Recueil de contrôles d’électricité 3 (SMP-S3)
UNIVERSITE CADI AYYAD
FACULTE DES SCIENCES SEMLALIA DEPARTEMENT DE PHYSIQUE
MARRAKECH
Support pédagogique :
Recueil de contrôles corrigés
d'électricité 3
Filières Licences fondamentales SMP et SMA
A. Essafti et E. Ech-chamikh
Année universitaire : 2008/2009
A. Essafti & E. Ech-chamikh
Avant-propos
Ce recueil de contrôles corrigés d'électricité 3 (élément de module du module physique 3 composé des éléments électricité 2 & électricité 3), est destiné essentiellement aux étudiants des filières Licences fondamentales, Sciences de la Matière Physique (SMP) et Sciences Mathématiques Appliqués (SMA), du premier cycle de l'enseignement universitaire. Les étudiants de quelques filières Licences professionnelles peuvent également se servir de ce document ; notamment les filières EnRA et EEI.
Ce support regroupe les contrôles du milieu de semestre, les contrôles de fin du semestre et les contrôles de rattrapage qui ont étés proposés aux étudiants de la Faculté des Sciences Semlalia de Marrakech (FSSM) durant la période 2004-2008 dans le cadre du programme officiel de la réforme pédagogique universitaire. Ces contrôles couvrent tous les chapitres de l'électricité 3 : l'électrostatique dans la matière, la magnétostatique dans la matière et la propagation des ondes électromagnétiques dans la matière.
Nous souhaitons que les étudiants (plus particulièrement ceux de la FSSM) trouvent dans ce polycopié un bon outil de travail qui les aidera à mieux comprendre le cours d’électricité 3 et à se préparer efficacement aux épreuves des contrôles de cet élément de module.
Les auteurs
Recueil de contrôles d’électricité 3 (SMP-S3)
Contrôle N°1 : (2004/05)
Partie A- Soient deux tubes conducteurs cylindriques coaxiaux (d’axe Z’OZ), de rayons R1 et R2
(R2 > R1) et de hauteur H >> R2. Le conducteur de rayon R1
porte une charge positive de densité surfacique . L’espace entre les deux conducteurs est rempli par un diélectrique LHI de permittivité électrique (voir figure 1).
1- Ecrire l’équation de Maxwell-Gauss pour le vecteur déplacement électrique
D. Déduire la forme intégrale de cette équation et sa signification physique.
2- Montrer que
D, en tout point M (loin des bords) repéré par ses coordonnées cylindriques r, et z, est donné par une expression de la forme : er
D r
où est une constante à déterminer etrOM rer.
3- En déduire le champ électrostatique macroscopique E dans le diélectrique.
4- Déterminer le vecteur polarisation
P dans le diélectrique.
5- Calculer les densités des charges de polarisation surfaciques p(R1) et p(R2) sur les conducteurs de rayons R1 et R2, respectivement.
6- Calculer la densité volumique des charges de polarisation p. 7- En déduire la charge totale de polarisation Qp.
8- Calculer le champ de polarisation
Ep dans le diélectrique.
9- Calculer la différence de potentiel V entre les deux conducteurs.
10- En déduire l’expression de la capacité CA du condensateur.
On donne, en coordonnées cylindriques :
z A A rA r
r A r
div r z
1
) 1 (
Partie B- On considère, dans cette partie, que l’espace entre les deux conducteurs cylindriques est rempli de deux diélectriques LHI 1 et 2, cylindriques, d’épaisseurs e1 et e2 et de permittivités électriques et 2, respectivement (voir figure 2).
1- Calculer les vecteurs déplacement électrique D1 et
D2 dans les diélectriques 1 et 2 respectivement.
2- Déterminer les champs électriques macroscopiques E1 et E2 dans les diélectriques 1 et 2.
3- Ecrire la relation de passage, entre les deux diélectriques, pour le vecteur déplacement électriqueD
.
4- Déduire une relation entre les champs électriques
E1 et E2 à l’interface entre les deux diélectriques.
5- Calculer la différence de potentiel V entre les deux conducteurs.
