Application num´ erique

Universit´e de Tours Licence de Physique 2020 L2 S3 Module 3: Outils Math´ematiques EP2

Equations Diff´erentielles Ordinaires: Travaux Pratiques: No.1-2

Informations g´ en´ erales sur les TP d’ED

Objectifs Le but des TP est d’approfondir et illustrer les m´ethodes `a r´esoudre des ED importantes de la physique les rendre plus claires et plus intuitives. Pour en profiter pleinement, il est donc important d’´etudier vos notes du cours et des TD avant les TP. Dans ces deux TPs vous serez initi´es `a l’application des logiciels du calcul formel et num´erique aux probl`emes physiques d´ecrits par des ´equations diff´erentielles ordinaires.

De nombreux logiciels sont couramment exploit´es par les physiciens : Maple, Mathematica, Sage, Matlab, etc.

Conditions de fonctionnement Chaque groupe de TD est divis´e en deux demi-groupesA etB. Dans chaque demi-groupe, vous serez r´epartis par binˆome. Vous faites le TP ensemble, un seul compte-rendu commun (une seule partie pr´eparatoire en particulier), et vous avez la mˆeme note.

Pr´esence Les TP auront lieu en pr´esentiel, mais vu la crise sanitaire actuelle, en cas d’absence vous n’ˆetes pas p´enalis´e.

Le compte-rendu ou rapport de TP. Vous devez rendre un compte-rendu (CR) de TP `a la fin de chaque s´eance : la partie th´eorique est `a rendre `a la s´eance sous format papier ou ´electronique, et la partie num´erique est `a envoyer par mail `a l’enseignant en fin du TP. Il vous appartient `a bien pr´eparer les TP et pr´eparer la partie th´eorique chez vous. Les CR seront not´es, mais les ces notes seront uniquement prises en compte si elles augmentent votre moyenne, donc vous avez tout int´erˆet de bien pr´eparer les TP et faire un bon CR.

Votre rapport de TP doit indiquer: vos noms, pr´enoms, groupe de TP, et la date, les d´etails des calculs qui ont conduit `a vos r´eponses, etc.

Quelques exemples de fonctions de Maple

Outils de visualisation:

ˆ La commandewith(plots):active la biblioth`eque d’outils graphiquesplots.

ˆ Tracer le graphe de la fonction sinxpourxentre 0 et 2π:

plot(sin(x),x=0..2Pi,color=green);

ˆ Le graphe d’une courbe param´etr´ee:

plot([cos(t),sin(t),t=0..2Pi]);

ˆ Tracer un champ de vecteurs:

fieldplot([y,-x],x=-3..3,y=-3..3);

ˆ Tracer les courbes de niveau d’une fonction:

contourplot(x^2+y^2,x=-2..2,y=-2..2);

ˆ Animation:

animate(plot,[[cos(3t),sin(5t),t=0..T]],T=0..2Pi,frames=100);

Cliquez ensuite sur le graphe, puis sur “Start” dans la barre d’outils qui s’affiche.

ˆ Combinaisons de plusieurs objets graphiques: fonctiondisplay. Un autre exemple:

PointBleu:=proc(x,y)

plots[pointplot]([[x,y]],color=blue,symbol=solidcircle,symbolsize=20) end proc:

FondRouge:=plot([cos(3t),sin(5t),t=0..2Pi],color=red):

animate(PointBleu,[cos(3t),sin(5t)],t=0..2Pi,frames=100,background=FondRouge);

Ici les 3 premi`eres lignes cr´eent une proc´edurePointBleudessinant le point de coordonn´ees cart´esiennes (x, y). La 4`eme cr´ee le graphe FondRouge de la courbe d´efinie param´etriquement par x = cos 3t, y = sin 5t, sans toutefois le dessiner. La derni`ere ligne cr´ee une animation o`u le point se d´eplace en suivant la courbe.

Attention! Dans le mˆeme bloc de math, les lignes sont s´epar´ees par “Shift+Enter” et non par “Enter”.

