Le20Juin2016, durée2 heures FINAL MT44 Printemps 2016
FINAL MT44 Printemps 2016
Tous documents (sauf livres) et calculatrices autorisés. Les résultats intermédiaires non dé- montrés pourront être utilisés tout au long du devoir. Le barème prendra en compte la longueur du sujet.
UTILISER UNE COPIE PAR EXERCICE
Exercice 1 Géométrie : B-splines et symétrie
On considère le polygone de contrôleP= (P0, P1, P2, P3, P4)où les Pi sont donnés dans le plan rapporté au repère (O,~i,~j)par les coordonnées suivantes :
P0(−3,0), P1(−1,2), P2(0,−2), P3(1,2), P4(3,0) (1) On considère le vecteur nœudτ= (0,0,0,1,2,3,3,3). On noteγ2la courbe B-spline de degré 2associée au polygone de contrôlePet au nœudτ. On notera de plus Γ =γ2([0,3]) c’est-à-dire l’image de γ2.
1. Justifier que la courbeΓest symétrique par rapport l’axe des ordonnées. Comment peut-on rompre la symétrie de la courbe sans changer le polygone de contrôle ?
2. Combien de fonctions B-splinesBi,2de degré2 génère-t-on avecτ? 3. Montrer que ω2,2(1.5) = 3
4, ω3,2 = 1
4 et ω3,1 = 1
2. En déduire par l’algorithme de de Boor-Cox queγ2(1.5) = 1
8P1+6 8P2+1
8P3.
4. Prouver à l’aide de l’algorithme de de Boor-Cox que pour toutt∈[t2, t3[= [0,1[les équa- tions paramétriques deγ2 sont
γ2(t) = (1−t)2P0+ (2t−3
2t2)P1+t2
2P2= (−3
2t2+ 4t−3;−4t2+ 4t) (2) On admettra que ces equations sont valides sur[0,1].
5. Dresser le tableau de variation deγ2 pourt∈[0,1].
6. Tracer à l’aide du tableau de variation la courbeγ2pourt∈ [0,1], en déduire par symétrie la courbe sur[2,3]puis compléter pour obtenir le tracé deΓ(i.e. le tracé sur[0,3]).
7. Paramétrisation complète deΓ.
a. Justifier par des arguments géométriques que six∈[0,1]la courbeg(x) = (1−x)2P4+ (2x−3
2x2)P3+x2
2 P2décrit la même portion de courbe queγ2 pourt∈[2,3].
b. On posex= 3−tqui réalise une bijection de[2,3]dans[0,1], en déduire les équations deγ2 pourt∈[2,3].
c. Justifier que pour t ∈ [1,2] la courbe γ2 est une parabole qui passe par les points A(−1
2,0),B(0,−1)etC(1 2,0).
d. Montrer que la courbe paramétrée définie par h(x) = (x; 4(x− 1
2)(x+ 1
2)), pour x∈[−1
2,1
2]définit bien cette parabole.
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Le20Juin2016, durée2heures FINAL MT44 Printemps 2016 e. En déduire que
γ(t) =
(−3
2t2+ 4t−3;−4t2+ 4t)) pourt∈[0,1]
(t−3
2; 4(t−2)(t−1) pourt∈[1,2]
(3
2t2−5t+9
2;−4t2+ 20t−24) pourt∈[2,3]
(3)
réalise une paramétrisation de la courbeΓ.
Exercice 2 Méthodes gaussiennes
Le but de cet exercice est de calculer par une méthode numérique une intégrale du type : Z 1
0
f(x)
√xdx (4)
Les résultats numériques seront donnés avec une précision décimale à4chiffres.
Partie A : Une nouvelle méthode gaussienne
On considère sur l’espace des fonctions polynomialesP le crochet suivant : P × P −→ R
(p, q) 7−→ hp, qi= Z 1
0
p(x)q(x)
√x dx (5)
1. Montrer queh,idéfinit un produit scalaire.
2. Montrer que pour toutm, n∈Non
hxn, xmi= 2
2(m+n) + 1 (6)
(On utilisera le résultat donné par l’Equation 6 pour les calculs impliquanth,idans la suite du sujet.)
3. Soitp(x) =x2+bx+c un polynôme de degré2. Trouver les valeurs des constantesb etc telles que
hp,1i = 0
hp, xi = 0 (7)
4. En déduire que (x2−6 7x+ 3
35)⊥ P1.
5. On souhaite mettre en place une intégration àn+ 1 = 2point pour évaluer (4).
a. Expliquer pourquoi un bon choix de points de support pour ce problème est{x0, x1} avecx0= 3
7− 2 35
√30et x1= 3 7+ 2
35
√30.
b. Expliquer comment doit-on dans ce cas calculer les poidsW0 et W1 (on ne demande pas de calcul explicite).
c. On donne W0 = 1 +
√30
18 et W1 = 1−
√30
18 . Fournir une approximation numérique de
Z 1 0
sin(x)
√x dx.
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Partie B : Gauss-Legendre
1. Déterminer un changement de variableu=αx+β et une nouvelle fonction gtelle que Z 1
0
f(x)
√xdx= Z 1
−1
g(u)du (8)
2. À l’aide de la formule de Gauss-Legendre à n+ 1 = 2 points, fournir une approximation numérique de
Z 1 0
sin(x)
√x dx.
3. Matlabdonne l’approximation numérique suivante : Z 1
0
sin(x)
√x dx≈0.6205 (9)
Quelle méhode, Gauss-Legendre ou celle de la Partie A, est la meilleure pour évaluer numé- riquement
Z 1 0
sin(x)
√x dx? Expliquer pourquoi une des deux méthodes n’est pas pertinente ?
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