ces fonctions sont étagées, donc mesurables. Si nous intro- duisons alors :

E :=

E ∈A ⊗B: x7−→ν(E_x)est mesurable , nous venons de faire voir que :

R ⊂ E. L’objectif est d’atteindreA ⊗B ⊂E.

Assertion 4.6. E est une classe monotone dansX×Y. Preuve. Trois propriétés sont à vérifier.

• On aX×Y ∈R ⊂E, doncX×Y ∈E.

• PourE, F ∈E avecE ⊂F, la fonction qui àx∈Xassocie : ν (F\E)_x

= ν F_x\E_x

= ν F_x

−ν E_x ,

est mesurable comme différence de deux fonctions mesurables à valeurs finies (bornées), doncF\E ∈E aussi.

• Pour une suite(E_i)^∞_i=1avecE_i ∈E croissanteE_i ⊂E_i+1, comme(E_i)_x ⊂ E_i+1

x, une proposition connue montre que la fonction qui, àx∈Xassocie :

ν

_i

∪

∪

est mesurable comme limite de fonctions mesurables (Théorème 1.3), donc∪^∞i=1Ei ∈ E

aussi.

Or comme nous savons queR est unπ-système, le Théorème des classes monotones vu dans le chapitre précédent offremon(R) =σ(R), et nous atteignons l’objectif :

R ⊂ E =⇒ ^mon(R) ⊂ ^mon(E) A ⊗B = σ(R) ⊂ E.

Levons maintenant l’hypothèse temporaire, et supposons seulement que Y = ∪^∞n=1Y_n avecY_n ⊂Y_n+1etν(Y_n)<∞. Pour chaquen>1, introduisons la mesure :

ν_n(B) := ν B∩Y_n

(B∈B). Commeν_nest finie, ce qui vient d’être démontré donne la mesurabilité dex 7−→ ν_n(E_x), quel que soitE ∈A ⊗B, et comme :

ν E_x

= lim

n→∞ν_n E_x ,

la fonctionx7−→ν(E_x)est bien mesurable, en tant que limite de fonctions mesurables.

Proposition 4.7. Étant donné deux espaces mesurésσ-finis(X,A, µ)et(Y,B, ν), il existe une et une seule mesure surA ⊗B, ditemesure-produit, notée :

µ⊗ν, satisfaisant :

(µ⊗ν) A×B

= µ(A)ν(B) (∀A∈A,∀B∈B). De plus, pour toutE ∈A ⊗B:

(µ⊗ν)(E) = Z

X

ν E_x dµ =

Z

Y

µ E^y dν.

Démonstration. Commençons par l’unicité. Si χ₁ et χ₂ sont deux mesures sur A ⊗ B coïncidant sur les rectangles mesurables appartenant àR, commeR est unπ-système, le Théorème de Dynkin vu dans le chapitre précédent donnerait directement χ₁ = χ₂ sur σ(R) = A ⊗B, pourvu qu’on ait la finitudeχ₁(X×Y) =χ₂(X×Y) < ∞.

Or par hypothèse deσ-finitude : X = [

n>1

X_n avec X_n ⊂ X_n+1 et µ X_n

< ∞, Y = [

n>1

Yn avec Yn ⊂ Yn+1 et ν Yn

< ∞,

donc l’ensemble produit se décompose en : X×Y = [

n>1

X_n×Y_n avec X_n×Y_n ⊂ X_n+1×Y_n+1, avec :

χ₁ X_n×Y_n

= µ X_n

·ν Y_n

= χ₂ X_n×Y_n

< ∞ ⁽∀n>1). Le Théorème de Dynkin s’applique alors pour donner la coïncidence :

χ₁

Xn×Yn = χ₂

Xn×Yn (∀n>1),

puisχ₁ =χ₂en faisantn−→ ∞.

Traitons maintenant l’existence. SoitE ⊂A ⊗Bquelconque. Grâce à la mesurabilité dex 7−→ ν(E_x)et à celle de y 7−→ µ(E^y) obtenues dans la proposition précédente, les intégrales :

Z

X

ν E_x

dµ =: χ₁(E) et

Z

Y

µ E^y

dν =: χ₂(E) existent dansR+∪ {∞}.

Assertion 4.8. χ₁ etχ₂ sont deux mesures surA ⊗B. Preuve. Deux propriétés sont à vérifier.

• Pour l’ensemble vide : χ₁(∅) =

Z

X

ν ∅x

dµ = 0 = Z

Y

µ ∅^y

dν = χ₂(∅).