6- En déduire l’expression de la capacité CB du condensateur. Conclure
H
R1
R2
Figure 1
Z
Z’
O M
Figure 2
H
R1
R2
2 1 e2 e1
Z
Z’
A. Essafti & E. Ech-chamikh
7- Calculer les vecteurs polarisation P1 et
P2 dans les diélectriques 1 et 2, respectivement.
8- Calculer les densités surfaciques des charges de polarisation Bp(R1) sur le cylindre de rayon R1 et p(R2) sur le cylindre de rayon R2.
9- Calculer la densité surfacique des charges de polarisation Bp à l’interface entre les diélectriques 1 et 2.
Recueil de contrôles d’électricité 3 (SMP-S3)
Corrigé du contrôle N°1: (2004-2005) Partie A :
1- L’équation de Maxwell-Gauss pour D
est :divD Sa forme intégrale est : int
) (
Q dS D
S
Le flux du vecteur déplacement électrique à travers une surface fermée S est égal à la somme des charges libres situées à l’intérieur de S.
2- Par raison de la symétrie cylindrique, le vecteur D
est radial et ne dépend que de r donc : er
r D
D
)
(
Le théorème de Gauss appliqué à un cylindre hypothétique de même axe que les deux cylindres, et de rayon r (R1<r<R2) et de hauteur h<<H conduit à :
h R rh
r D dS r D dS D
S S
1 )
( )
(
2 2
) ( )
(
Ce qui donne :
r r R D( ) 1
Donc r er
e r r
D R
1 avec :R1 3- Milieu LHI, D E
donc : er
r E R
1
4-D oE P E
, donne o o er
r E R
P
( ) ( ) 1
5- Les densités des charges de polarisation surfaciques sont définies par :
p(R1) P(r R1)n1
avec :n er
1
D’où : ( 1) ( ) ( ) 0
p R Per er P o
p(R2) P(r R2)n2
avec :n er
2
D’où : ( ) ( ) ( ) 0
2 1
2
R
P R e e P
R r r o
p
6- La densité volumique des charges de polarisation p est définie par : p div(P)
Comme :
r Pr o R
( ) 1 et P Pz 0 ; Donc : p 0
7- La charge de polarisation totale est : ( ) ( ) 0
)
( ( )
2 )
(
1
R dS
R dS
dvQ
S V
p p
S p p
En effet : ( ) 2 ( ) 2 2 0
2 1
1
R H
R H R
R
Qp o o
8- Le champ de polarisation Ep(r)
entre les armatures peut être déterminé à partir de la relation du champ macroscopique E
; où E
est égal à la somme du champ extérieur Eo et le champ de polarisation Ep
: E Eo Ep
A. Essafti & E. Ech-chamikh
Donc :Ep E Eo
Le champ extérieur est créé dans le vide par la charge Q portée par l’armature de rayon R1, en un point M de rayon r, et son expression est :
Le champ E
est déterminé par application du théorème de Gauss : r
o
re E R
1
Alors :
o r o p
e P r
E R
1 1 1 Autre démarche :
Calcul direct en utilisant le théorème de Gauss :
o p o
p S
p
h R R dS Q
E
1 1 )
(
2 )
(
On trouve la même expression.9- On a la relationEgradV
, donc dV E(r)drcar le champ électrique n’a qu’une seule composante E(r). On intègre cette relation entre R1 et R2:
1 2 1
1 1
2
2
1 2
1
2
1
) ( )
( )
( R
LogR R r
R dr dr
r E R
V R V dV
R
R R
R
R
R
1 2 1
2
1) ( )
( R
LogR R R
V R V
V
10-
1 2 1
2 1
R LogR C R
V C H R
Q A A
; alors :
1 2 1
2
2 1
2
R LogR
H R
LogR
CA H
Partie B :
1- Le vecteur déplacement dans le milieu 1 est : er r r R
D
1
1( )
(avec R1<r<R1+e1).
Dans le milieu 2 le vecteur déplacement est : er r r R
D
1
2( )
(avec R1+e1<r<R2) 2- Le champ macroscopique dans le milieu 1 est: er
r R
E D
1 1 1
1
1
; Le champ macroscopique dans le milieu 2 est: er
r R
E D
2 1 2
2
2
;
3- A la traversée de la surface séparant les deux milieux 1 et 2 il y a continuité de la composante normale du vecteur déplacement D
:
2 0
1n Dn
D , car la densité surfacique des charges libres est nulle à l’interface entre les deux diélectriques.
