DE LA COMPARABILITÉ DES DIVERS ESPACES

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DE LA COMPARABILITÉ DES DIVERS ESPACES

P ar Georges Lechalàs,

Ingénieur en chef des Ponts et Chaussées & Rouen.

Les formules de la Métagéométrie, ou de la Géométrie générale, selon une expression que nous préférons, contien

nent un paramètre caractéristique de chaque espace parti

culier : aux valeurs positives de ce paramètre correspond la Géométrie de Riemann, aux valeurs négatives celle de Lobatchevsky. Quant à la Géométrie euclidienne, on l’ob

tient en prenant un paramètre infini. 11 résulte de là que, tandis qu’il n’y a essentiellement qu’un espace euclidien, comme il n’y a qu’un plan euclidien, on est naturellement amené à parler d’espaces différents de Riemann et de Lobatchevsky, de même que, dans la Géométrie euclidienne, on distingue des sphères différentes, dont les géométries sont en soi identiques, mais qui se distinguent par un para

mètre figurant dans leurs formules, si l’on suppose toutes les grandeurs rapportées à une même unité. Aussi les ouvrages traitant des Géométries non-euclidiennes parlent- ils très fréquemment au pluriel des espaces et des plans

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de Riemann, comme de ceux de Lobatchevsky, tandis que espace et plan d’Euclide ne figurent qu’au singulier.

Nous avons fait remarquer, dans notre Étude sur l’espace et le temps1 2, que cette distinction de plusieurs espaces de même espèce suppose qu’on les envisage comme inclus dans un même espace d’ordre supérieur, c’est-à-dire dans un espace à quatre dimensions, absolument comme des sphères ne sont discernables que si on les considère dans un même espace à trois dimensions. Deux sphères ne diffèrent en effet que par l’inégalité de deux lignes homologues, deux arcs d’un degré par exemple, et la comparaison de ces deux arcs ne peut se faire si les deux sphères restent isolées, sans relation l’une avec l’autre. Ainsi en est-il des espaces de Riemann et de Lobatchevsky, qui, au lieu de former deux classes d’espaces, doivent être considérés comme deux espaces uniques, si l’on ne peut inclure divers espaces de même nature dans un espace à quatre dimensions. Il con

viendrait alors de s’en tenir aux notations de Lobatchevsky, qui prenait le paramètre pour unité, tandis que Bolyaï, en mettant ce paramètre en évidence, affirmait la possibilité de distinguer les espaces correspondant à ses diverses

valeurs.

Avant d’aborder la discussion au fond des difficultés qui ont été soulevées à ce sujet, nous voudrions écarter une question de terminologie. On a dit qu’un espace ne peut pas être contenu dans un autre espace, car il est nécessaire

1. Un vol. in-1 2, Paris, Alcan, 1896.

2. Nous verrons plus loin que M. Mansiona cherché à réfuter ces assertions.

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ment complet en soi et doit, par essence, tout embrasser;

dès lors, deux espaces ne sauraient coexister, et, dans un

•espace, aucune figure ne devrait être appelée elle-même un espace. Assurément, les définitions de mots sont libres;

mais il faut bien se garder de prétendre exclure de la science ce qui ne rentre pas dans les définitions qu’on a posées. En l’espèce, nous voyons bien comment on a été amené à cette notion restrictive du mot « espace » : elle est dérivée de l’expérience, qui nous montre toutes les figures enfermées dans un espace à trois dimensions, en dehors duquel il n’y a rien; la Métagéométrie a ensuite appris à concevoir la possibilité d’autres espaces à trois dimensions ou à un plus grand nombre de dimensions, mais nos con

tradicteurs limitent l’application de ce terme, dans chaque cas, à la variété ou diversité (manifold) qui enveloppe toutes les autres variétés considérées. Rien de plus légitime qu’une telle convention; mais cette signification du mot

