le 15 D´ecembre 2003 UTBM
MT12
Examen final Printemps 2003
Chaque exercice sera r´ edig´ e sur une feuille diff´ erente. Les calculatrices sont interdites. Le seul document autoris´e est une feuille
recto manuscrite r´ edig´ ee en bleu.
Exercice 1 (6 points)
a - Montrer que pour obtenir une solution particuli`ere de (E) :y0+a(x)y =g(x)
o`u g(x) = g1(x) +g2(x) avec g1, g2 et a d´efinie sur R, il suffit d’ajouter une solution particuli`ere de
(E1) :y0+a(x)y=g1(x) et une solution particuli`ere de
(E2) :y0+a(x)y=g2(x).
b - Grˆace `a la question pr´ec´edente, r´esoudre rapidement, en cherchant des solu- tions particuli`eres ´evidentes, l’´equation
(E) :y0 = 2y−2x+ 1−ex.
Exercice 2 (6 points) a - Calculer l’int´egrale d´efinie Z √3
2
0
Arcsin(x)dx.
b - Calculer l’int´egrale ind´efinie Z ∞
0
2
x2+ 2x+ 3dx.
c - L’int´egrale ind´efinie Z ∞
0
cos(x2) + 1 x2+ 1 dx est elle convergente ?
1
Exercice 3 (8 points)
1 - Trigonaliser (ou diagonaliser) la matrice :
4 −1 0
2 1 0
2 −1 2
.
(ie. trouverP, T ∈ M3(R) avec P inversible et T triangulaire ou diagonale telles que A=P.T.P−1)
2 - inverser la matrice de passage P. 3 - R´esoudre le syst`eme diff´erentiel :
∂x
∂t = 4x−y+t
∂y
∂t = 2x+y+t
∂z
∂t = 2x−y+ 2z+t
(ie. trouver toutes les fonctionst 7→
x(t) y(t) z(t)
solutions du syst`eme.)
2