4- A l’interface r = R1+e1,D1 D2
, on peut écrire donc : 1E1 2E2
5- On a : EgradV
, alors :dV E(r)dr
Recueil de contrôles d’électricité 3 (SMP-S3)
) (
) ( ) (
) (
) (
) ( ) (
1 1
2 2
1 1
1 1 1
1 2
1
2 1 1
1 2
1 1
2
2
1 1 1
1
1 2
1 1 2
1
1 1
1
e R Log R R R
e LogR R R
V R V V
r R dr r
R dr dr
E dr E R
V R V dV
R
e R e
R
R R
e R R
R
e R
R
6- Comme 2 ( )
1 1
2 2
1 1
1 1 1
1
1 R e
Log R R R
e LogR C R
V C H R
Q B B
Donc :
1 1
2 2
1 1 1 1
1 1
2
e R Log R R
e LogR CB H
Conclusion : Le condensateur est équivalent à deux condensateurs C1 et C2 en série :
H e R Log R H
R e LogR C
C
CB
2
1 2
1 2 1 1 1
1 1 1
2 2
1 1 1 1
7- o o er
r E R
P
1 1 1
1 1
1 ( ) ( )
; dans le milieu 1.
r o
o e
r E R
P
2 1 2
2 2
2 ( ) ( )
; dans le milieu 2.
8- Les densités des charges de polarisation surfaciques sont :
( ) ( ) ( ) 0
1 1
1 1
1
Bp R Per er P o
( ) ( ) ( ) 0
2 2
1 2
2 2
2
R
P R e e P
R r r o
B p
9- A l’interface r=R1 +e1 ; la densité surfacique de charges de polarisation est : )
( )
( 1 1 2 1 1
1Bp R e Bp R e
B
p
.
Avec : 0
) ) (
( )
( ) (
) (
1 1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1
R e
P R e e e R r P e
R r r o
B p
) 0 ) (
( )
( ) (
) (
1 1 2
1 2
2 1
1 2
1 1
2
R e
P R e
e e R r P e
R r r o
B p
Donc :
2 1
2 1 1 1
1
) (R e
R o
B p
A. Essafti & E. Ech-chamikh
Contrôle N°1 : (2005/2006)
Exercice 1 :
On considère un condensateur plan rempli de deux diélectriques LHI de permittivités diélectriques et 2. Ces deux diélectriques touchent chacune des armatures suivant des surfaces S1 et S2; Les contacts sont parfaits. Les deux armatures métalliques du condensateur sont soumises à une différence de potentiel V. Les effets de bords sont supposés négligeables.
Soit d la distance entre les deux armatures.
1)- Enoncer les relations de passage entre deux milieux 1 et 2 pour le champ électrique E et pour le vecteur déplacement électrique D
. 2)- Déduire la relation entre les champs électriques
E1 et E2 dans les milieux 1 et 2 respectivement.
Trouver leurs expressions en fonction de V et d.
3)- Calculer les vecteurs déplacement
D1 et
D2 dans les diélectriques 1 et 2, respectivement.
4)- Déterminer les densités surfaciques de charges libres 1 et 2 portées, respectivement, par les surfaces S1 et S2 en fonction de d,1, 2 etV. En déduire la capacité du condensateur C et conclure.
5)- Calculer les vecteurs polarisation P1 et
P2, respectivement, dans les diélectriques 1 et 2.
6)- Calculer les densités surfaciques de charges de polarisation 1p et 2p portées, respectivement, par les surfaces S1 et S2 de l’armature supérieure en fonction de d,1, 2, o et V.
Exercice 2:
Soit une sphère diélectrique LHI de susceptibilité électrique , de centre O et de rayon R, placée dans le vide, polarisé uniformément suivant l’axe OX. Le vecteur polarisation est P Pex
.
1) Rappeler la définition d’un dipôle électrique de moment dipolaire électrique p . 2) Ecrire l’expression du potentiel V(M) créé par ce dipôle électrique p
(placé en un point O) en un point M très éloigné du dipôle. On pose rOM
. 3) On supposera qu’à l’extérieur, la sphère est équivalente à un dipôle électrique. Déterminer le moment dipolaire électrique p
de la sphère.