« espace » n’a qu’une valeur toute relative, car alors une variété spatiale donnée est ou n’est pas un espace, selon qu’on la considère comme n’étant pas ou comme étant au contraire incluse • dans une variété d’ordre supérieur. Or cette alternative ne repose sur aucun caractère intrinsèque de la variété considérée, et qualifier d'espace une certaine variété équivaut simplement à l’engagement de ne pas l’en

visager dans une variété d’ordre supérieur qui l’enveloppe

rait. Dans une étude déterminée, on peut ainsi limiter le champ à parcourir; mais cette limitation est purement arbitraire, et l’on ne saurait l’imposer à qui ne l’accepte

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pas, car toujours on a le droit d’inclure une variété donnée dans une variété d'ordre supérieur, où elle devient, si l’on veut, une simple figure.' Il suffirait donc de n’employer jamais le mot « espace » pour échapper aux critiques ver

bales dont nous parlons.

Appliquons cette discussion à un exemple. Un cercle est une variété à une dimension, qui sera un espace à une dimension si je ne le considère qu’en lui-même ; mais il n’est plus qu’une figure si je le considère comme compris dans une variété à deux dimensions, telle qu’un plan ou une sphère. De même, si je m’arrête là, le plan ou la sphère sera un espace, mais retombera au rang de simple figure si je l’inclus dans une variété à trois dimensions, et l’on pourrait poursuivre ainsi indéfiniment.

Cela étant, on voit combien le sens limitatif du terme

« espace », si légitime qu’il soit, est dénué de valeur scien

tifique ou philosophique : il ne sert qu’à marquer un point d’arrêt purement arbitraire; aussi demanderons-nous la permission de conférer à ce terme, d’un usage si commode, une généralité plus grande et de le considérer comme syno

nyme de l’expression complexe « variété spatiale », qu’il suffira de lui substituer mentalement pour faire évanouir les critiques d’ordre purement verbal auxquelles notre discussion sera exposée.

Ceci bien entendu, considérons un cercle, espace à une dimension. Envisagé ainsi en lui-même, il peut donner nais

sance à une géométrie assez rudimentaire, mais qui serait loin d’être nulle, car on peut y considérer des systèmes

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d’arcs et de points infiniment variés ; le champ de notre étude s’élargit singulièrement si nous le plaçons sur une surface, espace & deux dimensions. Cette surface étant supposée un plan euclidien, nous pouvons établir toute la géométrie du IV* livre; mais, si cette surface est une sphère, nous voyons apparaître des propriétés toutes nouvelles : c’est ainsi que le cercle y a deux centres, au lieu d’un, les distances étant naturellement mesurées suivant les géodésiques de la sphère. Si d’ailleurs il est grand cercle sur celle-ci, ses deux rayons deviennent égaux, et en même temps appa

raissent deux faits de grande importance : d’une part, il est géodésique de la sphère, c’est-à-dire que deux de ses points suffisent à l’y déterminer, et qu’il est le plus court chemin entre deux quelconques de ses points; d’autre part, il est retournable, c’est-à-dire que, étant donné l’un quelconque de ses arcs, on peut amener l’une des moitiés de celui-ci en coïncidence avec l’autre, par un mouvement ne la faisant pas sortir de la sphère. Le cercle ne jouit d’aucune de ces propriétés sur le plan : notamment, pour obtenir le retour

nement, il faudrait retourner le plan lui-même par un mou

vement dans un espace à trois dimensions, ou faire sortir le cercle du plan pour le retourner dans ce même espace.

Si maintenant nous envisageons une sphère, il y a lieu de l’étudier d’abord en elle-même, abstraction faite de tout espace à trois dimensions dans lequel elle serait située, et nous établirons ainsi la géométrie propre de la sphère, surface finie et isogène, selon l’expression de Delbœuf, ou identique à elle-même, selon celle de Calinon. Considérée

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comme placée dans un espace à trois, dimensions satisfai

sant au postulatum d’Euclide, cette sphère aura tous ses points à la même distance d’un centre unique, les distances étant mesurées suivant les géodésiques de l’espace en ques

tion, c’est-à-dire suivant les lignes droites euclidiennes.

