Université A.Mira Bejaia Faculté des Science Exacte
Présenté pour obtention du diplôme de Master
En : Mathématiques Appliquées
Spécialité : Recherche Opérationnelle et Aide à la Décision Option : Modélisation Mathématique et Evaluation de Performances
des Réseaux
Thème
Sur la dimension cubique des nouvelles classes arbres binaires
Par: BENTAZIR Fadhallah & BOUTEBEL A.djalil Soutenue publiquement le 03/07/2017 devant le jury composé de :
M
eme.L.Younsi MAA à université de Bejaïa Présidente
Mr. K.kabyle MCB à l’université de Bejaïa Encadreur
Mr. I.Taouinet MAA à université de Bejaïa Examinateur
Mr.K.Meziani Doctorant à université de Bejaïa Examinateur
N ous remercions le bon Dieu qui nous a orient´ e au chemin du savoir et les portes de la science.
N ous tenons tout d’abord ` a remercier Mr.KABYL KAMAL, pour l’honneur qu’il nous a fait en acceptant de nous encadrer. Ces conseils pr´ e- cieux ont permis une bonne orientation dans la r´ ealisation de ce modeste travail.
N ous tenons ´ egalement ` a remercier les membres du jury M
eme.YOUNSI Lila, Mr.MEZIANI Kamel et Mr.TAOUINET Ismail pour l’honneur qu’il nous ont fait en acceptant de juger ce travail, et d’avoir consacrer leurs temps pour sa lecture.
N ous tenons ` a exprimer notre profonde gratitude ` a l’ensemble du corps enseignant qui a contribu´ e ` a notre formation.
O n salue aussi nos amis de Club Scientifique de la Recherche Op´ era- tionnelle (SCOR) qui sont comme une famille pour nous, on vous remercie pour votre soutien morale.
D ’une fa¸con g´ en´ erale on reste reconnaissants ` a toutes les personnes qui nous on soutenus par leur conseils, par leur temps dans notre tˆ ache ardue.
Le dernier mot de remerciement et de gratitude est destin´ e ` a nos pa-
rents, pour leur d´ evouement, pour leur sacrifice et leur encouragement qui
ont ´ et´ e tr` es utiles durant ces longues ann´ ees d’´ etudes.
Quand il y a la soif d’apprendre.
Tout vient `a point `a qui sait attendre.
Les ´etudes sont avant tout notre unique et seul atout.
Souhaitant que le fruit de nos efforts fournis jour et nuit Nous m`enera vers le bonheur fleuri.
Je d´edie ce modeste travail :
A celle qui m’a donn´e la vie, le symbole de tendresse, qui s’est sacrifi´ee pour mon bonheur et ma r´eussite, `a ma m`ere.
A mon p`ere, ´ecole de mon enfance, qui a ´et´e mon ombre durant toutes les ann´ees des ´etudes, Que dieu les gardes et les prot´eg´e.
A ma ch´erie A.Linda.
A mes tr`es chers amis.
A toute ma famille.
BOUTEBEL Abdel Djalil Je d´edie ce travail :
A mon tr`es cher papa, pour sa patience, ses pr´ecieux conseils, les valeurs et principes qu’il m’a inculques, et tous ses sacrifices.
A ma douce maman, pour tout son amour, sa tendresse et son affection sans limites.
A ma tr`es ch´ere soeur.
A ma ch´erie G. Karima.
A mes tr`es chers fr`eres.
BENTAZIR Fadhelallah
Introduction g´en´erale 1 1
El´ ´ ements de th´ eorie des graphes 3
1.1 Introduction . . . 3
1.2 Concepts des graphes . . . 3
1.2.1 Graphe non orient´e . . . 3
1.2.2 Graphe orient´e . . . 4
1.2.3 Graphe simple . . . 6
1.2.4 L’excentricit´e . . . 6
1.2.5 Le diam`etre . . . 6
1.2.6 Centre . . . 7
1.2.7 L’isomorphisme . . . 7
1.2.8 L’homomorphisme . . . 7
1.2.9 G´eod´esie . . . 7
1.3 Quelques graphes particuliers . . . 7
1.3.1 Graphe r´egulier . . . 7
1.3.2 Graphe complet . . . 8
1.3.3 Graphe planaire . . . 8
1.3.4 Graphe compl´ementaire . . . 8
1.3.5 Graphe partiel . . . 9
1.3.6 Graphe induit . . . 9
1.3.7 Sous graphe . . . 9
1.3.8 Graphe biparti . . . 10
1.3.9 Graphe biparti complet . . . 10
1.4 La notion de connexit´e dans les graphes . . . 11
1.4.1 Arbre . . . 12
1.4.1.1 Quelques propri´et´es des arbres . . . 12
1.4.2 L’´ecartement d’un sommet . . . 12
1.5 Op´erations classiques . . . 13
1.5.1 Produit cart´esien . . . 13
1.5.2 Distance . . . 14
1.5.3 Intervalles . . . 14
1.6 conclusion . . . 14
2.2 L’hypercube . . . 15
2.2.1 Caract´erisations de l’hypercube . . . 15
2.2.2 Repr´esentation de l’hypercube . . . 16
2.2.3 Quelques propri´et´es de l’hypercube . . . 18
2.2.4 Distance de Hamming . . . 18
2.2.5 D´ecomposition en couches . . . 19
2.3 Plongement des graphes dans l’hypercube . . . 19
2.3.1 Plongement . . . 19
2.3.2 Param`etres de plongement . . . 20
2.3.3 Plongement optimal . . . 20
2.4 Graphes et dimensions cubiques . . . 21
2.4.1 D´ecider si un graphe G est cubique . . . 21
2.4.1.1 Conditions n´ecessaires et suffisantes . . . 21
2.4.1.2 Condition n´ecessaire pour qu’un graphe G soit plongeable dans Qn . . . 21
2.5 Cn-valuation des arbres . . . 21
2.6 Conclusion . . . 22
3
Quelques classes d’arbres plongeables dans l’hy- percube 23
3.1 Introduction . . . 233.2 Quelques types d’arbres plongeables dans Qn . . . 23
3.2.1 Arbres binaires complets . . . 24
3.2.2 Arbres obtenus `a partir de l’arbre binaire Dn. . . 25
3.2.3 Arbres binaires de recherche . . . 27
3.2.4 Arbres AVL(Adelson-Velskii et Landis) . . . 28
3.3 Conclusion . . . 29
4
Sur la dimention cubique des nouvelles classes d’arbres binaires 30
4.1 Introduction . . . 304.2 D´ecomposition de Qn en des copies disjointes de Qi . . . 30
4.3 Nouvelles classes d’arbres binaires . . . 32
4.3.1 Arbre Tn . . . 32
4.3.2 Arbre γ(T1, T2) . . . 38
4.4 Conclusion . . . 43
5
Application 44
5.1 Introduction . . . 445.2 MATLAB - Historique . . . 44
5.3 Probl`eme de l’arbre couvrant de poids minimum . . . 46
5.3.2 Algorithme de Prim . . . 47 5.3.2.1 Algorithme . . . 47 5.4 R´esolution d’un probl`eme de l’arbre couvrant probabiliste de poids mini-
mum . . . 48 5.4.1 Algorithme de Prim . . . 48 5.5 Conclusion . . . 54
Conclusion g´en´eral 55
Bibliographie 55
1.1 Graphe non orient´e. . . 4
1.2 Graphe orient´e. . . 4
1.3 Chaˆıne. . . 4
1.4 Circuit. . . 5
1.5 Graphe ayant trois cycle. . . 5
1.6 Arˆetes incidentes. . . 6
1.7 Les voisins d’un sommet x1. . . 6
1.8 Homomorphisme entre Get H. . . 7
1.9 Graphe r´egulier K=2. . . 8
1.10 Graphe complet K5. . . 8
1.11 Graphe compl´ementaire. . . 9
1.12 G0 Graphe partiel de G. . . 9
1.13 G’ sous graphe de G. . . 10
1.14 Graphe biparti. . . 10
1.15 Graphe biparti completK4,3. . . 11
1.16 Graphe connexe. . . 11
1.17 Graphe a deux Composante fortement connexe. . . 12
1.18 K4. . . 13
1.19 K2. . . 13
1.20 Produit cart´esien K42K2. . . 14