• Pour une réunion disjointe, E = ∪^∞i=1E_i avec E_i ∩ E_i0 = ∅ (i 6= i⁰), d’ensembles E_i ∈A ×B, puisque :

Ex =

_i

∪

∪

il vient :

χ₁(E) = Z

X

ν E_x dµ =

Z

X

ν

_i

∪

dµ

= Z

X

X

i>1

ν (E_i)_x dµ

[Convergence monotone] = X

i>1

Z

X

ν (E_i)_x dµ

= X

i>1

χ1 Ei

.

Comme ces deux mesures prolongent évidemment le produit de µ par ν sur les rec- tanglesA×B avecA ∈A etB ∈B :

χ₁ A×B

= Z

X

ν (A×B)_x dµ =

Z

A

ν(B)dµ = ν(B)µ(A), χ₂(A×B) =

Z

Y

µ (A×B)^y dν =

Z

B

µ(A)dν = µ(A)ν(B),

ces deux mesuresχ₁ et χ₂ conviennent, et donc, grâce à l’unicité démontrée en premier,

nous concluons queχ₁ =χ₂ =:µ⊗ν.

Comme dansR^d1×R^d2, les théorèmes de permutation d’intégrales multiples s’articulent en deux moment.

Théorème 4.9. [de Tonelli abstrait]Sur l’espace mesuré produit X×Y, A ⊗B, µ⊗ν associé à deux espaces mesurésσ-finis X,A, µ

et Y,B, ν

, étant donné une fonction mesurablepositive :

f: X×Y, A ⊗B

−→ R+∪ {∞}, les deux fonctions :

(X,A) −→ R+∪ {∞}

x 7−→

Z

Y

f_xdν et

(Y,B) −→ R+∪ {∞}

y 7−→

Z

X

f^ydµ sont mesurables, et de plus :

Z

X×Y

f d(µ⊗ν) = Z

X

Z

Y

f_xdν

dµ = Z

Y

Z

X

f^ydµ

dν.

Ici, ces intégrales peuvent valoir∞.

Démonstration. Résumons les éléments argumentatifs, analogues au casX =R^d1 etY = R^d2.

• Pourf =1_E avecE ⊂A ⊗Bmesurable, tout a déjà été vu dans les deux propositions précédentes.

• Pourf étagée positive, tout en découle par linéarité.

• Pour f mesurable positive quelconque, comme il existe une suite (ϕ_k)^∞_k=1 croissante ϕ_k 6 ϕ_k+1 de fonction étagées positives ϕ_k > 0 qui converge ponctuellement vers f en

tout point, en unx∈Xfixé, le théorème de convergence monotone donne : Z

Y

f_xdν = lim

k→∞

Z

Y

ϕ_k

xdν, donc la fonction :

x 7−→

Z

Y

f_xdν est mesurable, en tant que limite de fonctions mesurables.

Enfin, trois applications, àµ⊗ν, àµ, àν, de ce même théorème de convergence mono- tone, prolongent àf ce résultat déjà acquis pour les fonctions étagéesϕ_k:

Z

X×Y

f d(µ⊗ν) = lim

k→∞

Z

X×Y

ϕ_kd(µ⊗ν) = lim

k→∞

Z

X

Z

Y

ϕ_k

xdν

dµ

= Z

X

lim

k→∞

Z

Y

ϕ_k

xdν

dµ

= Z

X

Z

Y

lim

k→∞ ϕ_k

xdν

dµ

= Z

X

Z

Y

f_xdν

dµ.

Le résultat avec des intégrations dans l’autre sens se justifie pareillement.

Pour conclure cette section, le théorème de Fubini ne s’intéresse qu’à des fonctions intégrablessurX×Y,i.e.dont l’intégrale de la valeur absolue estfinie.

Théorème 4.10. [de Fubini abstrait]Sur l’espace mesuré produit X×Y, A ⊗B, µ⊗ν associé à deux espaces mesurésσ-finis X,A, µ

et Y,B, ν

, étant donné une fonction mesurable :

f: X×Y, A ⊗B

−→ {−∞} ∪R+∪ {∞},

intégrable : Z

X×Y

|f|d(µ⊗ν) < ∞,

pourµ-presque toutx, la fonction f_x est ν-intégrable, pour ν-presque tout y, la fonction f^y estµ-intégrable, les deux intégrales correspondantes :

x 7−→

Z

Y

f_xdν et y 7−→

Z

X

f^ydµ sont des fonctions intégrables surXet surY, et enfin :

Z

X×Y

f d(µ⊗ν) = Z

X

Z

Y

f_xdν

dµ = Z

Y

Z

X

f^ydµ

dν.

