Fourier et de la transform´ee de Laplace.

(1)

Etude de quelques équations de la chaleur par la méthode des séries de Fourier, de la transformée de

Fourier et de la transform´ee de Laplace.

A. Lesfari

E. mail : Lesfariahmed@yahoo.fr http://lesfari.com

1) (Etude de l’équation de la chaleur par la méthode des séries de Fourier). Soit une plaque carrée dont les côtés ont la longueurπet telle que : ses faces sont isolées, trois de ses côtés sont maintenus à la température zéro, le quatrième côté est main- tenu à la températureT₀. La température au point (x, y)∈[0, π]×[0, π] et à l’instant t 0 est représentée par une fonctionu(x, y) satisfaisant (dans ]0, π[×]0, π[×]0,∞[)

`a l’´equation de la chaleur

∂u

∂t =C µ∂²u

∂x² +∂²u

∂y²

¶ ,

oùC6= 0 est une constante. Le problème consiste à déterminer la température d’état stationnaire (^∂u_∂t = 0) en tout point de la plaque. Dans ce cas, l’équation aux dérivées partielles précédente devient

(1) ∂²u

∂x² +∂²u

∂y² = 0.

Cette ´equation s’appelle ´equation de Laplace en deux variables. Les conditions aux limites s’expriment par

u(0, y) =u(x,0) =u(π, y) = 0, u(x, π) =T₀.

Résoudre l’équation (1), par la méthode de séparation des variables et les séries de Fourier.

Solution: On cherche des solutions particuli`eres de (1) sous forme d’un produit de deux fonctions d´ependant chacune d’une seule variable;

u(x, y) =f(x)g(y).

En substituant cette expression dans (1), on obtient f⁰⁰(x)g(y) +f(x)g⁰⁰(y) = 0,

1

(2)

d’o`u

f⁰⁰(x)

f(x) =−g⁰⁰(y) g(y) .

Le membre de gauche de cette égalité est une fonction de x et celui de droite est une fonction dey. Comme ils sont égaux, ils ne dépendent ni de x ni de y et sont donc égaux à une constante que l’on désigne par−λ². On a donc

f⁰⁰(x) +λ²f(x) = 0, g⁰⁰(x)−λ²g(x) = 0.

En r´esolvant ces deux ´equations, on trouve

f(x) = acosλx+bsinλx, g(x) = ccothλy+dsinhλy.

D’o`u

u(x, y) = (acosλx+bsinλx)(ccothλy+dsinhλy).

Les conditions aux limitesu(0, y) = 0 etu(x,0) = 0 entrainent respectivementa= 0 etc = 0, et la condition u(π, y) = 0 donne bdsinλπsinhλy = 0. Pour obtenir une solution non triviale, i.e.,b6= 0 etd6= 0, il faut choisirλ=ko`uk= 1,2, ...D`es lors

u_k(x, y) =A_ksinkx.sinhky.

Pour satisfaire à la dernière condition : u(x, π) =T₀, on utilise d’abord le principe de superposition pour obtenir la solution générale :

(2) u(x, y) =

X∞

k=1

u_k(x, y) = X∞

k=1

A_ksinkx.sinhky.

Puis en se basant sur la condition aux limites

(3) u(x, π) =

X∞

k=1

A_ksinhkπsinkx=T₀,

on détermine les coefficients A_k de la manière suivante : L’équation (3) représente le développement en série de Fourier de la constante T₀ dans l’intervalle [0, π[. En posantu(x, π) =−T₀pourx∈[−π,0[, la fonctionu(x, π) est définie dans l’intervalle [−π, π[, et comme il s’agit d’une fonction impaire, on a pour son développement en série de Fourier :

(4) u(x, π) =

X∞

k=1

b_ksinkx=T₀, o`u

b_k = 2 π

Z _π

0

u(x, π) sinkxdx,

= 2T₀ π

Z _π

0

sinkxdx,

= 2T₀(1−coskπ)

πk .

(3)

En comparant (3) et (4), on obtient

A_k= 2T₀(1−coskπ) πksinhkπ .

Finalement, en portant ces valeurs dans (2), on obtient la solution : u(x, y) = 2T₀

π X∞

k=1

(1−coskπ)

πksinhkπ sinkx.sinhky.

2) (Etude de l’équation de la chaleur par la méthode des séries de Fourier). On considère l’équation de la chaleur :

∂u

∂t = ∂²u

∂x², t >0

o`u u: [0, L]×[0,+∞[−→ R,(x, t)7−→u(x, t) est une fonction continue sur [0, L]× [0,+∞[ et de classeC^∞sur ]0, L[×]0,+∞[. On suppose satisfaites les conditions aux limites :

u(x, t) =u(L, t) = 0, L >0 ainsi que les conditions initiales :

u(x,0) =ϕ(x),

oùϕ: [0, L]−→Rest une fonction 2L-périodique, impaire et de classeC⁴. Déterminer u(x, t), 0≤x≤L, à l’aide des séries de Fourier.

Indication: Comme dans le problème précédent, on utilise la méthode de séparation des variables en posant : u(x, t) = f(x)g(t), on détermine f, g et on applique le principe de superposition. Ensuite, on prolonge la fonctionϕsur [−L,0] de manière impaire et on la décompose en série de Fourier.

3) (Etude de l’équation de la chaleur par la méthode de la transformée de Fourier).

