Soit G = (U, E) un r´eseau de communication de 16 personnes, te que Pij repr´esente la probabilit´e d’interception des message confidentiel entre i et j par une autre personne
´etrang`ere.
Cherchons un arbre couvrant qui minimise la probabilit´e de l’interception, on utilisons l’algorithme de Prim
La situation est repr´esent´ee par la Figure 5.1 :
Figure 5.1 – R´eseau de t´el´ecommunication de 16 personnes
5.4.1 Algorithme de Prim
Pour ex´ecut´e le programme, on fait appel `a la fonction Prim(A), avec, A est la ma-trice des probabilit´es.
La Figure 5.2 repr´esente l’affichage de la matrice A apr`es l’ex´ecution du programme avec la fonctionPrim(A) sous logiciel M AT LAB.
Figure 5.2 – La matrice A
La Figure 5.3 montre l’ex´ecution et l’affichage sousM AT LAB apr`es l’impl´ementations des donn´es (R´eseau de communication) qui sont repr´esent´e dans un hypercubeQ4.
Figure 5.3 – R´eseau de communication repr´esent´e par Q4.
La Figure 5.4 montre le plongement de l’arbre binaire (arbre couvrant de poids mi-nimal) dans l’hypercubeQ4 du r´eseau de communication apr`es l’ex´ecution de notre pro-gramme.
Figure 5.4 – Arbre couvrant de poids minimal dans Q4.
La Figure 5.5 repr´esente l’arbre couvrant de poids minimal (arbre binaire).
Figure 5.5 – Arbre couvrant de poids minimal.
La Figure 5.6 montre les r´esultats trouv´e `a l fin d’ex´ecution du notre programme.
Figure 5.6 – ex´ecution de programme
On remarque que le poids de l’arbre couvrant est 1,92.10−13 qui ´egale la probabilit´e `a interception d’une appel si on applique cette distribution.
5.5 Conclusion
Dans ce chapitre on a pr´esent´e le probl`eme de l’arbre couvrant minimum, ainsi deux algorithmes pour le r´esolu (P rim,Kruskal), et on a impl´ement´e l’algorithme de P rim sous M AT LAB.
Beaucoup de chercheurs (Havel, Harary,et Nebesky) se sont int´eress´es au plongement de quelques classes d’arbre plongeable dans l’hypercube. Tous les arbres sont plongeable dans l’hypercube, le probl`eme consiste `a trouver la plus petit dimension de l’hypercube, on parle alors d’hypercube optimal et de la dimension cubique de l’arbre.
Dans ce m´emoire, nous nous sommes int´eress´es au plongement optimal des arbres dans l’hypercube.
Nous avons introduit des nouvelles classes d’arbre pour les quelles nous avons donnez le nombre de copies disjointes maximale que on peut place dans l’hypercube de dimension n (Qn), cette ´etude de placement est tr`es importante dans la caract´erisation des nouvelles classes d’arbre plongeable dans l’hypercube.
Nous allons ensuite pr´esenter un algorithme permettant la d´etermination de la Cn -valuation d’une famille arbres obtenus d’une mani`ere r´ecursive. ainsi un algorithme de P RIM et de Kruskal qui fournit une arbre couvrant minimal d’un hypercube.
Comme perspective, nous allons utilis´eγ(T1, T2) pour trouver un algorithme qui donne laCn-valuation de plusieurs types d’arbres obtenus en fonction de γ(T1, T2).
L’´etude de math´ematique est comme le Nil, qui commence en modestie et finit en magnificence.
D’apr`es Charles Caleb Colton.
[1] A. Berrachdi and M. Nekri. Two new classes of trees embeddable into hypercubes.
Rairo Oper. Res. 38, pp. 295-303, (2004).
[2] A.Berrachedi. Sur quelques propri´et´es m´etriques du graphe de type hypercube. PhD thesis,Institut de Math´ematique, Universit´e des Science et de la Technologie Houari Boumedi`ene,(1997).
[3] C.BERGE. Graphe et hypercube. 1, 1973.