Pas n’est besoin d’ajouter que la sphère n’est aucunement retournable dans cet espace.

Mais nous pouvons concevoir des espaces à trois dimen

sions ne satisfaisant pas au postulatum d’Euclide et ayant des cercles pour géodésiques ; il suffit, pour obtenir de tels espaces, de se placer dans un espace euclidien à quatre dimensions et d’y poser une équation identique à celle de la sphère, mais avec une variable en plus. Cet espace à trois dimensions comprendra des sphères de tout rayon inférieur ou égal à celui de la sphère obtenue en coupant le

dit espace par un espace euclidien à trois dimensions pas

sant par son centre*. Cette spbère est une grande sphère pour cet espace sphérique, et, comme un grand cercle sur une sphère, elle y est retournable, tandis que les petites sphères ne jouissent pas de cette propriété. Toutes ces sphères d’ailleurs, en même temps qu’elles ont un centre unique si on envisage chacune d’elles dans l’espace eucli

dien à trois dimensions dont elle est l’intersection avec l’espace sphérique considéré, en ont deux dans ledit espace sphérique, et les deux rayons correspondants sont égaux quand il s’agit d’une grande sphère. Dans tous les cas, les 1

1. L’équation de l’espace en question étant + y* + z 2 4* un tel espace euclidien est donné, par exemple, par l’équation x = 0.

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rayons sont naturellement des géodésiques de l’espace dans lequel on considère la sphère, lignes droites euclidiennès ou cercles selon le cas.

Ces propriétés dans l’espace sphérique, que nous avons établies analytiquement dans un article publié par les Annales de la Société scientifique de Bruxelles1, sont identiques à celles des plans de Riemann, du moins quand on considère une grande sphère, les petites sphères ayant les propriétés des sphères de Riemann. Ainsi donc, non seule

ment, comme nul ne l’ignore, les plans de Riemann ont la trigonométrie des sphères d’Euclide, c’est-à-dire qu’ils ont même géométrie propre, mais de plus ces sphères, quand on les envisage dans un espace sphérique à trois dimen

sions ayant mêmes géodésiqqes, y jouissent de toutes les propriétés que présentent les plans de Riemann dans l’espace à trois dimensions de ce géomètre.

Dès lors, nous demandons quelle raison pn peut avoir pour refuser l’identification de deux systèmes géométriques qui apparaissent comme si absolument indiscernables.

M. Mansion, l’éminent professeur de l’Université de Gand, qui a bien voulu répondre à notre étude précitée*, s’exprime à ce sujet dans les termes suivants*, après avoir déclaré nos calculs irréprochables :

« Nous ne pouvons, dit-il, admettre cette proposition de

4. Année 1896, t. XX, 2* partie, p. 467.

2. A n n a le » d e la S o c ié té scien tifique d e B r u x e lle s, 1896, t. XX, 2* partie, p. 178.

3. Nous supprimons, dans cette citation, ce qui concerne la Géométrie de Lobatchevsky, dont nous n’avons pas encore parlé et qui donne lieu à un peu plus de difficultés.

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M. Lechalas (que le plan riemanuien est identique à une sphère d’Euclide), à moins qu’elle ne se réduise à une tau

tologie. — En effet, la définition d’une circonférence, d’une sphère, d’un espace sphérique d’Euclide implique la consi

dération du centre de cette circonférence, de cette sphère ou de cet espace sphérique, la distance de ce centre aux points de ces diverses figures étant comptée suivant des circonférences. Or la droite riemannienne, le plan riemannien, l’espace riemannien ont deux centres, symétriques par rapport à ces figures : les distances de ces centres aux points de ces figures sont comptées sur des droites riemanniennes, comme les distances considérées dans la géomé

trie propre de ces figures. Ces propriétés sont différentes de celles des figures correspondantes d’Euclide, si on les considère avec leur centre, et alors la proposition de M. Lechalas nous semble inexacte. »

