Mathématiques TD
24/2/2015
Dans tout le problème, N désigne un entier naturel xé supérieur ou égal à 2, et p un réel xé de l'intervalle ]0,1[. on pose q = 1−p. Soit n un entier naturel quelconque.
Dans une population deN individus, on s'intéresse à la propagation d'un certain virus. Chaque jour, on distingue dans cette population trois catégories d'individus : en premier lieu, les indivi- dus sains, c'est-à-dire ceux qui ne sont pas porteurs du virus, ensuite les individus qui viennent d'être contaminés et qui sont inoensifs pour les autres, et enn, les individus contaminés par le virus et qui sont contagieux.
Ces trois catégories évoluent jour après jour selon le modèle suivant :
â Chaque journ, chaque individu sain peut-être contaminé par n'importe lequel des indivi- dus contagieux ce jour avec la même probabilité p, ces contaminations éventuelles étant indépendantes les unes des autres.
â un individu contaminé le jour n devient contagieux le jour n+ 1 â Chaque individu contagieux le journ redevient sain le journ+ 1. On note Xn le nombre aléatoire d'individus contagieux le jour n.
On remarquera que si, pour un certain entier naturel i, on a Xi = 0, alors on a aussi Xi+1 = 0 Les variablesX0, X1, . . . , Xn, . . . sont supposés dénies sur un même espace probabilisé(Ω,A, P) et E(Xn)désigne, pour tout n deN, l'espérance deXn.
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rePartie : Un cas particulier
Dans cette partie uniquement, on suppose que l'on a N = 3 etp= 1/3. On considère les matrices S etR suivantes :
S =
9 4 4 9 0 4 5 0 0 1 0 0 0 0 0 0
, R=
0 1 −6 1
1 0 5 0
−1 0 1 0
0 −1 0 0
L'ensemble des matrices M4,1(R) des matrices colonnes à quatre lignes est confondu avec l'es- pace vectoriel R4.
1◦) Montrer que la matrice R est inversible et calculer son inverse R−1. 2◦) a. Déterminer les valeurs propres de S.
b. Diagonaliser S
c. En déduire, pour tout n deN, l'expression de Sn en fonction de n. (on pose S0 =I4) 3◦) Soitn un entier xé deN.
a. Déterminer la loi de probabilité de Xn+1 sachant l'évènement [Xn = 0]. b. Déterminer la loi de probabilité de Xn+1 sachant l'évènement [Xn = 3].
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BCPST 951/952/953 Lycée du Parc TD c. Vérier que la loi de probabilité deXn+1sachant l'évènement[Xn = 1](resp.[Xn = 2])
est la loi binomiale de paramètre (2,13) (resp. (1,59)).
4◦) Pour tout entier naturel n, on considère le vecteur Un deR4 déni par :
Un=
un vn wn tn
=
P([Xn= 0]) P([Xn= 1]) P([Xn= 2]) P([Xn= 3])
a. Déterminer une relation entre un, vn, wn ettn.
b. A l'aide de la formule des probabilités totales, déterminer une matrice M de M4(R) indépendante de n, telle que Un+1=M Un
c. ExprimerM en fonction deS. En déduire les valeurs propres de M. d. Donner l'expression des réels un etvn en fonction den, v0 et w0. 5◦) On pose pour n≥1,Yn= [Xn = 0]∩[Xn−1 6= 0] et Y0 = [X0 = 0].
a. Que signie l'évènement Yn? Et l'évènement [
0≤k≤n
Yk?
b. Montrer que le virus ni par disparaitre presque sûrement, quelle que soit la loi de variable aléatoire initiale X0.
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ePartie : Le cas général
Cette partie est plus théorique ... Avis aux amateurs !
On suppose que pour tout entier naturelnet pour tout entierj deJ0, NK, on aP([Xn=j])>0. On suppose également que pour tout couple (i, j) de J0, NK
2, le réelqi,j déni par qi,j =P([Xn+1 =j]|[Xn =i])
est indépendant de n.
Soit Q= (qi,j)0≤i,j≤N ∈ MN+1(R).
1◦) Déterminer, pour tout j ∈J0, NK, les probabilités q0,j, et qN,j.
De même, déterminer les probabilités pour tout j de J0, NK la probabilité qi,N. 2◦) Justier que si l'on a i+j > N alors qi,j = 0
3◦) Montrer pour tout i∈J0, NK,
N
X
j=0
qi,j = 1
4◦) De même, déterminer les probabilités pour touti de J0, NK la probabilité qi,N. 5◦) Justier que si l'on a i+j > N alors qi,j = 0.
6◦) Montrer pour tout i∈J0, NK,
N
X
j=0
qi,j = 1.
7◦) Montrer que pour touti deJ1, N−1K, la loi de probabilité conditionnelle de Xn+1 sachant [Xn=i]est une loi binomiale dont on déterminera les paramètres.
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BCPST 951/952/953 Lycée du Parc TD 8◦) a. Montrer que1 est valeur propre deQ
b. Soit λ une valeur propre de Q etV =
V(0) V(1)
...
V(N)
un vecteur propre associé à λ.
On pose |V(i)|= max
0≤j≤N |V(j)|
Justier que la composanteV(i)n'est pas nulle, puis en examinant la ligneidu système QV =λV, montrer que l'on a |λ| ≤1.
9◦) On pose pour tout entier natureln :
Un =
P([Xn= 0]) P([Xn= 1])
...
P([Xn =N])
À l'aide de la formule des probabilités totales, montrer que Un+1 =tQUn
On suppose jusqu'à la n du problème que la matrice M =t Q est diagonalisable, et que B = (V0, . . . , VN) est une base de vecteurs propres de M telle que, pour toutk de J0, NK, le vecteur Vk est associé à la valeur propre λk.
De plus, on suppose que : λ0 = 1 etV0 =
1 0...
0
, et que pour tout k de J1, NK, on a |λk|<1.
10◦) On décompose alors le vecteur U0 sur la base B : U0 =
N
X
k=0
αkVk
a. Déterminer, pour tout n de N, la décomposition du vecteurUn sur la base B. b. On note, pour tout couple (k, i) deJ0, NK
2, Vk(i)la (i+ 1)-ième composante de Vk. Exprimer, pour tout n de N et pour tout i de J0, NK, la probabilité de l'évènement [Xn=i] en fonction des réelsαk, λk etVk(i).
c. Montrer que pour tout i deJ1, NK, on a :P([Xn=i]) −→
n→+∞0
d. En déduire que le virus nit par disparaitre presque sûrement, quelque soit la loi de la variable aléatoire initiale X0.
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