Théorème de Rolle et des accroissements finis

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www.etude-generale.com 2BAC-SM Matière : Mathématiques

Professeur : Yahya MATIOUI

Théorème de Rolle–Théorème des accroissement …nis

Théorème de Rolle

Théorème 1 (Théorème de Rolle) Soit f : [a; b] !R telle que : f est continue sur [a; b];

f est dérivable sur ]a; b[; f(a) = f(b):

Alors il existe c 2]a; b[ tel que f⁰(c) = 0:

Remarque 2 Il existe au moins un point du graphe def où la tangente est horizontale.

Démonstration 3 .

Si f est constante sur [a; b] alors n’importe quel c2]a; b[ convient.

Sinon il existex₀ 2[a; b], tel que: f(x₀)6=f(a):Supposons que f(x₀) f(a). Alorsf est continue sur l’intervalle fermé et borné[a; b];donc elle admet un maximum en un point c 2 [a; b]. Comme f(c) f(x₀) f(a) donc c 6= a: De même comme f(a) = f(b) alors c6=b: Ainsi c2]a; b[. En c , f est dérivable et admet un maximum (local) donc f⁰(c) = 0:

Remarque 4 !!

Dire que f a un maximum local en c signi…e que f(c) est la plus grande des valeursf(x) pour les x proches de c . On dit que f : I ! R admet un maximum global en c si pour toutes les autres valeurs f(x), x 2 I, on a f(x) f(c) (on ne regarde donc pas seulement les f(x) pour x proche de c ). Bien sûr un maximum global est aussi un maximum local,

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Voir le cours sur les fonctions numériques. (T CSI):

Remarque 5 Le théorème de Rolle est faux pour les fonctions à valeurs dansC:Considèrons la fonction f :x7 !e^ix:

Exemple 6 Soit f : [a; b] !R une fonction continue sur [a; b] et dérivable sur ]a; b[. On pose :

'(x) = (f(b) f(a))x³ b³ a³ f(x)

1. Montrer que ' est continue sur [a; b] et dérivable sur ]a; b[, calculer '⁰(x) pour tout x2]a; b[:

2. Calculer '(a) et '(b). En déduire qu’il existe c2]a; b[ tel que : 3c²(f(b) f(a)) = b³ a³ f⁰(c)

Les fonctions x 7 ! x³ et f sont continues sur [a; b] et dérivable sur ]a; b[ donc ' est continue sur [a; b] et dérivable sur ]a; b[.

Pour tout x2]a; b[, on a :

'⁰(x) = (f(b) f(a))x³ b³ a³ f(x) ⁰

= 3x²(f(b) f(a)) b³ a³ f⁰(x)

On a : '(a) =a³f(b) b³f(a) et '(b) = b³f(a) +a³f(b): Donc : '(a) = '(b): D’après la question 1; la fonction ' est continue sur [a; b] et dérivable sur ]a; b[, donc d’après le théorème de Rolle, il existe c2]a; b[ tel que :

'⁰(c) = 0 () 3c²(f(b) f(a)) b³ a³ f⁰(c) () 3c²(f(b) f(a)) = b³ a³ f⁰(c)

Le théorème des accroissements …nis

Théorème 7 (égalité des accroissements …nis)

Soit f une fonction dé…nie sur un segment [a; b] de R à valeurs dans R: Si

f est continue sur [a; b]; f est dérivable sur ]a; b[;

alors il existe un réel c2]a; b[ tel que

f(b) f(a)

b a =f⁰(c)

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Remarque 8 ^f(b)_{b a}^f^(a) est le coe¢ cient directeur de la droite joignant les points A(a; f(a)) etB(b; f(b))et f⁰(c)est le coe¢ cient directeur de la tangente(T)à (C_f)au point d’abscisse c: L’égalité ^f(b)_{b a}^f^(a) =f⁰(c) se traduit par le fait que les droites (AB) et (T) sont parallèles.

Démonstration 9 Pour x2[a; b], posons h(x) =f(x) g(x) où g est une fonction a¢ ne telle que pour tout x de [a; b], on a :

g(x) = f(a) + f(b) f(a)

b a (x a)

La fonction h est continue sur [a; b], dérivable sur ]a; b[ et véri…e h(a) = h(b) = 0:

D’après le théorème de Rolle, il existe c2]a; b[ tel que h⁰(c) = 0 ou encore tel que : f⁰(c) = f(b) f(a)

b a

Théorème 10 (inégalité des accroissements …nis)

Soit f une fonction dé…nie sur un intervalle I de R, à valeurs dans R, dérivable sur I.

1. Si il existe deux réels m et M tels que, pour tout réel x de I, m f⁰(x) M, alors pour tout (a; b) 2I² tel que a6=b, m ^f(b)_{b a}^f^(a) M:

2. S’il existe un réel M tel que, pour tout réel x de I, jf⁰(x)j M, alors pour tout (a; b)2I² tel que a6=b, jf(b) f(a)j Mjb aj:

Démonstration 11 .

