Nouvelles classes d’arbres binaires

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(a) D´ecomposition de Q₃ en 8 sommets isol´es

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(b) D´ecomposition de Q₃ en 4 copies

dis-jointes de Q₁

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(c) D´ecomposition de Q₃ en 2 copies disjointes de K_1,2 et 2 sommets isol´es Figure 4.2 – D´ecomposition de Q₃.

4.3 Nouvelles classes d’arbres binaires

4.3.1 Arbre T

Pour n≥1 l’arbre binaireT_n est d´efinit inductivement comme suite : Pourn = 1, l’arbreT₁ est montr´e par la Figure suivante :

Figure 4.3 – Arbre binaireT1.

Pourn ≥2, l’arbreT_n est obtenu `a partir de Tn−1 tel que chaque sommet pendant de Tn−1 est reli´e `a deux nouveaux sommets, l’arbre T₂ est donn´e par la Figure suivante :

Figure 4.4 – Arbre binaireT₂.

Il est claire que T_n poss`ede 3×2ⁿ+ 1 sommets, avec 3×2ⁿ⁻¹ sommets de degr´e 1 (pendants), 3 sommets de degr´e 2 et 3×2ⁿ⁻¹−2 sommets de degr´e 3.

Th´eor`eme 4.3.1. pour n= 3, Dim(T₃) = 5

Preuve 4.3.1. il est clair que T₁ et T₂ sont respectivement c₃−valu et c₄ −valu voire les Figures suivantes :

2

1 1

3

1 2

Figure 4.5 – La C3−valuation de T1.

2

1 1

3

1 2

2 4 2 3

4 3

Figure 4.6 – La C₄−valuation de T₂.

Prenons deux copies disjoints Q⁰₃ et Q⁰⁰₃ de Q₃ et une copies Q⁰₄ de Q₄ tel que dans Q⁰₃ nous consid´erons que l’arbre T₁, dans Q⁰⁰₃ nous prenons 4 copies disjoints, de Q₁ et dansQ⁰₄ nous prenons deux sommets de types carr´e, deux sommets de types cercle ,deux copies disjoints deK_1,2⁰ ayant chacune un sommets de degr´e 2 de type carr´e et deux copies disjointes de K_1,2⁰⁰ ayant chacune un sommets de degr´e 2 de type cercle( voire la Figure suivante :)

Figure 4.7 – Plongement deT¹ dans Q5.

Si on relie un sommet de type cercle de Q₁ `a un sommet isol´e de type carr´e on cr´ee une copie ˆK<sub>1,2</sub><sup>00</sup> ayant le sommet de degr´e 2 cercle, et si on relie un sommet deQ<sub>1</sub> de type carr´e `a un sommet isol´e de type cercle, on cr´ee une copie ˆK_1,2⁰ ayant un sommet de degr´e 2 carr´e. donc comme il y a 2 sommets isol´es de type carr´e et deux sommets isol´es de type cercle, alors, on cr´ee 2 copies de ˆK_1,2⁰ et 2 copies de ˆK_1,2⁰⁰

Maintenant si on relie un l’unique sommet de degr´e 1 de type cercle `a un sommet de degr´e 2 deK<sub>1,2</sub><sup>0</sup> par un arˆete et `a un sommet de degr´e 2 de ˆK_1,2⁰ par une arˆete,chacune de deux sommets pendant de T `a un sommet de degr´e 2 de ˆK<sub>1,2</sub><sup>00</sup> par une arˆete et `a un sommet de degr´e 2 deK_1,2⁰⁰ par une autre arˆete on obtient l’arbre T3.

Comme l’hypercubeQn est obtenu `a partir de deux copies disjoint de Qn−1 (et Q<sup>00</sup><sub>n−1</sub>) tel que pour toute paire de sommet (u, v) ∈ Q<sub>n</sub>, V(Q<sup>0</sup><sub>n−1</sub>)×V(Q<sup>00</sup><sub>n−1</sub>), u est reli´e `a v si u et v sont diff´erents en une seul composante, comme le montre la Figure suivante :

Figure 4.8 – L’hypercubeQ3.

Dans notre cas on peut avoir `a partir de Q<sup>0</sup><sub>n−1</sub> et Q<sup>00</sup><sub>n−1</sub> l’hypercube Q<sub>n</sub> si on relie chaque sommet de type carr´e deQ<sup>0</sup><sub>n−1</sub> `a un seul sommet de type cercle de Q⁰⁰_n−1 et chaque sommet de type cercle deQ⁰_n−1 `a un seul sommet de type carr´e de Q⁰⁰_n−1. (Voir la Figure)

Figure 4.9 –Q₄ `a partir de deux copies disjointes de Q₃ .

Finalement T3 est plongeable dans Q5. Car deux copies de Q3(Q⁰₃ et Q⁰⁰₃) donne une copie deQ₄ not´ee Q⁰⁰₄ et deux copies de Q₄ (Q⁰₄ etQ⁰⁰₄) donne l’hypercube Q₅. La Figure montre le plongement deT₃ dans Q₅.

Figure 4.10 – Plongement de T³ dans Q₅.

Comme l’arbre T₃ poss`ede 3∗2<sup>2</sup>+ 1 = 25 sommets, et une partie de T<sub>3</sub> poss`ede plus de 2³ sommets alors, T₃ ne peut pas ´etre plongeable dans Q₄, d’o`u dim(T₃).

Corollaire 4.3.1. Pour n≥1, on a dim(T n) = n+ 2.