Démonstration. Une application à la fonction mesurable |f| du Théorème de Tonelli qui précéde donne :

∞ >

Z

X×Y

|f|d(µ⊗ν) = Z

X

Z

Y

f_xdν

| {z }

donc µ-presque partout<∞

dµ =

Z

Y

Z

X

f^ydµ

| {z }

donc ν-presque partout<∞

dν.

Ensuite, en introduisant les deux fonctions mesurables : f₊ := max

0, f et f₋ := −^min f,0 , avec :

f = f₊−f₋, on vérifie (exercice) que l’égalité des trois intégralesR

X×Y = R

X

R

Y

= R

Y

R

X

dé-

coule du Théorème de Tonelli.

Comme dans le cas de R^d1 ×R^d2, pour calculer l’intégrale d’une fonction mesurable f sur un espace produit X×Y, en la ramenant à deux calculs successifs d’intégrales, on raisonne comme suit.

• Vérifier que|f|est(µ⊗ν)-intégrable surX×Y en choisissant la plus pratique des deux intégrales itérées dans le théorème de Tonelli :

Z

X

Z

Y

|f|dν

dµ ou

Z

Y

Z

X

|f|dµ

dν.

• Calculer alorsR

X×Y f d(µ⊗ν)en choisissant la plus pratique des deux intégrales ité- rées — souvent la même ! — dans le théorème de Fubini :

Z

X

Z

Y

f dν

dµ ou

Z

Y

Z

X

f dµ

dν.

5. Décompositions de Hahn et de Jordan des mesures signées

Intuitivement, une mesure signée possède toutes les propriétés d’une vraie mesure>0, à ceci près qu’elle est autorisée à prendre des valeurs négatives.

Définition 5.1. Sur un espace mesurable (X,A), avec A ⊂ P(X) uneσ-algèbre, une mesure signéeest une fonction :

µ: A −→ ]− ∞,∞] = R∪ {∞}, avecµ(∅) = 0, qui satisfait la l’additivité dénombrable disjointe :

µ [

i>1

A_i

= X

i>1

µ A_i ,

quelle que soit la suite(A_i)^∞_i=1avecA_i ∈A etA_i∩A_i0 =∅pour tous16i6=i⁰. Observons que pour que cette égalité ait lieu, la somme P

i>1 µ(Ai) doit être in- dépendante de l’ordre des termes — puisque l’union ∪i>1Ai l’est ! —, donc lorsque µ ∪^∞i=1 Ai

<∞, cette sommedoitconverger absolument,voirle Lemme 5.3 ci-dessous.

Ainsi, une mesure signée ne prend jamais la valeur −∞, mais est autorisée à prendre la valeur +∞. Une définition alternative peut être employée en demandant que −∞ 6 µ(A) <+∞pour toutA ∈ A, mais il est impossible d’autoriser les deux valeurs−∞et +∞, sous peine d’incohérence arithmétique.

Comme nous le verrons, des exemples naturels de mesures signées sont donnés par : µ_f(A) :=

Z

A

f dµ (A∈A),

oùf =f₊−f₋est une fonction mesurable décomposée en partie positivef₊ =max{0, f} et partie négative−f₋ =min{f,0}, en supposantf₋∈L¹(X, µ)pour garantir que−∞<

µ_f(A)6+∞, tandis quef₊est autorisée à être d’intégrale infinie.

De nombreuses propriétés usuelles des (vraies) mesures>0considérées jusqu’à présent demeurent satisfaites par les mesures signées.

Lemme 5.2. Étant donné une mesure signée µ sur (X,A), pour tous A, B ∈ A avec A⊂B, on a :

µ(B) < ∞ =⇒

(µ(A) < ∞, µ B\A

= µ(B)−µ(A).

Preuve. Sinon, si on avaitµ(A) = ∞, l’additivité : µ(B) = µ(A)

| {z }

=∞?

+µ B\A

| {z }

− ∞<

impliqueraitµ(B) = ∞aussi, contradiction.

Ensuite, puisque−∞ <−µ(A), on peut effectivement soustraire, l’arithmétique étant

cohérente.

Lemme 5.3. Soit(X,A)un espace mesurable muni d’une mesure signéeµ. Si(A_i)^∞_i=1est une suite d’ensemblesA_i ∈A disjointsA_i∩A_i0 =∅pouri6=i⁰, alors :

− ∞<

µ [

i>1

A_i

< ∞ =⇒ X

i>1

µ(A_i) < ∞.

