Concentration des contraintes près d’entailles

1

Concentration des contraintes près d’entailles

Chapitre 3

A. Zeghloul

SOMMAIRE

Introduction – Facteur de concentration de contraintes K_t Plaque trouée uniformément chargée Plaque trouée chargée en traction Gradient de contrainte le long de l’axe d’une entaille Gradient de contrainte le long du bord d’une entaille Influence de la géométrie et du chargement sur le facteur K_t Influence des contraintes résiduelles sur le facteur K_t Facteur K_tdans des structures complexes

Rupture par clivage

( )

²

max max

t nom

K E σ ε = σ

t nom

Kσ

σmax

σres

σ σ ε= ( )

(

Kt nom

)

²

E σ ε⋅ = σ

εmax ε

• Procédure de détermination graphique des contraintes σmaxet σres

• Le terme de droite de cette relation est connu.

On détermine ensuite graphiquement la valeur de σmax à partir de la loi de comportementσ=σ(ε).

• Au point A d’intersection des deux courbes σ⁼σ⁽ε⁾ et σ^.ε , σmaxetεmax satisfont la relation de comportement.

En absence de plasticité, la contrainte maximale est donnée par le point B.

La différence entre σmaxet K_tσnomdonne la contrainte résiduelle σresde compression

res A B A

K

t nom

σ = σ − σ = σ − σ

Loi de comportement σ σ− _E =E_p(ε ε− _E) Au point 300 ( 300)

A 20 A

A E

σ = + ε − E

( )

²

( )

^{2 300}

HN 300 ( )

20

t nom t nom

A A A

A

K E K

E E E

σ σ

σ ε σ

⋅ = ⇒ = + σ −

2 285 12500 0 323, 62

A A A MPa

σ − σ − = ⇒σ =

1, 62

A nom

K_σ σ

=σ = K^t2 3,86 K^ε = K_σ = 176, 4

res A Kt nom res MPa

σ =σ − σ ⇒σ = −

iA

TD7 : calculs de contraintes résiduelles

33 Au point 300 ( 300)

A 20 A

A E

σ = + ε − E

( )

^{2 300}

HN 300 ( )

20

t nom A

A

E K

E E

σ σ

⇒ = + σ − 2a) K_t =2 et σ_nom=200MPa

1, 55

A nom

K_σ σ

=σ = K^t2 2, 57

K^ε = K_σ =

2 285 8000 0 310, 74

A A A MPa

σ − σ − = ⇒σ = 89, 26

res A Kt nom res MPa

σ =σ − σ ⇒σ = −

2b) K_t =3 et σ_nom=200MPa

2 285 18000 0 338, 22

A A A MPa

σ − σ − = ⇒σ = 261, 78

res A Kt nom res MPa

σ =σ − σ ⇒σ = −

1, 69

A nom

K_σ σ

=σ = K^t2 5, 32

K^ε = K_σ = iA

Facteur K

_t

dans les structures complexes

Les jonctions tubulaires des plateformes offshore sont des exemples de structures complexes (figure ci-dessous). Ces plateformes sont constituées de tubes soudés entre eux, constituant des jonctions tubulaires. Les intersections complexes de ces jonctions représentent des discontinuités structurales conduisant à de fortes concentrations de contrainte dans les cordons de soudure.

Eoliennes Offshore - Allemagne

Ces jonctions tubulaires sont classées selon leur forme en types T, Y, K … schématisés ci-dessous.

L’étude de ces jonctions nécessite un paramétrage indiqué ci-dessous pour une jonction de type K qui correspond au cas le plus général.

Le manchon de la jonction étant encastré à ses deux extrémités, les chargement appliqués sont également indiqués dans la figure ci-dessous.

35 Les calculs du facteur K_t dans ces jonctions utilisent la technique des éléments

finis. La grande difficulté lorsqu’on modélise ces jonctions est la génération des mailles dans les zones de discontinuités géométriques où les gradients de contrainte sont importants. La montre figure ci-dessous montre un exemple.