Arrêtons-nous un peu ici. Si nous voulons bien saisir l’objection de M. Mansionet nous convaincre de son ineffica

cité, il nous suffira de remarquer qu’elle permettrait aussi bien de nier l’identité d’une circonférence plane et d’une circonférence sphérique; nous pouvons en effet repro

duire exactement son argumentation : « La définition d’une circonférence plane, dirons-nous, implique la considération du centre de cette circonférence, la distance de ce centre aux points de la circonférence étant comptée suivant des lignes droites. Or la circonférence sphérique a deux centres (symétriques s’il s’agit d’un grand cercle), et les distances de ces centres aux points de la circonférence sont comptées

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sur des grands cercles. Les propriétés sont différentes de celles de la circonférence plane, et par suite il est faux que ces deux figures soient identiques. »

Les deux argumentations ont exactement la même valeur ; or, sans entrer dans la discussion de leur vice logique, qui ne voit, pour la seconde, qu’elle ne peut rien prouver, puisque ces deux figures, dont on nie l’identité, n’en font qu’une, au sens le plus absolu du mot : elles sont, ou plutôt elle est l’intersection d’une sphère et d’un plan. Or il en est précisément de même de notre sphère euclidienne et de ce que nous disons être un plan riemannien : ces deux figures n’en font qu’une, étant l’intersection d’un espace à trois dimensions euclidien et d’un espace à trois dimensions sphérique.

M. Mansionpoursuit ainsi : « Si, au contraire, on consi

dère ces figures sans leur centre, elle » (notre proposition)

« revient à cette identité : La géométrie du plan et de l’espace de Riemann est la même que celle de la sphère et de l’es

pace sphérique d’Euclide, pourvu que, dans cette dernière géométrie, on mesure les distances sur certaines lignes tra

cées sur la sphère ou dans l’espace sphérique, ces lignes ayant dans cet espace les mêmes propriétés que les droites de Riemann. En réalité dans ce cas aucune propriété justi

fiant l’emploi des mots d ’Euclide n’intervient dans la défi

nition de la sphère ou de l’espace sphérique considéré ; au contraire, par définition, cette sphère et cet espace sphé

rique sont le plan et l’espace de Riemann. — En résumé, conclut M. Mansion, le plan riemannien peut être considéré

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comme identique à la sphère euclidienne, si l’on n’étudie que les propriétés intrinsèques de ces surfaces ; mais par le fait qu’on les qualifie d’euclidienne et de riemannienne, on leur attribue des propriétés extrinsèques qui les différen

cient. »

Dire qu’aucune propriété ne justifie l’emploi des mots d ’Euclide, c’est oublier que nous nous sommes placé dès l’abord dans un espace à quatre dimensions euclidien, jouis

sant de toutes les propriétés caractérisant le système du géomètre grec, et que c’est dans cet espace que nous avons pris nos sphères et nos espaces sphériques. A lire, d’autre part, la phrase finale de notre contradicteur, on se demande si, au fond, l’accord n’est pas complet entre nous : qu’est- ce qu’une propriété extrinsèque, sinon une propriété par rapport à un objet extérieur? Or nous avons précisément dit : une même sphère, envisagée dans ses relations avec deux espaces différents dont elle est l’intersection, jouit, d’une part, des propriétés des sphères d’Euclide et, d’autre part, de celles des plans de Riemann. Il est bien clair d’ail

leurs que le centre ou les centres font partie de ces pro

priétés extrinsèques, puisqu’ils ne sont point sur la sphère, et que même le centre euclidien est en dehors de l’espace sphérique ou riemannien et les centres riemanniens en dehors de l’espace euclidien à trois dimensions.