4) Exprimer le potentiel V(M) en fonction de la polarisation P
.
5) En un point M à l’extérieur de la sphère, donner l’expression du champ électrique E(M)
. 6) Déterminer les composantes de E(M)
en coordonnés polaires (r,.
7)- On considère que la sphère est placée dans un champ électrique uniforme Eo
. Déterminer le vecteur polarisation de la sphère.
O
M
er
e
ex
ey
P R
X Y
S1
d
1 2
V
ez S2
(1) (2)
Recueil de contrôles d’électricité 3 (SMP-S3)
On rappelle que le champ électrique de polarisation au centre O de la sphère, uniformément polarisée, est donné par l’expression
o p
E P
3
où o est la permittivité du vide.Rappel :
e A e r
r A A
grad
r
1
A. Essafti & E. Ech-chamikh
Corrigé du contrôle N°1 : (2005-2006) Exercice 1 :
1) A la traversée d’une surface séparant deux milieux 1 et 2 il y a : - Continuité de la composante tangentielle du champ électrique E
: E1T=E2T.
- Discontinuité de la composante normale du vecteur déplacement D :
12 2
1 D n
D
, avec n12
un vecteur normal à la surface orienté du milieu 1 vers le milieu 2 et la densité surfacique de charges libres.
2) continuité de la composante tangentielle du champ électrique: E1T=E2T, ( pas de composante normale pour le champ électrique), soit donc E1 E2.
Le champ électrique est uniforme entre les deux armatures et porté par
e
z, donc on peut écrire que
dV
EdzE
2dzV Ed1 2
1 2
1
, dans le milieu 1 : V=E1d . De même pour le milieu 2 on a : V=E2d. Soit donc : E V
d ez E
1 2.
3) Le vecteur déplacement dans le milieu 1 est : D1 1E1 1ez Dans le milieu 2 , le vecteur déplacement est : D2 2E2 2ez. 4) Sachant que
E1 1 ez
1
et
E2 2 ez
2
, on trouve donc que 1 V 1
d et 2 V 2 d . Comme la charge Q portée par l’armature supérieure est QS 1S12S2, alors on peut écrire : Q V
d S V
d S V
d S S
1 1 2 2 (1 1 2 2).
Sachant que la capacité du condensateur est définie par :C Q
V , on trouve C S S
1 1 d2 2 . Ce même résultat peut être obtenu en considérant que le condensateur est équivalent à deux condensateurs en parallèle : C S
d
S
1 1 2d 2
5) Le vecteur de polarisation dans le milieu 1 est : P E V d e
o o z
1 (1 ) 1 (1 )
De même dans le milieu 2, le vecteur de polarisation est : P E V d e
o o z
2 (2 ) 2 (2 ) 6) La densité surfacique de charges de polarisation portée par la surface S1
1p P n1 1 P1 ez P1 o 1 V
d
( ) ( )
La densité surfacique de charges de polarisation portée par la surface S2:
2p P n2 2 P2 ez P2 o 2 V
d
( ) ( )
Exercice2 :
1) Un dipôle élémentaire est formé de deux charges ponctuelles opposées +q et –q séparées par une distance d très petite devant la distance au point d’observation.
Le moment dipolaire électrique du dipôle est par définition d
q p
où d AB ; p
est dirigé de –q vers +q. A B
-q +q
d
Recueil de contrôles d’électricité 3 (SMP-S3)
Unité : dans le SI, le module de p
s’exprime en Coulomb-mètre (C.m).
2) - Potentiel vecteur crée par le dipôle (placé en O) en un point M :
4 3
) 1 (
: r
r M p
V d r
o
; (r OM
)
3)- le moment dipolaire électrique p
est alors : p R3P 3 4
4) 2
3 3 3 3
3
3 3
cos 3
3 4 4
1 4
) 1
( r
P R r
r P R r
r P R r
r M p
V
o o
o
o
5) )
3 ( cos )
( 2
3
r P grad R M
E
o
6) E M Erer Ee
) (
3 3 2
3
6 ) cos 3
( cos )
( r
P R r
P R M r
E
o o
r
3 3 2
3
3 ) sin 3
( cos ) 1
( r
P R r
P R M r
E
o
o
7) le champ électrique à l’intérieur de la sphère :
o o p o
E P E E
E 3
Or :P oE
Donc : o
o o o
o o
E P P
P E
3 3 3
P
est uniforme aussi.