2.1 Graphes de l’hypercube Qn pour, n =0...4. . . 16
2.2 L’hypercube Q5. . . 17
2.3 L’hypercube Q6. . . 17
2.4 L’hypercube Q7 . . . 18
2.5 D´ecomposition en couches. . . 19
3.1 Arbres binaires complets D1,D2 etD3. . . 24
3.2 C5-valuation de l’arbre binaire complet D3. . . 24
3.3 Arbres binaires B2, B3 et B4. . . 25
3.4 Arbre binaire B32. . . 26
3.5 Arbre binaire complet `a double racines b Db2. . . 26
3.6 Arbre binaire ˆD2 et ˇD2. . . 27
3.7 Arbre binaire D32. . . 28
3.8 Exemple d’arbre de recherche `a 10 sommets. . . 28
3.9 Exemple d’arbre AVL `a 12 sommets. . . 29
4.3 Arbre binaire T1. . . 33
4.4 Arbre binaire T2. . . 33
4.5 La C3−valuation de T1. . . 34
4.6 La C4−valuation de T2. . . 34
4.7 Plongement de T1 dans Q5. . . 35
4.8 L’hypercube Q3. . . 35
4.9 Q4 `a partir de deux copies disjointes de Q3 . . . 36
4.10 Plongement de T3 dans Q5. . . 36
4.11 . . . 37
4.12 ArbreT1 . . . 38
4.13 Abres T2. . . 38
4.14 Abres γ(T1, T2). . . 39
4.15 ArbreT1. . . 39
4.16 ArbreT2. . . 39
4.17 L’arbre γ(T1, T2). . . 40
4.18 La Cn+1-valuation γ(T1, T2) . . . 41
4.19 La Cm+1-valuation γ(T1, T2). . . 41
4.20 Arbre Binaire Quelconque. . . 41
4.21 ArbreT1. . . 41
4.22 ArbreT2. . . 42
4.23 Arbreγ(T1, T2). . . 42
4.24 C4-valuation deT1. . . 42
4.25 C3-valuation de T2. . . 43
4.26 C5-valuation de γ(T1, T2) . . . 43
5.1 R´eseau de t´el´ecommunication de 16 personnes . . . 48
5.2 La matrice A . . . 49
5.3 R´eseau de communication repr´esent´e par Q4. . . 50
5.4 Arbre couvrant de poids minimal dans Q4. . . 51
5.5 Arbre couvrant de poids minimal. . . 52
5.6 ex´ecution de programme . . . 53
Les graphes sont utilis´es dans de nombreux domaines tr`es vari´es, et ne sont pas seule- ment un outil math´ematique. Les r´esultats de recherches sur les graphes trouvent des applications pratiques. Ils permettent ainsi de formaliser et mod´eliser nombres de situa- tions et probl`emes.
Les domaines d’application sont assez vastes et vari´es. Des mod´elisations de probl`emes par des graphes existent autant dans des domaines scientifiques et techniques comme la chimie, les math´ematiques, la physique, l’informatique mais aussi dans l’industrie o´u ils servent souvent dans l’aide `a la d´ecision et la planification de projets.
L’utilisation des graphes est tr`es connue dans des domaines comme la g´eographie dans les cas par exemple de coloration de graphes, mais aussi en la chimie mol´eculaire.
C’est naturellement cependant, que l’informatique, l’algorithmique et les math´ema- tiques th´eoriques sont les domaines o´u les graphes sont les plus ´etudi´es. Les r´esultats des recherches effectu´es dans ces diff´erents domaines sont souvent appliqu´es dans d’autres sec- teurs. On voit alors des applications pratiques dans le domaine de l’architecture parall`ele par exemple, de nombreuses ´etudes ont ´et´e ´elabor´ees pour r´esoudre certains probl`emes li´ees `a l’architecture des syst`emes.
Le but de ces ´etudes est de proposer des structures (en gardant celle de l’hypercube comme structure de base) ou des m´ethodes, pour am´eliorer le temps de communication entre composants et le fonctionnement du syst`eme en pr´esence des ´el´ements d´efectueux.
Dans notre m´emoire, l’objectif consid´er´e portait sur le plongement des arbres binaires dans un hypercube de dimension n (une dimension donn´ee) de mani`ere optimale.
Nous pr´esentons ci-apr`es nos contributions et le plan de ce manuscrit : Premier chapitre
ce chapitre est consacr´e `a la pr´esentation des diff´erentes notations essentielles utilis´ees en th´eorie des graphes de mani`ere courante, il comporte les concepts de base n´ecessaires et dont nous nous servons dans ce document.
Deuxi`eme chapitre
Dans ce chapitre on va pr´esent´e l’hypercube et ses diff´erentes caract´eristique, ainsi le plongement des graphes dans l’hypercube et ses quelques param`etres usuels, ensuite nous
de la Cn-valuation sp´ecifique aux arbres, qui est importante dans la d´etermination de la dimension cubique.
Troisi`eme chapitre
Dans ce chapitre nous introduisons quelques type des arbres binaires Plongeables dans l’hypercube et leur propri´et´es. Nous commen¸cons par l’arbre binaire complet Dn, puis nous pr´esentons des r´esultat de plongement sur certaines classes d’arbre obtenus par la subdivision de l’arbre binaire completDn `a double racines b
Dbn, par la suite nous donnons la conjecture de Ivan Havel [6] sur les arbres ´equilibr´es ayant 2n sommets et nous avons montr´e que dans le cas ´equilibr´e les arbres b
Dbn v´erifient cette conjecture.
Quatri`eme chapitre
ce chapitre est consacr´e pour ´etudie des crit`eres de plongement optimal des arbre bi- naires complet et les arbres binaires obtenus d’une mani`ere r´ecursive dans l’hypercube.
Cinqui`eme chapitre
Ce chapitre consacr´e pour pr´esent´e deux algorithmes (P rimetKruskal) qui sont im- pl´ement´e sur logiciel M AT LAB permettant la d´etermination du arbre couvrant minimal dans l’hypercube, par la suit nous pr´esentant un ´etude sur un exemple r´eal qui a ´etait effectu´e sur la communication de Pj personnes qui se communicant sur un r´eseaux t´el´e- phonique.
1
El´ ´ ements de th´ eorie des graphes
1.1 Introduction
La th´eorie des graphes est la discipline qui ´etudie les graphes, lesquels sont des struc- ture qui permettent de mod´eliser de nombreux probl`emes rencontr´es dans la vie ( r´eseaux de transport,r´eseaux d’ordinateur,ordonnancement des tˆaches, TSP,etc...).
Dans ce chapitre nous donnerons quelques d´efinitions n´ecessaires et des propri´et´es fonda- mentales qui nous seront utiles dans la suite d notre travail.
1.2 Concepts des graphes
Un grapheG= (X, U) est constitu´e de la donn´ee d’un ensemble finiX ={x1, x2, ..., xn} appel´e sommets et d’une familleU ={u1, u2, ..., um}, avecuj = (xi, xk),j ∈ {1,2, ..., m},i, k∈ {1,2, ..., n} de paire distinctes deX appel´ee arˆetes.
- Le nombre des sommets du grapheG not´e O(G), est appel´e ordre deG.
- Le nombre des voisins de x dans G not´e d(x), est appel´e degr´e du sommet x. On dit alors qu’un sommet et isol´e (resp. pendant)si son degr´e ´egale `a 0 (resp. ´egale `a 1).
1.2.1 Graphe non orient´ e
D´efinition 1.2.1 (Graphe non orient´e). Un graphe non orient´e est un graphe dont ses arˆetes ne sont pas orient´es.