[4] G.buroch, J. M. L. Distance monotone grphe and a new caract´erization of hypercube.
Discrete Math´e matics, 110 (1982).
[5] G.M. Adelson-Velskki and E.M. Landis. An algorithm for the organisation of infor-mation.
[6] Havel, P. L. Embedding the polytomic tree into the n-cube. Cas Pest math, 98 (1973).
[7] Havel, J. M. B valuations of graphs. Czech Math Journ, 98 (1972).
[8] Havel. On hamiltonian circuit and spanning trees of hypercubes. Caspis Pest. Mat.
109, no. 2, pp. 135-152, (1984).
[9] Havel and P. Liebl. Embedding the dichotomic tree into the n-cub. Caspis Pest. mat.
97, No. 2, pp. 201-205, (1972).
[10] Havel. On certain trees in hypercube. Topics in combinatorrics and graph thoery, 353-358 (1990).
[11] Havel. On certain trees in hypercube. Topics in combinatorrics and graph thoery, 353-358 (1990).
[12] Havel, P. L. Embedding the dichotomie tree into the n-cube. Cas.Pest. mat, 97 (1972).
[13] H.M.MULDER. The interval function of a graph. MCT.132, 1980.
[14] K.Kabyl.Sur la dimention cubique de quelques classes d’arbres.th`ese de magis-t`ere,univairsit´e houari Boumedi´ene,alger,(2003).
[15] K.Kabyl and A. Berrachedi. Dimension cubique de deux classes d’arbres.2´eme colloque International sur l’Optimisatiob des Syst`emes d’Informatique,B´ejaia 11-14 juin,(2005).
[16] K.Kabyl and A.Berrachedi.Plongement de deux nouvelles classes d’arbres dans l’hypercube.3`eme Colloque International sur L’Optimisation des Syst`emes d’Informatique,Bab-Ezzouar 11-13 juin,(2006).
[17] L. Nebesky. On cubes and dichotomic trees. Caspis Pest. Mat. 99, No. 2, pp. 164-167, (1974).
[18] Mulder, H. Another characterization of hypercubes. Discrete Mathematics, 39 (1982).
[19] M.R. Garey and R.I. Grahem. On cubical graphs. Journal of combinatorial Theory (b),18,pp.84-95,(1975).
[20] Parhami, B. Introduction to Parallel Processing. ISBN 0306459701. (1999), ch. cha-pitre 13.
[21] P.Van de cruyce.A chracterization of the n-cube by convex subgraphes. Discrete Mathematics, (1982).
[22] S.A. Choudum and I. Raman. Embedding height balanced trees and Fibonacci trees in hypercubes. J. Appl. Math. Computing 30. no. 1-2, pp. 39-52 (2009).
[23] S.Foldes. A characterization of hypercubes. Discrete Mathematics, 155-159 (1977), 17.
[24] S.Foldes. A characterization of hypercube discrete. No. 155-159 in 18. 1977.
[25] V.Firsov. On isometric embeddings of a graph into a boolean cube. Cyberne- tics (in Russian) 1. No. 6, pp. 112-113, (1965).
Ce probl`eme poss`ede de nombreuses applications (architecture parall`ele, transf`ere de l’information, codage,).
On s’est int´eress´e dans ce travail au plongement optimal des arbre binaires dans l’hy-percube.
On a impl´ement´e l’algorithme deP RIM sousM AT LAB pour la recherche d’un arbre couvrant minimal dans l’hypercube.
Mots-cl´es :plongement,graphe,isomorphe,l’hypercube,arbre couvrant
Abstract The study of an embedding of a graph G in a graph H returns to see if G is Isomorphic to a subgraph of H.
This problem has many applications (parallel architecture, transfers information, co-ding).
In this work, we are intressted in studying the optimal embedding of the binary trees in the hypercube.
We implemented the PRIM algorithm in MATLAB for the search of a tree Covering minimal in the hypercube.
Keywords : embedding, graph, isomorphic, the hypercube, spanning tree