Nous nous sommes abstenu jusqu’ici de parler des espaces de Lobatchevsky, parce qu’ils donnent lieu à une difficulté nouvelle : ils ne peuvent être introduits dans un espace euclidien d’ordre supérieur, et par suite on ne peut

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les obtenir, comme les espaces de Riemann, en partant d’un espace d’Euclide. Pour bien faire comprendre ce qui va suivre, nous allons préciser sommairement la notion de courbure des surfaces, telle qu’elle apparaît en Géométrie générale.

Sans entrer ici dans les détails que nous avons rappelés dans un article de la Reçue de Métaphysique et de Morale1, nous ferons remarquer que la définition de la courbure par le produit des rayons de courbure principaux s’appuie sur une propriété extrinsèque, ces rayons étant construits dans un espace spécial à trois dimensions, tandis qu’il nous faut avoir une propriété intrinsèque de la surface, c’est-à-dire indépendante de tout espace dans lequel on l’envisagerait.

Il faut donc généraliser la notion de courbure, et c’est ce que permet de faire un théorème dû à Gauss : « La cour

bure intégrale d’un triangle formé sur une surface continue quelconque par trois lignes géodésiques est égale à la somme des angles de ce triangle diminuée de deux droits ».

D’où il résulte que la courbure en un point quelconque est égale au quotient de l’excès angulaire d’un triangle infinité

simal par la surface de ce triangle ; si la surface est à cour

bure constante, on pourra prendre un triangle fini quel

conque pour le calcul de cette courbure. Il est loisible d’ail

leurs de substituer à celui-ci un polygone ou une courbe convexe fermée quelconque, à la condition de prendre l’excès, changé de signe, sur quatre droits de la somme des

1. L a c o u rb u r e e t l a d i s t a n c e en G é o m é tr ie g é n é r a le , ap. R e v u e ...., t . III, p. 194 (mars 1896).

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angles extérieurs du polygone ou de l’intégrale des angles extérieurs des tangentes géodésiques.

Tandis que la définition ordinaire ne comporte de cour

bures négatives que pour des surfaces dont les rayons prin

cipaux sont dirigés en sens contraires, on conçoit ici que la notion de courbure négative est en soi indépendante de cet ordre de considérations. Il est bien vrai que toutes les surfaces de la Géométrie euclidienne ont des rayons de courbure, et que la concordance entre les deux définitions entraîne que l’excès angulaire n’y est négatif que lorsque les rayons principaux sont de sens opposés; mais on peut concevoir a priori que certaines surfaces incapables d’entrer dans un espace euclidien aient une courbure négative sans avoir de rayons de courbure euclidiens. Or c’est précisément le cas des plans de Lobatchevsky.

On sait en effet que, sur ces plans, la somme des angles d’un triangle est inférieure à deux droits, et d’autre part il est impossible d’identifier à ces plans les pseudo-sphères euclidiennes comme nous avons identifié les plans de Rie- mann aux sphères d’Euclide, car les géométries propres de ces deux surfaces sont loin d’être identiques : les géodé

siques des pseudo-sphères se coupent deux à deux un nombre infini de fois, et celles des plans de Lobatchevsky une seule fois; par deux points d’une pseudo-sphère, il passe une infinité de géodésiques, au lieu d’une géodésique unique, et enfin, si le déplacement d’une figure s’opère, en un sens, sans déformation sur une pseudo-sphère, cette pro

priété n’est pas absolue, carie déplacement peut faire naître

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ou évanouir certaines intersections, ou seulement changer les points où elles se produisent et les angles qu’elles engen

drent. Il est vrai qu'on fait disparaître ces différences en considérant une pseudo-sphère sur laquelle une infinité de feuillets seraient enroulés, et en faisant abstraction des intersections résultant de la superposition des divers feuil

lets : c’est ainsi qu’on peut considérer un cylindre de révo

lution comme ayant identiquement la géométrie du plan ; mais cet artifice ne saurait permettre de poser l’identité des surfaces.