Figure 1.1 – Graphe non orient´e.
1.2.2 Graphe orient´ e
D´efinition 1.2.2 (Graphe orient´e). Un graphe orient´e est un graphe dont chaque arc u= (x, y)∈U poss`ede une extr´emit´e initiale et une extr´emit´e terminale. Tel que : i(u) = x et t(u) = y
Figure 1.2 – Graphe orient´e.
D´efinition 1.2.3 (Boucle). Une boucle est une arˆete dont son extr´emit´e initial et son extr´emit´e terminal co¨ıncident .
D´efinition 1.2.4(sommets adjacents). On dit que deux sommets,xety, sont adjacent si et seulement s’il existe une arrˆete les reliant.
D´efinition 1.2.5 (Chaine). On appelle chaine entre deux sommets x et y d’un graphe G, une suite de sommets (x1, ..., xq) dont deux sommets cons´ecutifs sont adjacents.
Figure 1.3 – Chaˆıne.
D´efinition 1.2.6 (chaˆıne simple). une chaine simple est une chaˆıne qui n’utilise pas deux fois la mˆeme arˆete.
D´efinition 1.2.7 (Chaˆıne ´el´ementaire ). Une chaine ´el´ementaire est une chaˆıne qui utilise touts les sommets du G une et une seul fois.
D´efinition 1.2.8 (Chemin). Dans le graphe G, un chemin menant x0 `a xk est une suite de sommets reli´es successivement par des arcs orient´es dans le mˆeme sens, que l’on note (x0, x1, ..., xk).
D´efinition 1.2.9 (Chemin simple). Un chemin simple est un chemin qui passe une et une seule fois par ses arcs.
D´efinition 1.2.10 (Chemin ´el´ementaire). est un chemin qui passe une et une seule fois par ses sommets.
D´efinition 1.2.11 (Circuit). Un circuit est un chemine simple qui se ferme sur elle mˆeme.
Figure 1.4 – Circuit.
D´efinition 1.2.12 (Cycle). Un cycle est une chaˆıne dont les extr´emit´es initiales et finales co¨ıncident.
La (Figure 1.5) montre un exemple d’un graphe ayant trois cycle qui sont :
Figure 1.5 – Graphe ayant trois cycle.
D´efinition 1.2.13 (Chaines et cycles Hamiltoniens). On appelle chaine Hamilto- nienne (resp. cycle) une chaine (resp. cycle) passant une et une seule fois par tous les sommets de G .
D´efinition 1.2.14 (Longueur d’une chaine). On appelle longueur d’une chaine, le nombre d’arˆetes appartenant `a cette chaine.
D´efinition 1.2.15(Longueur d’un cycle). On appelle longueur d’une chaine, le nombre d’arˆetes appartenant `a ce cycle.
D´efinition 1.2.16(Chaine Eul´erienne). On appelle chaine Eul´erienne (respectivement chemin, cycle, circuit ), une chaine qui n’utilise qu’une et une seule fois toutes ses arˆetes.
D´efinition 1.2.17 (Arˆetes incidentes). Deux arˆetes ayant une extr´emit´e en commun sont dites incidentes.
Figure 1.6 – Arˆetes incidentes.
D´efinition 1.2.18(Les voisins d’un sommet). Les voisins d’un sommet x d’un graphe G sont les sommets qui admettent une un arˆete avec x. La Figure 1.7 montre un exemple ayant des sommets voisins de la sommet x1.
Figure 1.7 – Les voisins d’un sommet x1.
1.2.3 Graphe simple
D´efinition 1.2.19. Un graphe est dit simple si seulement s’il ne poss`ede pas de boucle et y’a au plus une arˆete entre deux sommets distincts.
1.2.4 L’excentricit´ e
D´efinition 1.2.20. L’excentricit´e d’un sommet ˆx est : u(ˆx) = M ax{d(ˆx, x) :∀x∈X}
1.2.5 Le diam` etre
D´efinition 1.2.21. Le diam`etre d’un graphe est l’excentricit´e maximale de ses sommets, c’est `a dire, la plus grande distance possible qui puisse exister entre deux de ses sommets.
1.2.6 Centre
D´efinition 1.2.22. On appelle centre d’un graphe, le sommet d’excentricit´e minimal (le centre n’est pas n´ecessairement unique).
1.2.7 L’isomorphisme
D´efinition 1.2.23 (L’isomorphisme). Deux graphes G= (V, E) et G0 = (V0, E0) sont dits isomorphes si et seulement s’il existe une application bijectiveϕ: V −→V0 qui v´erifie la condition suivante :
xy ∈E ⇔ϕ(x)ϕ(y)∈E0
c’est `a dire s’ils ont exactement la mˆeme structure. Il suffit de remplacer les ´etiquettes des sommets pour qu’un graphe soit la copie conforme de l’autre.
1.2.8 L’homomorphisme
D´efinition 1.2.24 (L’homomorphisme). Un homomorphisme f entre les graphes Get H est une bijection entre les sommets de G et ceux de H, telle qu’une paire de sommets (x, y) de G est une arˆete de H si et seulement si (f(x), f(y)) est une arˆete de H.
Exemple 1.2.1.
Figure 1.8 – Homomorphisme entre G etH.
1.2.9 G´ eod´ esie
D´efinition 1.2.25 (G´eod´esie). La ligne g´eod´esique est la ligne la plus courte entre deux points d’une surface.
1.3 Quelques graphes particuliers
1.3.1 Graphe r´ egulier
D´efinition 1.3.1(Graphe r´egulier). Un graphe est K-r´egulier si chacun de ses sommets est de degr´e K. ie si dG(x) = k, ∀x∈X
Exemple 1.3.1 (Graphe r´egulier). La Figure 1.9 montre un exemple d’un graphe r´e- gulier.
Figure 1.9 – Graphe r´egulier K=2.
1.3.2 Graphe complet
D´efinition 1.3.2(Graphe complet). G est un graphe est dit complet si chaque sommets est reli´e `a tous les autres sommets, not´e Kn, tel que :σ(G) =min{d(x)} et ∆(G) = max{d(x)} x∈X, et qui v´erifie :
- σ(G) = ∆(G) = n−1.
- |V|= n(n−1)2 .
La (Figure 1.10) montre un graphe complet K5. Exemple 1.3.2. Graphe complet
Figure 1.10 – Graphe completK5.
1.3.3 Graphe planaire
D´efinition 1.3.3. Un graphe planaire est un graphe qui a la particularit´e de pouvoir se repr´esenter sur un plan sans qu’aucune arˆete n’en croise une autre. Autrement dit, ces graphes sont pr´ecis´ement ceux que l’on peut plonger dans le plan.
1.3.4 Graphe compl´ ementaire
D´efinition 1.3.4. un graphe compl´ementaire Gc d’un graphe G, est un graphe simple ayant les mˆemes sommets que G et tels que deux sommets distincts de Gc sont adjacents si et seulement s’ils ne sont pas adjacents dans G.
Exemple 1.3.3. La Figure 1.11 montre le graphe compl´ementaire Gc de G
Figure 1.11 – Graphe compl´ementaire.
1.3.5 Graphe partiel
D´efinition 1.3.5 (Graphe partiel). On dit que G0 = (X0, U0) est un graphe partiel de G = (X, U), si X0 = X et U ⊂ U0.(On garde les mˆemes sommet et en supprime des arˆetes).
La Figure 1.12 montre un graphe partiel G0 associ´e `a un graphe G.
Figure 1.12 –G0 Graphe partiel deG.
1.3.6 Graphe induit
D´efinition 1.3.6 (Graphe induit). Un sous graphe H de G est dit induit lorsque pour tout couple (x, y) de sommets de H, x est connect´e `a y dans G.
D´efinition 1.3.7. [Un P-graphe] est un graphe l`a o`u le nombre d’arˆetes maximales entre deux sommets est ´egal `a P.