Des relations paramétriques très utilisées dans l’industrie offshore pour le calcul du K_t dans les jonctions de type T, Y, X, K … sont proposées par Efthymiou et Lloyd⁸. Ces relations utilisent les paramètres indiqués précédemment. Pour les jonctions de type Y, les relations donnant leK_tau point de quartier du manchon, sont:

Rupture par clivage

La rupture par clivage est une rupture fragile qui s’accompagne de très peu de déformation plastique. Dans les matériaux métalliques, le clivage opère par rupture des liaisons interatomiques dans une direction perpendiculaire au plan de rupture. La figure ci-dessous montre l’amorçage d’une microfissure associée à la rupture par clivage d’un carbure (particule fragile) selon le modèle de Smith⁹.

9Smith E, The nucleation and growth of microcracks in mild steel, Physical basis of yield and fracture, pp. 36-46, 1966.

37 Exemples de rupture par clivage

La figure ci-dessous schématise ce type de rupture.

Pour calculer la contrainte de liaison atomique, il est nécessaire d’introduire la distance interatomique r, puis de considérer la relation entre le déplacement des atomes, autour de leur position d’équilibre r₀, et la force appliquée. Cette force est la somme d’une composante d’attraction en 1/r² et d’une composante de répulsion en -1/r⁹.

La contrainte de liaison est donc de la forme :

La contrainte théorique de clivage, notéeσc, est la valeur maximale de σ^{sur la} courbe ci-dessous.

La contrainte de clivageσc est calculée par deux méthodes différentes.

39 Première méthode

En utilisant la relation , il apparait que :E=7A

Soit finalement :

c 14 σ ≈ E

Cette contrainte théorique de clivage est plus élevée de plusieurs ordres de grandeur que la contrainte mesurée expérimentalement. En fait les défauts sous forme de fissure ou d’entaille aiguë concentrent les contraintes dans leur voisinage et provoquent ainsi des mécanismes d’amplification, si bien que la contrainte locale qui correspond à la contrainte théorique de clivage est bien plus élevée que la contrainte appliquée expérimentalement.

Deuxième méthode

Cette méthode utilise l’énergie de cohésion. Pour simplifier les calculs, on assimile la courbeσ⁼σ(r) à une sinusoïde comme indiquée sur la figure suivante

de la figure précédente) :

Lors de la rupture, deux surfaces sont créées ; on pose alors W=2γS où γ^{S est} l’énergie spécifique de création de surface, ce qui permet d’écrire

En éliminantαentre cette dernière relation et la relation

on obtient soit :

0 S c

E r σ = γ

Cette contrainte est elle aussi bien plus élevée que les valeurs expérimentales.

Valeurs de la contrainte théorique de clivage

σ

_thdéduites de

0 S c

E r σ = γ

exp th

c c

σ >> σ

10

0

2 2 10

r ≈ A ɺɺ = ⋅

⁻

m

41

( ) 1 2 1 2

L a a

a a

A b

σ σ σ

ρ

 

 

=  + =  + 

A l’extrémité d’un défaut de forme elliptique de longueur 2a et de rayon à fond d’entailleρ, la contrainte localeσLest donnée par :

Dans le cas d’une entaille très aiguë, ρ^<<asi bien que :

( ) 2

L a

A a

σ σ

≈ ρ

Si on prend par exemple le rayon à fond d’entailleρde l’ordre d’une distance interatomiquer₀, la contrainte locale devient :

0

( ) 2

L a

A a σ ≈ σ r

0 S c

E r σ ≈ γ

0

( ) 2

L a

A a σ ≈ σ r

La comparaison des deux relations établies précédemment :

Permet d’écrire la contrainte expérimentale de rupture par clivageσa

sous la forme suivante :

4

S a

E a σ ≈ γ

Cette approximation n’est qu’une estimation de la contrainte de rupture expérimentale par clivage puisqu’à l’échelle atomique, le milieu ne peut être considéré comme continu. Des simulations numériques où les liaisons entre atomes sont modélisées par des ressorts non linéaires, montrent que cette contrainte est de la forme :

