1.5.1 Produit cart´ esien
On appelle produit cart´esien de deux graphesG= (X, U) etG0 = (X0, U0) ,not´eG2G0, le graphe K, dont l’ensemble de sommets est le produit cart´esien X(G)×X0(G0) et o`u deux sommets (x,x0) et (y,y0) sont adjacents seulement si :
x=y et x0y0 ∈U0 ou
x0 =y0 et xy∈U
|X| × |X0 | : le nombre de sommets dans K
|X| × |U0 |+|X0 | × |U |: le nombre d’arˆetes dans K
Figure 1.18 – K4.
Figure 1.19 – K2.
Figure 1.20 – Produit cart´esien K42K2.
1.5.2 Distance
Notons N(x) : l’ensemble des voisins d’un sommet x etNi(x) = {y∈X;d(x, y) =i}, l’ensemble des sommets de X qui sont `a distance i de x.
1.5.3 Intervalles
L’intervalle I(x, y) est l’ensemble des sommets de G appartenant aux chaines g´eod´ e-siques entre x et y.
Propositions de bases : Soient x et y deux sommets de G, alors :
• x, y ∈I(x, y)
• I(x, y) =I(y, x)
• Siw∈I(x, y), alors I(x, w)⊂I(x, y)
• Siw∈I(x, y) et z ∈I(x, w), alors w ∈I(z, x)
1.6 conclusion
Dans ce chapitre, diff´erentes notations et concepts ´el´ementaires concernons la th´eorie des graphes ont ´et´e pr´esent´es.
Dans ce qui suit, nous nous int´eressons `a la pr´esentations du l’hypercube et ces pro-pri´et´e,ainsi le probl`eme du plongement des graphe dans l’hypercube .
Hypercube 2
2.1 Introduction
Les propri´et´es des hypercubes les rendent int´eressants pour la construction de machines d´edi´ees au calcul parall`ele. Au d´ebut des ann´ees 1960, des id´ees furent propos´ees pour concevoir un ordinateur parall`ele avec une architecture en hypercube : il y a n2 modules, chacun connect´e directement `a n autres ; en particulier, chaque module est plac´e sur le sommet d’un cube `a n dimensions et les arˆetes de ce cube sont les cˆables. Les justifications dans le choix de l’hypercube peuvent paraˆıtre faible au regard des connaissances actuelles sur les familles de graphes, mais il s’av`ere que l’hypercube a de nombreuses propri´et´es et plus d’une trentaine de caract´erisation `a ce jour. [23].
L’hypercube joue un rˆole tr`es important dans le domaine informatique et dans le combinatoire.
Dans ce chapitre nous donnons quelques d´efinitions et propri´et´es sur les hypercubes qui seront utilis´es par la suite. Nous d´ecrivons aussi quelques caract´erisations diff´erentes d’un hypercube.
2.2 L’hypercube
D´efinition 2.2.1. L’hypercube(not´e Qn)est un graphe de dimension n, o´u ses sommets forment un ensemble de n-uplets binaires et deux sommets sont adjacents si et seulement s’ils diff´erent exactement en une seule composante (coordonn´ee).
Un hypercube n-dimensionnel est aussi appel´e un n-cube. C’est les graphes de 2n som-mets qui peuvent ˆetre consid´er´es comme ´etant tous les vecteurs bool´eens (0,1)n.
2.2.1 Caract´ erisations de l’hypercube
Une premi`ere caract´erisation de l’hypercube a ´et´e donn´ee par Foldes :
Th´eor`eme 2.2.1. [24]Un graphe connexe G= (X, U)est un hypercube si et seulement s’il v´erifie les conditions suivantes :
• G est biparti.
• Pour tout couple de sommets x et y de G, le nombre de plus courtes chaˆınes est d(x, y)!.
Th´eor`eme 2.2.2. [4] Soit G= (X, U) un (0,2)- graphe, alors :
• G est r´egulier de degr´e n.
• |U(G)| ≤2n .
Th´eor`eme 2.2.3. [2]soit G un(0,2)graphe tel qu’il existe une d´ecomposition en couches o´u tout cycle de longueur 4 rencontre 3 couches, alors G est un hypercube .
