Chapitre 11: Simulation Echantillonnage Page 1
Chapitre 11 : Simulation Echantillonnage
Objectifs :
*Connaitre ce qu’est une fluctuation d’échantillonnage
* Savoir simuler une expérience aléatoire
* Connaitre ce que sont un intervalle de fluctuation et de confiance
*Savoir si un échantillon est compatible avec un modèle
*Savoir estimer une proportion à partir d’un échantillon
I. Fluctuation d’échantillonnage
Définition : Un échantillon de taille n est constitué des résultats de n répétitions indépendantes de la même expérience sur l’ensemble des personnes ou objets sur lesquels porte l’étude statistique (la population). Un échantillon issu d’une population est donc l’ensemble de quelques éléments de cette population.
Exemple : On effectue 100 lancés d’une pièce de monnaie équilibrée. On a ainsi obtenu un échantillon de taille 100 d’une population de pile et de face. Admettons que chacun dans le lycée fassent cette expérience.
a) Trouvera-t-on systématiquement 50 piles-50 faces ?
b) Trouvera-t-on souvent moins de 30 piles ou moins de 30 faces ?
c) Si l’on calcul la fréquence d’apparition du pile, est ce que tous les élèves du lycée obtiendront le même résultat ?
Remarque : La distribution des fréquences associée à un échantillon est la liste des fréquences des issues de l’échantillon. Cette distribution des fréquences varie d’un échantillon à l’autre, c’est ce qu’on appelle la fluctuation d’échantillonnage.
II. Intervalle de fluctuation
Définition : L’intervalle de fluctuation au seuil de 95% d’une fréquence d’un échantillon de taille n est l’intervalle centré autour de la proportion effective p tel que la fréquence observée f se trouve dans l’intervalle avec une probabilité égale à 0,95.
Chapitre 11: Simulation Echantillonnage Page 2 Propriété : Pour 0,2 p 0,8 et n 25, l’intervalle de fluctuation au seuil de 95% de f est
l’intervalle
. Remarques :
i) Cela signifie qu’on a une probabilité de 0,95 pour que la fréquence observée se trouve dans l’intervalle
.
ii) L’amplitude de cet intervalle est égale à
.
iii) Prise de décision : Si dans un échantillon, la fréquence observée f appartient à l’intervalle on considère que l’échantillon est compatible avec le modèle au seuil de 95 % . A l’inverse si f
n’appartient pas à l’intervalle, on considère que l’échantillon n’est pas compatible avec le modèle (en ce sens que, dans un tel modèle, elle ne s’observerait que dans 5% des cas) .
Exemple : Considérons notre lancé de pièces et l’on ne s’intéressera qu’au résultat pile.
i) Déterminer l’intervalle de fluctuation au seuil de 95% de la fréquence d’obtenir pile sur 100 lancés ? sur 1000 lancés ?
ii) Déterminer la taille de l’échantillon à considérer pour que l’intervalle soit précis au dixième.
iii) Après observation d’un échantillon, on constate que la fréquence est de 0,4. Peut on considérer au risque de 5% que cet échantillon est conforme à la théorie .
*Dans le cas où l’échantillon est de taille 100 ?
*Dans le cas où l’échantillon est de taille 1000 ?
Chapitre 11: Simulation Echantillonnage Page 3 III. Intervalle de confiance
Définition : Soit f la fréquence observée d’un échantillon de taille n 25 et telle que 0,2 f 0,8.
L’intervalle
est appelé un intervalle de confiance de p au niveau 0,95.
Remarque :Ainsi, on veut estimer la proportion théorique p à partir d’une observation.
Exemple : Un institut de sondage interroge 1052 personnes entre les deux tours de l'élection présidentielle sur leur intention de vote. 614 déclarent avoir l'intention de voter pour François Hollande. En supposant que les votes seront conformes aux intentions, le candidat a-t-il raison de croire qu'il sera élu ?
Exercices : Math’X 2014 Didier
1,2,5p231+7,8,9,11p232+13,15,16p233+36p236 Exercices supplémentaires : Math’X 2014 Didier P220,225à228+3,4,6p231+10,12p232+p234,235