S a

E a

σ ≈ β γ 1

où 1

2 < < β

Intensification des contraintes à l’extrémité de fissures

CFMR - Chapitre 4

A. Zeghloul

SOMMAIRE

Introduction – Concept de facteur d’intensité des contraintes K Modes de sollicitation des fissures Approche de Westergaard Expression des champs de contrainte et de déplacement Définition du FIC K et expressions des champs de contrainte et de déplacement Mode de cisaillement anti-plan

Principe de superposition Zone plastifiée à fond de fissure Méthodes pratiques de calcul du FIC – Méthode des fonctions poids

Ténacité - FIC critique Approche énergétique de Griffith Lien entre énergie de Griffith et FIC K

2

Introduction

1 2 1 2

t

a a

K ^{= +} b ^{= +} ρ

max

( ) A K

_{t a}

σ = σ

Le concept de FIC est présenté dans ce chapitre. Pour déterminer les champs des contraintes et des déplacements à l’extrémité d’une fissure on utilise l’approche de Westergaard qui s’appuie sur les potentiels complexes définissant la fonction d’Airy introduits précédemment. Ces champs sont définis au voisinage immédiat de l’extrémité d’une fissure.

Modes de sollicitation des fissures

4

Approche de Westergaard

En élasticité plane, les contraintes dérivent d’une fonction de contrainte biharmonique : la fonction d’Airy, notée A, dont l’expression en fonction des potentiels complexesϕ^{(z) et}χ^{(z) est :}

( )

Re ( ) ( )

A = z ϕ z + χ z

Les contraintes sont données par :

( )

( )

( )

Re 2 '( ) ''( ) ''( ) Re 2 '( ) ''( ) ''( )

Im ''( ) ''( )

x y

xy

z z z z

z z z z

z z z

σ ϕ ϕ χ

σ ϕ ϕ χ

σ ϕ χ

 = − −

⇒   = + +

 = +



( )

4 Re '( )

2 2 ''( ) ''( )

y x

y x xy

z

i z z z

σ σ ϕ

σ σ σ ϕ χ

+ =

 

− + = +



0 pour

y xy

z z z a σ = σ = ^  ⁼

 <

6

( )

( )

( )

Re 2 '( ) ''( ) ''( ) Re 2 '( ) ''( ) ''( )

Im ''( ) ''( )

x y

xy

z z z z

z z z z

z z z

σ ϕ ϕ χ

σ ϕ ϕ χ

σ ϕ χ

 = − −

 = + +

  = +



Les CL précédentes sur les lèvres de la fissure conduisent donc à :

( )

( )

Re 2 '( ) ''( ) ''( ) 0

pour Im ''( ) ''( ) 0

z z

z z z z

z a

z z z

ϕ ϕ χ

ϕ χ

+ + = =

 

  

+ = <

 



2 '( ) ''( ) ''( ) imaginaire pur

sur les lèvres ''( ) ''( ) réel pur

z z z z

z z z L

ϕ ϕ χ

ϕ χ

+ +

⇒  

 +

( )

Re 2 '( ) ϕ z z ϕ ''( ) z χ ''( ) z

⇒ = − −

1 2

1 2 2

et ses dérivées imaginaires

avec sur

2 et ses dérivées réelles

' '' ''

L z

ϕ ϕ ϕ

ϕ

ϕ ϕ χ ϕ +

 = 

  

 = − − 



( )

Re 2 '( ) ϕ z = − z ϕ ''( ) z − χ ''( ) z

La fonction ϕ peut être décomposée en deux fonctions ϕ1et ϕ2comme suit :

2 2 1

'( ) z z ' d z ( ) 2 d z ( )

χ = − ϕ ϕ ϕ + − = − ϕ + ϕ ϕ − = − ϕ ϕ + ( ) z z

1

dz

χ ϕ ϕ

⇒ = − + ∫ ^{A = Re} ( ^{z ϕ ( ) z + χ ( ) z} )

(

¹

)

Re

A z ϕ ϕ z ϕ dz

⇒ = − + ∫

(

¹

)