Preuve 4.3.2. La d´emonstration se fait par r´ecurrence de la mˆeme mani`ere que le th´ eo-r`eme pr´ec´edent. Voir la Figure suivante :

Figure 4.11 –

Au faite on a pris deux copies disjointes Q⁰_n et Q⁰⁰_n de Q_n et une copie de Q_n+1 not´ee Q⁰_n+1. tel que dans Q⁰_n on a consid´er´e que T_n−2, dans Q⁰⁰_n on a consid´er´e 2ⁿ⁻¹ copies disjointes deQ₁ et dansQ⁰_n+1 on a consid´er´e2ⁿ⁻² copies disjointes, le K_1,2 ayant chacune un sommets de degr´e 2 type carr´e2ⁿ⁻² copies disjointes, deK_1,2 ayant chacune un sommet de degr´e 2 de type cercle et au faite de la mˆeme mani`ere que la preuve de th´eor`eme pr´ec´edent on obtient T_n plongeable dans Q_n+2. Comme ∃i ∈ {1,2} tel que V_i(T_n) > 2ⁿ, alors, T_n ne peut pas ˆetre plongeable dans Q_n+1, d’o`u le plus petit hypercube qui contient T_n et Q_n+2, ie dim(T_n) = n+ 2.

4.3.2 Arbre γ(T

, T

)

Soit T₁ et T₂ deux arbres binaires, tels que T₁ poss`ede une chaine de longueur p donn´ee par C<sub>p</sub> ={u<sub>0</sub>, u<sub>1</sub>, u<sub>2</sub>, ..., u<sub>i</sub>, ..., u<sub>p</sub>} et T<sub>2</sub> poss`ede une chaine de longueur s donn´ee parC_s={v₀, v₁, v₂, ..., v_j, ..., v_s}. Soitx, y ∈ {u₀, u₁, u₂, ..., u_i, ..., u_p}avecd(x) =d(y) = 2 ett, z ∈ {v₀, v₁, v₂, ..., v_j, ..., v_s}. L’arbre γ(T₁, T₂) est obtenu `a partir deT<sub>1</sub> etT<sub>2</sub> en reliant x`a t par une arˆete et y `a z par une arˆete puis les arˆetes int´erieurs de la chainet...z sont supprim´ees. Voir les Figures suivantes :

Figure 4.12 – Arbre T₁

Figure 4.13 – Abres T₂.

Figure 4.14 – Abres γ(T1, T2).

Exemple 4.3.1. Soient les deux arbres binaires T₁ et T₂ repr´esent´e respectivement par les deux Figures suivantes :

u₃ u₂

u₁ u₀

Figure 4.15 – Arbre T₁.

v₅ v₄

v₃ v₂

v₁ v₀

Figure 4.16 – Arbre T₂.

Ici on prend les chainesa =u₁ et b=u₂ de T₁, c=v₀ etd=v₃ de T₂, alorsγ(T₁, T₂) est repr´esent´e par la Figure 4.17

u₃

Th´eor`eme 4.3.2. Soit T₁ et T₂ deux arbres binaires, tels que T₁ est plongeable dans Qn et T2 est plongeable dans Qm, avec n 6=m, alors l’arbre γ(T1, T2) est plongeable dans Q_max{n,m}+1.

Preuve 4.3.3. Il faut marquer les arˆetex, tety, zparmax{n, m}+1et marquer une arˆete de la chaine entrex et y par n et lorsque on prend n’importe quel chaine la Cmax{n,m}+1 -valuation est v´erifi´ee car :

- Si C utilise x, t et y, z, alors la seule valeur observ´ee une et une seule fois est bien n.

La Figure suivante montre la Cmax{n,m}+1-valuation de l’arbre γ(T₁, T₂) D’o`u si n < m :

La Figure suivante montre la Cmax{n,m}+1 =m+ 1-valuation de l’arbre γ(T₁, T₂) Avec ABQ signifie Arbre Binaire Quelconque.

ABQ

T₂ est donn´e par la Figure suivante :

Figure 4.22 – Arbre T₂. γ(T₁, T₂) est donn´e par la Figure suivante :

Figure 4.23 – Arbre γ(T₁, T₂).

Comme T₁ est C₄−valu´e, T₂ estC₃−valu´e. Voir la Figure suivante :

Figure 4.24 –C₄-valuation deT₁.

Figure 4.25 –C3-valuation de T2.

Figure 4.26 –C₅-valuation de γ(T₁, T₂)

4.4 Conclusion

Dans ce chapitre nous avons pr´esent´e des crit`ere de plongement optimal de tous les arbres obtenus d’une mani`ere r´ecursive dans l’hypercube. ces crit`ere recouvrent ´egalement les plongement de certaines classe d’arbres binaires pour lesquels la dimension cubique est connue. Ainsi nous allons essayer de trouver d’autre crit`ere de plongement optimal des arbres obtenus par la subdivisions arˆetes pour qu’on puisse avoir de nouvelle classes d’arbres binaires plongeables d’une mani`ere optimal dans l’hypercube.

Application 5

5.1 Introduction

Ce chapitre port sur la construction d’un arbre couvrant de poids minimal. ´Etant donn´e un hypercube Q₄, un arbre couvrant est un sous-ensemble d’arˆetes qui connecte tous les sommets sans former de cycle. Le nombre d’arˆetes dans un arbre couvrant est exactement le nombre de sommets moins un. Si on attribue un poids (valeur strictement positive) `a chaque arˆete, un arbre couvrant de poids minimal est un arbre couvrant qui minimise la somme des poids de ses arˆetes.

Nous allons programmer l’algorithme de Prim pour la d´etermination d’un arbre cou-vrant minimal. On va consid´erer que le graphe de r´ef´erence est l’hypercube Q₄. En fait, la structure de ce graphe sera implicite, on aura seulement `a g´erer de ensembles d’arˆetes.

Comme application, il s’agit d’inter-connecter un ensemble des sommets en minimisant la probabilit´e totale du graphe.