Preuve. En effet, en introduisant :

A⁻_i :=

A_i si µ(A_i) < 0,

∅ si µ(A_i) > 0, ainsi que A⁺_i :=

∅ si µ(A_i) < 0, A_i si µ(A_i) > 0, nous avons parσ-additivité deux séries à termes de signes constants60et>0:

µ [

i>1

A⁻_i

= X

i>1

µ A⁻_i

et µ [

i>1

A⁺_i

= X

i>1

µ A⁺_i . Abrégeons aussi :

A⁻ := [

i>1

A⁻_i , A⁺ := [

i>1

A⁺_i , A := [

i>1

A_i. Comme−∞< µ(A⁻), la première série à termes60converge absolument.

L’hypothèseµ(A)<∞, l’inclusionA⁺⊂A, et le Lemme 5.2 donnent alors :

− ∞<

µ A⁺

< ∞, et doncP

µ A⁺_i

< ∞converge aussi. Enfin : X

i>1

µ A_i = X

i>1

−µ A⁻_i +X

i>1

µ A⁺_i

< ∞.

Puisque les arguments sont essentiellement les mêmes que pour les (vraies) mesures (à valeurs>0), énonçons sans démonstration une

Proposition 5.4. Dans un espace mesurable(X,A)muni d’une mesure signéeµ, soit une suite(A_i)^∞_i=1 d’ensembles mesurablesA_i ∈A.

(1) SiA_i ⊂A_i+1 est croissante, alors : µ [

i>1

Ai

= lim

i→∞µ Ai

.

(2) SiAi ⊃Ai+1 est décroissante, et siµ A1

<∞, alors :

µ \

i>1

A_i

= lim

i→∞µ A_i

.

Maintenant, siµ₁etµ₂ sont deuxvraiesmesures sur(X,A), disons finies pour simpli- fier,i.e.µ1(X)<∞etµ2(X)<∞, alors la différence :

µ := µ₂−µ₁

est une mesure signée. L’objectif des paragraphes qui suivent est d’établir que toute mesure signée s’écrit de manière unique comme différence de deux telles mesures, maximales en un certain sens.

Tout d’abord, il s’agit de localiser les lieux oùµest60, et ceux où elle est>0.

Définition 5.5. Un sous-ensembleN ⊂XavecN ∈A est ditnégatif pourµsi :

∀N⁰ ⊂ N avec N⁰ ∈A, µ(N⁰) 6 0.

Un sous-ensembleO ⊂XavecO ∈A est ditnul pourµsi :

∀O⁰ ⊂ O avec O⁰ ∈A, µ(O⁰) = 0.

Un sous-ensembleP ⊂XavecP ∈A est ditpositif pourµsi :

∀P⁰ ⊂ P avec P⁰ ∈A, µ(P⁰) > 0.

L’objet du théorème suivant est de capturer de tels ensembles N, O, P, en évitant de mélanger le négatif avec le positif, sans vraiment porter attention sur les nuls.

Théorème 5.6. [de décomposition de Hahn]Si µ est une mesure signée sur un espace mesurable(X,A), alors il existe deux sous-ensemblesN ⊂XetP ⊂X avecN ∈A, et P ∈A et avec :

N ∪P = X, N ∩P = ∅, tels queN est négatif pourµ, etP est positif pourµ.

Cette décomposition est essentiellement unique, au sens où pour toute autre telle paire (N⁰, P⁰), les deux différences symétriques :

N∆N⁰ = N\N⁰

∪ N⁰\N

et P∆P⁰ = P\P⁰

∪ P⁰\P sont des ensembles nuls pourµ.

Démonstration. Commençons par un résultat auxiliaire-clé.

Proposition 5.7. Siµ(D) 6 0sur un ensembleD ∈ A, alors il existe un sous-ensemble A⊂Dnégatif pourµtel queµ(A)6µ(D).

Démonstration. Définissons A₀ := D, et supposons par récurrence que pour un entier n>0, un ensembleA_n⊂Da été construit. Soit :

t_n := sup

µ(B) : B ⊂A_n avec B ∈A

∈ [0,∞];

commeB :=∅convient, il est clair quet_n>0.

Par définition det_n, il existeB_n⊂A_navecB_n∈A satisfaisant : µ B_n

> ^t₂ⁿ > ^min

1, ^t₂ⁿ > 0.