^{1 1 2}

Re Re Im Im

I II

A A

A = z ϕ ϕ − z + ∫ ϕ dz = ∫ ϕ dz + y ϕ + y ϕ

( )

( )

( )

Re 2 ' '' '' Re 2 ' '' ''

Im '' ''

x y

xy

z z z

σ ϕ ϕ χ

σ ϕ ϕ χ

σ ϕ χ

 = − −

 = + +

  = +



'

2

z '' '' ϕ = − ϕ χ −

( )

( )

( )

1 2

1

2

Re ' 2 ' '' ''

Re ' '' ''

Im '' '' '

x y xy

z z

z z

z z

σ ϕ ϕ ϕ ϕ

σ ϕ ϕ ϕ

σ ϕ ϕ ϕ

 = + + −

 = + −

  = − −



z x iy z x iy

= +

= −

1 1 2 2

1 1 2

1 2 2

Re ' Im '' 2 Re ' Im ''

Re ' Im '' Im ''

Re '' Re '' Im '

x y xy

y y

y y

y y

σ ϕ ϕ ϕ ϕ

σ ϕ ϕ ϕ

σ ϕ ϕ ϕ

 = − + −

 = + +

  = − − −



Il apparait donc que le champ des contraintes [σ] est la somme de deux champs [σ1] et [σ2] dérivant des fonctions d’Airy suivantes :

1 1

2

Re Im

Im

I II

A dz y

A y

ϕ ϕ

ϕ

 = +

 

 =

∫

^{Mode I}

Mode II

Westergaard définit pour ces modes les fonctions analytiques suivantes :

1 2

( ) ' ( ) ( ) ' ( )

I II

Z z z

Z z i z

ϕ ϕ

=

 

 =

Re Im

Im Re

I I I

II II II

A Z y Z

A y iZ y Z

 = +

 

= − = −



8

Expressions des contraintes et des déplacements par la méthode de Westergaard

Mode I d’ouverture

1 1 2 2

1 1 2

1 2 2

Re ' Im '' 2 Re ' Im '' Re ' Im '' Im ''

Re '' Re '' Im '

x y xy

y y

y y

y y

σ ϕ ϕ ϕ ϕ

σ ϕ ϕ ϕ

σ ϕ ϕ ϕ

 = − + −

 = + +

 = − − −



Expressions des contraintes

comme ' ϕ

1

= Z

_I

⇒

1 1

1 1

1

Re ' Im '' Re ' Im ''

Re ''

x y

xy

y y y

σ ϕ ϕ

σ ϕ ϕ

σ ϕ

 = −

 = +

 = −



Re Im '

Re Im '

Re '

x I I

y I I

xy I

Z y Z

Z y Z

y Z σ

σ σ

 = −

 = +

  = −



Expressions des déplacements

2 (1 *) *

Loi de Hooke 2 (1 *) * 2

x x y

y y x

xy xy

µε υ σ υ σ

µε υ σ υ σ

µε σ

 = − −

 = − −

 =



* en DP avec

* en CP

1 υ υ υ υ

υ

=

 

 =

 +



Re Im '

Re Im '

Re '

x I I

y I I

xy I

Z y Z

Z y Z

y Z σ

σ σ

 = −

 = +

  = −



2

_x

(1 2 *) Re

_I

Im '

_I

2 u

^x

Z y Z

µε = − υ − = µ ^∂ x

∂ 2 µ u

_x

(1 2 *) Re υ Z

_I

y Im Z

_I

⇒ = − −

(1 *) *

2 (1 2 *) Re Im '

y x

y

I I

Z y Z

υ σ υ σ

µε υ

− −

=  

− +



Re Im '

Re Im '

Re '

x I I

y I I

xy I

Z y Z

Z y Z

y Z σ

σ σ

 = −

 = +

  = −



Re Im

Im ' Re

I I

I I

Z Z

y

Z Z

y

∂

 =

 ∂

 