1.3.7 Sous graphe
D´efinition 1.3.8 (Sous graphe). Le graphe G0 = (X0, U0) est dit sous graphe de G = (X, U) si l’ensemble des sommets X’ est inclut dans X (X0 ⊂X)et l’ensemble des arˆetes U’ est la restriction de U.
Exemple 1.3.4. L’exemple de la Figure 1.12 montre un sous graphe associ´e `a un graphe G.
Figure 1.13 – G’ sous graphe de G.
1.3.8 Graphe biparti
D´efinition 1.3.9 (Graphe biparti). Un graphe G= (X, U) est dit biparti si ses som- mets peuvent ˆetre r´epartis en deux classes X1 et X2, de telle sorte que chaque les sommets d’une mˆeme classe sont deux `a deux non adjacents. Les arˆetes de G relient for- c´ement deux sommets de classe diff´erente. Donc G est biparti seulement si il n’admet pas de cycle de longueur impair.
Exemple 1.3.5. L’exemple de la Figure 1.14 montre un graphe biparti.
Figure 1.14 – Graphe biparti.
1.3.9 Graphe biparti complet
D´efinition 1.3.10 (Graphe biparti complet ). Un graphe est dit biparti complet (ou encore une biclique), s’il est biparti et contient le nombre maximal d’arˆetes. En d’autres termes, il existe une partition de son ensemble de sommets en deux sous ensembles X1 et X2 telle que chaque sommet de X1 est reli´e `a chaque sommet de X2.
Exemple 1.3.6. La Figure 1.15 montre un graphe biparti complet.
Figure 1.15 – Graphe biparti complet K4,3.
1.4 La notion de connexit´ e dans les graphes
D´efinition 1.4.1(Graphe connexe). Soit le grapheG(X, U). On dit queG est connexe si et seulement si ∀x, y ∈X, il existe une chaine reliant x `a y.
Figure 1.16 – Graphe connexe.
D´efinition 1.4.2. Composante connexe est l’ensemble de sommets qui ont deux `a deux une relation de connexit´e, et tout sommet en dehors de la composante n’a pas de relation de connexit´e avec les sommets de cette composante not´e CC.
D´efinition 1.4.3 (Graphe fortement connexe). Un graphe orient´e G = (X, U) est dit fortement connexe si ∀{x, y} ∈X, il existe un chemin de x `a y et un autre chemin de y `a x.
D´efinition 1.4.4 (Composante fortement connexe). On appelle composante forte- ment connexe, l’ensemble de sommets qui ont deux `a deux la relation de forte connexit´e, de plus tout sommet en dehors de la composante n’a pas de relation de forte connexit´e avec aucun ´el´ement de cette composante not´ee c.f.c
Remarque :
-Un graphe connexe n’admet qu’une seule composante connexe.
-Un graphe fortement connexe n’admet qu’une seule composante fortement connexe.
Figure 1.17 – Graphe a deux Composante fortement connexe.
1.4.1 Arbre
D´efinition 1.4.5 (Arbre). Un arbre est un graphe connexe sans cycle.
1.4.1.1 Quelques propri´et´es des arbres
Th´eor`eme 1.4.1. Soit G un graphe d’ordre n. Les propri´et´es suivantes sont ´equiva- lentes[2].
– G est sans cycle et connexe.
– G est sans cycle et poss`ede n−1 arˆetes.
– G est connexe et poss`ede n−1 arˆete.
– G est sans cycles et maximale pour cette propri´et´e (lorsqu’on lui ajoute une arˆete on cr´ee un cycle et un seul ).
– G est connexe et minimale pour cette propri´et´e (lorsqu’on lui supprime une arˆete quelconque on va le d´econnecter.
– Tout couple de sommet (x;y) est relie par une chaˆıne et une seule. Un graphe G= (X;U) v´erifiant au moins l’une des propri´et´es ci-dessus est un arbre T d’ordre n.
Th´eor`eme 1.4.2. [3] Un graphe G = (X, U) admet un arbre T comme graphe partiel si et seulement si G est connexe.
Th´eor`eme 1.4.3. [3] Un arbre T admet au moins deux sommets pendants.
1.4.2 L’´ ecartement d’un sommet
D´efinition 1.4.6. L’´ecartement d’un sommet est la distance maximale existante entre ce sommet et les autres sommets du graphe. (si le graphe n’est pas connexe, l’´ecartement est infini).
1.5 Op´ erations classiques
1.5.1 Produit cart´ esien
On appelle produit cart´esien de deux graphesG= (X, U) etG0 = (X0, U0) ,not´eG2G0, le graphe K, dont l’ensemble de sommets est le produit cart´esien X(G)×X0(G0) et o`u deux sommets (x,x0) et (y,y0) sont adjacents seulement si :
x=y et x0y0 ∈U0 ou
x0 =y0 et xy∈U
|X| × |X0 | : le nombre de sommets dans K
|X| × |U0 |+|X0 | × |U |: le nombre d’arˆetes dans K
Figure 1.18 – K4.
Figure 1.19 – K2.
Figure 1.20 – Produit cart´esien K42K2.
1.5.2 Distance
Notons N(x) : l’ensemble des voisins d’un sommet x etNi(x) = {y∈X;d(x, y) =i}, l’ensemble des sommets de X qui sont `a distance i de x.
1.5.3 Intervalles
L’intervalle I(x, y) est l’ensemble des sommets de G appartenant aux chaines g´eod´e- siques entre x et y.
Propositions de bases : Soient x et y deux sommets de G, alors :
• x, y ∈I(x, y)
• I(x, y) =I(y, x)
• Siw∈I(x, y), alors I(x, w)⊂I(x, y)
• Siw∈I(x, y) et z ∈I(x, w), alors w ∈I(z, x)
1.6 conclusion
Dans ce chapitre, diff´erentes notations et concepts ´el´ementaires concernons la th´eorie des graphes ont ´et´e pr´esent´es.
Dans ce qui suit, nous nous int´eressons `a la pr´esentations du l’hypercube et ces pro- pri´et´e,ainsi le probl`eme du plongement des graphe dans l’hypercube .
Hypercube 2
2.1 Introduction
Les propri´et´es des hypercubes les rendent int´eressants pour la construction de machines d´edi´ees au calcul parall`ele. Au d´ebut des ann´ees 1960, des id´ees furent propos´ees pour concevoir un ordinateur parall`ele avec une architecture en hypercube : il y a n2 modules, chacun connect´e directement `a n autres ; en particulier, chaque module est plac´e sur le sommet d’un cube `a n dimensions et les arˆetes de ce cube sont les cˆables. Les justifications dans le choix de l’hypercube peuvent paraˆıtre faible au regard des connaissances actuelles sur les familles de graphes, mais il s’av`ere que l’hypercube a de nombreuses propri´et´es et plus d’une trentaine de caract´erisation `a ce jour. [23].
L’hypercube joue un rˆole tr`es important dans le domaine informatique et dans le combinatoire.
Dans ce chapitre nous donnons quelques d´efinitions et propri´et´es sur les hypercubes qui seront utilis´es par la suite. Nous d´ecrivons aussi quelques caract´erisations diff´erentes d’un hypercube.
2.2 L’hypercube
D´efinition 2.2.1. L’hypercube(not´e Qn)est un graphe de dimension n, o´u ses sommets forment un ensemble de n-uplets binaires et deux sommets sont adjacents si et seulement s’ils diff´erent exactement en une seule composante (coordonn´ee).
Un hypercube n-dimensionnel est aussi appel´e un n-cube. C’est les graphes de 2n som- mets qui peuvent ˆetre consid´er´es comme ´etant tous les vecteurs bool´eens (0,1)n.
2.2.1 Caract´ erisations de l’hypercube
Une premi`ere caract´erisation de l’hypercube a ´et´e donn´ee par Foldes :
Th´eor`eme 2.2.1. [24]Un graphe connexe G= (X, U)est un hypercube si et seulement s’il v´erifie les conditions suivantes :
• G est biparti.