A. Essafti & E. Ech-chamikh
Contrôle N°1 : (2006-2007)
Exercice 1 :
On considère un condensateur plan rempli du vide de permittivité diélectrique o. Les deux armatures métalliques du condensateur sont soumises à une différence de potentiel V.
Soit d la distance entre les deux armatures, et S la surface des armatures.
Soit ex la densité surfacique de charges
libres portées par l’armature supérieure (ex >0). Les effets de bords sont supposés négligeables.
Entre les armatures du condensateur plan on place une lame diélectrique LHI, de permittivité
r et d’épaisseur e, le reste est le vide (voir figure).
1- Calculer le vecteur déplacement dans le vide Do
puis dans le diélectriqueD . 2- Déterminer le champ électrostatique macroscopique dans le vide Eo
puis dans le diélectrique E
. Conclure.
3- Déterminer le vecteur polarisation P
dans le diélectrique. Donner sa valeur dans le vide.
4- Calculer les densités de charges de polarisation surfacique p et volumique p. 5- En déduire le champ de polarisation Ep
et préciser son sens.
6- Trouver la relation entre ex et la densité surfacique de charges de polarisation p. 7- Calculer la capacité C du condensateur plan en fonction de e, d, r, o et S.
8- On remplace la lame de diélectrique par une lame de cuivre de même épaisseur e.
Calculer la nouvelle capacité C’du condensateur en fonction de o,S, d et e. La position de la lame a-t-elle une influence sur la capacité C' ?.
9- Comparer C et C’. conclure.
Exercice 2 :
Une sphère conductrice, de centre O et de rayon R1 porte une charge électrique Q. cette sphère est entourée par une couche sphérique, de même centre O et de rayon R2>R1, d’un diélectrique linéaire homogène et isotrope de permittivité électrique . Un conducteur sphérique relié à la terre enveloppe la couche diélectrique (voir figure).
On donne le vecteur déplacement en un point M du diélectrique : 4 r3
D r
(rOM ).
1- Déterminer l’expression de la constante .
2- Calculer le champ électrique E
dans le diélectrique.
3- Déterminer le vecteur polarisation P
du diélectrique
4- Calculer les densités de charges de polarisation surfacique p(R1) et p(R2) (sur les armatures métalliques) et volumique p.
O R1
R2
ex
vide vide feuille e
ey
V
ez
A d B
Recueil de contrôles d’électricité 3 (SMP-S3)
5- En déduire le champ de polarisation Ep .
6- Déterminer la capacité C du condensateur sphérique.
7- Sachant que la densité d’énergie électrostatique est : DE 2
w 1 , calculer l’énergie W du condensateur.
On donne en coordonnées sphériques :
a
a r a r
r r a r
div r
sin ) 1 sin sin (
) 1
1 ( 2
2
A. Essafti & E. Ech-chamikh
Corrigé du contrôle N°1 : (2006-2007) Exercice I :
1- on applique la relation de continuité entre deux milieux 1 et 2 : D2n D1n ex ( la normale à la surface est dirigée du milieu 1 vers le milieu 2) ou bien directement le théorème de Gauss pour le vecteur déplacement : int( )
) (
libre Q
s d D
S
Dans le vide : Do exez
Dans le diélectrique : Do D
(à la surface de séparation entre le vide et le diélectriquelibres=0).
2- dans le vide on a z
o ex o
z ex o
o
o E e E e
D
dans le diélectrique z
r o
ex z
ex r
o E e E e
D
alors:
r
Eo
E
; E est faible devant Eo. 3- le vecteur polarisation dans le diélectrique :
z r o
ex o r r o o r
o E e
E
P
( ) ( 1) ( 1)
dans le vide P0
4- La densité surfacique de charges de polarisations est définie par : p PnP
. ;
Sur la face B on a : pB P( ez).( ez)
, alors :
ex r r
ex r
o r
ex o r r
o o r pB
P E
1)
1 ( )
1 ( )
1 ( )
1 (
Sur la face A et ex
r pB
pA P
1 1)
( .