 = − ∂

 ∂



Im

Im ' Re ( Re ) Re

I

I I I I

ÿ Z

y Z y Z y Z Z

y y

_∂

∂

∂ ∂

= − = − +

∂ ∂

2 u

^y

2(1 *) Im

_I

( Re

_I

)

Z y Z

y y y

µ ^∂ = − υ ^∂ − ^∂

∂ ∂ ∂

2 µ u

_y

2(1 υ *) Im Z

_I

y Re Z

_I

⇒ = − −

10 Mode II - cisaillement plan

1 1 2 2

1 1 2

1 2 2

Re ' Im '' 2 Re ' Im '' Re ' Im '' Im ''

Re '' Re '' Im '

x y xy

y y

y y

y y

σ ϕ ϕ ϕ ϕ

σ ϕ ϕ ϕ

σ ϕ ϕ ϕ

 = − + −

 = + +

 = − − −



Expressions des contraintes

comme ' ϕ

2

= − iZ

_II

⇒

2 2

2

2 2

2 Re ' Im '' Im '' Re '' Im '

x y xy

y y y

σ ϕ ϕ

σ ϕ

σ ϕ ϕ

 = −

 =

 = − −



2 Im Re '

Re '

Re Im '

x II II

y II

xy II II

Z y Z

y Z

Z y Z

σ σ σ

 = +

 = −

  = −



Expressions des déplacements

2 (1 *) *

Loi de Hooke 2 (1 *) * 2

x x y

y y x

xy xy

µε υ σ υ σ

µε υ σ υ σ

µε σ

 = − −

 = − −

 =



2

_x

2(1 *) Im

_II

Re '

_II

2 u

^x

Z y Z

µε = − υ + = µ ^∂ x

∂

2 µ u

_x

2(1 υ *) Im Z

_II

y Re Z

_II

⇒ = − +

2 Im Re '

Re '

Re Im '

x II II

y II

xy II II

Z y Z

y Z

Z y Z

σ σ σ

 = +

 = −

  = −



(1 *) *

2 2 * Im Re '

y x

y

II II

Z y Z

υ σ υ σ

µε υ

− −

=  

− −



2 Im Re '

Re '

Re Im '

x II II

y II

xy II II

Z y Z

y Z

Z y Z

σ σ σ

 = +

 = −

  = −



Re ' Im

Im Re

II II

II II

Z Z

y

Z Z

y

∂

 =

 ∂

 

 = − ∂

 ∂



Re

Re ' Im ( Im ) Im

II

II II II II

y Z

y Z y Z y Z Z

y y

_∂

−∂

∂ ∂

− = − = − +

∂ ∂

2 u

^y

(1 2 *) Re

_II

( Im

_II

)

Z y Z

y y y

µ ^∂ = − − υ ^∂ − ^∂

∂ ∂ ∂

( )

2 µ u

_y

(1 2 *) Re υ Z

_II

y Im Z

_II

⇒ = − − +

Expressions des contraintes et des déplacements à partir du facteur d’intensité des contraintes

Re Im '

Re Im '

Re '

x I I

y I I

xy I

Z y Z

Z y Z

y Z

σ

σ σ

 = −

 = +

 = −



Sur le plan de la fissure (à y=0), on a :

Re à 0 0

x y I

xy

Z y

σ σ σ

= =

 =

 =



12 Les lèvres de la fissure étant non chargées, les CL sont : 0

à 0 et

y xy

y z a

σ

=

σ

=



= <

 Des deux relations précédentes, on déduit que :

0 à 0 et

x y xy

y z a

σ

=

σ

=

σ

=



= <



Re à 0 0

x y I

xy

Z y

σ σ σ

= =

 =

 =



Considérons à présent la contrainte σy seule. De part et d’autre des extrémités de la fissure, elle est soit nulle, soit elle tend vers l’infini (K_tö¶). Il s’ensuit que la fonction Z_I(z)doit être de la forme :

2 2

( ) ( )

I

Z z g z

z a

= −

Avec g(z)fonction réelle pour y=0 et finie pour z=±a

Les conditions limites sont alors vérifiées puisque sur le plan de la fissure, on a :