Par induction, définissons :

A_n+1 := A_n

B_n (∀n>0).

Nous affirmons alors que l’ensemble : A := D

/_n

∪

convient ; observons au passage queA_n = D

B₀∪ · · · ∪B_n−1

, d’où : A ⊂ A_n.

En effet, comme les B_n, n > 0, sont mutuellement disjoints (exercice mental), laσ- additivité deµdonne, en tenant compte deµ(D)<∞pour être autorisé à soustraire :

− ∞ < µ(A) = µ(D)−X

n>0

µ B_n 6 µ(D)−X

n>0

min

1, ^t₂ⁿ , ce qui montreµ(A)6µ(D).

SiAn’étaitpasun ensemble négatif pourµ, il existerait un sous-ensembleB ⊂Aavec B ∈ A pour lequel µ(B) > 0. Mais comme A ⊂ A_n, d’oùB ⊂ A_n, la définition de t_n s’appliquerait pour donner :

0 < µ(B) 6 tn (∀n>0), et la série à droite ci-dessus− P

min{·}vaudrait alors−∞, ce qui contredirait avec une insolence condamnable l’hypothèse queµne prend jamais la valeur −∞. DoncA est un

ensemble négatif pourµ!

Pour construire l’ensemble N du Théorème 5.6, posons N₀ := ∅, et par induction, supposantN_nconnu pour un entiern >0, considérons :

s_n := inf

µ(D) : D ⊂ X

N_n, D ∈A .

Cet infimum peut éventuellement valoir −∞, et puisque D = ∅ convient, on a s_n 6 0.

Clairement, il existe un sous-ensembleD_n⊂X\N_navecD_n ∈A satisfaisant : µ D_n

6 ^s₂ⁿ 6 ^max_s

n

2 , −1 6 0.

Grâce à la Proposition 5.7, il existe un sous-ensemble A_n ⊂ D_n avec A_n ∈ A, avec µ(A_n)6µ(D_n), tel queA_nest négatif pourµ.

Par induction, définissons :

N_n+1 := N_n∪A_n (∀n>0).

Nous affirmons alors que l’ensemble : N := [

n>0

A_n

et son complémentaireP :=X\N, forment une décomposition de Hahn pourµ; observons au passage que :

N_n = ∅ ∪A₁∪ · · · ∪A_n−1 d’où N_n ⊂ N (∀n>1). En effet, puisque les A_n, n > 0, sont mutuellement disjoints, on a pour tout B ⊂ N avecB ∈A, parσ-additivité :

µ(B) = X

n>0

µ B∩An

6 0, ce qui montre queN est un ensemble négatif pourµ.

Si P = X\N n’était pas un ensemble positif pour µ, il existerait D ⊂ X\N avec D ∈ A tel que µ(D) < 0. Mais comme N_n ⊂ N équivaut à X\N ⊂ X\N_n, d’où D⊂X\N_n, la définition des_ns’appliquerait pour donner :

s_n 6 µ(D) < 0 (∀n>0), ce qui, via laσ-additivité deµ:

µ(N) = X

n>0

µ A_n

6 X

n>0

µ D_n

6 X

n>0

max_s

n

2 , −1

= − ∞,

contredirait l’hypothèse queµne prend jamais la valeur−∞. Ceci conclut la démonstration d’existence.

Soit maintenantX =N⁰∩P⁰ une autre décomposition de Hahn pourµ. En partant de X =N⁰∪P⁰ et deX=N ∪P, on intersecte avecP et avecP⁰ :

P = P ∩N⁰

∪ P ∩P⁰

et P⁰ = P⁰∩N

∪ P⁰∩P , d’où :

P

P⁰ = P ∩N⁰ et P⁰

P = P⁰∩N, et ainsi :

P∆P⁰ = P\P⁰

∪ P⁰\P

= P ∩N⁰

∪ P⁰∩N

= N∆N⁰,

cette seconde différence symétrique étant analogue. Or puisqueP ∩N⁰etP⁰∩N sont tous deux simultanément négatifs et positifs pour µ, ils sont tous deux nulspour µ — fin des

raisonnements !

Grâce à une telle décomposition de Hahn deX =N∪P, nous pouvons introduire deux (vraies) mesures (à valeurs positives) :

µ₋(A) := −µ A∩N

et µ₊(A) := µ A∩P ,

pour toutA ∈A, et nous observons queµ₋ est à valeurs finies dansR+, puisque −∞<

µ(A∩N), tandis queµ₊est à valeurs dansR+∩ {∞}.