Soit (a; b) 2 I² tel que a b. f est dérivable sur I et en particulier, f est continue sur [a; b] et dérivable sur ]a; b[. D’après le théorème des accroissements …nis, il existe c2]a; b[ tel que ^f^(b)_{b a}^f(a) =f⁰(c): Par hypothèse, m f⁰(c) M et donc

m f(b) f(a) M:

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Pour tout x de I; on a: M f⁰(x) M: D’après 1), pour tout (a; b) de I² tel que a 6= b; on a M ^f^(b)_{b a}^f(a) M ou encore ^f^(b)_{b a}^f(a) M: On en déduit que jf(b) f(a)j Mjb aj:

Exemple 12 .

1. Montrer que pour tout x et y deux réels on a:

jsinx sinyj jx yj 2. Montrer que pour tout x 0 on a :

x

1 +x ln (1 +x) x

Pourx6=y. La fonctionsin est continue et dérivable surR, on peut appliquer le théorème des accroissements …nis sur [x; y] si x y (ou sur [y; x] si y x). Il existe c2]x; y[

(ou c2]y; x[) tel que

sinx siny

x y = cosc

Ce qui équivaut à

sinx siny= (x y) cosc On prend la valeur absolue, on obtient :

jsinx sinyj=jx yj jcoscj Comme jcoscj 1, alors

jsinx sinyj jx yj

La fonction f : t 7 ! ln (1 +t) est continue est dérivable sur R⁺; on peut appliquer le théorème des accroissements …nis sur [0; x]: Il existe c2]0; x[ tel que

f(x) f(0)

x =f⁰(c) Donc

ln (1 +x) = x 1 +c Comme c2]0; x[; alors :

0 c x () 1 1 +c 1 +x () 1

1 +x

1

1 +c 1 () x

1 +x

x 1 +c x On en déduit que:

x

1 +x ln (1 +x) x

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Exercices

Exercice 13 Soient p un entier p 2:

1. Montrer en utilisant le théorème des accroissement …nis qu’il existe un réel c dans l’intervalle ]0;1[ tel que :

ln (ln (p+ 1)) ln (lnp) = 1

(p+c) ln (p+c) 2. En déduire l’inégalité :

ln (ln (p+ 1)) ln (lnp) 1 plnp 3. Démontrer que :

nlim!+1

1

2 ln 2 + 1

3 ln 3 +:::+ 1

nlnn = +1 Appliquons le théorème des accroissements …nis à la fonction

f_p(x) = ln (ln (p+x)) sur [0;1]:

Véri…ons que cette fonction véri…e les hypothèses

0 x 1 () p x+p 1 +p

() lnp ln (x+p) ln (1 +p)

() ln (lnp) ln (ln (x+p)) ln (ln (1 +p)) car: lnp ln 2

Ceci signi…e que la fonction f_p est dé…ni et continue sur[0;1], et qu’elle est dérivable sur [0;1]donc d’après le théorème des accroissements …nis sur [0;1]:Il existec2]0;1[

tel que

f_p(1) f_p(0)

1 0 =f⁰(c) Donc

ln (ln (p+ 1)) ln (lnp) = 1

(p+c) ln (p+c)

Commep+c petln (p+c) lnp:Donc: (p+c) ln (p+c) plnp, ensuite: (p+c) ln(p+c)¹ 1

plnp; ceci signi…e que :

ln (ln (p+ 1)) ln (lnp) 1 plnp

(6)

ln (ln (3)) ln (ln 2) 1 2 ln 2 ln (ln (4)) ln (ln 3) 1

3 ln 3 ... ln (ln (n+ 1)) ln (ln) 1

nlnn En faisant la somme de ces n 1 inégalités, et on obtient :

ln (ln (n+ 1)) ln (ln 2) 1

2 ln 2 + 1

3 ln 3+:::+ 1 nlnn comme lim

n !+1ln (ln (n+ 1)) ln (ln 2) = +1; alors :

nlim!+1

1

2 ln 2 + 1

3 ln 3 +:::+ 1

nlnn = +1 Exercice 14 .

1. Soit n 2N . En appliquant le théorème des accroissements …nis à la fonction ln sur l’intervalle [n; n+ 1]; montrer que :

1

n+ 1 ln (n+ 1) ln (n) 1 n 2. Pour tout n 2N ; on pose:

u_n = 1

n+ 1 + 2

n+ 2 +:::+ 1 2n

Montrer que la suite (u_n)_n_2N est convergente et déterminer sa limite.

Exercice 15 Soit f : [a; b] ! R une application continue, on suppsoe que f est dérivable sur ]a; b[, et que pour tout x2[a; b], f(x) 0:

Montrer qu’il existe c2]a; b[ tel que f(b)

f(a) =e^{(b a)}

f0(c) f(c)

FIN

Pr : Yahya MATIOUI

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