2 2

1 imaginaire pur pour z a ReZ_I 0

z a < ⇒ =

−

2 2

1 réel pur pour Re _I

z a

z a

z a Z

z a

+

−

→+

→−

> ⇒ →∞

−

Les extrémités A et A’ jouent des rôles identiques. On fait alors une translation de repère avec pour origine A, ce qui équivaut au changement de variable suivant :

z a ζ = −

rei^θ

ζ

= Un point M sera repéré par rapport à A par :

La fonction de contrainte de Westergaard s’écrit alors :

1 2

1 0 1 2

( ) ( ) avec ( )

I

Z z g

ζ

g

ζ α α ζ α ζ

=

ζ

= + + + ⋅⋅⋅

( )

0

ZI

ζ α

≈

ζ

0 0

lim 2 ( ) ( ) lim 2 ( ) 2

I z a I I

K = _→

π

z−a Z z = _ζ→

πζ

Z

ζ

=

πα

( ) 2

I I

Z z K

=

πζ

( ) 2

II II

Z z K

=

πζ

14 ( ) avec

2

I i I

Z

ζ

K

ζ

re^θ

=

πζ

=

Re cos Im sin

2 2

2 2

I I

I I

K K

Z Z

r r

θ θ

π π

= = −

3 / 2

1 1 3 1 3

' Re ' cos Im ' sin

2 2 2 2 2 2 2 2

I I I

I I I

K K K

Z Z Z

r r r r

θ θ

πζ π π

= − = − =

2 1/ 2 Re 2 cos Im 2 sin

2 2 2 2

2

I

I I I I I

K r r

Z ζ Z K θ Z K θ

π π

= π = =

Expressions des contraintes et des déplacements

A partir des expressions précédentes des dérivées et primitives de Z_I, et en notant que :

2 sin cos

2 2

y₌ r θ θ

on calcule les contraintes et les déplacements (schématisés ci-dessous) en se servant des relations suivantes :

Re Im '

Re Im '

Re '

x I I

y I I

xy I

Z y Z Z y Z

y Z σ

σ σ

 = −

 = +

 = −



2 µ u

_x

= − (1 2 *) Re υ Z

_I

− y Im Z

_I

2 µ u

_y

= 2(1 − υ *) Im Z

_I

− y Re Z

_I

Re cos Im sin

2 2

2 2

I I

I I

K K

Z Z

r r

θ θ

π π

= = − 2 ^{1/ 2} Re 2 cos Im 2 sin

2 2 2 2

2

I

I I I I I

K r r

Z ζ Z K θ Z K θ

π π

= π = =

3 / 2

1 1 3 1 3

' Re ' cos Im ' sin

2 2 2 2 2 2 2 2

I I I

I I I

K K K

Z Z Z

r r r r

θ θ

πζ π π

= − = − =

cos 1 sin sin3

2 2 2

2

cos 1 sin sin3

2 2 2

2

cos sin cos3

2 2 2

2

I x

I y

I xy

K r K

r K

r

θ θ θ

σ π

θ θ θ

σ π

θ θ θ

σ π

  

=  − 

  

 =  + 

  

 



 =



2

2

2 cos 1 2 * sin

2 2 2

2 sin 2(1 *) cos

2 2 2

I x

I y

K r

u

K r

u

θ υ θ

µ π

θ υ θ

µ π

  

= − +

  

 



 

 =  − − 

  



On a bien en mode I une discontinuité du déplacement selon y, u_y(p)=-u_y(-p)

sin 2 cos cos3

2 2 2

2

sin cos cos3

2 2 2

2

cos 1 sin sin3

2 2 2

2

II x

II y

II xy

K r K

r K

r

θ θ θ

σ π

θ θ θ

σ π

θ θ θ

σ π

 = −  + 

  



=



 =  − 

  

 



2

2

2 sin 2(1 *) cos

2 2 2

2 cos 1 2 * sin

2 2 2

II x

II y

K r

u

K r

u

θ υ θ

µ π

θ υ θ

µ π

  

= − +

  

 