En utilisant la transformée de Fourier, déterminer la solution u(x, t) de l’équation de la chaleur

∂u

∂t =a∂²u

∂x², a >0

avec la condition initiale : u(x,0) = ϕ(x) o`u ϕ(x) est la temp´erature `a l’instant t= 0.

Solution : Pour résoudre l’équation ci-dessus, on considère la transformée de Fourier par rapport à la variablex seulement. On a

Z _∞

−∞

∂u

∂t(x, t)e^−2πiωxdx=a Z _∞

−∞

∂²u

∂x²(x, t)e^−2πiωxdx.

(4)

Comme

F{u(x, t)} = bu(ω, t) = Z _∞

−∞

u(x, t)e^−2πiωxdx, F{∂u

∂x(x, t)} = d∂u

∂ω(ω, t) = Z _∞

−∞

∂u

∂x(x, t)e^−2πiωxdx= 2πiωbu(ω, t), F{∂²u

∂x²(x, t)} = ∂d²u

∂ω²(ω, t) = Z _∞

−∞

∂²u

∂x²(x, t)e^−2πiωxdx=−4π²ω²u(ω, t),b alors l’équation précédente, s’écrit sous la forme

∂bu

∂t(ω, t) =−4aπ²ω²bu(ω, t).

En int´egrant cette ´equation en l’inconnuebu(ω, t) de la variable t, on obtient b

u(ω, t) =Ce^−4aπ²^ω²^t. Or

b

u(ω,0) =C= Z _∞

−∞

u(x,0)e^−2πiωxdx= Z _∞

−∞

ϕ(x)e^−2πiωxdx, donc

b

u(ω, t) =e^−4aπ²^ω²^t Z _∞

−∞

ϕ(x)e^−2πiωxdx=e^−4aπ²^ω²^tϕ(ω),b i.e.,

F{u(x, t)}=e^−4aπ²^ω²^tF{ϕ(x)}.

CommeF{f∗g}=F{f}F{g}, on peut poser u(x, t) =f ∗g,

avecf =ϕ(x) donn´ee et g telle que : F{g}=bg(ω) =e^−4aπ²^ω²^t. On montre que :

g= 1

4π√

aπte⁻ ^x

2 16aπ2t. Finalement, on obtient la solution

u(x, t) =ϕ∗ 1 4π√

aπte⁻ ^x

2

16aπ2t = 1 4π√

aπt Z _∞

−∞

ϕ(y)e⁻^(x−y)2^16aπ²^tdy.

4)(Etude de l’équation de la chaleur par la méthode de la transformée de Laplace).

D´eterminer la solutionu(x, t) de l’´equation de la chaleur

∂u

∂t =a²∂²u

∂x²,

(5)

qui satisfait aux conditions suivantes : pourx= 0, on a u(0, t) =

½ 0 si t≤0 f(t) si t >0

et ∂u

∂x(0, t) =

½ 0 si t≤0 g(t) si t >0

où f et g sont deux fonctions données, définies pour t > 0. On pourra admettre la légitimité des calculs. On représenteraupar une intégrale de la forme

u(x, t) = Z _∞

−∞

(A(ω) cosωx+B(ω) sinωx)e^−a²^ω²^tdω,

oùA(ω) est une fonction paire etB(ω) est une fonction impaire et l’on se ramène à un problème de transformée de Laplace en posantp=a²ω².

Solution: On a

∂u

∂x(x, t) = Z _∞

−∞

(−ωA(ω) sinωx+ωB(ω) cosωx)e^−a²^ω²^tdω, et

u(0, t) = Z _∞

−∞

A(ω)e^−a²^ω²^tdω=f(t), t >0

∂u

∂x(0, t) = Z _∞

−∞

ωB(ω)e^−a²^ω²^tdω=g(t), t >0

Par hypoth`ese,A(ω) est une fonction paire etB(ω) est une fonction impaire, donc A(ω)e^−a²^ω²^t etB(ω)e^−a²^ω²^t sont des fonctions paires. D`es lors,

f(t) = 2 Z _∞

0

A(ω)e^−a²^ω²^tdω, g(t) = 2

Z _∞

0

ωB(ω)e^−a²^ω²^tdω.

En posantp=a²ω², on obtient (en d´esignant parL la transform´ee de Laplace), f(t) =

Z _∞

0

A

³√ p a

´

a√

p e^−ptdp=L



 A

³√ p a

´

a√ p



,

g(t) = Z _∞

0

B

³√ p a

´

a² e^−ptdp=L



 B

³√ p a

´

a²



. D’o`u

A

³√p a

´

a√

p = L⁻¹{f(t)} ≡F(p), B

³_√

p a

´

a² = L⁻¹{g(t)} ≡G(p),

(6)

i.e.,

A(ω) = a²ωF(a²ω²),

B(ω) = a²L⁻¹{g(t)} ≡G(a²ω²), et par cons´equent

u(x, t) =a² Z _∞

−∞

¡F(a²ω²)ωcosωx+G(a²ω²) sinωx¢

e^−a²^ω²^tdω.

References

[1] Lesfari, A. : Distributions, Analyse de Fourier et Transformation de Laplace (Cours et exercices), 380 pages, ISBN : 978-2-7298-7629-6 , ´editions Ellipses, Paris, Octobre 2012.