R´esolution des ´equations diff´erentielles:

ˆ Solution analytique:

dsolve([x’(t)=y(t),y’(t)=-x(t)]);

ˆ Solution num´erique & tra¸cage:

NumSol:=dsolve([x’(t)=y(t),y’(t)=-x(t),x(0)=1,y(0)=0],{x(t),y(t)},numeric);

odeplot(NumSol,[x(t),y(t)],t=0..2Pi,numpoints=1000);

TP 1: Oscillateurs coupl´ es

Dans ce TP on examinera les ´equations diff´erentielles d´ecrivant deux oscillateurs coupl´es.

m1 m2

k1 k

k2

O1 O2

Figure 1: Deux oscillateurs coupl´es

On consid`ere le syst`eme constitu´e de deux masses ponctuellesm1 etm2 reli´ees par des ressorts de raideurs k1 etk2 fix´es enO1 etO2et coupl´ees par un ressort de raideurk, voir Fig.1. Nous supposons que les deux masses peuvent se d´eplacer sans friction uniquement dans la direction horizontale, le long de l’axe x. x1 et x2repr´esentent les ´ecarts par rapport aux positions d’´equilibres. Les ´equations du mouvement sont :

m1x¨1=−k1x1+k(x2−x1) (1) m2x¨2=−k2x2+k(x1−x2) (2)

Questions th´ eoriques - ` a pr´ eparer avant le TP

1. Calculer les forces auxquelles sont soumises chacune des deux masses m₁ et m₂ et en d´eduire les

´

equations dynamiques (1)-(2).

2. D´eduire du syst`eme (1)-(2) le taux du changement l’´energie des l’oscillateurs (1) et (2).

Pour rappel : Ei=miv²_i/2 +kix²_i/2, i= 1,2 o`uvi est la vitesse de la massemi.

3. Trouver l’expression pour l’´energie totaleEtotdu syst`eme (1)-(2) et montrer queEtotest bien conserv´ee, c.`a.d. queEtot est une int´egrale premi`ere des ED coupl´ees (1)-(2).

4. Ecrire les ´equations (1)-(2) sous forme matricielle pour le vecteurX = (x1, x2), c.`a.d. comme X¨ =−AX, et expliciter la matrice A

5. Dans la suite on suppose, pour simplifier, que m = m1 = m2, ainsi que les constantes de raideur k1 =k2 = k⁰; x1 et x2 jouent alors des rˆoles identiques. Diagonaliser la matrice A (i.e. trouver S `a l’aide des vecteurs propresv_i deA(Av_i=λ_iv_i), tel queS⁻¹AS=D,D´etant une matrice diagonale).

Introduire des nouvelles fonctions inconnues comme X = SY et montrer qu’elles satisfont les deux ED d´ecoupl´ees Y¨ = −DY et identifier les valeurs propres λ_i de A avec les deux fr´equences propres ω₊= Ω₀ et ω₋ =p

Ω²₀+ 2ω²₀ trouv´ees pr´ec´edemment (pour rappelω₀² =k/met Ω²₀=k⁰/m; et voir Exo. 9 du TD.3 et le DM du 21/10/2020).

6. Ecrire la solution g´en´erale pourY, puis identifier ses composantes avec les modes propresξ_±=x1±x2

que l’on a d´ej`a trouv´e pr´ec´edemment dans le TD.

7. D´eduire de la solution trouv´ee pourY la solution g´en´erale pourx1(t) etx2(t).

8. Montrer que pour les conditions initialesx1(0) =a,x2(0) = 0,v1(0) =v2(0) = 0, l’expression dex1(t) et x2(t) est donn´ee par

x1(t) =acos(ω++ω−

2 t) cos(ω−−ω+

2 t) (3)

x2(t) =asin(ω++ω−

2 t) sin(ω−−ω+

2 t) (4)

Application num´ erique

1. R´esoudre num´eriquement les ED (1)-(2) munies des conditions initiales, telles que seulement l’une ou l’autre des deux modes propres soit non nulle. Visualiser le mouvement des masses pour les deux modes propres et interpr´eter les r´esultats.