 

 =  − − 

  



On a bien en mode II une discontinuité du déplacement selon x, u_x(p)=-u_x(-p) Mode II - cisaillement plan

2 Im Re '

Re '

Re Im '

x II II

y II

xy II II

Z y Z

y Z Z y Z σ

σ σ

 = +

 = −

 = −



2µu_x =2(1−υ*) ImZ_II +yReZ_II

( )

2µu_y = − (1 2 *) Re− υ Z_II+yImZ_II

Re cos Im sin

2 2

2 2

II II

II II

K K

Z Z

r r

θ θ

π π

= = − 2 ^{1/ 2} Re 2 cos Im 2 sin

2 2 2 2

2

II

II II II II II

K r r

Z ζ Z K θ Z K θ

π π

= π = =

3 / 2

1 1 3 1 3

' Re ' cos Im ' sin

2 2 2 2 2 2 2 2

II II II

II II II

K K K

Z Z Z

r r r r

θ θ

πζ π π

= − = − =

18

TD8 : Fissure sollicitée en mode I

Corrigé du TD8

TD9 : Calcul du FIC K à partir de la fonction de Westergaard

2a

σ^∞

σ^∞ I- Montrer que la fonction de Westergaard suivante décrit

bien le chargement indiqué où la plaque infinie comporte une fissure de longueur 2a.Calculer le FICK_Ià l’extrémitéx=a

2 2

I

Z z

z a σ^∞

= −

( )

2

2 2 3

2 2 2

'

I

Z z

z a z a

σ^∞ σ^∞

= −

− −

Re Im '

y Z y Z

σ = +

lim _I

z_→∞Z =σ^∞ lim I^' 0

z Z

→∞ = _y CL vérifiée

σ z σ^∞

→∞=

lim 2 ( ) ( ) lim 2 ( )

( )( )

I I

z a z a

K z a Z z z a z

z a z a

π σ^∞ π

→ →

= − = −

− +

KI

σ π

^∞ a

⇒ =

Corrigé du TD9

21

b

x y

2a P

P

2 2

2 2 avec force concentrée en

( )

I

P a b

Z P z b

z b z a

π ⁻

= =

− −

b

x y

2a P

P P b

P

Chargement 1

Chargement 2 1- Montrer que la fonction de Westergaard ZIdécrit bien le chargement 1

2- calculer le FIC KIà l’extrémité x=a

3- Déterminer la fonction de Westergaard du chargement 2 4- Calculer le FIC KI du chargement 2 à l’extrémité x=a

5- Calculer à partir de 4- le FIC K_Ià l’extrémité x=a pour le chargement 3 où σ est une contrainte répartie.

6- Montrer à partir de 4- que la fn de Westergaard du chargement 3 est :

b

x y

2a

σ b

σ σ

σ

Chargement 3 II- Soit le chargement 1 d’une plaque infinie fissurée dont la

fonction de Westergaard associée est:

2 2

1 1

2 2

2 2

( ) 2 z cos b cot b z a

Z z z a a z a b

σ

π ^{− −}

    − 

 

=  −   −  − 

Re Im '

y Z y Z

σ = +

2 2

2 2

( )

I

P a b

Z π z b z a

= −

− −

Lorsque point d'application de la charge concentrée,

( )

I

z b Z iP

π z b

→

= −

1

0 0

La force concentrée est donnée par

lim lim Re

y

b b

y y

y y

b b

P

P i

P e dx dx

x b iy

ε ε

ε ε

σ π

+ +

+ +

→ − → −

 

=

∫

=

∫

 − +  lim0 2 2

( )

b

y y

b

P y

P dx

x b y

ε

π ⁺ ε +

→ −

=

∫

− +

0 0

2 2

lim arctan lim arctan

2

b

y y y

b

P x b P P

P P

y y

ε ε

ε π

π ⁺ π ⁺ π

+

→ →

−

 − 

=   = = =

  CL bien vérifiée

1- Montrer que la fonction de Westergaard Z_I décrit bien le chargement 1

Corrigé du TD9 suite