Th´eor`eme 2.2.4. [21] Un graphe G est un hypercube de dimension n si et seulement si l’ensemble des sous graphes convexes de G estQ0, Q1, ..., Qn.
2.2.2 Repr´ esentation de l’hypercube
Pour repr´esenter un hypercube , on proc`ede comme suit :
• Dimension 1: Un point est un hypercube de dimension z´ero. Si on d´eplace ce point d’une longueur unit´e, il balaira un segment de droite, qui est un hypercube unit´e de dimension 1 .
• Dimension 2 : Si on d´eplace ce segment d’une longueur unit´e dans une direction perpendiculaire `a partir de lui mˆeme, il balaie un carr´e bi-dimensionnel.
• Dimension 3 : Si on d´eplace le carr´e d’une longueur unit´e dans la direction per-pendiculaire `a l’emplacement de celui-ci, il engendra un cube tri-dimensionnel.
• Dimension 4 : Si on d´eplace le cube d’une longueur unit´e dans la quatri`eme di-mension, il engendrera un hypercube unit´e quadri-dimensionnel.
• Dimension n: Notons Q0 =K1, Q1 =K2 et que d’une mani`ere g´en´erale ,Qn peut ˆ
etre d´efini r´ecursivement en utilisant le produit cart´esien par Qn+1 =Qn2K2
d’ou pour Qn(n≥1) est isomorphe `a
K22K22K2....K2 n f ois et donc Qn+x =Qn2Qx
Figure 2.1 – Graphes de l’hypercube Qn pour, n =0...4.
Figure 2.2 – L’hypercubeQ5.
Figure 2.3 – L’hypercubeQ6.
Figure 2.4 – L’hypercube Q7
2.2.3 Quelques propri´ et´ es de l’hypercube
• L’hypercube de dimension n est un graphe biparti ´equilibr´e, n-r´egulier ayant 2n sommets et n.2n−1 arˆetes.
• Le diam`etre de l’hypercube Qn est ´egal `a n
• Pour deux sommetsxety qui sont `a distancek dans Qn, il existek! chaˆınes g´eod´ e-siques entre x ety.
• L’hypercube de dimension n poss`ede 2n cˆot´es (un segment 1-dimensionnel a deux points aux extr´emit´es ; un carr´e 2- dimensionnel a quatre bords ; un cube 3-dimensionnel a six faces 2- dimensionnelles ; un hypercube 4-dimensionnel a huit cellules ).
• L’hypercube est hamiltonien, de plus par toute arˆete passe un cycle hamiltonien.
Th´eor`eme 2.2.5. [18] Un graphe G est intervalle-r´egulier si et seulement si pour tout couple de sommets (x,y) de G, le sous graphe induit par l’ensemble des arˆetes entre niveaux de IG(x, y) est un hypercube de dimension dG(x, y).
Proposition 2.2.1. [3] Pour deux sommets u et v qui sont `a distance k dans Qn, il existek! plus courtes (u, v) chaines.
Proposition 2.2.2. [3] Il existe n−1 chaˆınes de longueur inf´erieure ou ´egale `a n et une chaˆıne de longueur inf´erieure ou ´egale `a n+ 1, deux `a deux sommet-disjointes, entre toute paire de sommets distincts de l’hypercube de dimension n.[2]
2.2.4 Distance de Hamming
La distance de Hamming entre deux sommets x et y de Qn est le nombre de compo-santes dont ils diff´erent, une tell distance est not´eeV(x, y) et elle co¨ıncide avec la distance au sens de la th´eorie des graphes s(x, y) entre les deux sommets associ´es ” le nombre d’arˆetes d’une plus courte (x, y)-chaine ” .
2.2.5 D´ ecomposition en couches
Une d´ecomposition en couche de G, `a partir d’un sommet x donn´e, est form´e de l’ensemble{x, N1(x), N2(x), ...Nk(x)}, avec k : le nombre de couches.
Exemple 2.2.1. D´ecomposition en couches
Figure 2.5 – D´ecomposition en couches.