2. Montrer que dans la limite du couplage fort,ω₀Ω₀queω₋≈ω₀√

2ω₊= Ω₀, les deux oscillateurs oscillent ensemble, avec des oscillations rapides (de fr´equence ω₋ ´elev´ee) et d’amplitudea/2 autour de leur mouvement d’oscillation lent (de fr´equence Ω₀/2π basse). Pour ce cas on peut prendre par exempleω₀= 30, Ω₀= 1.

3. Montrer que dans la limite du couplage faible ω0 Ω0 queω₋ ≈ω+ = Ω0, et ω₋−ω+ ≈ω²₀/Ω0 ω0 les oscillations du premier oscillateur se transmettent peu `a peu au deuxi`eme, puis inversement.

Montrer que leur amplitude varie lentement, et qu’il y a desbattements. Pour ce cas on peut prendre par exemple ω0= 1.5, Ω0= 9.

4. Rajouter aux ED (1)-(2) les deux ´equations pour le taux de changement des ´energiesE1etE2, puis les r´esoudre num´eriquement. TracerE1 et E2 et ´egalementEtot en fonction du temps. Conclure qu’il y a transfert d’´energie alternativement d’un oscillateur `a l’autre. V´erifier aussi que l’´energie totaleEtot

est bien conserv´ee dans les limites de pr´ecision num´erique.

Questions suppl´ ementaires

ˆ Trouver les les deux fr´equences propres du syst`eme (1)-(2) pourm16=m2

TP 2: Chaˆıne de N oscillateurs

Nous reprenons dans ce TP des syst`emes des oscillateurs coupl´es de la figure Fig.2. On va s’int´eresser aux modes propres d’oscillations et on va chercher `a d´eterminer les mouvements de ce syst`eme, pour illustrer sur cet exemple, qu’effectivement les mouvements quelconques du syst`eme s’expriment par une combinaison lin´eaire de ses modes propres.

m₁ m₂ m₁ m₂ mN−1 m_N

k k k k k k k k

Figure 2: Chaˆıne deN oscillateurs

On consid`ere dans un premier temps le syst`eme constitu´e de N = 3 trois masses ponctuelles avec m1 = m2=met reli´ees par des ressorts de raideurk. De nouveau on suppose que les masses peuvent se d´eplacer sans friction uniquement dans la direction horizontale, le long de l’axe x. xi et i = 1,2,3 repr´esentent les

´

ecarts par rapport aux positions d’´equilibres. Les ´equations du mouvement sont :

m¨x1=−2kx1+kx2 (5)

m¨x2=−2kx2+kx1+kx3 (6)

m¨x₃=−2kx3+kx₂ (7)

Le syst`eme de ces trois ED s´ecrit sous forme matricielle en introduisant le vecteurX = (x1, x2, x3) comme

X¨ =A3X , o`u A3=ω₀²





−2 1 0

1 −2 1

0 1 −2



 ω₀²= k

m (8)

En ´ecrivantX =X⁰exp (ıωt) on obtient un syst`eme d’´equationsalg´ebriques:

−ω²X⁰=ω²₀A3X⁰ (9) V´erifier que les les valeurs propres et les vecteurs propres de la matrice A3 sont donn´ees par:

ω1,3=ω0

q 2∓√

2, X_1,3⁰ =



 1

∓√ 2 1



, ω2=ω0

√

2, X₂⁰=





−1 0 1



. (10)

X =P3

j=1X_j(t) On passe maintenant de 3 `aN oscillateurs. En rajoutent d’autres masses suppl´ementaires