Ceci bien compris, si nous considérons un espace à trois dimensions contenant un tel plan, c’est-à-dire une surface à courbure constante négative et retournable dans cet espace, nous trouvons que celui-ci contient toutes les sur

faces à courbure constante algébriquement supérieure à celle de son plan, notamment la surface à courbure nulle et toutes celles qui ont une courbure positive. La première, ou horisphère, jouit de toutes les propriétés intrinsèques du plan euclidien, et les autres jouissent de celles des sphères euclidiennes ou riemanniennes ; mais toutes y sont dépour

vues de retournabilité, et leurs géodésiques ne sont pas celles de l’espace où elles se trouvent. Tout change si nous considérons un espace lobatchevskien à quatre dimensions, dans lequel peuvent entrer des espaces à trois dimensions de courbure nulle ou positive, car, dans chacun de ces espaces, la surface ayant mêmes géodésiques y est retour

nable et jouit exactement de toutes les propriétés du plan d’Euclide ou des plans de Riemann, en sorte que l’hori-

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sphère, par exemple, doit être reconnue comme identique au plan d’Euclide, absolument comme nous avons reconnu l’identité des sphères d’Euclide et des plans de Riemann. On peut d’ailleurs l’envisager comme étant l’intersection d’un espace lobatchevskien et d’un espace euclidien.

On remarquera que, si l’on part ainsi d’un espace à quatre dimensions de courbure négative, on obtient direc

tement les trois géométries, qui apparaissent dans une unité dont le caractère philosophique nous paraît s’imposer; en face de cette unité, qui enferme en son sein l’infinie variété de tous les espaces à trois dimensions, la conception de trois espaces absolument étrangers l’un à l’autre semble étroite et artificielle. A défaut d’une comparaison entre les espaces d’espèces différentes, on s’était habitué à admettre du moins les deux séries des espaces à courbure positive et à courbure négative, et notre remarque, qu’il fallait renoncer à distinguer des espaces multiples de courbures de même signe, a paru émouvoir M. Mansion, qui a cherché à main

tenir la notion d’espaces distingués par la valeur de leurs paramètres et a proposé dans ce but l’artifice suivant :

« Si l’on connaît b, longueur rapportée à une certaine unité, du côté d’un triangle rectangle isoscèle déterminé, dont on ignore s’il est euclidien, riemannien, ou lobatchefskien, on pourra supposer, avant toute mesure, que la lon

gueur a de l’hypoténuse a n’importe quelle valeur égale, inférieure ou supérieure à b y/2. Cela implique la possibilité de valeurs en nombre infini pour r et /*, mais non la pos-

1. Paramètres employés dans les formules riemanniennes et lobatchevskiennes.

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sibilité de comparer des longueurs dans deux espaces diffé

rents. »

La réfutation nous paraît tenir dans cette simple ques

tion : Par rapport à quelle unité est mesuré le côté 6? Évi

demment par rapport à une longueur prise dans l’espace considéré, et ce qui variera, ce sera la valeur du paramètre de ce même espace en fonction de l’unité choisie dans cet espace. En vain direz-vous : Mais je puis concevoir que, l’unité restant la même, le paramètre aurait eu une autre valeur. Qu’est-ce à dire : l’unité restant la même? Cela signifie que vous supposez la possibilité de prendre deux unités égales dans deux espaces différents, ce qui est précisé

ment contradictoire à votre thèse, car ce serait comparer deux longueurs dans des espaces différents. Sans cette faculté de comparaison que vous niez précisément, on ne peut faire que la distinction spécifique résultant de ce que a est égal, inférieur ou supérieur à b ^2, c’est-à-dire poser la distinction de l’espace euclidien, de l’espace riemannien et de l’espace lobatchefskien.

Nous revenons ainsi à notre proposition primitive, et l’opposition des deux thèses apparaît entière : chacun peut apprécier, en l’absence de toute contestation sur l’exactitude des calculs, laquelle est la plus favorable à une conception philosophique de la Géométrie générale.