• Pour tout couple de sommets x et y de G, le nombre de plus courtes chaˆınes est d(x, y)!.
Th´eor`eme 2.2.2. [4] Soit G= (X, U) un (0,2)- graphe, alors :
• G est r´egulier de degr´e n.
• |U(G)| ≤2n .
Th´eor`eme 2.2.3. [2]soit G un(0,2)graphe tel qu’il existe une d´ecomposition en couches o´u tout cycle de longueur 4 rencontre 3 couches, alors G est un hypercube .
Th´eor`eme 2.2.4. [21] Un graphe G est un hypercube de dimension n si et seulement si l’ensemble des sous graphes convexes de G estQ0, Q1, ..., Qn.
2.2.2 Repr´ esentation de l’hypercube
Pour repr´esenter un hypercube , on proc`ede comme suit :
• Dimension 1: Un point est un hypercube de dimension z´ero. Si on d´eplace ce point d’une longueur unit´e, il balaira un segment de droite, qui est un hypercube unit´e de dimension 1 .
• Dimension 2 : Si on d´eplace ce segment d’une longueur unit´e dans une direction perpendiculaire `a partir de lui mˆeme, il balaie un carr´e bi-dimensionnel.
• Dimension 3 : Si on d´eplace le carr´e d’une longueur unit´e dans la direction per- pendiculaire `a l’emplacement de celui-ci, il engendra un cube tri-dimensionnel.
• Dimension 4 : Si on d´eplace le cube d’une longueur unit´e dans la quatri`eme di- mension, il engendrera un hypercube unit´e quadri-dimensionnel.
• Dimension n: Notons Q0 =K1, Q1 =K2 et que d’une mani`ere g´en´erale ,Qn peut ˆ
etre d´efini r´ecursivement en utilisant le produit cart´esien par Qn+1 =Qn2K2
d’ou pour Qn(n≥1) est isomorphe `a
K22K22K2....K2 n f ois et donc Qn+x =Qn2Qx
Figure 2.1 – Graphes de l’hypercube Qn pour, n =0...4.
Figure 2.2 – L’hypercubeQ5.
Figure 2.3 – L’hypercubeQ6.
Figure 2.4 – L’hypercube Q7
2.2.3 Quelques propri´ et´ es de l’hypercube
• L’hypercube de dimension n est un graphe biparti ´equilibr´e, n-r´egulier ayant 2n sommets et n.2n−1 arˆetes.
• Le diam`etre de l’hypercube Qn est ´egal `a n
• Pour deux sommetsxety qui sont `a distancek dans Qn, il existek! chaˆınes g´eod´e- siques entre x ety.
• L’hypercube de dimension n poss`ede 2n cˆot´es (un segment 1-dimensionnel a deux points aux extr´emit´es ; un carr´e 2- dimensionnel a quatre bords ; un cube 3-dimensionnel a six faces 2- dimensionnelles ; un hypercube 4-dimensionnel a huit cellules ).
• L’hypercube est hamiltonien, de plus par toute arˆete passe un cycle hamiltonien.
Th´eor`eme 2.2.5. [18] Un graphe G est intervalle-r´egulier si et seulement si pour tout couple de sommets (x,y) de G, le sous graphe induit par l’ensemble des arˆetes entre niveaux de IG(x, y) est un hypercube de dimension dG(x, y).
Proposition 2.2.1. [3] Pour deux sommets u et v qui sont `a distance k dans Qn, il existek! plus courtes (u, v) chaines.
Proposition 2.2.2. [3] Il existe n−1 chaˆınes de longueur inf´erieure ou ´egale `a n et une chaˆıne de longueur inf´erieure ou ´egale `a n+ 1, deux `a deux sommet-disjointes, entre toute paire de sommets distincts de l’hypercube de dimension n.[2]
2.2.4 Distance de Hamming
La distance de Hamming entre deux sommets x et y de Qn est le nombre de compo- santes dont ils diff´erent, une tell distance est not´eeV(x, y) et elle co¨ıncide avec la distance au sens de la th´eorie des graphes s(x, y) entre les deux sommets associ´es ” le nombre d’arˆetes d’une plus courte (x, y)-chaine ” .
2.2.5 D´ ecomposition en couches
Une d´ecomposition en couche de G, `a partir d’un sommet x donn´e, est form´e de l’ensemble{x, N1(x), N2(x), ...Nk(x)}, avec k : le nombre de couches.
Exemple 2.2.1. D´ecomposition en couches
Figure 2.5 – D´ecomposition en couches.
2.3 Plongement des graphes dans l’hypercube
La mise en oeuvre d’algorithmes parall`eles sur des architectures multiprocesseurs `a m´emoire distribu´ee a conduit au d´eveloppement de la notion de plongement d’un graphe G dans un graphe H.
Un plongement permet `a ce qu’un r´eseau soit simul´e par un autre : aux sommets du r´eseau d’origine sont associ´es des sommets dans le r´eseau simulant, et deux sommets voisins sont s´epar´es par un chemin. Ainsi, un algorithme con¸cu sp´ecialement pour un r´eseau peut ˆetre r´eutilis´e dans un autre grˆace `a un plongement.
La qualit´e d’un plongement permet de savoir quelles sont les diff´erentes pertes en performances de l’algorithme. Pour cela, on consid`ere plusieurs facteurs ([20] ) : Charge, Dilatation et Congestion.
Chercher un plongement optimal d’un graphe G dans un graphe d’une famille donn´ee revient `a plonger G dans le graphe H de cette famille ayant le plus petit nombre de sommets possible, sup´erieur ou ´egale `a celui de G. On dit alors que H est optimal pour G.
Dans le cas o`u cette famille de graphes est r´eduite `a un seul graphe qui est le graphe de l’hypercube ; alors la recherche d’un plongement optimal d’un graphe G dans un hypercube Qn consiste `a trouver la plus petite dimension n de l’hypercube pour le quel G y est plongeable.
2.3.1 Plongement
D´efinition 2.3.1 (Plongement). Un plongement d’un graphe G dans un graphe H est d´efini par la donn´ee d’une application injective φ de l’ensemble des sommets de G dans l’ensemble des sommets de H, et d’une application Pφ de l’ensemble des arˆetes de G dans l’ensemble des chaˆınes de H, qui associe `a chaque arˆete (x, y) de G, une chaˆıne reliant les sommets φ(x) et φ(y) dans H.
2.3.2 Param` etres de plongement
Beaucoup de param`etres ont ´et´e d´efinis pour mesurer l’efficacit´e des plongements. Nous donnerons la d´efinition de ceux d’entre eux qui sont le plus souvent ´etudi´es, `a savoir la dilatation, l’expansion et la congestion.
a Dilatation :
La dilatation d’un plongement φ d’un graphe G dans un graphe H,not´ee dil(φ), est la longueur maximale des chaˆıne Pφ(x, y) de H, associ´ees aux arˆetes (x, y) de G. Dans le cas o`u l’on consid`ere des chaˆınes de plus courte longueur, la longueur de Pφ(x, y) est alors ´egale `a la distance dH(φ(x), φ(y)), et la dilatation s’exprime uniquement en fonction de φ, par :
dil(φ) = M ax
x,y∈E(G)dH(φ(x), φ(y))
Dire que G est plongeable avec dilatation 1 est ´equivalent `a dire que G est un sous- graphe de H. Dans ce cas, l’image de l’arˆete (x,y) de G est l’arˆete (φ(x), φ(y)) de H.