Le vecteur polarisation étant uniforme à l’intérieur du diélectrique par conséquent
0
p divP
5- Le champ macroscopique est la somme de deux champs électriques E Eo Ep
( Eo est le champ créé par les charges libres et Ep
le champ créé par les charges de polarisation).
p o r
o E E
E
, d’où 1)
(1
r o
p E
E
, alors Eo
et Ep
sont deux champs opposés.
Ou encore
o p
E P
Le champ de polarisation est suivant ez .
6- sur la face B on a : ex
r r
ex r
o r
ex o r r o o r pB
E
1)
1 ( )
1 ( )
1 ( )
1 (
Recueil de contrôles d’électricité 3 (SMP-S3)
7- Le champ électrique étant uniforme et n’a de composante non nulle que suivant ez
, alors la relation EgradV
(voir figure ) s’écrit
dz
Ez dV , d’où dV E dz.
En intégrant,
2 1 1 2
B o
ex B
A o r
ex A
o
ex dz dz dz
V
V ,
On pose : d e1ee2,
) (
)
( 1 2 1 2
r o
r o
ex e
e S e
Q e e
e
V
) 1
( d
e d d e
S e e
d C S
r o
r o
On peut trouver ce résultat en considérant que le condensateur est équivalent à trois condensateurs plans :
2 1
1
e S e
S e
S C
o r o
o
8- même démarche que 7, sauf que dans le métal E=0 on trouve V (d e)
o
ex
. Comme
S Q
ex
, olors on a : (d e) S
V Q
o
, d’où la capacite du condensateur
e d C oS
'
On constate que la position de la feuille dans le condensateur n’a pas d’influence sur la capacité de celui-ci.
Tout se passe comme si on avait deux condensateurs en série d’épaisseur (e1) et (d-e-e1) : Alors
S e d S
e e d S e
C o o o
( )
'
1 1 1
. 9- on peut écrire que
) 1 (
' e d
e C C
r
La capacité du condensateur avec une plaque du cuivre est supérieure à celle du condesateur avec une plaque d’un diélectrique.
Tout se passe comme si la permittivité relative pour un métal est infinie: r
Exercice 2 :
1- On détermine le champ D en appliquant le théorème de Gauss sur une surface sphérique de rayon r. Pour des raisons de symétrie, le champ électrique est radiale et son intensité ne
ex
εo
εo
feuille e
ey
V
e1
ez
A B
d
-ex<0 e2
ex
1
2
A. Essafti & E. Ech-chamikh
dépend que de r distance au point O. L'application du théorème de Gauss sur une sphère de rayon r conduit à :
int ) (
Q S d D
s
; 3
4 r r D Q
pour r>R1 , on identifie facilement = Q 2- Le champ électrique à l’intérieur du diélectrique, de constante diélectrique (R1<r<R2) :
4 r3
r E Q
3- le vecteur polarisation est : (1 )
4 3
o o
r r E Q
D P
4- (1 ) 0
) 4 1
4 3 ( 3
r
div r Q
r r div Q P
div o o
p
) 1 1 ( ) 4
)(
( )
( 2
1 1
1
p r o
R e Q
R P
R
) 1 1 ( ) 4
)(
( )
( 2
2 1
2
p r o
R e Q
R P
R
5- E Eo Ep
Eo
est le champ créé par la charge Q au point M : et Ep
le champ créé par les charges de polarisation). : 3
4 r
r E Q
o o
o
p E E
E
, 1 1 )
4 3 ( o
p r
r E Q
On trouve la même expression en utilisant le théorème de Gauss pour calculer Ep .