`

a droite de la masse (3) n’influt en rien sur le mouvement des masses (1) et (2), donc leurs ´equations de mouvement restent inchang´ees, i.e. (5)-(6). Par contre l’´equation pour la masse (3) change `a cause de la masse (4) `a sa droite comme :

m¨x3=−2kx3+kx2+kx4. (11) Maintenant on peut ais´ement voir que l’´equation de mouvement pour n’importe quelle masse, sauf la toute derni`ere (N), est donn´ee par :

mx¨n=−2kxn+kx_n−1+kxn+1, n= 2, . . . N−1, et pour la masse (N) : m¨xN =−2kxN+kxN−1. (12) Donc au final on obtient le syst`eme des ED suivant pour la chaˆıne deN oscillateurs :

X¨ =A_NX , o`u X =









 x₁ x₂ ... xN











, A_N =ω²₀



















−2 1

1 −2 1

1 −2 1

... ... ... ...

−2 1

1 −2



















, (13)

o`u les ´el´ements non-exhib´es de la matriceN×N AN sont nulles. Il reste encore `a imposer les conditions au bord aux deux extr´emit´es de la chaˆıne, `a savoir que le d´eplacement doit ˆetre z´ero car le premier et le dernier ressorts sont fix´es au mur. Pour simplifier les ´equations et tenir compte de ces conditions il est commode d’introduire les deux “d´eplacements fictifs”x<sup>0</sup><sub>0</sub> et x<sup>0</sup><sub>N+1</sub> avec comme valeursx<sup>0</sup><sub>0</sub> =x<sup>0</sup><sub>N+1</sub> = 0. Grˆace `a cela les ´equations de la chaˆıne s’´ecrivent simplement comme

¨

xn =ω²₀(−2xn+xn−1+xn+1), n= 1, . . . N . (14) V´erifier que qu’en posant X = X⁰exp (ıωt), X⁰ = (x⁰₁, x⁰₂, . . . x⁰_N) sont bien les modes propres de AN, satisfaisant

−ω²x⁰_n =ω²₀(−2x⁰_n+x⁰_n−1+x⁰_n+1), n= 1,3, . . . N . (15) Montrer que la solution de l’´equation (15) pour les (N) modes propres X_p⁰, p= 1, . . . N s’´ecrivent comme

x⁰_p,j =Bsin πpj

N+ 1

, j, p= 1, . . . N , avec ω_p²= 4ω₀²sin²

πp 2(N+ 1)

. (16)

o`uω<sup>2</sup><sub>p</sub>sont les (N) valeurs propres deAN. Constater que cette solution satisfait ´egalement les conditions au bord aux deux extr´emit´es de la chaˆıne, `a savoirx⁰_p,0= 0 etx⁰_p,N+1= 0.

Questions th´ eoriques - ` a pr´ eparer avant le TP

1. V´erifier par calcul explicite les r´esultats dans (10).

2. Montrer que la solution g´en´erale du syst`eme (13) est donn´ee par X = PN

j=pc_pX_p(t) o`u X_p(t) = X_p⁰cos (ω_pt+φ_p), X_p⁰ ´etant les N vecteurs propres de la matrice A_N, impliquant que le mouvement g´en´erale de la chaˆıne peut ˆetre repr´esent´ee par une superposition de ces modes propres.

3. Choisir des conditions initiales telles queX(t= 0) =X_p⁰, i.e. que le d´eplacement initial des masses soit donn´e par leurs modes propres.

4. Tracer les trois modes propres de (10) en fonction du d´eplacement initial et expliquer pourquoi la fr´equence propre deX₃⁰est plus ´elev´ee (ω₃=p

2 +√

2) que celle deX₁⁰.

Application num´ erique

1. Trouver num´eriquement les valeurs propres et les vecteurs propres deAN pourN = 4,6,20,50.

2. Visualiser les quelques premiers modes propres (par exemple pour les 3 trois plus basses fr´equence) et pour ces valeurs deN les comparer avec les graphes de sin(np) o`u nest l’indice du mode propre.

3. Donner une estimation num´erique pour les valeurs de ppour les valeurs consid´er´ees de N. Comparer les valeurs depainsi trouv´ees avec le r´esultat analytique dans ´equation (16).