Si de plus |V(G)|=|V(H)|, alors G est un graphe partiel de H.
b Expansion :
L’expansion d’un plongement d’un graphe G dans un graphe H est le rapport du nombre de sommets de H, sur le nombre de sommets de G.Ce param`etre est une mesure du degr´e d’utilisation des processeurs dans le cas d’un algorithme mod´elis´e par G, et impl´ement´e sur le r´eseau de processeurs mod´elis´e par H. une expansion
´
egale `a 1 peut correspondre `a une utilisation optimale, ou du moins tr`es efficace des processeurs.
c Congestion :
La congestion d’un plongement φ d’un graphe Gdans un graphe H, not´eecong(φ), est le maximum pris sur toutes les arˆetes e de H du nombre de chaˆınes Pφ(x, y) de H images d’arˆetes de G qui contiennent e .
2.3.3 Plongement optimal
Chercher un plongement d’exp´edition minimum d’un graphe Gdans un graphe d’une famille donn´ee revient donc `a plonger G dans le graphe H de cette famille ayant le plus petit nombre de sommets possible sup´erieur ou ´egal `a celui de G. On dit queHest optimal pourG. La seule borne inf´erieure connue pour la dilatation valable pour tous les graphe, si l’expansion du plongement vaut 1(l’applicationφ est alors bijective ),est donn´ee par la proposition suivante :
Proposition 2.3.1. [6] Si l’expansion d’un plongementφ d’un graphe G dans un graphe H vaut 1,alors la dilatation de φ est au moins ´egale au rapport du diam`etre de H sur le diam`etre de G.
2.4 Graphes et dimensions cubiques
Un graphe G est dit cubique s’il admet un plongement de dilatation 1 dansQnpour un certain n. Le plus petit entier n pour lequel G est plongeable dansQnest appel´e dimension cubique, not´edim(G).
Il est `a noter que les arbres sont des graphes cubiques, il a ´et´e aussi d´emontr´e que tout graphe cubique est n´ecessairement biparti, mais la r´eciproque n’est pas forc´ement vrai .[13]
2.4.1 D´ ecider si un graphe G est cubique
Des conditions n´ecessaires et suffisantes ont ´et´e ´etablies pour dire si un graphe G donn´e est cubique. Ce dernier est connu sous le nom de laCn-valuation [12].
2.4.1.1 Conditions n´ecessaires et suffisantes
Un graphe G peut ˆetre plong´e dans Qn si et seulement si on peut ´etiqueter des arˆetes de G par des entiers appartenant `a l’ensemble { 1,...,n}, de telle sorte que :
• toutes les arˆetes de G incidentes `a un mˆeme sommet x admettent des ´etiquetages diff´erents ;
• Pour toute chaˆıne P de G, il existe un entier i ∈ { 1,...,n} qui apparaˆıt un nombre impair de fois dans l’´etiquetage des arˆetes de P ;
• pour tout cycle C de G, aucun entier i∈ { 1,...,n} n’apparaˆıt un nombre impair de fois dans l’´etiquetage des arˆetes de C ;
En utilisant ces conditions, Havel et Liebl[6,7]ont d´emontr´e, ind´ependamment du r´esul- tat de Firsov [25], que les arbres sont des graphes cubiques et ont donn´e des plongements efficaces des arbres binaires dans l’hypercube. Ils ont aussi d´emontr´e que les cycles sont des graphes cubiques si et seulement si ils sont d’ordre pair.
2.4.1.2 Condition n´ecessaire pour qu’un graphe G soit plongeable dans Qn Si un graphe G = (X, U) est plongeable dans le graphe Qn, alors n´ecessairement on a :
• |V(G)| ≤2n.
• G est biparti.
• Le degr´e maximum de G , est δ(G)≤n.
Si de plus|V(G)|= 2 alors G doit ˆetre ´equilibr´e.
2.5 C
n-valuation des arbres
La notion de la Cn-valuation a ´et´e introduite par Havel et Moravek. La d´efinition et les propri´et´es utilis´ees aux cas des arbres sont :
D´efinition 2.5.1. Un arbre T est Cn-valuation si les arˆetes de Tsont marqu´ees par les entiers de l’ensemble {1,2,3,...,n} de sorte que pour toute chaˆıne P de T, il existe un entier K ∈ {1,2,3, ..., n} pour lequel un nombre impaire d’arˆetes de P sont marqu´ees par K.
Etant donn´´ e une Cn-valuation d’un arbre T et soit P une chaˆıne de T. On d´efinit l’ensemble impaire de P par : O(p)=K,k∈ {1,2,3, ..., n}, pour lequel un nombre d’arˆetes de P sont marqu´ees par K.
Par la Cn-valuation d’arbres certains plongements d’arbres dans Qn peuvent ˆetre as- soci´es. Havel et Moravek ont prouv´e le r´esultat suivant sur le plongement d’arbres dans l’hypercube.
Th´eor`eme 2.5.1. [7] Un arbre T est plongeable dans Qn si et seulement s’il existe un Cn-valuation de T .
2.6 Conclusion
Dans ce chapitre, on a pr´esent´e le graphe de l’hypercube et ses propri´et´es, on a ainsi parl´e sur le plongement et quelque graphes plongeables.
Dans le chapitre suivant, nous nous int´eressons `a la pr´esentation de quelques classes d’arbres plongeables dans l’hypercube.
Quelques classes d’arbres plongeables dans 3
l’hypercube
3.1 Introduction
Le probl`eme de plongement de graphes dans l’hypercube `a ´et´e trait´e par plusieurs auteurs. Ainsi, Havel ,Harary , Nebesky et plusieurs auteurs ont donn´e des familles de graphes qui sont plongeables dans l’hypercube.
Nous donnons dans ce chapitre quelques r´esultats connus sure les plongements. Nous pr´esentons aussi la conjecture de Havel sur le plongement des arbres binaires ´equilibr´es ayant 2n sommets dans l’hypercube Qn. Enfin nous pr´esentons quelques classes d’arbres binaire pour lesquelles la dimension cubique est d´etermin´ee.
3.2 Quelques types d’arbres plongeables dans Q
nSoit T un arbre d’ordre n. L’hypercube Qdim(T) est appel´e hypercube optimal de T. D’apr`es la d´emonstration de wagner et corneil que tout arbre est plongeable dans l’hypercube[25]. Donc on s’int´eressera donc `a la recherche de dimension de ces arbres ( plongement optimal de ces arbres dans l’hypercube ).
D´efinition 3.2.1. Arbre binaire Un arbre T est dit binaire si son degr´e maximum
∆(T)≤3 .
Un r´esultat concernant les arbres binaires a ´et´e donn´e par I-Havel [8].
Proposition (Havel) 3.2.1. [8] Soit T un arbre binaire d’ordre 2n avec n ≥ 3 . Si T est ´equilibr´e et poss`ede deux sommets de degr´e 3 alors T est plongeable dans Qn .
3.2.1 Arbres binaires complets
D´efinition 3.2.2. L’arbre binaire complet Dn est le graphe d´efini inductivement comme suit :
• Pour n= 1. D1 =K1,2 est un graphe biparti complet.
• Pourn≥2, Dn est obtenu `a partir de deux copies disjointes T1, T2 de Dn−1 et d’un nouveau sommet x, tel que x est reli´e par une arˆete `a un sommet de degr´e 2 de T1 et T2.
• Dn poss`ede 2n sommets pendants, 2n −2 sommets de degr´e 3 et un seul sommet de degr´e 2. Le sommet de degr´e 2 sera appel´e la racine de Dn, donc Dn poss`ede 2n+1−1 sommets.
D1, D2 et D3 sont montr´e dans la Figure 3.1 [9]
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D3
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D2
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• D1
Figure 3.1 – Arbres binaires completsD1, D2 et D3.
Th´eor`eme (Havel) 3.2.1. [17] Pour tout n ≥ 2, l’arbre Dn est plongeable dans Qn+2 avec :
dim(D1) = 2 et dim(Dn) = n+ 2.
La Figure 3.2 montre la 5-valuation de l’arbre binaire complets D3
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4
1
2 3
2
3 4
5
1
2 3
2
3 4
Figure 3.2 – C5-valuation de l’arbre binaire complet D3.