6-
2 1 2
1
1 2 2
1 ) 4
( ) (
R
R R
R
r dr Edr Q
R V R
V 1 1 )
4 (R1 R2
V Q
alors la capacité du condensateur est :
1 2
2
4 1
R R
R C R
7- 2
2 1 2
1DE E
w
1 ) ( 1
4 8 2 4
1
2 1 2 2
2 2
2
1 R R
dr Q r r
W Q
R
R
e
on peut retrouver ce résultat en utilisant la relation : 1 1 ) 8 (
2 1
2 1 2
R R QV Q
We
Recueil de contrôles d’électricité 3 (SMP-S3)
Contrôle N°1 : (2007-2008)
Exercice 1 :
On considère dans le vide une sphère diélectrique , polarisée, de centre O et de rayon R. En un point M de la sphère, la polarisation est radiale et son intensité P a même valeur en tous les points de . (P P r er
)
( , on désignera par er le vecteur unitaire porté par le vecteur
r r e ). Un point M de l’espace sera repéré par ses coordonnées sphériques (r=OM, , ). r 1- Déterminer les densités de charges de polarisation surfaciques p et volumiques p. 2- Vérifier que la charge totale de polarisation Qp est nulle.
3- Calculer dans les deux régions de l’espace (r<R et r>R) le champ électrique.
4- Comment appelle t-on ce champ électrique et pourquoi?
5- Déterminer l'énergie électrostatique de la sphère.
On donne en coordonnées sphériques : diva r r r a
rsin a sin
rsin a
r
1 1 1
2
2
( ) ( )
Exercice 2 :
La tension U entre les armatures métalliques d’un condensateur plan est maintenue constante grâce à un générateur. On introduit dans l’espace entre les armatures, de largeur e, deux lames : l’une diélectrique de permittivité relative
r et d’épaisseur e1, l’autre conductrice d’épaisseur e2 (voir figure). Soit S la surface des armatures.
Les effets de bords sont supposés négligeables et le champ électrique entre les armatures est considéré uniforme. Soit ex la densité surfacique de charges libres portées par l'armature supérieure.
1. Trouver la relation entre le champ électrostatique Eo
dans le vide et le champ électrostatique E1
dans le diélectrique.
2. Déterminer la polarisation P
du diélectrique
3. Calculer les densités de charges de polarisation surfacique p et volumique p. 4. En déduire le champ de polarisation Ep
et préciser son sens.
5. Trouver la relation entre ex et la densité surfacique de charges de polarisation p. 6. Calculer la capacité C du condensateur plan en fonction de e, e1, e2, r, o et S.
B A e1
e2
U
ez
A. Essafti & E. Ech-chamikh
Corrigé du contrôle N°1 : (2007-2008) Exercice 1 :
1) la densité surfacique de charges de polarisation p PnPerer P
La densité volumique de charges de polarisation p divP
; Comme la polarisation ne dépend que de r, alors
r P P
r r P r
p div
) 2
1 ( 2
2
2) la charge de polarisation totale est définie par : Q dS d
V p S
p
p
0 4
4 2 4
4 2 2
P R
rP r dr PR PRQp V
3) Par raison de symétrie sphérique du système, le champ électrique est radial et ne dépend que de r. on applique le théorème de Gauss sur une surface sphérique centrée en O
- r<R on applique le théorème de Gauss
o p p
dS Q
E
int
avec Qpint la charge de polarisation comprise dans la sphère de rayon r. on a :o o
r
o r
o V
p p
P r rdr
P dr
r r dr P
r r
r
E
8 2
4 2 2 4
4 4
* ) (
2 0
0
2 2
2
d’où
o p
r P
E ( ) , donc r
o
p P r e
r
E
) ) (
(
- r>R, La charge de polarisation totale Qp à l’intérieure de la sphère de rayon r est nulle. Alors le théorème de Gauss
int 0o p p
dS Q
E
. Donc le champ de polarisation E , (r)0
pext dans cette zone est nul
4) Le champ s’appelle le champ de polarisation ou le champ créé par les charges de polarisation uniquement.
5- En utilisant la densité d'énergie électrostatique :
o R
o R
o o R
o espace
o
R dr P
P r dr
P r dr
r x E dv
E
W
3
4 2 2 .
4 1 2 .
4 1 2
1 2
1 2 3
0
2 2
0
2 2 2
0
2 2
2
Exercice 2 :
1- relation de passage a la surface de séparation entre les deux milieux : D2n D1n 0 car il n'y a pas de charges libres sur la surface de séparation. Pas de composante tangentielle pour le champ électrique.
alors
r o r
o r
o o
E E E E
E E
E
1 1 0 1 1 1
2-
r o o r o
r o
E E E
P
) 1 ( )
1
( 1
1
3- La densité surfacique de charges de polarisations est définie par : p PnP
. ;