3.2.2 Arbres obtenus ` a partir de l’arbre binaire D
nA partir de l’arbre binaire completDn, on d´efinira d’autre classe d’arbres plongeables dans l’hypercube, qui sont obtenus par modification des arbres binaires.
Havel[17] a ´etudie les arbres binaires Bn, Bnk, b
Dbn d´efinis comme suit :
1. Pourn≥2, Bn est un arbre binaire obtenu `a partir de l’arbre binaire complet Dn−1,et d’un sommetu, tel queu soit reli´e `a la racine deDn−1 par une arˆete.Bn poss`ede 2n−1+ 1 sommets pendants et 2n−1−1 sommets de degr´e 3. DoncBn a 2n sommets. B2, B3 etB4 sont montr´es dans la Figure 3.3
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B4
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B3
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• B2
Figure 3.3 – Arbres binaires B2, B3 etB4.
Th´eor`eme (Havel) 3.2.2. [17] Pour tout n≥2, l’arbre binaire Bn est plongeable dans Qn+1 v´erifie :
dim(Bn) =n+ 1.
.
2. Soitn ≥2 et k≥1, Bn(k) est form´e de la mani`ere suivante :
• Pour k=1, Bn1 est l’arbre binaire Bn, pour k ≥ 2, Bn(k) est l’arbre binaire obtenu
`
a partir de Bn par subdivision de chaque arˆete binaire complet Dn−1 par 2(k−1) sommets.
Il est clair que |V(Bn(k))|=k.2n
Proposition (Havel) 3.2.2.[17]Pourn≥2, l’arbre binaireBnkest plongeable dansQn+1 et v´erifie : dim(Bnk) =n+ 1 .
B32 est repr´esent´e dans la Figure 3.4.
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Figure 3.4 – Arbre binaireB32.
Proposition (Havel) 3.2.3. Pour n ≥ 2 et s ≥ 1, |V(Bn(2s))|= 2n+1+s, et Bn(2s)) est plongeable dans Qn+s+1 avec dim(Bn(2s)) =n+s+ 1. [17]
3. Pour tout n≥1 on d´esigne par :
• b
Dbn l’arbre form´e `a partir de deux
copies disjointes de Dn, tel que leurs racines sont reli´ees par une arˆete appel´ee arˆete axiale de b
Dbn. Cet arbre poss`ede 2n+2 sommets pendants et 2n+2 −2 sommets de degr´e 3. Donc b
Dbn a 2n+2−2 sommets. b
Db2 est montr´e dans la Figure 3.5.
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Figure 3.5 – Arbre binaire complet `a double racines b Db2. Proposition (Havel) 3.2.4. [17]Pour toutn≥1, l’arbre b
Dbnest plongeable dansQn+2, avec dim(b
Dbn) =n+ 2.
Dans le cas des arbres binaires ´equilibr´e T, Havel [1] `a donn´e la conjecture suivante : Conjecture (Havel) 3.2.1. [9] Tout arbre binaire ´equilibr´e T, ayant 2n sommets est plongeable dans Qn.
Cette conjecture est toujours ouverte. Cependant, elle a ´et´e d´emontr´ee dans plusieurs cas particuli`eres.
Dans le cas des arbres binaire, Nebesky [1] a introduit les arbres binaires ´equilibr´es Dbn
et ˇDn d´efinis comme suit : 4. Soitn ≥1, on d´esigne par :
• Dbn l’arbre form´e `a partir de b
Dbn en ins´erant deux nouveaux sommets au niveau de l’arˆete axiale, et la chaine obtenue `a partir de l’arˆete axiale sera appel´ee chaine axiale de Dbn.
• L’arbre ˇDn peut ˆetre d´efini `a partir de b
Dbn en ins´erant deux nouveaux sommets de degr´e 2 au niveau d’une arˆete pendante de b
Dbn.
Il est clair que ˇDn etDbn sont ´equilibr´es, ils poss`edent le mˆeme nombre de sommets c-`a-d, poss`ede deux sommets de degr´e 2, 2n+1 sommets pendants et 2n+1−2 sommets de degr´e 3, qui est ´equivalant `a dire qu’ils ayant chacun 2n+2 sommets. Les arbres ˇD2 et ˇD2 sont montr´es dans la Figure 3.6.
Le th´eor`eme suivant est d`u `a Ladislav N´eb´esky’
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(b) ˇD2 (a) ˆD2
Figure 3.6 – Arbre binaire ˆD2 et ˇD2.
Th´eor`eme (N´eb´esky) 3.2.1. [1] L’arbre Dbn et Dˇn sont ´equilibr´es et plongeables dans Qn+2, pour tout n ≥1, ils v´erifient l’´egalit´e suivante : dim(Dbn) = dim( ˇDn) =n+ 2.
Berrachedi [22] a introduit l’arbre binaire Dnk form´e de la mani`ere suivante :
5. soit n ≥ 2, l’arbre binaire Dkn est form´e `a partir de Dn en supprimant k sommets pendants, avec k≤2n.D2n poss`ede 2n−1 sommets pendants, 2n−3 sommets de degr´e 3 et un sommet de degr´e 2. D23 est montr´e dans la Figure 3.7.
Th´eor`eme (Nekri) 3.2.1. Pour tout n ≥ 2,avec 2≤ k ≤ 2n. On a l’arbre binaire Dnk est plongeable dans Qn+1 et v´erifie : dim(Dnk) =n+ 1[22].
Choudum [5] a montr´e les plongement des arbres AVL, tel que le nom AVL vient des auteurs Adelson-Velskii et Landis[10]
3.2.3 Arbres binaires de recherche
D´efinition 3.2.3. Soit T un arbre binaire tel que chaque sommet est repr´esent´e par son poids (valeur enti`ere positive). On dit queT est un arbre de recherche si pour tout sommet u de T et pour tout sommet v du sous-arbre gauche (resp. droit) de u, on a le poids de v est strictement inf´erieur (resp. strictement sup´erieur) au poids de u.
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Figure 3.7 – Arbre binaire D32.
La Figure 3.8 montre un exemple d’arbre de recherche `a 10 sommets.
15
20 12
21 16
14 8
17 13
10
Figure 3.8 – Exemple d’arbre de recherche `a 10 sommets.
3.2.4 Arbres AVL(Adelson-Velskii et Landis)
D´efinition 3.2.4. Un arbre de recherche T est un arbre AVL, si que pour tout sommet u de T, la diff´erence bT(u) entre les hauteurs des sous-arbres gauche et droit de u est au plus 1, par convention la hauteur d’un sous-arbre vide est ´egale `a -1.
La diff´erence bT(u) est appel´ee facteur d’´equilibrage du sommet u. L’arbre AVL est aussi appel´e Arbre ´equilibr´e en hauteur. La Figure 3.11 montre un exemple d’arbre AVL `a 12 sommets.
12 h=4
15 h=2 3
h=3
20 h=0 h=1 13
h=2 5 h=1 1
14 h=0
7 h=1
0 h=0 2
h=0
9 h=0
Figure 3.9 – Exemple d’arbre AVL `a 12 sommets.
Clairement tout arbre `a hauteur ´equilibr´e h, Th est un sous-arbre de l’arbre binaire complet Dh. Comme Dh est plongeable dans Qh+2, alors Th est aussi plongeable dans Qh+2. Un arbre `a hauteur ´equilibr´e Thcontenant une chaine P allant de la racine `a un sommet pendantl, tel que pour tout sommet u6=l de P on a bTh(u) = 1 est not´e parTP h. Proposition 3.2.1. [5] Pour tout h ≥0, l’arbre `a hauteur ´equilibr´e TP h est plongeable dans Qh+1.
3.3 Conclusion
Dans ce chapitre nous avons donn´e quelques classe d’arbres binaires obtenus par la double subdivision de l’arbre binaire complet `a double racine et nous avons montr´e que dans le cas ´equilibr´e ces arbres v´erifient la conjecture de Ivan Havel.
Sur la dimention cubique des nouvelles classes 4
d’arbres binaires
4.1 Introduction
La recherche d’un plongement optimal d’un graphe G dans un hypercubeQn consiste
`
a trouver la plus petite dimension n de l’hypercube pour le quel G y est plongeable.
4.2 D´ ecomposition de Q
nen des copies disjointes de Q
iIl est clair que les sommets de Qn sont r´epartis en deux parties disjointes V1(Qn) et V2(Qn), tel que |V1(Qn)| = |V2(Qn)| = 2n−1 et que pour tout n ≥ 3. Qn peut ˆetre d´ecompos´e en 2n−i copies disjointes deQi, 0≤i≤1 n. CommeQ2 est d´ecompos´e en une copie de K1,2 et une copie de Q0, donc Qn peut ˆetre d´ecompos´e en 2n−2 copies disjointes deK1,2 et 2n−2 copies disjointes de Q0.
supposons que les sommets deV1(Qn), deV1(T), de V1(Qi1), deV1(Qi0) et deV1(K1,2i ) sont repr´esent´es par des cercles et ceux deV2(Qn), deV2(T), deV2(Qi1), deV2(Qi0) et deV2(K1,2i ) sont repr´esent´es par des carr´es. Nous consid´erons les deux compositions suivantes :
• Qn est d´ecompos´e en 2n−1 copies disjointes de Q1, not´eesQin , i∈ {1,2, ...,2n−2}.
• Qn est d´ecompos´e en 2n−2 copies disjointes de K1,2, not´ees K1,2i et 2n−2 copies dis- jointes de Q0,not´eesQi0, tels pour tout i∈ {1,2, ...,2n−3}.
La Figure 4.1 montre la repr´esentation des sommets de V1(Q3) par des cercles et ceux deV2(Q3) par des carr´es.
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•
Figure 4.1 – Repr´esentation des sommets deQ3.
La Figure 4.2(a) montre la d´ecompositions deQ3 en 8 sommets isol´es, La Figure 4.2(b) montre la d´ecomposition de Q3 en 4 copies disjointes de Q1 et la Figure 4.2(c) montre la d´ecompositions de Q3 en 2 copies disjointes de K1,2 et 2 copies disjointes de Q0.
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(a) D´ecomposition de Q3 en 8 sommets isol´es
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(b) D´ecomposition de Q3 en 4 copies dis-
jointes de Q1
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•
(c) D´ecomposition de Q3 en 2 copies disjointes de K1,2 et 2 sommets isol´es Figure 4.2 – D´ecomposition de Q3.
4.3 Nouvelles classes d’arbres binaires
4.3.1 Arbre T
nPour n≥1 l’arbre binaireTn est d´efinit inductivement comme suite : Pourn = 1, l’arbreT1 est montr´e par la Figure suivante :
Figure 4.3 – Arbre binaireT1.
Pourn ≥2, l’arbreTn est obtenu `a partir de Tn−1 tel que chaque sommet pendant de Tn−1 est reli´e `a deux nouveaux sommets, l’arbre T2 est donn´e par la Figure suivante :
Figure 4.4 – Arbre binaireT2.
Il est claire que Tn poss`ede 3×2n+ 1 sommets, avec 3×2n−1 sommets de degr´e 1 (pendants), 3 sommets de degr´e 2 et 3×2n−1−2 sommets de degr´e 3.
Th´eor`eme 4.3.1. pour n= 3, Dim(T3) = 5
Preuve 4.3.1. il est clair que T1 et T2 sont respectivement c3−valu et c4 −valu voire les Figures suivantes :
2
1 1
3
1 2
Figure 4.5 – La C3−valuation de T1.
2
1 1
3
1 2
2 4 2 3
4 3
Figure 4.6 – La C4−valuation de T2.
Prenons deux copies disjoints Q03 et Q003 de Q3 et une copies Q04 de Q4 tel que dans Q03 nous consid´erons que l’arbre T1, dans Q003 nous prenons 4 copies disjoints, de Q1 et dansQ04 nous prenons deux sommets de types carr´e, deux sommets de types cercle ,deux copies disjoints deK1,20 ayant chacune un sommets de degr´e 2 de type carr´e et deux copies disjointes de K1,200 ayant chacune un sommets de degr´e 2 de type cercle( voire la Figure suivante :)
Figure 4.7 – Plongement deT1 dans Q5.
Si on relie un sommet de type cercle de Q1 `a un sommet isol´e de type carr´e on cr´ee une copie ˆK1,200 ayant le sommet de degr´e 2 cercle, et si on relie un sommet deQ1 de type carr´e `a un sommet isol´e de type cercle, on cr´ee une copie ˆK1,20 ayant un sommet de degr´e 2 carr´e. donc comme il y a 2 sommets isol´es de type carr´e et deux sommets isol´es de type cercle, alors, on cr´ee 2 copies de ˆK1,20 et 2 copies de ˆK1,200
Maintenant si on relie un l’unique sommet de degr´e 1 de type cercle `a un sommet de degr´e 2 deK1,20 par un arˆete et `a un sommet de degr´e 2 de ˆK1,20 par une arˆete,chacune de deux sommets pendant de T `a un sommet de degr´e 2 de ˆK1,200 par une arˆete et `a un sommet de degr´e 2 deK1,200 par une autre arˆete on obtient l’arbre T3.
Comme l’hypercubeQn est obtenu `a partir de deux copies disjoint de Qn−1 (et Q00n−1) tel que pour toute paire de sommet (u, v) ∈ Qn, V(Q0n−1)×V(Q00n−1), u est reli´e `a v si u et v sont diff´erents en une seul composante, comme le montre la Figure suivante :
Figure 4.8 – L’hypercubeQ3.
Dans notre cas on peut avoir `a partir de Q0n−1 et Q00n−1 l’hypercube Qn si on relie chaque sommet de type carr´e deQ0n−1 `a un seul sommet de type cercle de Q00n−1 et chaque sommet de type cercle deQ0n−1 `a un seul sommet de type carr´e de Q00n−1. (Voir la Figure)
Figure 4.9 –Q4 `a partir de deux copies disjointes de Q3 .
Finalement T3 est plongeable dans Q5. Car deux copies de Q3(Q03 et Q003) donne une copie deQ4 not´ee Q004 et deux copies de Q4 (Q04 etQ004) donne l’hypercube Q5. La Figure montre le plongement deT3 dans Q5.
Figure 4.10 – Plongement de T3 dans Q5.
Comme l’arbre T3 poss`ede 3∗22+ 1 = 25 sommets, et une partie de T3 poss`ede plus de 23 sommets alors, T3 ne peut pas ´etre plongeable dans Q4, d’o`u dim(T3).
Corollaire 4.3.1. Pour n≥1, on a dim(T n) = n+ 2.
Preuve 4.3.2. La d´emonstration se fait par r´ecurrence de la mˆeme mani`ere que le th´eo- r`eme pr´ec´edent. Voir la Figure suivante :
Figure 4.11 –
Au faite on a pris deux copies disjointes Q0n et Q00n de Qn et une copie de Qn+1 not´ee Q0n+1. tel que dans Q0n on a consid´er´e que Tn−2, dans Q00n on a consid´er´e 2n−1 copies disjointes deQ1 et dansQ0n+1 on a consid´er´e2n−2 copies disjointes, le K1,2 ayant chacune un sommets de degr´e 2 type carr´e2n−2 copies disjointes, deK1,2 ayant chacune un sommet de degr´e 2 de type cercle et au faite de la mˆeme mani`ere que la preuve de th´eor`eme pr´ec´edent on obtient Tn plongeable dans Qn+2. Comme ∃i ∈ {1,2} tel que Vi(Tn) > 2n, alors, Tn ne peut pas ˆetre plongeable dans Qn+1, d’o`u le plus petit hypercube qui contient Tn et Qn+2, ie dim(Tn) = n+ 2.
